指数函数、对数函数与增长模型

上一章里，我们看过 $x^2$、$x^3$ 这样的幂，也看过由多项式相除得到的有理函数。现在把 $x^3$ 中的两个角色换一下，变成 $3^x$：底数固定了，输入跑到了指数的位置。看起来只是换了个位置，描述变化的方式却跟着变了。

想象两套模拟增长规则：都从 80 开始，一套每小时加 20，另一套每小时增加当前数量的 25%。第一小时结束，它们恰好都是 100。你可能觉得区别不大，但第二小时就分开了：前者到 120，后者到 125。因为第二套规则中的“25%”，这次已经是拿 100 作基准来算了。

本章就从这个分岔处开始。我们先弄清楚“每次乘同一个倍数”会画出怎样的函数，再解决一个顺手就会冒出来的问题：如果知道想达到的结果，怎么反过来求要等多久？对数会在这里出现。它和前面学过的反函数是同一条线上的知识，并没有突然换一个话题。

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每次加多少，与每次乘多少

把刚才的两套规则接着算下去。这里的数量是为观察规律设置的模拟量，可以取小数。

第一行数量的相邻差值总是 20，因此模型是 $L(t)=80+20t$。第二行数量的相邻差值在变化，但相邻比值总是 $1.25$。增加当前数量的 25%，意思是保留原来的 100%，再加上 25%，合起来就是乘 $1.25$。所以第二个模型是

$$Q(t)=80(1.25)^t.$$

指数 $t$ 记录乘法重复了多少次。经过 3 小时，计算的是 $80\times1.25\times1.25\times1.25$，不是把最初的 $80\times25\%$ 重复加三次。

恒定比值背后，是恒定百分比

一般的指数模型写成

$$Q(t)=ab^t.$$

对于描述正数量的增长模型，我们取 $a>0$。代入 $t=0$，得到 $Q(0)=a$，所以 $a$ 是选定起算时刻的初值。把相邻时刻的数量相除，得到

$$\frac{Q(t+1)}{Q(t)}=\frac{ab^{t+1}}{ab^t}=b.$$

这就是底数 $b$ 在模型中的意思：每过一个时间单位，数量乘上的因子。若每小时增长 7%，$b=1.07$；若每小时减少 7%，$b=0.93$。把带正负号的单位时间增长率记为 $r$，两者的关系是

$$b=1+r,\qquad Q(t)=a(1+r)^t.$$

这里的 $r$ 用小数表示，而且必须有 $r>-1$，保证底数为正。用单独的“衰减率” $d$ 表示每次减少的正百分比时，则写成 $a(1-d)^t$，其中 $0<d<1$。

为什么不能把“增长 7%”直接写成乘 $0.07$？因为乘 $0.07$ 留下的是原来的 7%，实际上减少了 93%。翻译百分比时，把“下一次一共还剩原来的多少倍”说出来，通常就不容易弄反。

同样，先涨 20% 再降 20% 也回不到原处。两个乘法因子相乘是 $1.2\times0.8=0.96$，最终只剩原来的 96%。两次百分比的基准量不同，不能把它们像固定数量一样直接抵消。

比较比值之前，先看时间间隔

“相邻比值相同”有一个容易被漏掉的前提：比较的是相等的输入间隔。如果记录时间是 0、1、3 小时，两个相邻区间分别长 1 小时和 2 小时，本来就不该要求乘上同一个倍数。

对于任意固定时间间隔 $\Delta t$，指数模型满足

$$\frac{Q(t+\Delta t)}{Q(t)}=b^{\Delta t}.$$

只要间隔相等，这个倍数就与从哪个时刻开始无关。例如每小时乘 $1.25$，那么每两小时就乘 $1.25^2=1.5625$。若把时间单位改成“两小时”，模型的底数也要一起改变。

反过来，若某种量每两小时增加 21%，每小时的因子应该满足 $b^2=1.21$，因此 $b=1.1$，每小时增加 10%。把 21% 直接除以 2 得到 10.5%，会忽略中间那一次增长也参加了下一次增长。

下面的交互用于观察初值与比例参数。每次改变参数后，先比较相隔一个时间单位的两项，再看曲线为什么会随之改变。

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指数不只是重复整数次乘法

如果 $2^x$ 只在 $x=0,1,2,\ldots$ 时有意义，它给出的只是一串点。函数还要回答 $x=\frac12$、，甚至 时的输出。我们希望延伸之后仍保留熟悉的指数规律。

例如，$2^{1/2}$ 与自己相乘应该等于 $2^1$，所以它是正的 $\sqrt2$。 与 相乘应该等于 ，因此 。一般地，对于正底数 ，

$$b^0=1,\qquad b^{-u}=\frac1{b^u},\qquad b^{m/n}=\sqrt[n]{b^m}\quad(n\text{ 为正整数}).$$

无理指数的严格构造需要更进一步的实数与极限知识。现在可以先这样理解：用越来越准确的有理数逼近指数，相应幂值会确定一个一致的结果，于是整数点之间得到一条连续曲线。我们在本课中使用这条延伸后的实指数函数，不把它误认为只会在整数时刻跳动。

底数为什么必须大于零，而且不能等于一

本章讨论实数范围内、对所有实数输入都有定义的指数函数。标准形式 $f(x)=b^x$ 要求

$$b>0,\qquad b\ne1.$$

负底数的问题可以用一个输入看清：$(-4)^{1/2}$ 在实数范围内没有值，所以 $(-4)^x$ 不能像 $4^x$ 一样接受每个实数。零底数也不行，例如 $0^{-1}$ 要求除以零。底数为 1 时倒是能够计算，但 永远等于 1，退化成常函数，失去了本章要研究的比例变化和一一对应关系。

这里还要分清两个负号的位置。$-2^x$ 表示先算正数 $2^x$，再把结果取负；$(-2)^x$ 则真的使用了负底数。前者对所有实数 $x$ 有定义，后者不是本章所说的实指数函数。

更一般的 $ab^x$ 允许非零系数 $a$ 为负，图像会在 $x$ 轴下方。不过，若谈的是质量、数量等正量，我们会明确取 $a>0$。“$b>1$ 表示增长”的模型解释也建立在这个前提下；例如 $$ 随 增大反而递减。

从几个点读出整条曲线

先看 $f(x)=2^x$ 的五个点：

向右走，函数值不断乘 2；向左走，函数值不断除以 2。无论怎样往左，都只能得到越来越小的正数，不能在某个有限输入处得到零。因此 $y=0$ 是水平渐近线，定义域是 $\mathbb R$，值域是 $(0,+\infty)$，图像经过 $(0,1)$，没有 $x$ 轴截距。

“很接近零”也不等于“算成零”。比如 $2^{-20}=\frac1{1048576}$，虽然在普通图上很难看出它与横轴的距离，它仍严格大于零。上一章的渐近线在这里再次出现了，只是这次不用比较多项式的次数就能解释它的来历。

对于 $g(x)=\left(\frac12\right)^x=2^{-x}$，可以直接用变换的眼光来看：把 的图像关于 轴翻过去。它仍经过 ，定义域和值域也相同，但现在向右走时不断减半，靠近 ；向左走时则越来越大。

对一般的 $b^x$，$b>1$ 时函数严格递增，$0<b<1$ 时严格递减。这说明每一个正的输出只对应一个输入。稍后我们能把它倒过来成为对数函数，靠的就是这个性质。

例题：旧的变换规则，放到指数图像上

试着描述下面这个函数的图像、定义域、值域和截距：

$$g(x)=4-2\cdot3^{x-1}.$$

从母函数 $y=3^x$ 出发，原来一个点记作 $(u,3^u)$。要让新指数 $x-1$ 仍等于原来的输入 $u$，就需要 ；输出则先乘 ，再加 4。整套动作可以直接写成

$$(u,3^u)\longmapsto(u+1,\,4-2\cdot3^u).$$

这样，我们不必只背“右移、翻转、拉伸、上移”四个词，而是能追踪点的去向。

母函数的水平渐近线 $y=0$ 经同样的纵向变换后变成 $y=4$。因为 $3^{x-1}>0$，所以 $4-2\cdot3^{x-1}$ 永远小于 4，值域是 。定义域仍然是全部实数。母函数向右递增，乘上负数使它上下翻转，所以新函数递减。

$y$ 轴截距已经在表里，是 $\left(0,\frac{10}{3}\right)$。至于 $x$ 轴截距，令输出为零，会得到 $3^{x-1}=2$。因为 、，所以交点在 和 之间。现在先把准确位置留着，等学到对数再回来求。

这个例子也提醒我们：基本函数 $b^x$ 不碰 $x$ 轴，但变换后的指数图像可以碰。始终不碰的是它自己的水平渐近线，这里是 $y=4$。

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计息越频繁，会不会长到没边

复利是理解指数的一种方便情境：每次增加的部分，也加入下一次计算的基数。下面只讨论给定参数的数学模型，假设期间没有存取款、费用或利率变化。

假设初始金额为 $P$，名义年利率为 $r$，一年分 $n$ 次等间隔计息，每次使用利率 $\frac rn$。一次结息后金额乘 $1+\frac rn$，一年乘 次，经过 年共乘 次，因此在对应的结息时点，

$$A(t)=P\left(1+\frac rn\right)^{nt}.$$

这条公式里的两个 $n$ 各有工作：括号里的 $n$ 把年利率分到每次，指数里的 $n$ 记录一年有多少次。漏掉任何一个，表达的就不是原来的计息规则了。

例如，一个模拟账户初值 6000 元，名义年利率 8%，每季度结息一次。每季度利率是 $0.08/4=0.02$，3 年有 12 个季度，于是

$$A(3)=6000(1.02)^{12}\approx7609.45\text{ 元}.$$

如果改成每年结息一次，同样的名义年利率下，3 年后是 $6000(1.08)^3\approx7558.27$ 元。前一个数稍大，因为一季度末新增的金额，后面的季度也参与了计息。

自然底数 e 是怎样露面的

把初值设为 1，名义年利率设为 100%，只观察一年后的倍数。这个利率是为了让式子简洁而设置的数学实验。每年计息 $n$ 次时，倍数是

$$\left(1+\frac1n\right)^n.$$

次数越多，结果确实越大，但多出来的幅度越来越小。它不会无界增大，而是趋近一个确定的数：

$$e\approx2.718281828\ldots$$

等到后面学习极限，我们会用正式符号表达这个“次数不断增加，结果趋近定值”的过程。这里先看清 $e$ 出现的问题背景：一段固定时间里的比例变化，被分成越来越细的小份连续累积。

一般的连续复利模型由此写成 $A(t)=Pe^{rt}$。更广泛地，连续增长与衰减常记为

$$Q(t)=ae^{kt},\qquad a>0.$$

$k>0$ 时增长，$k<0$ 时衰减，$k=0$ 时数量不变。时间单位也要随参数一起说清楚：若 $t$ 用小时，$k$ 就是每小时的连续增长率参数，不能原封不动用于以天为单位的时间。

连续增长率 8%，不等于一年实际增加 8%

在 $Q(t)=ae^{0.08t}$ 中，若 $t$ 用年，经过一年乘上的倍数是 $e^{0.08}\approx1.083287$，所以一年实际增加约 8.3287%。相反，如果题目明确说“每过一年，数量变为原来的 1.08 倍”，模型应写成 $$。

我们目前还没有解释怎样把 $1.08$ 换成以 $e$ 为底的指数，所以先把这个问题记住：两种参数表达同一个年度倍数时，数值并不相等。对数会帮我们完成换算。

还有一个容易混在一起的问题：$ab^t$ 并不天然是“只在整数时刻跳一下”的函数。对正底数，它也可以接受全部实数时间，画出连续曲线。若账户实际只在每年末结息，结息之间余额如何处理，是账户规则提供的额外信息；若某个物理过程连续变化，则可以直接把指数曲线当连续模型。不能仅凭底数写成 $b$ 还是 $e$，判断过程是离散还是连续。

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对数回答：要把底数提升到几次方

假设我们知道某个量每次乘 3，从 1 开始，想得到 9，只要做两次，因为 $3^2=9$。想得到 27，就要三次。那么，想得到 15 呢？

如果允许连续的指数变化，答案在 2 和 3 之间，因为 $9<15<27$。这个答案不是“做不到”，只是以前学过的整数幂不能直接报出它的名字。我们把它记成 $\log_3 15$，意思正是“3 的多少次方等于 15”。

一般定义是

$$y=\log_b x\quad\Longleftrightarrow\quad b^y=x, \qquad b>0,\quad b\ne1,\quad x>0.$$

这里，$b$ 是底数，$x$ 是对数的输入，也叫真数，$y$ 是求出来的指数。每次感到符号陌生，就把它翻译回右边那句指数等式。

比如 $\log_4 64=3$，因为 $4^3=64$；$\log_4\frac1{16}=-2$，因为 ；，因为 。对数的输出当然可以是负数或分数，要求为正的是输入。

底数小于 1 也可以。例如 $\log_{1/2}8=-3$，因为 $\left(\frac12\right)^{-3}=8$。这时候要得到更大的正结果，指数反而需要变小，与衰减指数函数的递减方向一致。

先把底数取成 $2$，让“几次方”变成看得见的步数：从 $1$ 开始，每一步乘 $2$，三步走到 $8$。指数写法 $2^3=8$ 给出结果，对数写法 $\log_2 8=3$ 则把步数找回来。

右侧换成每一步减半，从 $8$ 开始依次得到 $4,2,1$。这也是指数变化，只是固定倍数变成了 $1/2$。图中先用整数步数帮助理解，指数函数和对数函数的输入范围还会超出这些整数。

真数为什么不能是零或负数

正底数的任意实数次幂都为正，所以没有实数 $y$ 能让 $b^y=0$，也没有实数 $y$ 能让 $b^y=-5$。这就是 和 在本课实数范围内没有定义的原因。

但 $\log_2(x+5)$ 并不要求 $x>0$。它要求的是整个真数 $x+5>0$，也就是 。例如 时，计算的是 ，完全没有问题。，以后解对数方程时还要用到这个区分。

指数和对数怎样互相撤销

前面学过，反函数交换输入和输出。$b^x$ 接受“指数”，输出“幂的结果”；$\log_b x$ 接受这个正的结果，把原来的指数找回来。因此

$$\log_b(b^u)=u\quad(u\in\mathbb R),$$ $$b^{\log_b x}=x\quad(x>0).$$

两条看起来很像，输入条件却不相同。第一条里面 $b^u$ 自动为正，所以 $u$ 可以取任意实数；第二条一开始就要计算 $\log_b x$，必须先有 $x>0$。

同理，$\log_b1=0$、$\log_b b=1$ 都可以从 $b^0=1$、 直接读出。不必为每个底数重新背一套结论。

本课约定，不写底数的 $\log x$ 表示 $\log_{10}x$，叫常用对数；$\ln x$ 表示 $\log_e x$，叫自然对数。于是 ，而 。它们的原理完全一样，只是选择了不同底数。

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把指数图像翻过来，得到对数图像

还记得指数图像 $y=2^x$ 上的 $(0,1)$、$(1,2)$、$(2,4)$ 吗？交换坐标后，得到 、、，它们恰好都在 上。图像上交换横纵坐标，就是关于直线 对称。

指数函数的定义域与值域交换了，所以对数函数的定义域是 $(0,+\infty)$，值域是 $\mathbb R$。指数函数的水平渐近线 $y=0$ 也交换了方向，成为对数函数的竖直渐近线 $x=0$。

以 $\log_2 x$ 为例，输入依次取 $\frac12,\frac14,\frac18,\ldots$，输出是 。因此，沿着正输入向零靠近时，对数值会向负方向无界下降。不能把这个现象写成 ：零不在定义域里， 也不是它在零处的函数值。

向右看，输入从 1 变成 2、4、8，输出才逐次增加到 0、1、2、3。$\log_2 x$ 会持续增加，而且没有上界，只是获得相同的输出增量，需要越来越大的输入增量。“越来越平”不等于“有一条水平渐近线”。

一般地，$b>1$ 时 $\log_b x$ 递增；$0<b<1$ 时递减。两者都经过 $(1,0)$ 和 ，都没有 轴截距。换成小于 1 的底数时，靠近 的右侧，输出会向正无穷方向变化；向右远离零时，则向负无穷方向变化。

例题：先确定能站在哪一侧，再画曲线

考虑

$$h(x)=2-\log_2(x+1).$$

先看真数：必须 $x+1>0$，所以定义域为 $(-1,+\infty)$，竖直渐近线为 $x=-1$。这一条线确定之后，曲线只在它右边活动。

再追踪母函数 $y=\log_2 x$ 的点。新图像把横坐标减 1，把纵坐标取负后加 2，因此

$$(u,\log_2u)\longmapsto(u-1,\,2-\log_2u).$$

母函数的 $(1,0)$ 变成 $(0,2)$，$(2,1)$ 变成 $(1,1)$，$(4,2)$ 变成 。于是两个截距分别是 和 。母函数递增，乘上负号后递减，值域仍然是全部实数。

当 $x$ 从右侧靠近 $-1$，真数 $x+1$ 是越来越小的正数，$\log_2(x+1)$ 向负无穷方向变化，前面的负号把它翻成正无穷方向。这比背“图像在渐近线旁边向上还是向下”的口诀更可靠。

如果换成 $\log_2(3-x)$，则要求 $3-x>0$，也就是 $x<3$。它的曲线在竖直渐近线 的左边。括号里的输入决定了定义域在哪一侧，不能只看到“对数函数”就画在右边。

同样的方法可以处理 $A\log_b(c(x-h))+D$：先解 $c(x-h)>0$，再让原输入 ，把母函数上的点移到 。这里要求 非零；如果它们为零，函数可能退化或没有定义，需要另看。我们前面练过的“追踪每个点”，到这里仍然管用。

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对数性质为什么会把乘法变成加法

先用一个小例子找方向：$8=2^3$，$4=2^2$，所以 $8\times4=2^5$。把它们都翻译成以 2 为底的对数，乘积的对数是 5，而两个因子的对数分别是 3 和 2。乘法之所以变成加法，是因为。

为了说明这并非数字碰巧，让 $M=b^m$、$N=b^n$，其中 $M,N>0$。于是 $$、，而

$$MN=b^mb^n=b^{m+n}.$$

因此，乘积所需要的指数就是 $m+n$：

$$\log_b(MN)=\log_bM+\log_bN.$$

相除也一样。$M/N=b^{m-n}$，所以

$$\log_b\left(\frac MN\right)=\log_bM-\log_bN.$$

如果把 $M=b^m$ 再提升到 $p$ 次幂，得到 $M^p=b^{mp}$，于是

$$\log_b(M^p)=p\log_bM.$$

这些规则里统一要求 $b>0$、$b\ne1$，乘除规则要求 $M,N>0$，幂规则要求 $M>0$，而 可以是实数。条件写在这里，是为了保证左右两边表达的是同一件有定义的事。

展开和合并，是同一条路的两个方向

例如，在 $x>0,y>0$ 的条件下，展开

$$\ln\left(\frac{5x^3}{\sqrt y}\right).$$

先看最外层是除法，所以分成分子的对数减去分母的对数；分子里是乘法，继续拆成相加；最后处理指数与平方根：

$$\begin{aligned} \ln\left(\frac{5x^3}{\sqrt y}\right) &=\ln(5x^3)-\ln(y^{1/2})\\ &=\ln5+\ln(x^3)-\ln(y^{1/2})\\ &=\ln5+3\ln x-\frac12\ln y. \end{aligned}$$

若反过来要求合并 $2\ln u+\ln v-\ln7$，先把系数 2 放回指数，得到 $\ln(u^2)+\ln v-\ln7$，再合成 。合并后依然要保留原来的 ，不能因为新式子在某些负 上也能计算，就悄悄扩大原表达式的定义域。

这里还有个很常见的细节：$\ln(x^2)$ 的定义域是 $x\ne0$，因此完整的展开应该是

$$\ln(x^2)=2\ln|x|\qquad(x\ne0).$$

理由是 $x^2=|x|^2$，而 $|x|>0$。只有额外知道 $x>0$ 时，才能直接写 $$。试一试 ： 有意义， 却没有意义。这个检查会立刻把错误暴露出来。

真数里的加号，不能这样拆

对数没有 $\log_b(M+N)=\log_bM+\log_bN$ 这样的性质。最短的反例是 、：左边 ，右边是 。

如果式子是 $\ln(x+4)$，括号里的加法要保留。只有当整个真数能够因式分解成适用的乘积时，才能考虑乘法规则。例如 $\ln(3x+12)=\ln(3(x+4))$，在 $x>-4$ 时可以拆成 ，而不能拆成 。

换底公式，是把同一个指数交给熟悉的对数计算

现在回到 $\log_3 15$。如果计算器只有 $\ln$ 键，我们也可以算它。设 $y=\log_3 15$，则 $3^y$。两边取自然对数，得到

$$y\ln3=\ln15,$$

所以

$$\log_3 15=\frac{\ln15}{\ln3}\approx2.4650.$$

一般的换底公式就是

$$\log_b x=\frac{\ln x}{\ln b} =\frac{\log_c x}{\log_c b}, \qquad x>0,\quad b,c>0,\quad b,c\ne1.$$

分母之所以不能为零，也是为什么底数不能取 1。底数小于 1 时，$\ln b<0$，换底公式依然成立。

现在可以兑现前面留下的两件事了。图像 $g(x)=4-2\cdot3^{x-1}$ 的零点满足 $3^{x-1}=2$，因此 ，确实位于 1 和 2 之间。年度因子 也可以写成 ，所以

$$ab^t=ae^{t\ln b}.$$

这两个式子是同一个函数，不只是整数点相同。若 $k=\ln b$，便得到连续增长率参数与单位时间实际增长率之间的准确关系：

$$k=\ln(1+r),\qquad r=e^k-1.$$

例如实际年增长率 8% 对应 $k=\ln1.08\approx0.076961$；连续增长率参数 $k=0.08$ 则对应实际年增长率约 8.3287%。换底不是多学一个孤立公式，它把我们之前用过的两种模型真正接上了。

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方程里的未知数，放在指数还是放在真数里

指数与对数互为反运算，所以未知数在哪里，往往就决定先往哪个方向翻译。但翻译之前，先看看有没有更直接的判断。例如 $5^x=-3$ 没有实数解，因为左边始终为正，不必去按 $\ln(-3)$。

能统一底数时，先统一底数

解 $4^{x+1}=8^{x-1}$，不一定一上来就取对数。把 4 和 8 都改成 2 的幂：

$$2^{2x+2}=2^{3x-3}.$$

$2^x$ 严格递增，不同指数不可能得到同一个输出，所以 $2x+2=3x-3$，解得 $x=5$。代回去，一边是 $4^6=2^{12}$，另一边是 ，相等。

若不能方便地统一底数，例如 $5^{2x-1}=18$，先确认两边为正，再取自然对数：

$$(2x-1)\ln5=\ln18, \qquad x=\frac12\left(1+\frac{\ln18}{\ln5}\right)\approx1.3979.$$

取对数的作用是把未知数所在的指数变成乘法因子。它并不会让所有方程都自动变简单，例如 $2^x=x+3$ 取对数后仍有 $x$ 在两边；这类方程可以通过图像或数值方法寻找交点，不能硬套“指数拉下来就解完了”的说法。

例题：什么时候第一次达到目标

一个模拟账户初值 8000 元，每年末按当年已有金额增加 5%，期间没有其他变化。第几个年末，金额第一次达到或超过 12000 元？

这里不能直接答“8.31 年后账户达到目标”，因为题目只给了每年末结息的规则。小数解帮助定位，但最后要回到情境允许的输入。

例题：对数合并以后，别让定义域丢了

解方程

$$\log_2(x-2)+\log_2(x+1)=2.$$

为什么合并后的代数式会允许 $-2$ 混进来？因为两个负数的乘积也可以为正。合并后的一个对数只看见乘积，原来的两个对数却分别要求每个因子为正。定义域正是保留这层信息的地方。

但也不要把验根简化成“负的解都删掉”。比如 $\ln(x^2)=\ln9$，真数要求是 $x^2>0$；得到的 $x=3$ 与 都能使真数等于 9，所以两者都有效。

指数换元以后，也有自己的条件

上一章的因式分解还能继续用。考虑

$$e^{2x}-2e^x-3=0.$$

注意 $e^{2x}=(e^x)^2$，令 $u=e^x$，原方程变成 ，即 。代数上得到 或 ，但换元时有 ，所以只能保留 。最后 。

从多项式方程到指数方程，我们没有抛掉原来的工具，只是在使用它们时，多留意了一层“这个新变量究竟能取什么值”。

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倍增时间和半衰期，都是固定倍数所需的时间

说某个量“每小时增加 10%”，描述的是固定时间内乘多少；说它“每 4 小时翻倍”，则直接告诉我们乘 2 需要多长时间。这两种说法可以互相转换。

若初值为 $Q_0>0$，倍增时间为 $d>0$，那么经过 $t$ 个时间单位，相当于经过 $t/d$ 个倍增时段，模型是

$$Q(t)=Q_0\,2^{t/d}.$$

例如一个模拟培养过程从 150 个数量单位开始，在所考察时段内每 4 小时翻倍，模型为 $150\cdot2^{t/4}$。经过 10 小时，已经经历 2.5 个倍增时段，所以

$$Q(10)=150\cdot2^{2.5}=600\sqrt2\approx848.53.$$

如果数量代表实际个体，模型给出的是近似量或平均水平，报告时可根据情境取整，不能说有“半个个体”。

半衰期 $h>0$ 则是数量减到当时一半所需的时间，对应

$$Q(t)=Q_0\left(\frac12\right)^{t/h}.$$

从 120 降到 60，再从 60 降到 30，所用时间相同；两次减少的绝对数量却分别为 60 和 30。因而两个半衰期后还剩四分之一，并没有全部消失。

为什么从多少开始，并不影响倍增所需时间

对 $Q(t)=Q_0e^{kt}$，从任意时刻 $t_0$ 开始，再过 $d$ 的数量比值为

$$\frac{Q(t_0+d)}{Q(t_0)}=e^{kd}.$$

要翻倍，就要求 $e^{kd}=2$，因此当 $k>0$ 时，

$$d=\frac{\ln2}{k}.$$

初值和起算时刻都在相除时消掉了，所以倍增时间不会随着当前数量变大而改变。对于 $k<0$ 的衰减模型，让 $e^{kh}=\frac12$，便得到

$$h=\frac{\ln(1/2)}{k}=-\frac{\ln2}{k}.$$

分子分母都是负数，所以半衰期为正。若已知的是单位时间因子 $b$，只需使用 $k=\ln b$：增长时 $d=\frac{\ln2}{\ln b}$，衰减时 。

例题：减少了 80%，究竟还剩多少

某模拟衰减过程初值为 120 克，半衰期为 6 小时。按照该模型，减少 80% 需要多久？

先别急着代 0.8。减少 80%，剩余的比例是 20%，目标量是 $120\times0.2=24$ 克。于是

$$120\left(\frac12\right)^{t/6}=24, \qquad \left(\frac12\right)^{t/6}=0.2.$$

两边取自然对数，解得

$$\frac t6\ln\frac12=\ln0.2, \qquad t=6\frac{\ln0.2}{\ln(1/2)}\approx13.93\text{ 小时}.$$

用半衰期做一个粗检查：12 小时后剩 25%，18 小时后剩 12.5%，剩 20% 的时刻确实应该夹在两者之间。如果误把 0.8 当剩余比例，算出来的是“只减少 20%”的时间，回答了另一个问题。

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对数刻度：相同的距离，代表相同的倍数

如果一组数据同时出现 1、10、100、1000，放在普通数轴上，小的几个数会挤在一起。对数刻度换了一种摆放方法：用 $\log_{10}x$ 决定位置。于是这四个数的位置依次是 0、1、2、3，相邻间距相同。

这不是把原来的数量改掉了，而是改变了表示距离的方式。对数轴上从 10 到 100，与从 100 到 1000 一样远，分别增加了 90 和 900，但都乘了 10。读图时如果仍把等距离理解成等差值，就会误读数量关系。

更一般地，两点在以 $b>1$ 为底的对数轴上的坐标差为

$$\log_bM-\log_bN=\log_b\left(\frac MN\right).$$

所以对数坐标差表达的是比值。以 10 为底时，坐标相差 2，实际数量相差 $10^2=100$ 倍；相差 $0.5$，实际数量相差 $10^{0.5}=\sqrt{10}\approx3.162$ 倍，而不是 5 倍。

这里也能解释几何平均数。10 与 100 的对数坐标中点为 $(1+2)/2=1.5$，对应数量 $10^{1.5}=\sqrt{10\times100}\approx31.62$。它不是普通数轴上的中点 55，因为两种刻度对“中间”的衡量方式不同。

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从两次观测走向一个可以检查的模型

现在把方向倒过来：不再给你初值和增长率，而是给两个测量结果，能不能找出一个指数模型？可以，但先要明确这是在假设该过程符合指数规律的前提下确定参数，两个点本身不能证明这种规律。

例题：第一次观测不在起点，也能反推

某模拟过程在第 2 小时的数量为 180，第 5 小时为 607.5。假设数量按恒定比例增长，建立以起算时刻为 $t=0$ 的模型，并预测第 4 小时的数量。

设 $Q(t)=ab^t$。把两个数据代入：

$$ab^2=180,\qquad ab^5=607.5.$$

第二式除以第一式，把未知初值 $a$ 消掉：

$$b^3=\frac{607.5}{180}=3.375.$$

这里指数是 3，因为两次观测相隔 3 小时。正的立方根给出 $b=1.5$，所以单位小时增长率是 50%。再回到第一个观测点，

$$a=\frac{180}{1.5^2}=80.$$

模型为 $Q(t)=80(1.5)^t$，因此 $Q(4)=80(1.5)^4=405$。代入 和 还能分别还原 180 与 607.5，参数计算通过了检查。

如果没有必要特意求 $t=0$ 的值，也可以以第一条观测为锚点写成 $Q(t)=180(1.5)^{t-2}$。代入 $t=2$，指数归零，直接得到 180。这种写法把时间起点的含义留在公式里，通常更容易读。

一般地，对于 $t_1\ne t_2$、$Q_1,Q_2>0$ 的两个点，先得到

$$b=\left(\frac{Q_2}{Q_1}\right)^{1/(t_2-t_1)}, \qquad Q(t)=Q_1b^{t-t_1}.$$

以自然底数写，则是

$$k=\frac{\ln(Q_2/Q_1)}{t_2-t_1}, \qquad Q(t)=Q_1e^{k(t-t_1)}.$$

如果两个观测数量相同，这套计算给出 $b=1$、$k=0$，得到的是常量模型，属于没有增长的退化情形。如果时间相同却数量不同，就无法用一个以时间为输入的函数同时穿过它们。

多个数据点，怎样看出指数规律

真实观测通常不会刚好落在一条曲线上。对于正量模型 $Q=ab^t$，取自然对数会得到

$$\ln Q=\ln a+t\ln b.$$

如果把 $z=\ln Q$ 当作新的纵坐标，这就是一条截距为 $\ln a$、斜率为 $\ln b$ 的直线。于是判断指数模型多了一种办法：观察 $(t,\ln Q)$ 是否大致排成直线。

注意被取对数的是输出 $Q$。若改成观察 $(\ln t,Q)$，对应的线性关系是 $Q=\alpha+\beta\ln t$，那是对数模型，研究的是另一个函数族。若横纵坐标都取对数，则常用于识别幂模型 $Q=at^p$，也不能混在一起。

当多个点近似成直线时，可以拟合 $z=c+mt$，再还原成 $Q=e^ce^{mt}$。不过，在对数坐标中让误差尽量小，和在原数量坐标中让误差尽量小，并不是相同的要求。因为一个固定的对数误差，对应一个固定的预测倍数误差；同样的相差 10，在数量 20 附近和数量 2000 附近，比例意义明显不同。

拟合完成后，还要回到原数据上检查。把“观测值减预测值”叫残差。如果较早的点总在曲线上方、中间总在下方、后面又回到上方，说明偏差有结构，可能漏掉了某种规律。残差没有明显模式，也只能说明这个模型暂时没有暴露出那类系统偏差，不能证明未来一定照着它走。

下面的交互把数据点、拟合曲线和对数变换联系起来。比较模型时，把注意力放在数据在哪些区间偏离曲线，以及这种偏离是否有规律。

预测到哪里，还要由情境决定

在已有观测区间内估计一个值，叫插值；越过观测区间预测，叫外推。刚才用第 2、5 小时估计第 4 小时，是插值；用同一模型推到第 100 小时，就是远距离外推。

模型 $80(1.5)^t$ 在数学上可以一直算下去，但模拟培养过程如果受到空间或原料限制，恒定比例增长就可能停止。数据里没有出现限制，不等于限制不存在。选模型时，至少要把时间单位、观察范围、正量假设、比例是否稳定和可能的限制条件一起留下。

更何况两个点也能确定一条直线。指数模型穿过给定的两个点，只说明参数求对了；要说它比线性模型更适合，还需要更多数据或变化机制的支持。

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增长会受限制，衰减也不一定降到零

到这里，基本模型已经够用了。但如果把每一条先快后慢的曲线都套成 $ab^t$，还是会出错。前面学过的函数变换和有理式，可以帮助我们识别两个常见边界。

冷却时按比例减少的，可能是温差

设室温保持 $20^\circ\mathrm C$，一件物体最初为 $80^\circ\mathrm C$。如果物体逐渐接近室温，适合减半的量可能是“物体比室温高多少”，而非摄氏温度本身。

初始温差是 $80-20=60$。假设在这个理想化模型中，温差每 10 分钟减半，那么

$$T(t)=20+60\left(\frac12\right)^{t/10}, \qquad t\ge0.$$

10 分钟后温差是 30，物体温度是 $50^\circ\mathrm C$；20 分钟后温差是 15，温度是 $35^\circ\mathrm C$。不能把 $80^\circ\mathrm C$ 本身减半得到 $40^\circ\mathrm C$，因为模型的比例规律作用在相对室温的差上。

该函数的水平渐近线是 $T=20$。这就是平移后的指数衰减：温差靠近零，温度靠近环境温度。一般形式为

$$T(t)=T_{\mathrm s}+(T_0-T_{\mathrm s})e^{kt},\qquad k<0,$$

其中 $T_{\mathrm s}$ 是固定环境温度。这个模型通常称为牛顿冷却模型；若物体比环境冷，$T_0-T_{\mathrm s}<0$，同一公式描述的就是升温趋近环境温度。它需要环境与传热条件近似稳定，并不保证每一次实际冷却都完全吻合。

数量有容量上限时，指数只是前半段

假设某个正数量开始增长，后来因为容量限制逐渐放缓。一个可供检查的模型是

$$N(t)=\frac{K}{1+ce^{-kt}},\qquad K,c,k>0.$$

它叫逻辑斯蒂增长模型。先不求导，只读式子：$t$ 增大时，$e^{-kt}$ 变小，分母逐渐接近 1，所以 $N(t)$ 接近 $K$。而分母始终大于 1，所以数量始终小于 $K$。$K$ 表示模型的容量上限，初值则是 ，不是 。

例如

$$N(t)=\frac{900}{1+8\cdot2^{-t}}$$

给出 $N(0)=100$、$N(1)=180$、$N(3)=450$，并随时间接近 900。它没有固定的每步增长因子，因此不能当作单一的 $ab^t$。当分母里的 远大于 1 时，暂时忽略那一项 1 会得到 ，这解释了为什么某些容量受限的过程在早期看起来近似指数增长。

“越来越慢”也不一定就表示存在容量上限。比如 $\ln t$ 在 $t>0$ 上增长越来越慢，却仍没有上界。选模型时要问的是数据是否支持一个具体的上限、长期趋势与情境是否相容，不能只凭局部曲线弯曲的样子决定。

我们在这里认识这些形式，是为了知道简单指数模型什么时候需要调整。如何从足够多的数据中估计全部参数、怎样进一步解释瞬时增长速度，会在后续的建模与微积分学习中展开。

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自检练习

练习一：一个模拟量从 240 开始，每 3 小时减少 27.1%。写出以小时为单位的指数模型，求每小时的衰减百分比和 6 小时后的数量。

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每 3 小时保留的因子是 $1-0.271=0.729$，所以可以写 $Q(t)=240(0.729)^{t/3}$。每小时的因子满足 $b^3=0.729$，取正根得到 ，所以每小时减少 10%，等价模型为 。6 小时后有 。不能把 27.1% 直接除以 3 作为每小时衰减率，因为每一步使用的基数在变化。

练习二：描述 $f(x)=3-4\cdot2^{-(x+1)}$ 的定义域、值域、水平渐近线和单调性，并求它的两个坐标轴截距。

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指数部分对所有实数有定义，所以定义域是 $\mathbb R$。由于 $4\cdot2^{-(x+1)}>0$，输出始终小于 3，值域是 $(-\infty,3)$，水平渐近线是 $y=3$。随 增大， 减小，减去的量变小，因此 递增。代入 得 ，所以 轴截距是 。令 ，得到 ，所以 ； 轴截距为 。

练习三：模型 $Q(t)=Q_0e^{kt}$ 的时间单位是年。若一年实际增长 12%，求 $k$；若 $k=0.12$，求一年实际增长率。两种情况下的倍增时间是否相同？

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一年实际增长 12%，说明 $e^k=1.12$，因此 $k=\ln1.12\approx0.113329$。若 $k=0.12$，一年实际增长率为 $e^{0.12}-1\approx$，约 12.7497%。前者的倍增时间是 年，后者是 年，所以并不相同。比较时使用同一种增长率参数，才能把差异看清楚。

练习四：求 $g(x)=\log_3(7-2x)$ 的定义域、竖直渐近线和零点。再说明 $\ln((x-1)^2)$ 为什么不能在整个定义域上写成 。

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$g$ 要求 $7-2x>0$，所以定义域是 $(-\infty,7/2)$，竖直渐近线是 $x=7/2$，图像在它左边。零点要求真数等于 1，即 $$，得到 。第二个表达式只要求 ，而 需要 ，它遗漏了 的部分。保持完整定义域的写法是 ，其中 。

练习五：解 $\ln(x-1)+\ln(x+2)=\ln10$，并说明每个候选值为什么保留或舍去。再求 $e^{2x}-5e^x+4=0$ 的全部实数解。

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第一个方程要求 $x>1$。合并对数、利用同底对数的一一对应关系，得到 $(x-1)(x+2)=10$，即 $x^2+x-12=0$，所以候选值为 。 使原来的两个真数为负，舍去； 代回得到 ，有效。第二个方程令 ，得到 。两个候选 都为正，所以 或 ；代回原式分别得到 与 。

练习六：某模拟衰减过程在第 1 小时为 320，第 4 小时为 135。假设符合指数规律，建立模型，求半衰期，并说明这两个观测点能否保证第 100 小时的预测准确。

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两次观测相隔 3 小时，所以 $b^3=135/320=0.421875=(3/4)^3$，得到 $b=3/4$。以第 1 小时为锚点，模型为 $$；如果写成 ，则 。半衰期满足 ，所以 小时。两个点只能在指数假设下确定参数，不能证明整个过程遵循这个假设，更不能保证远期外推准确；还需要更多观测和衰减机制保持稳定的依据。

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从沿一个方向变化，走向周而复始

这一章把几段旧知识接到了一起：同底数幂的运算解释了固定比例变化，图像变换帮助我们追踪指数与对数的形状，反函数让“给定时间算数量”和“给定数量求时间”变成一对互相翻译的问题。以后研究变化率时，自然指数与自然对数还会继续出现；现在先能说清每个参数与每个定义域条件的意思，就已经为后面准备好了可用的工具。

不过，生活里的变化还有另一种样子：一个转动的点，先升高，再降低，随后又回到原来的高度。它不会一直按同一个方向增长或衰减，用本章的单调指数函数无法描述整段循环。

下一章我们把目光移到圆上。从一个绕圆心转动的点开始，把角读成旋转，把点的横纵坐标读成随旋转变化的函数。指数这一章问“再过同样长的时间，会乘多少”，接下来要问的是“再转多少，才能回到同一个位置”。