三角恒等式与三角方程

上一章里，我们已经能把一条周期曲线读成振幅、周期和相位，也知道反三角函数为什么只返回一个主值。接下来，一个很实际的问题会冒出来：同样是在描述转动，有人写 $\sin(x+\frac{\pi}{2})$，有人写 $\cos x$；有人写 $2\sin x\cos x$，有人写 $\sin2x$。这些式子长得不同，怎么判断它们是不是同一回事？

再往前走一步，假如一个周期模型告诉我们高度是 $h(t)=3+2\sin t$，现在想找“什么时候高度等于 $4$”，就要解 $\sin t=\frac12$。你已经知道计算器给出的 只是一个角；点还会转到另一个同样高的位置，也会一圈又一圈重复经过它们。怎样把这些时刻全找出来，就成了方程的问题。

这一章沿着这两个问题展开。我们先从单位圆找出同一件事的不同写法，再用这些写法整理方程。公式之间有来路：勾股恒等式来自半径，和差公式来自旋转，倍角、半角和积化和差又从它们推出来。记住这条路线，即使某条公式一时忘了，也有办法把它找回来。

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先把单位圆里的关系认出来

勾股定理仍然在管这件事

想象单位圆上的点停在角 $x$ 对应的位置。它的横坐标是 $\cos x$，纵坐标是 $\sin x$，离原点始终是 $1$。横向距离和纵向距离的平方相加，正好是半径的平方：

$$\sin^2x+\cos^2x=1.$$

这里的 $\sin^2x$ 是 $(\sin x)^2$，不要读成 $\sin(x^2)$。前者先算正弦，再把结果平方；后者先把角平方，是另一个运算。

这个等式对任意实数角都成立。点转到左边，横坐标可能为负；转到下边，纵坐标可能为负，但平方以后，勾股关系依然成立。它常见的两个改写是 $\sin^2x=1-\cos^2x$ 和 $\cos^2x=1-\sin^2x$。以后需要把一个式子统一成只含正弦或只含余弦时，它们就能派上用场。

如果已知 $\sin x=\frac5{13}$，能立刻写 $\cos x=\frac{12}{13}$ 吗？还差一步：勾股关系只能给出 ，于是 。如果 ，点在左上方，才知道应选负号。这句话到了半角公式那里还会再用一次。

在第一象限，把圆上的点 $P$ 垂直投影到横轴上的 $Q$，就得到直角三角形 $OQP$。它的横边是 $\cos\theta$，竖边是 $\sin\theta$，斜边是单位半径。

图中先用锐角让边长与坐标容易对上。转到其他象限以后，坐标可能变负，但平方消去了符号，$\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ 仍然来自同一个圆的距离关系。

商与倒数：换名字以前先看分母

正切、余切、正割、余割都能还原成正弦和余弦。把定义和条件放在一起看，会比单背一串名字清楚：

表中的 $k$ 都是整数。看见 $\sec$ 或 $\csc$ 不必紧张，它们只是把倒数写得短一些。看见 $\tan$ 和 $\cot$，则可以把它们还原成坐标的比。

倒数关系也可以反过来写，例如 $\cos x=\frac1{\sec x}$，但仍要在两边都有意义的地方使用。尤其是常见的 $\cot x=\frac1{\tan x}$，要求 和 都不为零。以 为例， 有意义，右边的 却根本没有定义。写法看似对称，定义域不一定一样大。

现在回到勾股恒等式。如果 $\cos x\ne0$，把每一项都除以 $\cos^2x$：

$$\frac{\sin^2x}{\cos^2x}+\frac{\cos^2x}{\cos^2x} =\frac1{\cos^2x},$$

于是得到

$$\tan^2x+1=\sec^2x.$$

如果改为除以 $\sin^2x$，则在 $\sin x\ne0$ 时得到

$$1+\cot^2x=\csc^2x.$$

这三条勾股恒等式其实只有一个源头。后两条多出的定义域条件，也恰好来自“除以什么”这一步。

反方向转动，会怎样改变坐标

角 $x$ 和 $-x$ 在单位圆上的点关于横轴对称，所以横坐标相同、纵坐标相反：

$$\cos(-x)=\cos x,\qquad \sin(-x)=-\sin x.$$

把它们代入商和倒数定义，就知道余弦、正割是偶函数，正弦、正切、余切、余割是奇函数。例如

$$\tan(-x)=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x$$

在正切的定义域内成立。这些奇偶关系的用途很具体：如果后面出现 $\cos(2x-5x)$，你可以先写成 $\cos(-3x)$，再写成 $\cos3x$；如果出现 $\sin(-3x)$，那个负号就必须保留。

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化简与验证：每一步都要知道为什么改写

先看一个容易完成、也容易留下隐患的化简：

$$\frac{1-\cos^2x}{\sin x}.$$

分母先告诉我们 $\sin x\ne0$。分子用勾股恒等式改成 $\sin^2x$，于是

$$\frac{1-\cos^2x}{\sin x} =\frac{\sin^2x}{\sin x} =\sin x,\qquad x\ne k\pi.$$

式子缩短了，原来被排除的角并没有跟着恢复。$\sin x$ 单独作为函数时可以在 $x=0$ 取值；原来的分式在这里却是 $\frac00$，没有定义。如果讨论的是原函数，就必须把 $x\ne k\pi$ 一起带下去。

化简也未必总是让式子更短。$1-\cos x$ 已经很短，但如果要判断它的正负，改成后面会推出的 $2\sin^2\frac x2$ 更直观；如果要把一个方程分成几种情况，乘积形式可能比展开形式更有用。我们要找的是“适合下一步的形式”。

例题：两个分式为什么能合成一个正割

验证下面的恒等式，并说明可以使用它的角：

$$\frac{\cos x}{1-\sin x}+\frac{\cos x}{1+\sin x}=2\sec x.$$

这个证明里的每一个等号都能单独说明理由。我们没有先假设待证结论是真的，再算出一句“$1=1$”。从已知恒等关系出发，把一边合法地改成另一边，论证就不会绕圈。

当然，也可以分别把左右两边化成同一个表达式。重点并非“只能碰左边”，而是不能把尚未证明的结论当作依据，更不能通过除以可能为零的量，把一部分应当验证的输入偷偷删掉。

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和差公式：把两个点一起转一下

为什么 $\sin(\alpha+\beta)$ 不能直接拆成 $\sin\alpha+\sin\beta$？因为相加的是转过的角度，正弦记录的却是最后落点的纵坐标。转角加倍，纵坐标不可能一路加倍，否则绕到上半圆以后早就超过 $1$ 了。

我们从一个不需要新工具的事实开始：把一张图整体旋转，图上两点之间的距离不变。在单位圆上取

$$P=(\cos\alpha,\sin\alpha),\qquad Q=(\cos\beta,\sin\beta).$$

它们的距离平方，根据坐标可以写成

$$\begin{aligned} PQ^2 &=(\cos\alpha-\cos\beta)^2+(\sin\alpha-\sin\beta)^2\\ &=2-2(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta). \end{aligned}$$

第二行怎么来的？展开平方以后，$\cos^2\alpha+\sin^2\alpha$ 合成一个 $1$，$\cos^2\beta+\sin^2\beta$ 再合成一个 ，剩下两项乘积。

现在把两个点一起转过 $-\beta$。原来的 $Q$ 来到 $(1,0)$；原来的 $P$ 来到角 $\alpha-\beta$ 对应的位置。距离没变，所以同一段距离平方也等于

$$\begin{aligned} PQ^2 &=[\cos(\alpha-\beta)-1]^2+\sin^2(\alpha-\beta)\\ &=2-2\cos(\alpha-\beta). \end{aligned}$$

把两种结果相等，减去 $2$，再除以 $-2$，就得到

$$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta.$$

这条公式记录的，正是旋转前后同一段弦长不变。角可以是负角，也可以已经转过很多圈；整体旋转和距离不变仍然成立，所以论证不只适用于锐角。

其他和差公式沿着它推出来

将上式里的 $\beta$ 换成 $-\beta$，再用奇偶关系：

$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta.$$

差角那里是加，和角这里是减，原因就在 $\sin(-\beta)=-\sin\beta$。如果记混，可以把两个角都取 $\frac\pi4$ 检查：$\cos\frac\pi2=0$，右边应当是 。

正弦公式也能由坐标关系接过来。单位圆关于直线 $y=x$ 的对称会交换横纵坐标，因此

$$\sin x=\cos\left(\frac\pi2-x\right),\qquad \cos x=\sin\left(\frac\pi2-x\right).$$

对锐角来说，这就是以前直角三角形里“两个锐角互余，对边和邻边交换”的关系；单位圆把它扩展到了任意角。于是

$$\begin{aligned} \sin(\alpha+\beta) &=\cos\left[\left(\frac\pi2-\alpha\right)-\beta\right]\\ &=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta. \end{aligned}$$

再把 $\beta$ 换成 $-\beta$，便得到

$$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta.$$

留意正弦公式的结构：每一项都是一个正弦乘一个余弦；余弦公式则是“余弦乘余弦”与“正弦乘正弦”。符号和结构都有来源，背诵只是最后的熟练，不必从背诵开始。

互余关系也可以继续传给商与倒数。在两边有定义的范围内，

$$\tan\left(\frac\pi2-x\right)=\cot x,\qquad \cot\left(\frac\pi2-x\right)=\tan x,$$ $$\sec\left(\frac\pi2-x\right)=\csc x,\qquad \csc\left(\frac\pi2-x\right)=\sec x.$$

例如第一条的左边是 $\frac{\cos x}{\sin x}$，恰好就是余切；它也和右边一样要求 $\sin x\ne0$。这样读公式，就不必再为这四条关系单独编一套记忆规则。它们仍然是在说“横纵坐标交换以后，原来的比值和倒数变成什么”。

正切公式为什么要附带更多条件

用正弦和角公式除以余弦和角公式，先得到

$$\tan(\alpha+\beta) =\frac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta} {\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}.$$

这一步要求 $\cos(\alpha+\beta)\ne0$。如果再要求 $\cos\alpha\cos\beta\ne0$，就能把分子、分母同除以 $$，得到常见写法：

$$\tan(\alpha+\beta) =\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}.$$

差角同理：

$$\tan(\alpha-\beta) =\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}.$$

所以使用这两条分式公式时，$\tan\alpha$、$\tan\beta$ 都必须有定义，右边的整个分母也不能为零。比如 $\alpha=\beta=\frac\pi2$ 时， 本身有意义，但不能拿两个不存在的 去套公式。遇到这种情况，可以回到正弦、余弦写法，或直接先算出总角。

例题：特殊角之外，也能算精确值

求 $\sin\frac{5\pi}{12}$，并用结果求 $\cos\frac{5\pi}{12}$。

我们把 $\frac{5\pi}{12}$ 拆成 $\frac\pi4+\frac\pi6$。这一步选择的是已经会算的两个角，而不是随便拆成两个数。代入正弦和角公式：

$$\begin{aligned} \sin\frac{5\pi}{12} &=\sin\frac\pi4\cos\frac\pi6+\cos\frac\pi4\sin\frac\pi6\\ &=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2} +\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12\\ &=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}. \end{aligned}$$

余弦可以直接用和角公式，得到

$$\cos\frac{5\pi}{12} =\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}.$$

也可以从刚得到的正弦出发：它的平方为 $\frac{2+\sqrt3}{4}$，所以余弦平方是 $\frac{2-\sqrt3}{4}$。因为 在第一象限，余弦取正平方根。两条路会得到同一个数。这个角已经接近 ，正弦应当接近 、余弦应当较小，结果也符合这个位置判断。

如果题目给的是 $\cos\alpha$ 和 $\sin\beta$，却没有告诉你角的精确值，也不必先按计算器求角。先结合区间，用勾股关系补出 $\sin\alpha$ 和 $\cos\beta$，再代入和差公式，通常能直接保留精确结果。这里区间条件负责决定符号，不能省略。

反三角符号放在里面时，先把角叫出来

再看一个容易被符号吓住的表达式：

$$\cos\left(\arcsin\frac5{13}+\arccos\frac45\right).$$

先令 $\alpha=\arcsin\frac5{13}$、$\beta=\arccos\frac45$。根据上一章的主值范围， 是第一象限角， 也是第一象限角。于是 、；用勾股关系和正号补出 、。

现在外面的余弦就可以按和角公式处理：

$$\cos(\alpha+\beta) =\frac{12}{13}\cdot\frac45-\frac5{13}\cdot\frac35 =\frac{33}{65}.$$

这个过程没有直接“消掉”不同种类的三角与反三角符号，也没有把两个角先近似到几个小数位。主值范围提供了符号条件，恒等式负责精确计算。它把上一章的反函数限制，与本章的和差运算真正接在了一起。

用两个方向的倾斜程度，求它们之间的角

设一个观测点与竖直墙面的水平距离为 $12$ 米，墙上两个标记分别高出观测点的水平线 $9$ 米和 $5$ 米。这里把两条视线放在同一竖直平面内，问它们之间的夹角是多少。设较高视线的仰角为 $\alpha$，较低视线的仰角为 $\beta$，那么 $0<\beta<\alpha<\frac\pi2$。

直角三角形给出 $\tan\alpha=\frac9{12}=\frac34$ 和 $\tan \beta =$。要求的夹角是 ，所以

$$\tan\delta =\frac{\frac34-\frac5{12}}{1+\frac34\cdot\frac5{12}} =\frac{\frac13}{\frac{21}{16}} =\frac{16}{63}.$$

由于 $0<\delta<\frac\pi2$，可以直接取 $\delta=\arctan\frac{16}{63}$，约为 弧度，也就是 。如果用计算器先求两个仰角再相减，也应得到同样的结果；保留精确比值到最后，可以减少中途舍入的影响。

这道题里“两个斜率相减”并不是夹角的正切。两条视线各自都是相对于同一水平线量角，夹角要减的是角。差角公式恰好把角度之差，翻译成已知的两个斜率之间的关系。

交互：检查同一条旋转关系

在下面的演示中改变两个角，比较差角的余弦与坐标乘积之和。可以特意把某个角转过横轴或转到负角，观察等式是否仍然吻合。演示帮助我们看见变化，前面的距离推导解释了为什么对所有角都成立。

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倍角、降幂和半角是同一条关系的不同方向

把两个角取成相同的角

和角公式中令 $\alpha=\beta=x$，就得到

$$\sin2x=2\sin x\cos x,$$

以及

$$\cos2x=\cos^2x-\sin^2x.$$

后一个公式再用勾股恒等式消去一个平方项，就有三种等价形式：

$$\cos2x=\cos^2x-\sin^2x=1-2\sin^2x=2\cos^2x-1.$$

为什么保留三种？因为每一种都会让某一类问题少绕一步。右边已经有 $\sin x$，就选 $1-2\sin^2x$；右边已经有 $\cos x$，就选 $2\cos^2x-1$；如果本来就是两个平方相减，第一种最直接。

正切也有倍角公式：

$$\tan2x=\frac{2\tan x}{1-\tan^2x},$$

这里要求 $\cos x\ne0$ 且 $1-\tan^2x\ne0$。特别是 $$ 时，分母为零，对应的 也没有定义。公式中的限制能在单位圆上找到位置。

降幂：把平方换成两倍的角

如果目标不是展开 $\cos2x$，而是处理 $\sin^2x$，就把等式反过来整理：

$$\sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2},\qquad \cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2}.$$

指数从 $2$ 降到了 $1$，角度则从 $x$ 变成 $2x$，所以叫降幂。进一步相除，在 $\cos x\ne0$ 时还有

$$\tan^2x=\frac{1-\cos2x}{1+\cos2x}.$$

上一章讨论的图像也能在这里接上：$\sin^2x=\frac12-\frac12\cos2x$ 的中线是 ，振幅是 ，周期是 。把正弦负的部分平方以后，它们被翻到上面；原来半圈之后正负相反的两段，现在会产生相同的平方值。

假如需要把更高的偶次幂改成没有高次幂的形式，可以继续使用同一个动作。例如

$$\begin{aligned} \sin^4x &=\left(\frac{1-\cos2x}{2}\right)^2\\ &=\frac14-\frac12\cos2x+\frac14\cos^22x\\ &=\frac14-\frac12\cos2x+\frac18(1+\cos4x)\\ &=\frac38-\frac12\cos2x+\frac18\cos4x. \end{aligned}$$

第三行降的是 $\cos^2(2x)$ 的幂，因此新角必须是 $4x$。这里不需要再记一条“四次幂公式”，只需要看清每次把谁当作完整的角。

半角：开平方以前，先确定半个角在哪里

把降幂公式中的 $x$ 换成 $\frac\theta2$，得到

$$\sin^2\frac\theta2=\frac{1-\cos\theta}{2},\qquad \cos^2\frac\theta2=\frac{1+\cos\theta}{2}.$$

到这一步还没有符号选择。要去掉平方，才需要写

$$\sin\frac\theta2=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{2}},\qquad \cos\frac\theta2=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}}.$$

两个正负号分别由半角的正弦、余弦符号决定，不是让你随意选，也不保证两处选同样的符号。如果 $\pi<\theta<\frac{3\pi}{2}$，除以 $2$ 后有 $\frac\pi2<\frac\theta2<\frac{3\pi}{4}$，半角在第二象限，于是正弦取正、余弦取负。

还要留意“角在第三象限”这句话可能只描述终边。如果没有限制角转了几圈，单凭终边不一定能确定半角位置。$\theta$ 和 $\theta+2\pi$ 的正弦、余弦相同，但它们的半角相差 $\pi$，正弦和余弦的符号都会反过来。半角问题最好给出实际区间，不能擅自把任意角缩到一圈内再除以 $2$。

例题：同一个余弦值，半角的符号要靠区间决定

已知 $\cos\theta=-\frac7{25}$ 且 $\pi<\theta<\frac{3\pi}{2}$，求 、 和 。

正弦、余弦的半角平方相除，还可以得到

$$\tan\frac\theta2=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}}, \qquad \cos\theta\ne-1.$$

符号仍由半角所在位置决定。若不想处理根号，正切的半角关系还有不带根号的写法。用 $\sin\theta=2\sin\frac\theta2\cos\frac\theta2$ 和 相除，可得

$$\tan\frac\theta2=\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}, \qquad \cos\theta\ne-1.$$

如果改用 $1-\cos\theta=2\sin^2\frac\theta2$ 除以 $\sin\theta$，则有

$$\tan\frac\theta2=\frac{1-\cos\theta}{\sin\theta}, \qquad \sin\theta\ne0.$$

第二种写法的限制更强：$\theta=0$ 时，左边和第一种写法都等于 $0$，第二种却出现 $\frac00$。这又提醒我们，同一个量的不同表达式，使用范围需要分别检查。

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积化和差：把已经会的公式相加或相减

现在你已经有两条余弦公式：

$$\begin{aligned} \cos(A-B)&=\cos A\cos B+\sin A\sin B,\\ \cos(A+B)&=\cos A\cos B-\sin A\sin B. \end{aligned}$$

把它们相加，正弦乘积消掉，留下两份余弦乘积；相减则余弦乘积消掉。这就是积化和差的来历：

$$\cos A\cos B=\frac12[\cos(A-B)+\cos(A+B)],$$ $$\sin A\sin B=\frac12[\cos(A-B)-\cos(A+B)].$$

把两条正弦和差公式相加、相减，也会发生同样的消项：

$$\sin A\cos B=\frac12[\sin(A+B)+\sin(A-B)],$$ $$\cos A\sin B=\frac12[\sin(A+B)-\sin(A-B)].$$

最后两条并不矛盾。如果交换 $A,B$，要记得 $\sin(B-A)=-\sin(A-B)$；不能交换角以后保留原来的差角符号。

一个乘积里藏着哪两个角度变化速度

以 $2\sin5t\cos2t$ 为例，把 $A=5t$、$B=2t$ 代入：

$$2\sin5t\cos2t=\sin7t+\sin3t.$$

乘积被改成两条正弦曲线之和。原来角度随 $t$ 变化的系数是 $5$ 和 $2$，新写法中出现它们的和 $7$ 与差 $3$。如果 $t$ 是秒，这些系数是以弧度每秒计的角频率；它们并不是每秒振动次数，后者还要除以 $2\pi$。

这是一条精确恒等式：对每个 $t$，两种写法算出的数完全相等。它帮助我们理解为什么某些波的乘积能分解成不同频率的波，也为以后处理三角乘积的积分做准备。

反过来，把和差变成容易分解的乘积

若题目给的是 $\sin C+\sin D$，我们希望它对应刚才的 $\sin(A+B)+\sin(A-B)$。于是令

$$A+B=C,\qquad A-B=D.$$

解这两个普通的一次方程，得到 $A=\frac{C+D}{2}$、$B=\frac{C-D}{2}$。代回后就有

$$\sin C+\sin D=2\sin\frac{C+D}{2}\cos\frac{C-D}{2}.$$

原来那些“和的一半、差的一半”并非需要硬记的新花样，而是解方程算出来的。同样的替换给出另外三条：

$$\sin C-\sin D=2\cos\frac{C+D}{2}\sin\frac{C-D}{2},$$ $$\cos C+\cos D=2\cos\frac{C+D}{2}\cos\frac{C-D}{2},$$ $$\cos C-\cos D=-2\sin\frac{C+D}{2}\sin\frac{C-D}{2}.$$

乘积形式最适合回答“什么时候等于零”。例如 $\sin5x+\sin x=2\sin3x\cos2x$，我们就可以分别研究 $\sin3x=0$ 和 $\cos2x=0$。两种情况都要保留，这也正好带我们进入方程求解。

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三角方程：先找到一圈里的位置，再处理重复

反三角函数给的是起点

方程 $\sin x=\frac12$ 问的是：单位圆上，哪些点的纵坐标等于 $\frac12$？一圈里有两个，分别对应

$$x=\frac\pi6,\qquad x=\frac{5\pi}{6}.$$

两点关于纵轴对称，纵坐标相同。因为转过整圈会回到原点位，全部实数解应写成

$$x=\frac\pi6+2k\pi \quad\text{或}\quad x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z.$$

这里 $k$ 可以是负整数，也可以是 $0$。它不是说“只往正方向继续转”，而是把所有同终边角都收进来。

如果右边不是特殊角对应的数，例如 $\sin x=-0.4$，仍然用同样的逻辑。令 $a=\arcsin(-0.4)$，计算器在弧度模式下给出 $a\approx-0.4115$。两族解为 $x=a+2k\pi$ 或 。在 内，后一族给出约 ，前一族加一圈给出约 。两个位置都在下半圆，正弦为负。

基本通解的条件要一起记

下面的 $k$ 都属于 $\mathbb Z$：

正切用 $k\pi$，因为单位圆上对面两个点的横纵坐标同时变号，比值不变。正弦、余弦的模板则用 $2k\pi$。当 $c=1$ 或 $c=-1$ 时，有些分支其实表示同一族解，合并重复即可；比如 $\sin x=1$ 只有 这一族。

对于倒数函数，也可以先回到基本方程。$\sec x=2$ 等价于 $\cos x=\frac12$，求出的角都会自动满足 $\cos x\ne0$； 则没有解，因为一个存在的倒数不可能为零。 应从 得到 ，不能先写成 。

区间端点不是格式细节

求“全部实数解”和求“某区间里的解”，答案的形态不同。前者一般写周期通解，后者把通解筛成具体的角。

以 $\sin x=0$ 为例，通解是 $x=k\pi$。在 $[0,2\pi)$ 内，解只有 $0,\pi$；在 $[0,2$ 内，则还要加上 。虽然 和 在单位圆上指向同一个点，它们作为实数输入却是两个不同的数。题目允许两个端点时，两者都应写出。

对于 $[-\pi,\pi]$，同一方程的解是 $-\pi,0,\pi$。不要习惯性地把所有负角加一圈变成正角，那样可能把解移出题目给定的区间。

下面的交互可以用来对照通解和区间解。先在纸上列出自己的结果，再查看给定区间内的解；尤其留意右端点是否包含在内。

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让复杂方程回到已经会解的形式

因式分解时，零因子不能随手除掉

解方程

$$2\sin^2x-\sin x=0,\qquad 0\le x<2\pi.$$

它看起来像 $2u^2-u=0$，只是 $u$ 现在是 $\sin x$。提取公因子：

$$\sin x(2\sin x-1)=0.$$

乘积为零意味着至少有一个因子为零。第一种情况 $\sin x=0$ 给出 $x=0,\pi$；第二种情况 $\sin x=\frac12$ 给出 。因此完整答案是

$$x=0,\frac\pi6,\frac{5\pi}{6},\pi.$$

如果一开始把 $\sin x$ 除掉，就只剩 $2\sin x-1=0$，从而丢掉 $0$ 和 $\pi$。错误不在除法本身，而在你没有确认除数非零，也没有单独处理它等于零的情况。因式分解能把这两种情况自然地保留下来。

倍角展开成哪一种，看另一边需要什么

求解

$$\cos2x=\sin x,\qquad 0\le x<2\pi.$$

右边已经是 $\sin x$，于是把左边选成 $1-2\sin^2x$。这不是额外技巧，只是在统一未知量。

$$\begin{aligned} 1-2\sin^2x&=\sin x,\\ 2\sin^2x+\sin x-1&=0,\\ (2\sin x-1)(\sin x+1)&=0. \end{aligned}$$

所以 $\sin x=\frac12$ 或 $\sin x=-1$。在指定区间里得到

$$x=\frac\pi6,\frac{5\pi}{6},\frac{3\pi}{2}.$$

这次没有除以可能为零的量，也没有平方产生新情况，各步在全体实数上等价。最后代回原式检查：前两个角的右边都是 $\frac12$，左边分别为 $\cos\frac\pi3$ 和 $\cos\frac{5\pi}{3}$；第三个角的左右两边都为 。三个解都保留下来。

如果换元后得到某个 $u=\sin x$ 或 $u=\cos x$ 的值超出 $[-1,1]$，那一支就没有实数角对应。例如 $2\sin^2x-3\sin x-2=0$ 分解后给出 或 ；第一支应直接排除。解出代数未知量，还没等于解出了角。

如果二次方程不能漂亮地因式分解，普通代数的方法也没有失效。例如

$$2\cos^2x+2\cos x-1=0.$$

令 $u=\cos x$，求根公式给出

$$u=\frac{-1\pm\sqrt3}{2}.$$

带负号的根小于 $-1$，没有实数角对应；带正号的根 $c=\frac{-1+\sqrt3}{2}$ 位于 与 之间。令 ，便得到 。若区间是 ，只保留 与 。

这里写成反余弦表达式，已经是精确答案，不需要为了让答案看起来像熟悉的 $\frac\pi6$、$\frac\pi4$，强行把它凑成某个特殊角。计算器负责给近似值时，先确认弧度模式，并尽量保留精确表达式直到最后一步。所谓“会解三角方程”，也包括接受有些角没有简单的特殊角写法。

含 $2x$ 的基本方程：连同周期一起除以 $2$

求解

$$\sin2x=\frac12,\qquad 0\le x<2\pi.$$

这道题不需要把 $\sin2x$ 展开成乘积。把 $u=2x$ 当作完整的角，先写通解：

$$2x=\frac\pi6+2k\pi \quad\text{或}\quad 2x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi.$$

整条等式都除以 $2$，包括周期项：

$$x=\frac\pi{12}+k\pi \quad\text{或}\quad x=\frac{5\pi}{12}+k\pi.$$

各取 $k=0,1$，得到区间内四个解：

$$x=\frac\pi{12},\frac{5\pi}{12},\frac{13\pi}{12},\frac{17\pi}{12}.$$

也可以先同步变换区间。由于 $x\in[0,2\pi)$，所以 $u=2x\in[0,4\pi)$，此时要在两圈内找 $\sin u=\frac12$ 的位置，再除以 。只在 内找，会漏掉后一圈的两解。

这与上一章的图像完全一致：$\sin2x$ 的周期是 $\pi$，所以在长度 $2\pi$ 的区间里走完两次循环。若完整的角是 $2x-\frac\pi3$，也应先对这个整体写通解，再移项、除以 ，不要只处理一个主值。

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辅助角：把同频率的两条波合成一条

现在考虑一个既有 $\sin x$ 又有 $\cos x$、却都没有平方的式子：

$$a\sin x+b\cos x.$$

如果急着平方，会多出 $\sin x\cos x$，问题可能更复杂。换个方向看，我们刚推过

$$R\sin(x+\varphi)=R\cos\varphi\sin x+R\sin\varphi\cos x.$$

只要让 $R\cos\varphi=a$、$R\sin\varphi=b$，右边就成为我们想要的式子。两式平方相加，得到 $R^2=a^2+b^2$。因此在 不同时为零时，可以取

$$R=\sqrt{a^2+b^2},\qquad \cos\varphi=\frac aR,\qquad \sin\varphi=\frac bR,$$

使得

$$a\sin x+b\cos x=R\sin(x+\varphi).$$

$\varphi$ 叫辅助角，是帮助我们把两项合成一项的角。它的象限由 $a,b$ 的符号共同决定，不能只按 $\arctan\frac ba$ 就忽略象限，也不能在 $a=0$ 时硬做除法。如果 ，原式本来就是零，无需辅助角。

这也解释了同频率波的叠加：系数为 $a,b$ 的正弦、余弦合在一起，振幅是 $\sqrt{a^2+b^2}$，而不是一般地等于 。两条波达到峰值的时刻错开了，不能把各自最大值直接当作同时发生。

例题：同一个阈值，一圈内什么时候到达

求解

$$\sqrt3\sin x+\cos x=1,\qquad 0\le x<2\pi.$$

这里 $R=\sqrt{3+1}=2$，而 $\cos\varphi=\frac{\sqrt3}{2}$、，所以可以选 。原方程成为

$$2\sin\left(x+\frac\pi6\right)=1.$$

对完整的角写通解：

$$x+\frac\pi6=\frac\pi6+2k\pi \quad\text{或}\quad x+\frac\pi6=\frac{5\pi}{6}+2k\pi.$$

减去 $\frac\pi6$，得到 $x=2k\pi$ 或 $x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi$。筛选到 后，答案是

$$x=0,\frac{2\pi}{3}.$$

代回检查：$x=0$ 时左边是 $1$；$x=\frac{2\pi}{3}$ 时左边是 $\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2}-\frac12=1$。这里 必须保留， 必须排除。

从合成后的式子还能先判断有没有解。左边范围是 $[-2,2]$，所以如果右边改成 $3$，不用再找角就知道无解。更一般地，$a\sin x+b\cos x=c$ 有实数解的条件是 $|c|\le\sqrt{a^2+b^2}$；这句话针对不限制 的情形，若另给一个很短的区间，还要看达到该值的角是否落在其中。

把角度答案翻译回模型中的时刻

假设一个按既定程序上下移动的平台，在一次 $12$ 秒的演示中，高度由下面的理想模型给出，单位为米：

$$h(t)=4+\sqrt3\sin\frac{\pi t}{6}+\cos\frac{\pi t}{6}, \qquad 0\le t\le12.$$

模型中的两项有相同的角度变化速度，因此可以用刚才的辅助角合并：

$$h(t)=4+2\sin\left(\frac{\pi t}{6}+\frac\pi6\right).$$

中线为 $4$ 米，振幅为 $2$ 米，周期为 $12$ 秒。这些参数说明平台按模型在 $2$ 米和 $6$ 米之间重复运动。它的实际机械结构是否能精确实现这条曲线，是另外的问题；在这道题里，我们只依据给定模型找时刻。

如果问平台什么时候位于 $5$ 米高度，方程变成

$$\sin\left(\frac{\pi t}{6}+\frac\pi6\right)=\frac12.$$

正弦对应两族角，因此

$$\frac{\pi t}{6}+\frac\pi6=\frac\pi6+2k\pi \quad\text{或}\quad \frac{\pi t}{6}+\frac\pi6=\frac{5\pi}{6}+2k\pi.$$

解这两条一次方程，得到 $t=12k$ 或 $t=4+12k$。筛到闭区间 $[0,12]$，时刻为 $t=0,4,12$ 秒。这次有三个时刻，因为开始和结束都包含在演示记录里，它们虽然相隔一个周期，仍然是两次不同的观测。

题目如果改问“演示开始以后、结束以前”，就会变成开区间 $(0,12)$，只留下 $t=4$ 秒。你可以看到，最后的筛选不只是一道数学手续，它在解释现实问题到底包含哪些时刻。把通解写完以后，还要回到情境的时间范围，答案才算交代清楚。

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检查解集：特别留心除法、平方和图像

清掉分母，不代表原来的空缺补上了

求解

$$\frac{\sin2x}{\sin x}=0,\qquad 0\le x<2\pi.$$

原式先要求 $\sin x\ne0$，所以 $0,\pi$ 被排除。在允许的输入上，倍角公式使左边等于 $2\cos x$。因此方程变为 $\cos x=0$，得到 ；这两个角的正弦都不为零，代回有效。

如果直接两边乘 $\sin x$ 后只解 $\sin2x=0$，会列出 $0,\frac\pi2,\pi,\frac{3\pi}{2}$。多出的 不是原方程的解，只是被清掉的分母隐藏了。乘分母时保留原定义域，才能保持等价。

平方会抹去正负之间的差别

对于 $\sin x=\cos x$，平方得到 $\sin^2x=\cos^2x$。后者除了允许原来的同号相等，也允许两边互为相反数。因此在 $[0,2\pi)$ 内，平方后的候选角为 ；代回原方程，只有 有效。

这道题更省事的做法是先检查 $\cos x=0$ 是否可能成为解。此时 $\sin x=\pm1$，不满足原方程，因而真正的解必定有 $\cos x\ne0$。现在才可以放心除以 $\cos x$，得到 。这个除法有完整理由，与随手约掉一个因子不同。

图像能帮忙发现问题，但需要知道它的边界

方程 $\sin x=\frac12$ 的图像解法，就是寻找 $y=\sin x$ 与 $y=\frac12$ 的交点。曲线上升时碰到一次，下降时再碰到一次，一圈内两解的结构很清楚。

如果算出五个解，图上却只看到两处交点，就值得回头查查周期或平方步骤。但一张有限大小的图不能证明没有遗漏：很近的交点可能挤在一起，恰好相切的交点不一定穿过另一条曲线，分母为零的空点也可能小得看不出来。正切的渐近线附近，更不能把绘图程序连接出来的竖线当作曲线的一部分。

同样，两张曲线在屏幕上重合，不足以证明恒等式对无限多个输入都成立。证明负责给出对所有允许输入有效的理由，图像负责帮我们发现漏解、数量或位置上的异常；两者结合才可靠。

做完一道三角方程后，可以沿着原式检查三件事：每个答案是否在题目区间里，原式在这里是否有定义，代回后两边是否确实相等。再回看每一次分类，确认没有漏掉为零的因子、另一支单位圆位置或额外的一圈。这比只看最后一个小数更有用。

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自己试一轮：从表达式走到完整解集

练习：化简以后，哪些输入仍然不能用

化简 $\frac{\sec x-\cos x}{\tan x}$，说明原式定义域，并解释为什么不能给化简结果擅自补上 $x=0$。

显示答案

原式中的 $\sec x$、$\tan x$ 要求 $\cos x\ne0$，同时分母 $\tan x\ne0$ 又要求 。因此 ，其中 。

练习：不用求角，也能求和角

已知 $\sin\alpha=\frac5{13}$、$\frac\pi2<\alpha<\pi$，、，求 和 。

显示答案

$\alpha$ 在第二象限，余弦为负，由勾股关系得 $\cos\alpha=-\frac{12}{13}$。$\beta$ 在第四象限，正弦为负，故 $\sin\beta=-\frac35$。

练习：半角为什么不能只看原角的终边

已知 $\cos\theta=-\frac35$ 且 $\pi<\theta<\frac{3\pi}{2}$，求 。如果改为角 ，它的半角余弦有什么变化？

显示答案

因为 $\frac\pi2<\frac\theta2<\frac{3\pi}{4}$，半角在第二象限，余弦取负：

练习：一题练习和差化积与端点

解 $\cos3x+\cos x=0$，其中 $-\pi\le x\le\pi$。

显示答案

用和差化积，得到

$$2\cos2x\cos x=0.$$

不能直接除以 $\cos x$。第一支 $\cos x=0$ 在区间里给出 $x=\pm\frac\pi2$；第二支 的通解为 ，也就是 ，筛选得 。

练习：辅助角里面还带一个倍角

解 $\sin2x+\cos2x=1$，其中 $0\le x<2\pi$。先预测可能有多少个解，再进行计算。

显示答案

左边是 $\sqrt2\sin(2x+\frac\pi4)$，周期为 。右边 严格位于它的最大、最小值之间，每个周期会达到两次；区间长度是两个周期，预计有四个解。

练习：找出清分母和平方带来的多余候选

在 $[0,2\pi)$ 内分别求解 $\frac{1-\cos2x}{\sin x}=0$ 与 $$。解释两道题各自最需要检查哪一步。

显示答案

第一个方程要求 $\sin x\ne0$。用 $1-\cos2x=2\sin^2x$ 化简，原方程在其定义域上等价于 $2\sin x$，但这又要求 ，与定义域冲突。因此第一个方程无解。若清分母后保留 ，就把原式无定义的输入当成了解。

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从改变写法，到改变描述位置的方式

学完这一章，看到三角式子时可以先慢一点：它是一个角的不同写法，还是要找某些特定的角？当前需要的是合并成一条波、拆成零因子，还是去掉平方？目的确定了，选择公式就会具体很多。

单位圆上的点始终是 $(\cos\theta,\sin\theta)$。如果让半径从 $1$ 变成 $r$，横纵坐标就变为 $x=r\cos\theta$、$y=r\sin\theta$；勾股恒等式立即告诉我们 。同一个位置，既能用横纵坐标描述，也能用半径和角度描述。

下一章会顺着这个问题继续：一个点离中心多远、朝哪个方向，它又怎样随着时间移动？我们会把本章的“同一个量换一种写法”，推进到“同一条曲线换一种描述方式”，进入极坐标、参数方程和向量。