函数变换、复合函数与反函数

上一章，我们已经会从图像中找定义域、值域、零点和增减区间。现在把那张图想象成一张可以移动的透明纸：整张纸往右挪，图像上的零点会去哪儿？把每个点的高度翻倍，原来的最低点还是最低点吗？如果把横坐标和纵坐标交换，画出来的东西还一定是函数吗？

这些问题把本章的三个主题连在了一起。变换追踪旧图像上的点怎样移动；复合研究一个函数的输出怎样接着进入另一个函数；反函数则追问，知道了输出，能不能把原来的输入找回来。我们仍然在研究输入与输出，只是开始主动改造它们。

先拿熟悉的 $y=x^2$ 练手。你不需要重新列表计算几百个点，才能画出 $y=-2(x-3)^2+4$。只要弄清原来每个点去了哪里，整个图像的变化就有了依据。这也是本章会反复使用的办法：口诀暂时忘了没关系，回到一个具体的点，通常就能把规则重新想出来。

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先分清楚，改的是输入还是输出

设 $f(x)=x^2$。$f(2)=4$ 表示把 $2$ 送进去，得到 $4$。比较下面两个新函数：

$$g(x)=f(x)+3,\qquad h(x)=f(x+3).$$

计算 $g(2)$ 时，先照常得到 $f(2)=4$，然后加 $3$，结果是 $7$。计算 $h(2)$ 时，却是先把输入 $2$ 变成 ，再算 。同样写了“加 ”，放在函数外面和放在括号里面，做的事情完全不同。

我们可以给函数留一个输入位置：$f(\square)=(\square)^2$。括号里放进什么，就用什么去替换原来所有的输入变量。因此 $f(x+3)=(x+3)^2$，而不是 。以后括号里即使出现一个很长的式子，这个办法也照样适用。

如果 $T(t)$ 表示设备在运行 $t$ 分钟后的温度，那么 $T(t)+3$ 是原来那个时刻的温度再增加 $3$ 度；$T(t+3)$ 则是去读取三分钟后的温度。这里的两个 连单位都不同：一个是温度，一个是时间。把变量的含义带回来，符号就不容易混了。

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平移：把每一个点一起挪走

输出加一个数，为什么就是上下平移

还是从 $f(x)=x^2$ 出发。原图像上的三个点是 $(0,0)$、$(1,1)$、$(2,4)$。换成 ，输入没变，输出分别变成 、、，所以新点是 、、。

所有点的高度都增加同样的 $3$，点与点之间的竖直高度差并没有变。这解释了为什么图像整体上移，而形状保持不变。一般地，若旧点是 $(u,v)$，其中 $v=f(u)$，那么

$$g(x)=f(x)+k:\qquad (u,v)\longmapsto(u,v+k).$$

$k>0$ 时上移 $k$ 个单位，$k<0$ 时下移 $|k|$ 个单位。图像允许的横坐标没变，所以定义域没变；原值域中的每一个数都加上 $k$，得到新值域。例如平方根函数的值域是 $[0,\infty)$， 的值域就是 。

这里也能顺便检查一个常见误会：上移后，旧零点通常不再是零点。原来 $f(u)=0$，新函数在同一个横坐标的输出是 $k$。要找新零点，应解 $f(x)+k=0$，也就是在旧图像上寻找高度 $-k$，不能直接搬用旧零点。

括号里面减三，为什么反而往右

现在看 $h(x)=(x-3)^2$。如果只盯着“减 $3$”，很容易下意识觉得应该往左。我们不猜，直接跟着顶点走。

旧函数在输入 $0$ 时输出 $0$。新函数也要输出这个 $0$，就必须让括号里的 $x-3$ 等于 $0$，于是 $x=3$。顶点从 $(0,0)$ 移到 ，明明是在往右。

这并不只是顶点的巧合。旧点 $(2,4)$ 的输出来自旧输入 $2$，新函数要得到这一个对应点，就让 $x-3=2$，所以新输入是 $5$。旧点 $(2,4)$ 移到 。同样，旧点 移到 ：每个横坐标都增加 。

把这个过程写成一般形式，$g(x)=f(x-h)$ 要保留旧输入 $u$，就需要 $x-h=u$，从而

$$g(x)=f(x-h):\qquad (u,v)\longmapsto(u+h,v).$$

因此 $h>0$ 时右移，$h<0$ 时左移。例如 $f(x+2)=f(x-(-2))$ 向左移 个单位。

水平平移只换了输入的位置，输出值的集合没有改变，所以值域不变。定义域则一起移动：如果 $f$ 只允许输入 $[-2,5)$，那么 $f(x-3)$ 要求 $-2\le x-3<5$，新定义域是 。左端点仍然取到，右端点仍然不取，平移不会把空心点变成实心点。

把两个平移接起来，就得到 $y=(x-3)^2+2$：原来的点 $(x,y)$ 一起变成 $(x+3,y+2)$。所以顶点 到了 ，两旁的 和 分别到了 和 。

形状没有重新制造，只是每个点都向右移动 $3$，再向上移动 $2$。以后公式更长时，仍可以先用顶点和邻近点检查自己的移动方向。

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伸缩与翻折：距离怎样改变

乘在外面，改变每个点的高度

对于 $g(x)=2f(x)$，旧点 $(u,v)$ 变成 $(u,2v)$。比如 $(2,4)$ 变成 ， 变成 。每个点到 轴的距离都翻倍，这叫竖直拉伸到原来的 倍。

如果是 $g(x)=\frac12f(x)$，每个高度变成一半，叫竖直压缩。这里压缩的基准是 $x$ 轴：正输出往下靠近它，负输出往上靠近它，零输出仍留在轴上。

再看 $g(x)=-f(x)$。旧点 $(2,4)$ 变成 $(2,-4)$，旧点 $(3,-2)$ 变成 ；横坐标保持不动，高度换成相反数。这正是关于 轴的翻折。负号不会让所有点都“下降”，原来在轴下的点反而被翻到轴上。

这些情况合在一起是

$$g(x)=af(x):\qquad (u,v)\longmapsto(u,av).$$

当 $|a|>1$ 时竖直拉伸到 $|a|$ 倍；当 $0<|a|<1$ 时竖直压缩到 $|a|$ 倍；当 $a<$ 时还要关于 轴翻折。例如 表示高度放大到 倍并改变正负号。

乘在里面，为什么要取倒数

对于 $g(x)=f(2x)$，新输入先乘以 $2$ 才交给 $f$。旧图像在输入 $6$ 处有一个特点，新图像在输入 $3$ 处就已经遇到它，因为 $2\cdot3=6$。原来的横坐标 变成 ， 变成 ， 变成 ：图像在水平方向压缩到原来的一半。

一般地，为了让 $f(bx)$ 看到旧输入 $u$，需要 $bx=u$。在 $b\ne0$ 时，

$$g(x)=f(bx):\qquad (u,v)\longmapsto\left(\frac{u}{b},v\right).$$

水平尺寸变成原来的 $1/|b|$。因此 $|b|>1$ 时压缩，$0<|b|<1$ 时拉伸。$f(x/3)$ 中的 ，所以原来出现在 的特点，要等到 才出现，图像变宽到原来的 倍。

若 $b<0$，横坐标还会换符号。例如 $f(-x)$ 使 $(2,4)$ 变成 $(-2,4)$，这是关于 $y$ 轴翻折。对平方根函数来说， 的定义域是 ，图像从原点朝左伸展； 的定义域仍是 ，只是输出变成非正数。两个负号的位置不同，翻折的轴也不同。

不要仅凭“图像变瘦了”判断是哪一种伸缩。对 $f(x)=x^2$，$f(2x)=4x^2=4f(x)$，一次水平压缩与一次竖直拉伸恰好画出同一个最终图像。但对一般的 ， 并不等于 。要确定变换关系，应该看表达式，或者核对多个对应点。

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多种变换放在一起，先跟踪点，再谈顺序

一条点映射，收拢四个参数

现在再看开头那类形式：

$$g(x)=a f\bigl(b(x-h)\bigr)+k,\qquad a\ne0,\quad b\ne0.$$

设旧点是 $(u,v)$，也就是 $f(u)=v$。新函数内部必须仍然读到 $u$，所以解 $b(x-h)=u$，得到 。外面的运算则把旧输出 改成 。于是

$$\boxed{(u,v)\longmapsto\left(h+\frac{u}{b},\ av+k\right)}.$$

这条关系把“左右、上下、拉伸、翻折”落实到了坐标上。横坐标先除以 $b$，再加 $h$；纵坐标先乘以 $a$，再加 $k$。如果 $b$ 或 $a$ 为负，相应的翻折已经包含在运算里。

这里暂时要求两个伸缩系数都非零，是因为我们讨论的是保留图像形状信息的变换。$a=0$ 时，在内部函数有定义的输入上，输出全部成为 $k$；$b=0$ 时，内部始终是 $0$，只有当 $f(0)$ 有定义时，才得到常值表达式 $af(0)+k$。这些情况已经不属于通常的拉伸与压缩。

求函数值的顺序，和搬旧点的顺序不同

计算 $g(x)$ 时，输入当然先减 $h$，再乘 $b$。但我们在搬旧图像的点时，已经知道了旧输入 $u$，要反过来求新输入，所以做的是“除以 $b$，再加 $h$”。这两种顺序回答不同的问题，不要混为一谈。

例如 $f(2(x-3))$，搬点时可以先把旧横坐标压缩到一半，再向右移 $3$。旧输入 $4$ 最后变成 $4/2+3=5$。如果先把旧点右移 $3$，再把横坐标除以 ，就得到 ，显然不是同一个位置。

外部也一样，$2f(x)+3$ 是先把高度翻倍，再上移 $3$；$2(f(x)+3)$ 是先上移 $3$，再把整个高度翻倍，最后等于 $2f(x)+6$。旧高度 在前者中变成 ，在后者中变成 。

水平动作只改横坐标，竖直动作只改纵坐标，所以可以先处理水平，也可以先处理竖直。真正不能随便交换的，是同一方向上的伸缩与平移。为了少出错，我们统一先把式子整理成 $a f(b(x-h))+k$，再按点映射处理。

例题：从三个已知点画出新位置

已知 $f$ 的定义域是 $[-2,4]$，值域是 $[-1,3]$，图像经过 $(-2,1)$、$(0,-1)$、。求

$$g(x)=-2f\bigl(-2(x-1)\bigr)+3$$

中这三个点的新位置，并找定义域和值域。

三个点只能告诉我们三个位置，不能凭空补出其间的具体曲线；如果原图像给出了连线方式，就把整条原曲线一起变换。表格信息有限时，也不要把未列出的点当作已经知道。

下面的探索器用于比较参数变化。每次只改一个参数，先预测一个参考点将去哪里，再看画面是否符合预测；比同时拖动四个参数更容易理解。

例题：平方根图像怎样移动，范围怎样跟着走

考虑

$$q(x)=-2\sqrt{x-2}+1.$$

以 $f(x)=\sqrt{x}$ 为母函数，母函数上的 $(0,0)$、$(1,1)$、 分别变成 、、。这里横坐标增加 ，纵坐标先乘 再加 。起点从原点移到 ，曲线从这里向右下方延伸。

定义域既可以跟着起点读，也可以从式子算：$x-2\ge0$，所以是 $[2,\infty)$。因为平方根输出非负，$-2\sqrt{x-2}+1\le1$，而平方根可以任意增大，所以值域是 。最高输出 在起点取到。

若要找它与 $x$ 轴相交的位置，先令输出为 $0$：$-2\sqrt{x-2}+1=0$，得到 ，再平方，，所以零点是 。把它放回原式，确实得到 。这个位置处在 与 之间，也和刚才两个对应点 、 一致。

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对称性：翻折以后，图像有没有变

我们已经会画 $f(-x)$ 和 $-f(x)$。有些函数翻过去以后，恰好和原图像重合。这就是偶函数、奇函数的几何来源。

先检查一个前提：定义域必须关于 $0$ 对称，即允许输入 $x$ 时也允许输入 $-x$。否则连两侧的对应点都不齐，就谈不上下面的整体对称。例如 $x^2$ 限制在 $[0,\infty)$ 上，虽然式子还是平方，图像却只有右半边，不能称为偶函数。

如果定义域满足这个条件，并且对每个允许的 $x$ 都有

$$f(-x)=f(x),$$

就叫偶函数。输入变成相反数，输出不变，所以 $(x,y)$ 的对面有 $(-x,y)$，图像关于 $y$ 轴对称。$x^2$、$|x|$ 都是例子， 也是，因为把每个 换成 后式子不变。

如果对每个允许的 $x$ 都有

$$f(-x)=-f(x),$$

就叫奇函数。这时 $(x,y)$ 对应 $(-x,-y)$，图像绕原点转半圈会重合，也叫关于原点对称。例如 $p(x)=x^3-4x$ 满足 。

不是所有函数都必须分进这两类。$r(x)=x^2+x$ 给出 $r(-x)=x^2-x$，它既不总等于 ，也不总等于 ，所以既非奇也非偶。在一个对称定义域上，零函数 则同时满足两种关系。

图像有别的对称轴，也不意味着它是偶函数。例如 $(x-3)^2$ 关于直线 $x=3$ 对称，关于 $y$ 轴却不对称。这时应该准确地说它“关于 $x=3$ 对称”，不能把“有对称性”和“偶函数”当成同一个词。

这些判断不需要靠图像猜。计算 $f(-x)$，再比较 $f(x)$ 与 $-f(x)$，是可以逐步复现的检查。等我们开始研究单位圆时，三角函数的对称性也会沿用这套输入与输出的语言。

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分段与绝对值：规则改变的地方，也要一起变换

变换的不只是公式，还有使用公式的条件

上一章已经见过分段函数：先看输入落在哪个区间，再选规则。这一章多做一步，看看变换以后分界点会不会跟着移动。

设

$$p(x)= \begin{cases} x+2, & x<0,\\ x^2, & 0\le x\le2,\\ 5-x, & x>2. \end{cases}$$

$p(-3)=-1$，因为 $-3$ 进入第一段；$p(0)=0$、$p(2)=4$ 都来自中间一段； 来自最后一段。在 处，第三段的式子虽然也能算出一个数，却没有资格决定函数值，因为它的条件是 。

现在令 $r(x)=p(x-1)+3$。新函数交给 $p$ 的输入是 $x-1$，所以选段时要检查的是 $x-1$，不能仍然拿新输入 去跟旧分界点直接比较。

当 $x-1<0$，也就是 $x<1$ 时，使用第一段，算出 $(x-1)+2+3=x+4$。当 ，也就是 时，使用中间一段。最后一段则要求 。因此

$$r(x)= \begin{cases} x+4, & x<1,\\ (x-1)^2+3, & 1\le x\le3,\\ 9-x, & x>3. \end{cases}$$

旧分界点 $0$、$2$ 变成了 $1$、$3$，正是整体右移 $1$。例如 $r(3)=p(2)+3=7$，不能用第三段在 处算出来的 。图像上的实心点、空心点也都跟着原来那一段移动。

分段也适合描述收费方案，但要先把规则说完整。例如某设备使用费规定：不足 $1$ 小时按 $4$ 元收取；从 $1$ 到 $3$ 小时之间连续按每小时 $2$ 元增加；达到 $3$ 小时后封顶 $8$ 元。那么时间 $t\ge0$ 时，可以写成 、、 三段，区间分别取 、、。这里假设中间按实际时长连续计费；如果规则是“不足一小时按一小时算”，图像就要换成阶梯状，不能沿用同一个式子。

绝对值为什么会折出一个尖角

$|x|$ 是数轴上的点 $x$ 到原点的距离。$x$ 在右边时距离就是 $x$；$x$ 在左边时，坐标为负，要取相反数才得到非负距离。因此

$$|x|= \begin{cases} -x, & x<0,\\ x, & x\ge0. \end{cases}$$

左半边是斜率为 $-1$ 的直线，右半边是斜率为 $1$ 的直线，它们在原点接起来，形成 V 形。这里的 $-x$ 并不意味着结果一定为负：当 $x=-3$ 时，$-x=3$。符号前的负号表示取相反数，结果的正负要看输入。

$|x-c|$ 同样是一个距离，不过参考点从 $0$ 换成了 $c$。因此 $s(x)=-3|x+2|+4$ 的尖点在 ：当输入离 越远， 越大，输出从 往下落得越多。它的定义域是全体实数，值域是 ，关于 对称。

把它改写成分段式，也能看清两条线为什么这样接：当 $x<-2$ 时，$|x+2|=-(x+2)$，于是 $s(x)=3x+10$；当 时，。两段在 处都给出 。左边一路上升到尖点，右边一路下降，和变换图像得到的结论一致。

如果反过来只给图像，也可以用尖点和一个额外的点找公式。假设已知图像是 $|x|$ 经过平移与竖直伸缩得到的 V 形，尖点在 $(2,-1)$，并且经过 $(5,5)$。尖点先告诉我们公式可以写成 $y=a|x-2|-1$。再把额外的点代入，得到 ，所以 ，最终是 。用另一个点检查：在 处，它也输出 ，与关于 对称的图像一致。

这里“已知它属于绝对值函数的变换”这个条件不能省略。单独给出尖点和一个点，并不能在所有可能的函数中唯一确定一条曲线；我们能够求出 $a$，是因为先确定了使用哪一类模型。同样，知道一条曲线经过三个点，也不意味着它一定是抛物线。先辨认结构，再根据数据确定参数，才是从图像找公式的合理顺序。

$|f(x)|$ 与 $f(|x|)$，折的是哪里

$|f(x)|$ 是等 $f$ 算完以后，把负输出改成正输出。因此旧图像在 $x$ 轴上方的部分保留，在下方的部分关于 $x$ 轴翻上来。例如 $f(x)=x^2-4$，它在 内输出为负，所以 会把这段翻到上方，两侧保持不动。

$f(|x|)$ 则先处理输入。正输入不变，负输入会先变为它的相反数，所以新图像使用原图像中非负输入的部分，并把这一部分镜像复制到左边。以 $f(x)=x-1$ 为例，$|f(x)|=|x-1|$ 的尖点在 ； 的尖点却在 。

若原函数定义域有限，还要检查 $|x|$ 能否进入原定义域。例如 $f$ 只定义在 $[1,3]$，那么 $f(|x|)$ 的定义域是 $[-3,-1]\cup[1,3]$，并不是全体实数。折图像仍然服从函数的输入限制。

用距离来解方程和不等式

先看 $2|x-1|-6=0$。移项并除以 $2$，得到 $|x-1|=3$，意思是“$x$ 到 的距离是 ”。数轴左右各有一个位置：，或者 。代回原式，两者都使输出为 。

这解释了为什么绝对值方程经常拆成两个方程：对 $c>0$，$|A|=c$ 等价于 $A=c$ 或 $A=-c$。但拆之前一定先把绝对值单独留在一侧，并看右边的符号。$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }$ 无解， 只要求 ；“出现绝对值就一定有两个解”并不成立。

如果把条件换成 $2|x-1|-6\le0$，就是 $|x-1|\le3$：到 $1$ 的距离不超过 $3$，解集包含中间整段 。代数写法是

$$-3\le x-1\le3\quad\Longrightarrow\quad -2\le x\le4.$$

相反，$|x-1|>3$ 表示距离大于 $3$，答案在两侧，是 $(-\infty,-2)\cup(4,\infty)$。一个是“在这段范围内”，一个是“离开这段范围”，用距离理解后就不用硬背该写“且”还是“或”。

再检查一个容易在负号处犯错的式子：$-2|x-1|+6<0$。移项得 $-2|x-1|<-6$，除以负数 $-2$ 必须把不等号反向，得到 $$，所以仍是 或 。从倒 V 形图像看，远离最高点以后才降到 轴下面，正好也是两侧。

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复合函数：把一个输出接到下一个输入

先区分四则运算与复合

两个函数可以做四则运算。$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ 是让同一个输入分别进入两条规则，再把两个输出相加。差、积也是这样；商则写成

$$\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}.$$

和、差、积要求两个函数在这个输入上都能算，所以定义域取两个原定义域的交集；商还要排除 $g(x)=0$ 的输入。情境中如果相加，还要注意量的单位是否能相加。

复合的连接方式不同：先把输入交给 $g$，再把 $g$ 的输出交给 $f$。记号是

$$(f\circ g)(x)=f(g(x)).$$

小圆圈 $\circ$ 表示复合，不表示乘号。$f(g(x))$ 中，$g$ 先工作，$f$ 后工作。比如某容器每分钟注入 $3$ 升水，起初已有 $2$ 升，水量为 $V(t)=2+3t$；在允许的水量范围内，水深由规则 给出。那么 给出运行 分钟后的水深。中间交接的是水量，最终输出是水深。

这也说明复合不只是符号替换。$H$ 接受水量，$V$ 接受时间；随便把它们反过来，把水深塞到需要时间的位置，并没有符合原情境的解释。计算前先看单位，是检查接线是否合理的办法。

再看一组简单规则：$g(x)=x+3$，$f(x)=2x$。从输入 $2$ 出发，先 $g$ 后 $f$ 得到 ；先 后 则得到 。先把这条数值路线走清楚，再看下面稍长的代数式。

换一个顺序，结果怎样不同

设 $f(x)=x^2+2$，$g(x)=3x-1$。对于 $f(g(x))$，把 规则里每一个输入位置都换成完整的 ，得到

$$f(g(x))=(3x-1)^2+2=9x^2-6x+3.$$

反过来，则是

$$g(f(x))=3(x^2+2)-1=3x^2+5.$$

同样从 $x=2$ 出发，前者先算 $g(2)=5$，再算 $f(5)=27$；后者先算 $f(2)=6$，再算 。结果不同，是因为运算路线本来就不同。

一般不能交换复合顺序。即使某个输入让两个结果偶然相等，也不能因此认定两个函数相等：函数相等需要定义域相同，而且每个允许输入的输出都相同。另一方面，“通常不同”也不是“永远不同”，像 $f(x)=x+2$ 与 $g(x)=x+5$，两种复合都得到 $x+7$。具体问题仍要实际检查。

没有公式，照样能做复合

假设只知道下面这张表中的信息：

求 $f(g(1))$，先在 $g$ 那一行读到 $g(1)=2$，再把 $2$ 当成新的输入，去 $f$ 那一行找 $f(2)$，所以结果是 。求 ，则先读 ，再读 ，结果是 。同一张表里的两条路线，已经给出了不同答案。这里并不需要知道 和 的完整公式，已有对应关系足以完成这次计算。

如果图像代替了表格，路线一样：在内层图像上用横坐标找到纵坐标，再把这个纵坐标当成外层图像的横坐标，读最后的输出。每次交接后，输入都已经换了，不要一直停留在最初的横坐标上。

表格未列出某个所需输入时，我们只能说“凭当前表格无法确定”。除非题目说明表格已经给出全部定义域，否则不能擅自说函数在那个输入上没有定义。

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复合的定义域：每一层都要能通过

外层限制的是中间结果

对于 $f(g(x))$，有两道条件：原始输入 $x$ 要能进入 $g$；算出来的中间结果 $g(x)$ 要能进入 $f$。如果把两个函数的定义域分别记成 $D_f$ 和 ，可以简洁地写成

$$D_{f\circ g}=\{x\in D_g\mid g(x)\in D_f\}.$$

这里不是简单取 $D_f\cap D_g$，因为外层看到的数是 $g(x)$，不一定是 $x$。例如 $f(u$，，虽然 自己不接受负数，复合函数却允许输入 ：内层先把它变成 ，外层完全能算。 的定义域是 。

反过来，$g(f(x))=\sqrt{x}+4$ 先算平方根，所以定义域是 $[0,\infty)$。同一对函数，交换顺序后，允许的最初输入也可能改变。

例题：内层根号通过了，外层分母仍可能拒绝

设

$$f(u)=\frac{1}{u-2},\qquad g(x)=\sqrt{x+5}.$$

求 $f(g(x))$、$g(f(x))$ 及各自的定义域。

化简不能把途中走不通的输入补回来

设 $f(u)=1/u$、$g(x)=1/(x-2)$。把它们复合，看起来会得到很简单的式子：

$$f(g(x))=\frac{1}{1/(x-2)}=x-2.$$

但这个等式成立的前提是 $x\ne2$。输入 $2$ 在第一步就让 $g$ 无法计算，后面再漂亮的化简也不能改变这个事实。因此复合函数是“规则为 $x-2$、定义域排除 $2$”的函数，和定义在全体实数上的直线函数并不相同。

这不是一个专门为考试设置的麻烦。下一章研究有理函数时，我们会看到一个式子约分后像一条连续的曲线，原函数却仍少一个点。现在记住：运算过程中要求排除的输入，要跟着原函数一起保留下来。

层数更多时，从最里面依次检查

例如

$$F(x)=\frac{1}{\sqrt{5-2x}-1}$$

可以拆成三条规则：$r(x)=5-2x$，$s(u)=\sqrt{u}$，，于是 。输入先变成 ，然后开平方，最后减 取倒数。

第一层对所有实数可算。第二层要求 $5-2x\ge0$，即 $x\le5/2$。第三层要求 $\sqrt{5-2x}\ne1$，因此还要排除 。所以定义域为 。

三个函数还可以分组计算：$t\circ(s\circ r)$ 与 $(t\circ s)\circ r$ 都按 $r$、$s$、$$ 的顺序运行，在相同的逐层限制下结果相同。分组改变，不等于次序改变。就像先完成前两站再去第三站，和先认清后两站的接法再从第一站出发，经过的站点仍是同一条路线；如果把前后站交换，运算就已经变了。

拆分方式不唯一，也可以把前两步合成一个内层函数。判断拆得对不对，只要按顺序重新复合，看看能否恢复原式和原来的输入限制。将来学习复杂函数怎样变化时，我们还会沿着这些中间步骤追踪变化；现在先把每一层的职责看清楚。

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反函数：知道输出以后，能不能走回原来的输入

反过来问，是一个新的函数问题

假设某个线性换算规则是 $f(x)=3x+2$。从输入 $4$ 出发，我们得到输出 $14$。现在只告诉你输出是 $14$，要求找回原来的输入，你会先减去 $2$，再除以 $3$，得到 。

这条“走回去”的规则，就是反函数：

$$f^{-1}(y)=\frac{y-2}{3}.$$

这里用 $y$ 当输入变量，是为了提醒你，它原来是 $f$ 的输出。若按通常习惯把反函数的输入也叫 $x$，就写成 $f^{-1}(x)=(x-2)/3$。变量改了名字，规则没有变。

定义可以写成一对互相对应的陈述：

$$f(a)=b\quad\Longleftrightarrow\quad f^{-1}(b)=a.$$

图像上的点 $(a,b)$ 因而交换成 $(b,a)$。在横纵轴使用相同单位长度的坐标图中，这正是关于直线 $y=x$ 的镜像。例如 $(4,14)$ 变成 $(14,4)$。原来允许的输入变成反函数的实际输出，原来实际出现的输出变成反函数允许的输入：定义域和值域交换。

如果 $f$ 是一一对应的，而且表格告诉你 $f(7)=12$，就可以直接读出 $f^{-1}(12)=7$，不必先求整个反函数公式。从图像读取 $f^{-1}(12)$ 也一样：先在原图像上找高度 ，再读取对应的横坐标。

为什么平方会把回去的路弄成岔路

$f(x)=x^2$ 确实是函数，因为每个输入只产生一个输出。但 $f(2)=4$，$f(-2)=4$，知道输出 $$，却无法判断原来输入是 还是 。把两个点交换后，会同时出现 和 ，一个输入 对应两个输出，反过来的关系就不是函数。

因此，原函数要在当前定义域上“一一对应”：不同的输入给出不同的输出。这里我们把反函数定义在原函数的实际值域上，不要求原函数能输出所有实数，只要求它能输出的每个数都有唯一的来处。

图像上的水平线检验正是在检查这件事。一条水平线表示同一个输出高度；如果它与图像相交两次，就找到了两个不同的来源。每条水平线与图像至多相交一次，才说明原函数是一一对应的。上一章的竖直线检验判断“它是不是函数”，这里的水平线检验判断“它能不能反过来仍是函数”，两条线的任务不同。

在某个区间上严格递增或严格递减，就不会重复输出，所以能保证一一对应。不过反函数不一定需要先会证明严格单调才可求；也可以直接解 $f(u)=f(v)$，检查是否必然有 $u=v$，或者依据完整图像判断。

限制定义域，是明确保留哪一条回路

对于平方函数，如果只保留 $x\ge0$，输出 $4$ 就只可能来自 $2$，反函数是 $\sqrt{x}$，它的定义域和值域都是 $$。如果只保留 ，输出 则只可能来自 ，反函数是 ，定义域为 ，值域为 。

这不是同一个函数有两个反函数。两次选择的原定义域不同，因此是两个不同的函数；每个已经确定了规则和定义域的一一对应函数，反函数都是唯一的。

限制也可以更小。例如 $x^2$ 只定义在 $[1,3]$ 上，反函数仍按 $\sqrt{x}$ 计算，但只能接受 $$ 中的输入，输出落在 。写反函数时，只写出根号而不写范围，会漏掉原题给出的信息。

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求反函数：逆着撤销运算，还要带上范围

两次复合，是完整的来回检查

如果 $g$ 是 $f$ 的反函数，应该能完成两种来回：

$$g(f(x))=x\quad\text{对每个 }x\in D_f,$$ $$f(g(y))=y\quad\text{对每个 }y\in D_g.$$

第一种是从原输入出发，正向算一次，再反向算回来；第二种是从原输出出发，先反向找输入，再正向恢复输出。两边的允许范围也要对应，即 $D_g$ 是 $f$ 的值域，$g$ 的值域是 $D_f$。

为什么不能只看一个方向就放心？让 $f(x)=x^2$ 定义在全体实数上，$g(y)=\sqrt{y}$ 定义在 上。那么 确实成立，但

$$g(f(x))=\sqrt{x^2}=|x|,$$

当 $x=-2$ 时返回的是 $2$，不是 $-2$。原来的负号已经被平方丢掉了，平方根没法凭空恢复。只有把 $f$ 限制到非负输入，这一对函数才真正互为反函数。

例题：平移后的平方函数，选支不能靠猜

设

$$f(x)=2(x-3)^2-5,\qquad x\ge3.$$

求反函数、定义域和值域，并验证。

如果题目改成 $x\le3$，你就需要选择 $x-3=-\sqrt{(y+5)/2}$，得到 ，值域也改成 。开平方时选哪一支，来自原定义域，不来自习惯。

分式也能倒过来，但要记住哪些数从未出现

看 $r(x)=1+3/(x-2)$。原定义域排除 $2$，而分式 $3/(x-2)$ 永远不能等于 $0$，所以输出不可能等于 。其他输出能不能出现？设 ，从 解回去，先减 ，再整理得

$$(y-1)(x-2)=3,\qquad x=2+\frac{3}{y-1}.$$

每个 $y\ne1$ 都对应唯一一个 $x\ne2$，这既说明原值域是 $\mathbb R\setminus\{1\}$，也说明原函数是一一对应的。因此

$$r^{-1}(x)=2+\frac{3}{x-1},\qquad x\ne1.$$

反函数的值域排除 $2$。比如 $r(5)=2$，反函数就把 $2$ 送回 $5$。你可以把原来不能输入的 $2$ 与不能输出的 $1$ 写在纸上，交换位置以后，它们分别成为反函数不能输出和不能输入的数。这一对“被排除的位置”，下一章会帮助我们读懂有理函数的图像。

例题：算出来是多项式，定义域也未必是全体实数

令

$$h(x)=4-\sqrt{x+1},\qquad x\ge-1.$$

随着 $x$ 增大，平方根严格增大，$h(x)$ 严格减小，所以它是一一对应的。它最大能输出 $4$，之后可以不断减小，因此值域是 $(-\infty,4]$。

从 $y=4-\sqrt{x+1}$ 出发，先移项得到 $4-y=\sqrt{x+1}$。右边非负，所以这一步已经告诉我们 。然后平方，，得到

$$h^{-1}(x)=(4-x)^2-1,\qquad x\le4.$$

反函数的值域是 $[-1,\infty)$。虽然 $(4-x)^2-1$ 这个多项式对 $x>4$ 也能计算，但那些输入从来没有被原函数输出过，不能算进反函数定义域。例如往这个多项式里塞入 $5$ 会得到 ，可原函数 ，并不返回 ，来回检查马上失败。

在正确范围内则没有问题：$h(h^{-1}(y))=4-\sqrt{(4-y)^2}=4-|4-y|=y$，因为 ；另一个方向是 ，因为 。公式和范围合在一起，反函数才算写完整。

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自检练习

练习一：设 $f$ 的图像经过 $(-4,2)$、$(0,-1)$、$(6,3)$，定义域为 $[-4,6]$，值域为 。对于 ，求三个对应点、新定义域与新值域，并解释水平翻折发生在哪里。

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内部满足 $-2(x+1)=u$，所以新横坐标是 $-1-u/2$；新纵坐标是 $3v-4$。三个对应点分别为 $(1,2)$、、。

练习二：设 $p(x)=x^2-1$。分别说明 $|p(x)|$ 和 $p(|x|)$ 怎样从原图像得到，写出 $\mathrm{\mid }$ 的分段式，并求 的解集。

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$|p(x)|=|x^2-1|$ 把原图像在 $x$ 轴下方的部分翻到上方。原函数在 $-1<x<1$ 时为负，因此

练习三：设 $f(u)=\sqrt{u-1}$，$g(x)=2/(x+1)$。求 和 的定义域，并说明为什么前者不能简单取两个原定义域的交集。

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$f(g(x))=\sqrt{2/(x+1)-1}$。内层要求 $x\mathrm{\ne }-$，外层要求 ，即 。在 时商为负，在 时非负，在 时又为负，所以定义域是 。

练习四：设

$$p(x)= \begin{cases} 2x+1, & x<1,\\ 4-x, & x\ge1. \end{cases}$$

写出 $q(x)=p(-x)+2$ 的分段式，并求 $q(-1)$、$q(2)$。解释分段不等号为何改变方向。

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交给 $p$ 的输入是 $-x$。第一段要求 $-x<1$，即 $x>-1$，对应输出 $2(-x)+1+2=3-2x$。第二段要求 ，即 ，对应输出 。按区间顺序写为

练习五：函数 $f(x)=(x+2)^2+1$ 限制在 $x\le-2$ 上。求反函数、定义域和值域，并用输入 $-5$ 做一次正向、反向核验。若不限制定义域，会出现什么问题？

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原函数在 $(-\infty,-2]$ 上严格递减，值域为 $[1,\infty)$。由 $y=(x+2)^2+1$ 得 。原定义域保证 ，所以 。

练习六：判断以下说法，并解释依据。甲：$f(x)=x^2$ 限制在 $[0,4]$ 上，仍是偶函数。乙：$g(x)=x^3-2x$ 在全体实数上是奇函数，因此一定有反函数。丙：把 化简得到 ，就能断定 与 互为反函数。

显示完整解答

甲不成立。定义域 $[0,4]$ 不关于 $0$ 对称，例如输入 $2$ 被允许，$-2$ 却不被允许，所以不能称为偶函数。

乙的前半句成立，因为 $g(-x)=-g(x)$；后半句不成立。奇函数只是关于原点对称，并不保证不同输入给出不同输出。例如 ，，，所以它在全体实数上不是一一对应的，没有反函数。

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带着这些操作，继续研究更复杂的图像

现在再看一个式子，已经可以先拆开读它。$-2f(3(x-1))+4$ 告诉我们每个旧点怎样移动；$f(g(x))$ 告诉我们输入经过哪些中间步骤；$f^{-1}$ 则提醒我们先检查原规则有没有把不同输入混成同一个输出。分段的条件、定义域的限制，都属于函数本身，不能只搬公式而把它们落下。

但还有一类问题，仅靠移动一张熟悉的图像不够。例如 $x^3-4x$ 为什么在某些地方穿过 $x$ 轴？分式 $(x^2-4)/(x-2)$ 约分后变成 ，原来不能输入的 在图上留下了什么？而 在同一个位置又为什么表现不同？

下一章就从这些问题继续。我们会把本章的点位、定义域与变换方法用到多项式和有理函数上，进一步看清零点、因子和分母怎样决定图像的具体形状。