极限与连续性的图像直觉

上一章里，我们跟着数列一项一项往后走：$1,\frac12,\frac14,\frac18,\ldots$ 的项越来越靠近 $0$，某些部分和也会靠近一个确定的数。现在把这个问题搬回函数图像。输入不必只取整数，也不必一直往无穷远处走；它可以从 $0.9$、$0.99$、$0.999$ 靠近 $1$，也可以从另一边靠近。我们想知道：这些不同的靠近方式，会不会把输出带到同一个数附近？

这就是本章要建立的极限直觉。我们会先把“某一点的值”和“这一点附近的趋势”分开，再看它们什么时候能够接上。前者关系到代入，后者关系到极限，两者接得恰好，才叫连续。

先交代学习的分寸：这里讲的是直观版的极限。我们会认真检查左右两侧、定义域和代数变形条件，也会用反例排除错误判断；但极限的严格定义与一般定理的证明，留到微积分课程再展开。现在的任务是把问题问对，把每一步计算的理由说清楚。

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一个不能代入的点，附近却很有规律

看这个函数：

$$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1},\qquad x\ne1.$$

如果问题是“$f(1)$ 等于多少”，回答很干脆：没有定义。分母在 $x=1$ 时为 $0$，原式不能给出一个实数输出。把它写成 $0/0$，只是显示代入遇到了什么障碍，并没有算出答案。

可如果问题换成“$x$ 靠近 $1$ 时，$f(x)$ 会怎样”，我们还有很多东西能算。比如下面两行输入都往 $1$ 靠，第一行从左边，第二行从右边：

两边的输出都在向 $2$ 靠。这暂时是一个数值观察，接着用代数解释它为什么会发生。只要 $x\ne1$，就有

$$\frac{x^2-1}{x-1} =\frac{(x-1)(x+1)}{x-1} =x+1.$$

于是，当输入离 $1$ 差 $0.01$ 时，输出离 $2$ 也差 $0.01$；当输入离 $1$ 差 $0.000001$ 时，输出离 $2$ 也差同样多。更一般地，

$$|f(x)-2|=|(x+1)-2|=|x-1|,\qquad x\ne1.$$

这条关系比表格更有说服力：它说明了所有允许的附近输入，而不只是我们恰好列出的六个数。你希望输出多靠近 $2$，就把输入限制到同样靠近 $1$ 的范围内。我们因此写

$$\lim_{x\to1}f(x)=2.$$

读作“当 $x$ 趋近于 $1$ 时，$f(x)$ 的极限是 $2$”。符号下面的 $1$ 是输入靠近的目标，等号右边的 $2$ 是输出靠近的目标，别把这两个位置混起来。

点值和极限为什么能分开

现在另造一个函数，把刚才缺掉的点放在高度 $0$：

$$F(x)= \begin{cases} \dfrac{x^2-1}{x-1},&x\ne1,\\ 0,&x=1. \end{cases}$$

它的图像在 $(1,2)$ 留一个空心点，在 $(1,0)$ 放一个实心点。附近的曲线没有动，因此

$$F(1)=0,\qquad \lim_{x\to1}F(x)=2.$$

我们也可以把 $F(1)$ 改成 $7$，或者干脆仍然不定义它，极限还是 $2$。极限研究的是 $1$ 附近、去掉 $1$ 本身之后的行为。你以后会见到“去心邻域”这个词，它说的就是这样一段去掉中心点的附近范围。

下面把点值另外改为 $4$，与完全不定义这一点的情况比较。右图对应的函数在 $x\ne1$ 时仍为 $x+1$，只在 $x=1$ 处取 $4$；它与前面 的例子采用不同点值，却有同样的附近趋势。

空心点 $(1,2)$ 记下缺口，右图的实心点 $(1,4)$ 记下另外规定的值。两图在 $x\to1$ 时的极限都是 $2$，因为我们比较的是附近曲线趋向哪里。

不过，不能把这理解成“函数值永远不能等于极限”。常值函数 $g(x)=2$ 在附近每一点都已经等于 $2$，照样有 $\lim_{x\to1}g(x)=2$；普通直线 $$ 也有 。极限允许输出等于目标值，也允许从目标值的两边来回靠近。它要求的是充分靠近输入目标之后，输出能稳定地留在目标值附近。

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从左边来，和从右边来，要分别看

在刚才的例子里，两边很合作，都把函数值带向 $2$。分段函数却常常让两边走向不同高度。这时，“靠近”就需要说明方向。

$$\lim_{x\to a^-}f(x)=L$$

表示从 $a$ 的左侧靠近，也就是取 $x<a$ 的输入。这里的小负号不是说 $a$ 是负数，更不是说极限是负数。比如 $x\to3^-$ 可以依次取 $2.9,2.99,2.999$，它们全是正数。

$$\lim_{x\to a^+}f(x)=R$$

表示从 $a$ 的右侧靠近，也就是取 $x>a$ 的输入。比如 $x\to-2^+$ 可以取 $-1.9,-1.99,-1.999$。这些数虽然是负的，在数轴上却都位于 右边。

当目标点两侧都有定义域内的点时，通常不加左右标记的极限叫双侧极限。它存在并等于有限数 $L$，恰好要求

$$\lim_{x\to a^-}f(x)=L \quad\text{且}\quad \lim_{x\to a^+}f(x)=L.$$

两边都能给出答案还不够，还要给出同一个答案。一边没有稳定的有限目标，或者两边目标不一样，双侧有限极限就不存在。

例题：分段公式里的等号，究竟管哪件事

设

$$p(x)= \begin{cases} x+2,&x<1,\\ 8,&x=1,\\ 2x-1,&x>1. \end{cases}$$

求 $x=1$ 处的点值、左右极限和双侧极限。

先看点值。只有中间那一行允许 $x=1$，因此 $p(1)=8$。这一步完全由分段条件里的等号决定。

接着从左边靠近 $1$。不管靠得多近，只要还在左边，就用 $x+2$，所以

$$\lim_{x\to1^-}p(x)=\lim_{x\to1^-}(x+2)=3.$$

从右边靠近时，使用的始终是 $2x-1$，所以

$$\lim_{x\to1^+}p(x)=\lim_{x\to1^+}(2x-1)=1.$$

左右分别靠近 $3$ 和 $1$，因此 $\lim_{x\to1}p(x)$ 不存在。不能把两个结果平均成 $2$，也不能因为实心点在高度 $8$ 就答 $8$。把 改成任何数，都改变不了两边的高度差。

即使把目标位置换成 $0$，让左支趋于 $1$、右支趋于 $3$，判断依据也相同：两边没有接到同一高度，双侧极限就不存在。

图像里的空心点、实心点回答的是“这个位置算不算图像上的点”。求极限时则沿着相应一侧的曲线观察趋向。先读两条靠近路线，最后再读实心点，会比一眼寻找某个醒目的圆点可靠得多。

绝对值也可能藏着分段

函数 $q(x)=|x|/x$ 看起来只有一行，实际上在 $x<0$ 时，$|x|=-x$，所以 $q(x)=-1$；在 时，，所以 。于是

$$\lim_{x\to0^-}\frac{|x|}{x}=-1, \qquad \lim_{x\to0^+}\frac{|x|}{x}=1.$$

双侧极限不存在。这也是为什么不能看到分子分母都有 $x$，就直接“约掉”：$|x|$ 和 $x$ 在负数一侧根本不是同一个因子。

定义域端点没有的一侧，不需要硬造出来

实数函数 $r(x)=\sqrt{x}$ 的定义域是 $[0,+\infty)$。讨论 $0$ 附近的行为时，允许的输入只有右侧，所以本章明确写

$$\lim_{x\to0^+}\sqrt{x}=0.$$

不要为了画出左右对称的表格而计算 $\sqrt{-0.01}$，那已经走出了这个实数函数的定义域。也不要据此说它的图像在起点“断了”：在定义域端点讨论连续性，本来就只检查定义域内的这一侧。稍后我们会把这句话写成清楚的条件。

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表格和图像能帮你发现什么，又会漏掉什么

用表格找极限时，先选目标点两侧的输入，距离逐步缩小，再比较输出。用图像时，先标出目标横坐标，从左、右两支分别靠近，记录各自趋向的高度。最后另找点值。这几个动作可以放在同一张记录表里：

下面的交互可以用来比较不同图像的左右靠近行为。先自行预测两边的输出，再改变靠近位置核对。

观察的价值在于提出猜想，检查自己的符号方向，发现某一侧是否与预想不同。但无论表格列得多整齐，屏幕看起来多平滑，有限个采样点都不能替所有附近输入作保证。

比如 $s(x)=\sin(\pi/x)$。若只选 $x=1,1/2,1/3,\ldots$，算出的值全是 $0$，因为角度分别是 $\pi ,2\pi ,3\pi$。你很可能据此猜“靠近 时极限是 ”。可在这些点之间，还藏着不断出现的 和 。取点的方法把问题遮住了，增加同类采样也不会自动解决。

绘图软件同样靠有限分辨率显示图像。一个被排除的点可能比屏幕上的一个像素还小，软件也可能把两段很陡的曲线连成一条假竖线。所以看到“没有洞”的屏幕图像之后，仍要检查原式的定义域；看到疑似竖直渐近线，也要查看两侧的数值与符号。

这并不是让你放弃图表。较好的顺序是：图表帮助发现趋势，表达式解释趋势，已知极限规律支持计算。遇到暂时只有图表的题，可以明确说“估计极限为……”。遇到能化简的表达式，就把解释补上，像我们从 $x+1$ 得到 $|f(x)-2|=|x-1|$ 那样。

弧度在数表里又出现了

三角函数章节里，我们说过弧度会让微积分中的关系更自然。现在可以先看一个预告：

$$\frac{\sin h}{h},\qquad h\ne0.$$

把计算器设成弧度模式，用正、负两侧接近 $0$ 的输入计算：

数值提示它可能靠近 $1$。表格里的 $1.000000$ 是四舍五入的显示结果，不表示这些非零输入算出的比值已经精确等于 $1$。这是另一个计算器会遮住的细节：显示精度有限，不能用“屏幕上相等”代替数学上的相等。

在弧度制下，确实有 $\lim_{h\to0}\sin h/h=1$，但这张表不是它的证明。这个结论需要更完整的单位圆几何比较与夹逼论证，这里只把它作为数值探索的结果与后续学习的预告，不拿它去假装证明更多微积分公式。

如果误用角度模式，把同一个数值 $h$ 当作度数，分子实际计算的是 $\sin(\pi h/180)$，整个比值靠近的将是 $\pi/180$，而不是 $1$。因此极限数表里，输入单位也是函数定义的一部分；换了单位，不能期待原来的数值关系照搬。

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什么时候可以直接代入

学过“极限不由点值单独决定”，很容易走到另一个极端：以后所有极限都不许代入。其实许多熟悉的函数，在附近的行为恰好与点值接得上。对于这样的连续函数，代入就是求极限的有效方法。

先看最简单的两个规律：$x$ 靠近 $a$，它自己的极限就是 $a$；常数 $k$ 无论输入怎么变化，输出都为 $k$。在此基础上，如果两个函数分别有有限极限

$$\lim_{x\to a}f(x)=A, \qquad \lim_{x\to a}g(x)=B,$$

那么把两个趋于稳定的输出相加、相减或相乘，结果也趋向相应的运算结果：

$$\begin{aligned} \lim_{x\to a}[f(x)+g(x)]&=A+B,\\ \lim_{x\to a}[f(x)-g(x)]&=A-B,\\ \lim_{x\to a}[f(x)g(x)]&=AB,\\ \lim_{x\to a}[k f(x)]&=kA. \end{aligned}$$

除法多一条不能省的条件：

$$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac AB, \qquad B\ne0.$$

为什么分母要另看？因为靠近 $0$ 的分母可能把原本很小的差别放大得很厉害。$1/0.1=10$，$1/0.001=1000$，你不能把这样的行为当成“把两个有限数除一下”处理。

整数正次幂可以看成反复相乘，因此 $\lim_{x\to a}[f(x)]^m=A^m$。开方也可以把极限放进根号，但必须满足实数定义域条件：偶次根下的量在所讨论的附近输入上要非负，极限也要非负；如果只能从一侧有定义，就用相应的单侧极限。

这些规则是从“每个组成部分都有有限极限”出发的，不能倒着乱用。比如 $f(x)=1/x$、$g(x)=-1/x$ 在 $x\to0$ 时都没有有限极限，但它们相加后恒为 $0$，和的极限反而存在。看到一个和或乘积时，如果组成部分没有所需的极限，就不能机械拆开计算，更不能把 当成 。

这些规律的严格证明以后再学，现在先把它们连同条件使用起来。多项式只有有限次加、减、乘、非负整数次幂，所以它在每个实数点的极限都等于代入值。例如

$$\lim_{x\to2}(x^3-2x+5)=8-4+5=9.$$

有理函数只要分母在目标点不为 $0$，也能直接代入：

$$\lim_{x\to2}\frac{x^2+3}{x+4}=\frac{4+3}{2+4}=\frac76.$$

我们熟悉的指数函数、正弦和余弦在每个实数处也都连续。对数、正切、根式以及由它们组成的函数，则要先守住各自的定义域。例如 $\ln x$ 在 $x=2$ 附近能代入求极限，在 $x=0$ 就不能用“$\ln0$”冒充结果；$\tan x$ 在 $\pi/2$ 处也不满足直接代入的条件。

$0/0$ 是未定式，不是某一个答案

假设代入分子、分母后都趋于 $0$。只知道这两件事，仍然不知道它们的比值怎样变化。把下面四个式子放在一起看，差别会很直观：

它们的分子分母都趋于 $0$，结局却不同。“未定”的意思就是：目前的信息还不足以确定，继续分析。既不能见到 $0/0$ 就写 $0$ 或 $1$，也不能立刻断言极限不存在。

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把代数工具拿回来：约分、通分、有理化

到这里，我们没有发明新的代数技巧。前面处理有理函数时学过的因式分解、通分、共轭式，现在只是多了一个用途：把目标点附近真正发生的变化露出来。

例题：约掉的是非零因子，保留的是附近的行为

求

$$\lim_{x\to3}\frac{x^2-x-6}{x^2-9}.$$

直接代入遇到 $0/0$。先因式分解，而不是猜它的值：

$$\frac{x^2-x-6}{x^2-9} =\frac{(x-3)(x+2)}{(x-3)(x+3)} =\frac{x+2}{x+3},\qquad x\ne3,-3.$$

我们研究 $3$ 附近但不等于 $3$ 的输入，因子 $x-3$ 正好非零，所以这一步约分合法。化简后的分母在 $3$ 处等于 $6$，这才可以使用商的极限规律：

$$\lim_{x\to3}\frac{x^2-x-6}{x^2-9} =\lim_{x\to3}\frac{x+2}{x+3} =\frac56.$$

注意最后得到的是极限。原函数在 $x=3$ 处仍没有定义，约分没有自动替它补点。原函数在 $x=-3$ 处的另一个限制也没有消失，只是它离当前研究的点有一段距离，不影响 $3$ 附近的这个判断。

这里可把一个常用原则说清楚：如果两个函数在目标点附近、除目标点本身之外都相等，那么它们在该点的极限行为相同。极限看附近，因此我们有权借用一个更容易算的表达式。

例题：分子里还有分式，先让差值成为一个整体

求

$$\lim_{x\to2}\frac{\frac1x-\frac12}{x-2}.$$

如果分开处理分子里的两项，就很难看出与分母 $x-2$ 的关系。先通分：

$$\frac1x-\frac12=\frac{2-x}{2x}=-\frac{x-2}{2x}.$$

所以在 $x\ne0,2$ 时，

$$\frac{\frac1x-\frac12}{x-2} =-\frac{x-2}{2x(x-2)} =-\frac1{2x}.$$

现在趋近 $2$，分母趋向 $4$，极限是 $-1/4$。这个负号也符合函数图像：$1/x$ 在正数范围内随着 $x$ 增加而减小，所以跨过一小段正向输入变化，输出变化会是负的。我们还没有用任何求导公式，只是算出了一个差值比的极限。

例题：有理化不是去掉根号的仪式

求

$$\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{9+x}-3}{x}.$$

分子是两个接近的数相减，不容易直接看出它与 $x$ 的比例。乘上共轭式，可以利用平方差把根号里面的 $x$ 显出来：

$$\begin{aligned} \frac{\sqrt{9+x}-3}{x} &=\frac{(\sqrt{9+x}-3)(\sqrt{9+x}+3)}{x(\sqrt{9+x}+3)}\\ &=\frac{9+x-9}{x(\sqrt{9+x}+3)}\\ &=\frac1{\sqrt{9+x}+3},\qquad x\ne0. \end{aligned}$$

在 $0$ 附近，根号有定义，共轭式为正，乘除它都没有引入非法操作。新分母趋于 $6$，因此

$$\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{9+x}-3}{x}=\frac16.$$

这三个例题的共同点，是原式在目标点不好算，但附近有一个相等、而且容易求极限的表达式。下一章的割线斜率也会出现这类差值比，今天用到的代数操作会直接接上。

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无穷出现在输入端，还是输出端

前面有理函数的渐近线，现在可以用极限语言重新读一遍。不过先分清两个问题：一个问“输入走得很远以后怎样”，另一个问“靠近某个位置时，输出会不会失去有限的界限”。

输入走向无穷远

看

$$u(x)=1+\frac1x.$$

取 $x=10,100,1000$，输出分别为 $1.1,1.01,1.001$。这里没有一个有限的目标横坐标，输入会超过我们指定的任何正数，输出却在靠近 $1$：

$$\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac1x\right)=1.$$

从另一端取 $x=-10,-100,-1000$，输出为 $0.9,0.99,0.999$。输入向负无穷远走，输出也靠近 $1$：

$$\lim_{x\to-\infty}\left(1+\frac1x\right)=1.$$

这正是图像的水平渐近线 $y=1$ 的含义。这里只要正无穷或负无穷其中一端的极限为某个有限数 $L$，就能把 $y=L$ 称为那一端的水平渐近线；两端也可能趋向不同高度。

渐近线也不是一堵不能碰的墙。例如

$$v(x)=1+\frac{\sin x}{x},\qquad x\ne0,$$

在非零整数倍的 $\pi$ 处会等于 $1$，穿过水平线 $y=1$。同时，因为

$$\left|\frac{\sin x}{x}\right|\le\frac1{|x|},$$

它离 $1$ 的偏差在两端都趋于 $0$，所以 $y=1$ 仍是水平渐近线。“可以等于目标”和“趋向目标”没有冲突。

输出向上或向下无界变化

改看

$$w(x)=\frac1{(x-2)^2}.$$

当 $x$ 与 $2$ 相差 $0.1$ 时，输出为 $100$；相差 $0.01$ 时，输出为 $10000$。左右都一样，因为分母有平方，始终为正。我们写

$$\lim_{x\to2}w(x)=+\infty.$$

这是说：只要 $x$ 足够靠近 $2$ 而不等于 $2$，输出就能持续超过我们指定的任何有限高度。它不是只在某几个点突然变得很大，也不是最后等于一个叫“无穷大”的实数。

如果前面加上负号，就有

$$\lim_{x\to2}\left(-\frac1{(x-2)^2}\right)=-\infty.$$

如果去掉平方，情况又变了：

$$\lim_{x\to2^-}\frac1{x-2}=-\infty, \qquad \lim_{x\to2^+}\frac1{x-2}=+\infty.$$

左边分母是很小的负数，右边分母是很小的正数。因此这个双侧极限不能写成 $+\infty$，也不能写成 $-\infty$。两个方向必须分开交代。“两边都很大”遗漏了负号，也遗漏了两边根本没有走向同一个方向。

只要某一侧趋于 $+\infty$ 或 $-\infty$，相应的竖线 $x=a$ 就是竖直渐近线。它描述的仍是附近行为，即使另外给 $f(a)$ 指定一个有限点值，也不能改变附近的无界趋势。

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没有有限极限，不一定是冲向无穷

到目前为止，我们见过两种失败方式：一是左右靠近不同的有限数，二是输出向上或向下无界变化。还有一种更容易被“输出有界”这个表象骗过的情况：函数始终待在一个有限范围里，却一直安定不下来。

看

$$z(x)=\sin\frac1x,\qquad x\ne0.$$

正弦值始终在 $[-1,1]$ 中，绝不会冲到无限高。但 $x$ 越靠近 $0$，角度 $1/x$ 越大，单位圆上的点会继续转过越来越多圈。输出在 $-1$ 与 $1$ 之间摆动，而且摆动幅度没有缩小。

我们可以借用上一章的数列，具体抓住这种摆动。令 $n=1,2,3,\ldots$，选两列正的输入：

$$a_n=\frac1{\pi/2+2\pi n}, \qquad b_n=\frac1{3\pi/2+2\pi n}.$$

它们都从右侧趋于 $0$，但输出始终分别为

$$z(a_n)=1,\qquad z(b_n)=-1.$$

无论靠近得多紧，两列输入仍给出相差 $2$ 的输出。既然单是右侧就不能稳定靠向同一个数，$x\to0$ 的双侧有限极限当然不存在。这也解释了为什么有限采样可能漏掉振荡：只看某一列“表现整齐”的输入，会错过别的靠近方式。

会振荡，不代表一定没有极限

把刚才的函数乘上 $x$，令

$$k(x)=x\sin\frac1x,\qquad x\ne0.$$

角度还是转得很快，正弦也还在摆动，可输出幅度现在受 $|x|$ 限制：

$$-|x|\le x\sin\frac1x\le|x|.$$

当 $x$ 靠近 $0$，上下两条边界都靠近 $0$，中间的输出就被压进越来越窄的范围，极限为 $0$。这种用上下界把输出夹向同一目标的方法，叫夹逼的思路。这里先看懂直觉，不展开一般定理的证明。

所以读振荡图像时，不能只看“波越来越密”。还要看波动的高度有没有缩小。$\sin(1/x)$ 的高度不缩小，$x\sin(1/x)$ 的高度被压向 $0$，极限结果因此完全不同。

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连续：附近的趋势与实际点值接上了

我们终于可以回来处理一开始留下的连接问题。对于一个定义域内的普通内点 $a$，函数在这里连续，需要下面三件事同时成立：

1. $f(a)$ 有定义，目标输入本身确实对应一个有限输出。
2. $\lim_{x\to a}f(x)$ 存在且有限，左右附近趋向同一个高度。
3. $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$，这个高度正好就是实际点值。

第一条负责“点在不在”，第二条负责“附近能不能接到同一个地方”，第三条负责“这个点有没有放对位置”。把它们合起来，就是

$$\lim_{x\to a}f(x)=f(a).$$

这个简短的等式默认两边都确实存在。不能在左边不存在、右边也不存在时，说“它们一样没有，所以相等”。不存在不是一个可以拿来比较相等的数。

重新检查开头的函数，会看到三个不同结果：原来的 $(x^2-1)/(x-1)$ 在 $1$ 处缺少点值，不能在那里连续；另外规定点值为 $0$，虽然点值和极限都存在，但 $0\ne2$，仍不连续；如果把点值补成 ，三个条件就都满足了。

“一笔画过去不用抬笔”可以帮助想象这些图像，却不适合作为唯一检查办法。一方面，软件可能把一个洞藏起来；另一方面，连续不要求曲线圆滑。$y=|x|$ 在原点有尖角，但左右极限都为 $0$，点值也为 $0$，所以它在那里连续。下一章讨论切线斜率时，这个尖角才会带来另一个问题。

连续的区间，也要把端点说清楚

说函数在开区间 $(a,b)$ 上连续，就是它在区间里的每一点都连续。说它在闭区间 $[a,b]$ 上连续，则还要检查：

$$\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a), \qquad \lim_{x\to b^-}f(x)=f(b).$$

左端点看右侧，右端点看左侧，因为我们研究的是区间内部能够靠近的方向。比如 $\sqrt{x}$ 在 $[0,4]$ 上连续：内部没有断开，$0$ 处右极限为 $0$，$$ 处左极限为 ，都与端点值相等。

反过来，如果把它在 $0$ 处的值另外改成 $3$，右极限仍然是 $0$，它就不在这个闭区间上连续。端点只看一侧，可没有免除“极限等于点值”的要求。

“在定义域内连续”和“在整个实数轴上连续”也不同。$1/x$ 在 $(-\infty,0)$ 和 $(0,+\infty)$ 上分别连续，但不能说它在跨过 $0$ 的整个区间上连续。使用连续函数的性质时，必须确认你要使用的那段区间没有遗漏点或断点。

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间断发生在哪里，能不能只改一个点修好

连续性检查失败之后，别只留下“不连续”三个字。继续问失败发生在哪一环，往往能看出图像发生了什么，也能知道该如何处理。

可去间断有一个有限的双侧极限，只是点值缺失或放错了。把点值补成极限，就能连续。开头那个缺了 $(1,2)$ 的函数属于这一类，“可去”说的是这个间断可以通过补改一个点消除。

跳跃间断的左右有限极限都存在，却不相等。它需要修的是两边的接合，单独挪动一个实心点无济于事。$|x|/x$ 在 $0$ 处的行为就是如此。

无穷间断至少有一侧向正无穷或负无穷发展。附近根本没有一个有限高度可供补点，$1/(x-2)$ 和 $1/(x-2)^2$ 在 $2$ 处都属于这一类。

还有刚才的振荡型间断，例如 $\sin(1/x)$ 在 $0$ 附近的行为。它不属于前三类里的任何一种：没有有限双侧极限，不是两个有限高度的跳跃，也不是趋于某个方向的无穷。这提醒我们，前三种只是常见类型，并没有列尽所有可能。

例题：同一个有理函数，两个问题点不一定同类

设

$$H(x)=\frac{x^2-4}{x^2-x-2}.$$

先找定义域。分母等于 $(x-2)(x+1)$，因此排除 $2$ 和 $-1$。在其余点，分母非零的有理函数连续，重点只需检查这两个位置。

因式分解后，

$$H(x)=\frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+1)} =\frac{x+2}{x+1},\qquad x\ne2,-1.$$

在 $x=2$ 附近，化简后的分母趋向 $3$，所以

$$\lim_{x\to2}H(x)=\frac43.$$

原函数在那里没有定义，是可去间断；补上 $H(2)=4/3$ 就能修好这个点。

在 $x=-1$ 附近，分子 $x+2$ 保持为正且趋于 $1$，分母 $x+1$ 却从负、正两侧趋于 $0$，因此

$$\lim_{x\to-1^-}H(x)=-\infty, \qquad \lim_{x\to-1^+}H(x)=+\infty.$$

这里是无穷间断，不能靠补一个有限点值修好。这个例题也说明，“分母为零”只是提醒你检查，并没有直接告诉你是洞还是竖直渐近线。

例题：给分段函数选参数，让三个部分真正接上

设

$$J(x)= \begin{cases} x^2+1,&x<2,\\ c,&x=2,\\ mx-1,&x>2. \end{cases}$$

要让 $J$ 在 $2$ 处连续，先别急着把所有地方的 $x$ 都换成 $2$。我们分别安排三个角色：左边靠近的高度是 $2^2+1=5$；右边靠近的高度是 $2m-1$；点值是 。

连续要求它们相等，所以

$$5=2m-1=c.$$

先从 $2m-1=5$ 解得 $m=3$，再把点值放到同一高度，得到 $c=5$。最后回代：左右极限都为 $5$，点值也是 $5$，确实连续。其余位置分别由多项式给出，本来就连续，因此这组参数还使整个函数在实数轴上连续。

如果只找到 $m=3$ 就停手，我们只保证了极限存在；如果随后令 $c=9$，函数仍会在 $2$ 处留下一个可去间断。这种参数题考的正是“附近接上”和“点值放对”两件事。

还有一个选分支的小细节：在上题的 $x=1$ 附近，无论从 $1$ 左边还是右边靠近，都仍然满足 $x<2$，因此两侧都使用 $x^2+1$。这里的“右侧”指目标点 $1$ 的右侧，并不自动等于分段式最后一行。只有真正跨过分界点 时，公式才会切换。

分段函数也不一定只在分界点出问题。如果某段公式是有理式、对数或正切，还要检查它在该段使用范围内有没有自己的定义域障碍。只有各段本身都连续、且所有接缝都接好，才能谈整段区间上的连续。

下面的交互可以帮助练习这种诊断。先记录点值，再记录两侧的有限极限或无穷趋势，最后判断连续性；不要把“有实心点”当成连续的充分条件。

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连续函数为什么不能跳过中间高度

假设一个连续变化的水温从 $18$ 度升到 $26$ 度。我们未必知道它哪一分钟达到 $22$ 度，也未必知道它只达到过一次；但在连续模型下，它必定经过 $22$ 度。即使温度先上升、再回落、再上升，这个结论仍然成立。

数学上，这叫介值定理。若 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，$M$ 是介于 $f(a)$ 和 $f(b)$ 之间的一个数，那么区间里至少有一个 $c$，使

$$f(c)=M.$$

如果 $M$ 严格位于两个不同的端点值之间，那么可以保证 $c$ 位于开区间 $(a,b)$ 内。这里没有要求函数必须上升，或必须下降；关键是整段连续，中途不能跳过目标高度。

例题：不会解出精确根，也能确认根在这里

考虑方程

$$x^3+x-3=0.$$

设 $P(x)=x^3+x-3$。它是多项式，在 $[1,2]$ 上连续。计算两端：

$$P(1)=-1, \qquad P(2)=7.$$

$0$ 严格夹在 $-1$ 与 $7$ 之间，所以存在 $c\in(1,2)$，使 $P(c)=0$。到这里，我们已经证明这个区间里至少有一个实根，而不用先找出它的精确表达式。

还可以继续缩小范围：

$$P(1.2)=1.728+1.2-3=-0.072,$$ $$P(1.3)=2.197+1.3-3=0.497.$$

于是某个根就在 $(1.2,1.3)$ 内。每次保留一个端点异号、且函数连续的更小区间，就能逐步夹近根。这就是以后数值求根中二分思路的基础。

介值定理没有承诺什么

它保证至少一次，不保证唯一。例如 $f(x)=x^3-x$ 在 $[-2,2]$ 上连续，端点值分别为 $-6$ 和 $6$，而它在 三处都等于 。如果想证明唯一性，需要额外理由，例如已知函数在该区间严格单调。

端点同号也不能推出没有根。$x^2-1$ 在 $[-2,2]$ 的两个端点都取值 $3$，中间仍有两个零点。介值定理的“端点异号能保证有根”，不是“只有端点异号才可能有根”。

更不能漏掉连续条件。$1/x$ 在 $-1$ 和 $1$ 的值确实一负一正，可它在中间的 $0$ 处没有定义，并没有任何输入使 $1/x=0$。两边符号变化是从断开的地方过去的，不是穿过零高度。

对于实际测量，也要分清连续模型与离散读数：显示屏按整度跳动，不等于真实温度按整度瞬间跳跃；某项费用按档位收费，则完全可能真的是跳跃函数。先说明研究的量和采用的模型，连续性的判断才有对象。

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自己判断一次，再展开解答

练习：极限和点值分开记录

已知 $f$ 在 $3$ 的左侧趋向 $7$，右侧也趋向 $7$，但 $f(3)$ 没有定义。求双侧极限，判断间断类型，并说明怎样修改才能在 $3$ 处连续。如果改成 $f(3)=9$，前两个结论会怎样？

显示答案

左右有限极限存在且相等，因此 $\lim_{x\to3}f(x)=7$。点值缺失，所以在 $3$ 处不连续，是可去间断。补定义 $f(3)=7$ 后，点值、极限及二者相等三个条件同时满足。

若改成 $$，附近函数没有变化，极限仍是 。虽然点值现在存在，，仍是可去间断。应该把点值放到 ，而不是任意补一个值。

练习：两种 $0/0$，不能凭外形猜结果

分别求下面两个极限，并说明变形适用的条件：

$$\lim_{x\to4}\frac{x^2-16}{x-4}, \qquad \lim_{h\to0}\frac{\sqrt{4+h}-2}{h}.$$

显示答案

第一个式子在 $x\ne4$ 时可以约去因子 $x-4$：

$$\frac{x^2-16}{x-4}=x+4.$$

练习：同一个函数，换一个目标就换一个问题

对 $q(x)=1+1/x$，分别描述 $x\to+\infty$、$x\to-\infty$、$x\to0^-$、 时的行为。 时能否写一个双侧的 或 极限？

显示答案

输入走向正、负无穷远时，$1/x$ 都趋于 $0$，所以两个无穷远极限都为 $1$，水平渐近线是 $y=1$。

从 $0$ 的左边靠近，$1/x$ 趋于 $-\infty$，加上有限常数 不改变这个趋势。从右边靠近，它趋于 。因此

练习：一个闭区间，两处接缝

函数定义为

$$f(x)= \begin{cases} ax+1,&0\le x<1,\\ x^2,&1\le x<2,\\ b,&x=2. \end{cases}$$

求使它在 $[0,2]$ 上连续的 $a,b$，并说明左端点 $0$ 要怎样检查。

显示答案

在 $x=1$ 处，左极限为 $a+1$，右极限和点值都为 $1$，因此 $a+1=1$，得到 $a=0$。

练习：有界与振荡，都不能单独决定极限

有人说：“$\sin(1/x)$ 始终在 $-1$ 与 $1$ 之间，所以它在 $x\to0$ 时有极限。”另一个人说：“$x\sin(1/x)$ 振荡得越来越快，所以它没有极限。”分别解释错误，并给出正确结论。

显示答案

第一句话把“输出不跑出一个范围”误当成“输出靠近同一个数”。$\sin(1/x)$ 可以沿趋于 $0$ 的不同输入列始终取 $1$ 或始终取 $-1$，因此有限极限不存在。

第二句话只注意了频率，没有注意幅度。由于

$$\left|x\sin\frac1x\right|\le|x|,$$

练习：把“至少有一个根”的理由写完整

说明 $R(x)=x^3-4x+1$ 在 $(0,1)$ 内至少有一个零点。仅凭这个理由，能否断言零点唯一？如果换成 $1/x$ 在 上端点异号，能否作相同判断？

显示答案

$R$ 是多项式，因此在 $[0,1]$ 上连续。计算 $R(0)=1>0$、$R(1)=-2<0$，由介值定理，存在 使 。完整理由包含连续、端点异号、存在区间内的零点这三步。

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下一步，把靠近用到斜率和累积量上

现在再看一个平均变化率：

$$\frac{f(a+h)-f(a)}h,\qquad h\ne0.$$

它比较横坐标相差 $h$ 的两个点。若把 $h$ 缩向 $0$，分子也可能缩向 $0$，于是又出现今天熟悉的 $0/0$ 未定形式。我们不会直接把 $h=0$ 塞进去，而会研究这些仍然有效的割线斜率是否靠近同一个有限数。下一章就从这里建立切线斜率与瞬时变化率的直觉。

另一个方向接着上一章的部分和：把一段区间分成许多小块，每块先计算一个贡献，再把贡献加起来。小块越来越细时，这些总和是否靠近一个稳定的累积量，同样要问极限。

到时候你会看见两种不同的对象：一个是越来越短区间上的比值，一个是越来越细分割下的总和。我们今天练习的“先检查定义域，再看附近行为，最后判断是否趋于同一结果”，正好能用来读懂它们。