导数与积分前奏

上一章，我们反复练习了一件事：把“这个点的值是多少”和“靠近这个点时，数值往哪里去”分开。像一个在目标点没有定义的分式，附近的值仍然可能靠近某个确定的数。现在，这个想法要开始解决真正的新问题了。

假设一辆小车的位置按 $s(t)=t^2$ 变化，时间用秒、位置用米记录。第 $2$ 秒时，小车在坐标 $4$ 米的位置，这个代入就能知道。但如果接着问“它在第 $2$ 秒这一瞬间有多快”，代入得到的 $4$ 米就答非所问了。位置是位置，变化得多快是另一件事。

我们还会反过来问：如果仪器只告诉你每一刻的进水速率，怎样知道几分钟后水箱一共增加了多少水？速率会变，不能随便挑一个读数乘上全部时间。

这两个问题分别把我们带到导数和积分门口。本章会认真走完它们的来路，也会写出必要的符号，但仍是一段前奏：极限沿用上一章的直观理解，求导法则、积分技巧和严格证明留到微积分课程里。你现在要学会的是看清一个公式在问什么，以及答案为什么该这样算。

平均变化率：先把一整段变化算清楚

同样走一段路，中间的快慢可以完全不同

先给位置定一个清楚的约定：小车沿一条直线移动，向右是正方向，$s(t)$ 是它在时刻 $t$ 的位置坐标。$s(t)=5$ 表示车在原点右侧 $5$ 米，不一定表示它从出发到现在总共走了 $5$ 米。车如果掉过头，累计路程和位置就会不同。

从时刻 $a$ 到时刻 $b$，其中 $b>a$，位置的改变量是 $s(b)-s(a)$，这叫位移。把位移除以经过的时间，得到平均速度：

这个数回答的是：“如果整段时间都保持同一个速度，要以怎样的速度运动，才能得到同样的位移？”它把中间过程压缩成了起点、终点和时间长度。

比如两辆车都在 $10$ 秒里从坐标 $0$ 米来到 $30$ 米，平均速度都是 $3$ 米每秒。一辆可以始终匀速，另一辆可以先停留再向前开。仅凭平均速度，无法还原它们第 $6$ 秒时的快慢。

把运动中的 $s$、$t$ 换成一般函数的 $f$、$x$，就是我们以前见过的平均变化率：

图像上的两个点是 $(a,f(a))$ 和 $(b,f(b))$。连接它们的直线叫割线，分子是竖直改变量，分母是水平改变量，所以平均变化率正是这条割线的斜率。我们并没有引入新的除法，只是开始用旧的斜率读一条弯曲的图像。

如果记录的是累计路程，路程差除以时间差给出平均速率；在始终沿正方向直线运动时，它也等于平均速度。一般位置函数允许下降，我们稍后会单独处理折返。

例题：水温下降的负号在说什么

一杯水冷却时，$T(t)$ 表示第 $t$ 分钟的温度。已知 $T(1)=76$ 摄氏度，$T(6)=56$ 摄氏度，求这段时间内温度的平均变化率。

我们先看输入：从第 $1$ 分钟到第 $6$ 分钟，实际经过了 $5$ 分钟。再看输出：温度改变了 $56-76=-20$ 摄氏度。因此

读成一句完整的话，就是“这 $5$ 分钟里，水温平均每分钟下降 $4$ 摄氏度”。负号交代下降方向，$4$ 交代平均变化的大小。它没有告诉我们第 $2$ 分钟恰好降了 $4$ 度，更没有告诉我们某一瞬间的降温速率。

这里也能看出单位的作用。输出用摄氏度，输入用分钟，变化率就必须用摄氏度每分钟。如果答案写成 $-4$ 摄氏度，得到的是温差的单位；如果写成分钟每摄氏度，又把变化率倒过来了。

把时间窗口缩短：一瞬间的速度从哪里来

回到小车，假设在我们研究的时间段内，它的位置数值满足

这里把秒和米作为固定计量单位，公式表示：输入时间的秒数，输出位置的米数。第 $2$ 秒时 $s(2)=4$，第 $3$ 秒时 $s(3)=9$，于是从第 $2$ 秒到第 $3$ 秒的平均速度是

但这一秒里车已经在加快，$5$ 未必是第 $2$ 秒的瞬时速度。我们可以把终点往回挪，先只看第 $2$ 秒之后的十分之一秒，再看百分之一秒。相应的计算是

右边的平均速度似乎在靠近 $4$。上一章提醒过我们：不能只看一侧。我们再把窗口放到第 $2$ 秒之前，观察车怎样来到这个时刻。

现在方向清楚了：从左边取短窗口，平均速度靠近 $4$；从右边取短窗口，也靠近 $4$。我们猜想第 $2$ 秒的瞬时速度是 $4$ 米每秒。

表格帮助我们形成判断，不过有限个读数不能代替极限的理由。好在这次有明确的函数式，可以进一步看清：为什么无论窗口怎样缩短，结果都会靠近 $4$。

用一个 $h$ 同时照顾左右两侧

把固定时刻记成 $2$，另一个时刻写成 $2+h$，平均变化率就统一写为

$h$ 是输入的有符号改变量，不是一个只能为正的距离。$h=0.1$ 时，第二个时刻在右边；$h=-0.1$ 时，第二个时刻在左边。无论取哪一种，都要求 $h\ne0$，并且 $2+h$ 仍在位置函数的适用时间内。

你也许会担心：$h$ 为负，难道平均速度把“负的经过时间”放进了分母？其实，我们只是把两个端点的书写顺序反了。比如 $h=-0.1$ 时，

分子、分母同时反号，比值不变。它描述的仍是正常时间区间 $[1.9,2]$ 上的平均速度。

现在展开差商：

这里的约分完全合法，因为我们研究的每个短窗口都有非零宽度。之后才问：当 $h$ 从正侧或负侧趋向 $0$，$4+h$ 趋向什么？答案是 $4$，因此

注意动作的先后：我们没有把原来的分母设成 $0$，也没有“算出 $0/0=4$”。我们先描述所有足够短、但宽度非零的窗口，再找到平均速度共同趋向的数。这正是上一章极限思想派上用场的地方。

导数与切线：同一个数的两种读法

刚才的结果，在运动里叫瞬时速度。在一般函数里，我们把这个局部变化率叫作函数在该点的导数。

设 $f$ 在包含 $a$ 的一个开区间内有定义。如果下面的双侧极限存在，并且是一个有限实数，就定义

$f'(a)$ 读作“$f$ 在 $a$ 处的导数”。先别把撇号当成一种神秘运算，它只是给刚才那个问题起了一个简短名字。$f(a)$ 问“到了这里，输出是多少”，$f'(a)$ 问“到了这里，输出对输入变化得多快”。

如果每个合适的输入位置都能做这个计算，$a$ 可以随输入改变，得到的局部变化率也组成一个函数，叫导函数，记成 $f'(x)$。例如对 $s(t)=t^2$，同样展开可得

所以在 $a>0$ 的时刻，$s'(a)=2a$。这是我们由差商算出的结果，不需要先记“平方函数怎样求导”的规则。位置 $s(2)=4$ 的单位是米，速度 $s^{\mathrm{\prime }}$ 的单位是米每秒；两个数恰巧相同，也绝不能当成同一件事。

两个点靠近时，割线在做什么

在图像上固定 $P=(a,f(a))$，让第二点 $Q=(a+h,f(a+h))$ 沿曲线靠近 $P$。连接它们的割线斜率，恰好就是差商。当差商趋向有限数 时，经过 、斜率为这个数的直线，就是我们此处讨论的切线。

可以在下面的演示中移动第二个点。先观察两个点仍分开时的割线，再关注横向间隔缩小时斜率的变化。图像是用来帮助观察的，是否有导数最终仍要由差商的极限判断。

例题：把第 $2$ 秒的切线真正写出来

我们已经知道位置曲线 $s=t^2$ 在 $t=2$ 处经过 $(2,4)$，切线斜率是 $4$。以前学过，一条直线只要知道一个点和斜率，就能用点斜式写出来。因此这条切线是

也就是

注意这里的直线表达式和原来的位置函数不是完全一样的函数。比如在 $t=3$ 时，直线给出 $8$，原曲线给出 $9$。切线代表的是附近的变化方向，并不承诺替代整段运动。

但在 $t=2.01$ 时，切线给出

实际值是 $2.01^2=4.0401$，两者只差 $0.0001$ 米。为什么靠近后效果好？因为

切线保留了原位置 $4$ 和随输入变化的 $4h$，漏掉的部分是 $h^2$。当 $h$ 很小时，$h^2$ 相比 $|h|$ 更小。你在图像上看到的“局部越来越像一条直线”，在这个例子里有这样清楚的代数原因。

对一般可导函数，切线方程也还是旧的点斜式：

新的是怎样取得斜率；点斜式本身，你早就会了。

切线可以在切点穿过曲线

圆的切线只有一个公共点，很容易让人以为所有切线都必须“只碰一下，不能穿过去”。对函数曲线，这个印象需要放下。

看 $f(x)=x^3$ 在原点的差商：

$h^2\to0$，所以 $f'(0)=0$，切线就是横轴 $y=0$。而 $$ 在原点左侧为负、右侧为正，曲线恰好穿过这条切线。它仍是切线，因为局部割线斜率确实趋向 。

切线也可能在远处与曲线再次相交。判断切线，要看指定点附近的变化方向，不能靠数整条图像有几个交点。

不是每个点都有导数

连续解决“接得上”，可导还要求“方向一致”

上一章已经告诉我们，连续函数在一个点处接得上。但接得上还不够，我们现在希望从两侧靠近时，平均变化率能趋向同一个有限数。

最简单的反例就是 $f(x)=|x|$。它在原点没有空洞，也没有跳跃，但图像有个尖角。把差商写出来，原因就不再只是看图的感觉：

从左边靠近，斜率始终是 $-1$；从右边靠近，斜率始终是 $1$。窗口缩得再小，双方也不一致，所以 $f'(0)$ 不存在。

这也说明，只算右侧的几个读数会漏掉关键问题。观察到右侧平均变化率稳定，并不足以给出双侧导数。

越来越陡，也不等于得到一个导数值

还有一种不同的情况。对于 $g(x)=\sqrt[3]{x}$，在原点的差商是

两侧的差商都会无界地增大，并没有趋向一个有限斜率。图像在原点有竖直切线的几何直觉，但我们通常意义下的有限导数仍不存在。不要把 $g'(0)$ 写成一个“等于无穷大”的普通数值。

尖角、竖直切线、间断都是需要警惕的形状，不过不必把它们背成穷尽所有情况的清单。最可靠的问题始终是：差商的双侧极限是否存在，而且有限？

我们这里优先讨论函数定义域内部的点。如果物理模型只从 $t=0$ 开始记录，$0$ 左侧没有允许的数据，就应明确说研究的是右侧瞬时变化率，不能假装已经检查了双侧。这种端点区别不会改变直觉，但会改变一句数学结论需要附带的条件。

速度有方向，速率只问快慢

前面的 $s(t)=t^2$ 小车一直朝正方向走，很容易让人把“速度是负数”忘掉。我们换一个可以折返的位置模型，看看这个负号怎样出现。

例题：车回到原处，不代表它没有运动

在 $0\le t\le6$ 秒内，设某物体的位置为

仍规定向右为正。它在 $t=0$ 时位于坐标 $9$ 米，$t=3$ 时来到原点，$t=6$ 时又回到坐标 $9$ 米。前半段朝左走，后半段朝右走。

我们直接从差商求任一内点 $a$ 处的速度：

于是

第 $2$ 秒速度为 $-2$ 米每秒，表示向负方向运动；第 $4$ 秒速度为 $2$ 米每秒，表示向正方向运动。这两个时刻的速率都是 $2$ 米每秒，因为速率只取速度的大小：

第 $3$ 秒的速度是 $0$，表示那个瞬间位置的一阶变化率为零，不表示物体在它前后一整段时间都静止。这里它恰好在改变运动方向。

再看全程，平均速度是

可是物体先走了 $9$ 米，又走了 $9$ 米，总路程为 $18$ 米，所以平均速率是 $18/6=3$ 米每秒。一次来回运动把位移抵消了，却没有把走过的路抵消。

读位置图像时，可以用下面这组关系自检。这里的“水平”指切线水平，不能仅凭一小块模糊的图像就断言整段位置不变。

因此，“位置图像越陡，速度越大”这句话还不够准确。陡峭程度对应的是斜率绝对值；很陡的下降线可以有很大的速率，但速度是一个很小的负数。说快慢时看绝对值，说方向时看正负号。

从速率找总量：为什么面积会出现

到这里，我们一直从位置或水温这样的函数出发，询问它变化得多快。现在反过来，假设你知道的是每一刻的速率，想知道一整段时间累积了多少。

水管如果始终以 $3$ 升每分钟的速率进水，持续 $4$ 分钟，进水量就是

这时的速率图像是水平线。在横轴上截取 $4$ 分钟，在纵轴上取高度 $3$ 升每分钟，形成的矩形面积就是 $12$ 升。面积突然出现，是因为“高乘宽”和“速率乘时间”本来就是同一次乘法。

若速率不断改变，一个矩形就不能把过程描述好了。但我们可以先切成短时间段。在足够短的一小段内，如果速率没有突然剧烈变化，选一个代表速率乘上这段时间，就能估计这小段的进水量。最后把所有小段加起来。

例题：同一段进水，为什么会有两个估计

假设在 $0$ 到 $4$ 分钟内，水管进水速率的数值是

它从 $2$ 升每分钟逐渐增加到 $6$ 升每分钟。先把时间分成四段，每段 $1$ 分钟：$[0,1]$、$[1,2]$、$[2,3]$、。

如果每段都使用开头的速率，我们得到四个矩形，估计为

为什么偏小？拿第一段来说，刚开始是 $2$ 升每分钟，但之后已经变得更快。把整段都按 $2$ 算，少算了后面增加的水量。其余各段也是同样的原因。

如果每段都使用结尾的速率，就得到

这次每段都借用了未来更高的速率，因而偏大。真正进水量在 $14$ 升和 $18$ 升之间。

这个例子的速率图像恰好是一条直线，曲线下的区域是梯形，因此还能用熟悉的几何公式核验：两条平行边长对应 $2$ 和 $6$，它们之间的距离对应时间长度 $4$，所以进水量为

这不依赖任何积分技巧。我们选直线速率，就是为了让你先有一个可以直接核验的答案，再判断矩形估计是否讲得通。

这里 $14$ 与 $18$ 的平均恰好是 $16$，原因是直线在每小段上围出的区域是梯形。对一般曲线，把左端点和右端点估计简单平均，得到的通常仍是近似值，不能自动宣布它等于精确结果。

单位会告诉你面积到底累积了什么

同样是图上的面积，意义由坐标轴决定。速率图的横轴是时间、纵轴是每单位时间的量，两者相乘后，时间单位约掉，剩下累积量。

不是每条曲线下的面积都自动有“路程”的意思。位置时间图下的面积单位是米乘秒，就不能拿来当路程；温度时间图下的面积也不是温度变化。先读横纵轴，再解释面积，比背“面积就是总量”更可靠。

矩形越来越细：从估计走向积分

四个矩形留下的误差还不小。我们把刚才的每分钟再切成两段，变成八个宽 $0.5$ 分钟的矩形。

用左端点时，高度依次是 $2,2.5,3,3.5,4,4.5,5,5.5$，所以

用右端点时，所有高度向后挪一个半分钟：

原来夹在 $14$ 与 $18$ 之间，现在夹在 $15$ 与 $17$ 之间。分成十六段会得到 $15.5$ 和 $16.5$，分成四十段会得到 $15.8$ 和 $16.2$。矩形顶部还是平的，但每段里速率改变得更少，估计就可以更贴近实际累积量。

对于连续的递增函数，也可以在同一区间内依次用四个、八个和十六个等宽的左端点矩形观察细化。每一小段内的高度变化逐渐缩小，面积和便能更贴近实际累积量。

给小矩形一个不会混淆的编号

为了把这个过程用公式记录下来，设一般区间是 $[a,b]$，其中 $a<b$，等分成 $n$ 段。每段的宽度为

把分点按从左到右编号为

第 $i$ 段是 $[x_{i-1},x_i]$。如果在这一段里选择代表点 $x_i^*$，高度就取 ，宽度仍为 ，它贡献的量是 。

所有贡献加起来，写成

这就是黎曼和。前面数列与级数里学的求和符号又用上了：$\sum$ 只是在说“按编号把这些项相加”。星号也不表示乘方，它用来区分我们挑选的代表点和已经编号的分点。

左端点选的是 $x_i^*=x_{i-1}$，右端点选的是 $x_i^*=x_i$，中点选的是 。三种方法的差别只在每一段使用哪个高度，并没有改变“逐段乘宽度，再求和”的结构。

偏大、偏小，都要看函数怎样变化

如果 $f$ 在整段区间上递增，左端点和给出下方估计，右端点和给出上方估计。若 $f$ 递减，情况正好反过来。原因是每个小区间的最大、最小值换了端点。

如果函数先升后降，左端点可能在一些小段低估、另一些小段高估，不能只看“左端点”三个字就确定总误差方向。中点也不是无条件最准，更不是必然精确。对我们刚才的直线速率，中点法精确；对弯曲的速率，一般仍有误差。

在演示中，可以先固定矩形数，只换选点方式，看估计怎样变化；再固定一种方式，增加矩形数，观察总和趋向哪里。要把这两种改变分开，才能知道结果变化来自哪个动作。

“分得越来越细”比“块数越来越多”更准确

对闭区间上的连续函数，当每一小段都足够窄时，小段内部的高度变化可以一起受到控制。因此，尽管每块还用一个高度代表，全部误差仍可以一起变小。无论在每段选左端点、右端点还是其他代表点，极限都会得到同一个结果。

我们这里采用等分，所以 $n\to\infty$ 自动意味着每段宽度 $\Delta x\to0$。如果不等分，只增加块数就不够了：你可以在左边不停切碎，却一直把右边很长的一段留着不动。正确的要求是最大的那段宽度也趋向 $0$，这样没有哪块区域一直被粗略带过。

对于等分的写法，定积分记为

在这里，$a,b$ 是从哪里算到哪里的端点，$f(x)$ 是每小段提供高度的函数，$dx$ 告诉我们沿 $x$ 方向累加。整个符号表达的是分割、取值、乘宽度、求和之后的极限，不能把它理解成“先把矩形宽设成零，再把许多零加起来”。

连续性是一个足够好用的保证，并不是所有可积分函数都必须连续。例如有限段恒定速率的记录，即使交接时有跳跃，也能逐段求量再相加。至于更复杂的间断是否仍可积分，需要另外判断。本章不把“随便什么函数，切细就一定有答案”当成结论。

面积要不要带负号：先问你在累积什么

刚才的进水速率始终非负，每一小段都在往水箱加水，所以普通面积和累积量一致。但如果水箱有进水也有排水，或者物体会掉头，带方向的速率就可能为负。

例如一小段时间内净流入速率为 $-2$ 升每分钟，意思是排出的水比流入的多，水箱以每分钟 $2$ 升的速率净减少。乘上 $3$ 分钟，这段贡献是 $-6$ 升。我们不能为了图形面积通常为正，就把实际的减少误写成增加。

定积分保留函数值的符号。对 $a<b$，横轴上方贡献正值，下方贡献负值，因此

这里“下方的面积”指它的正的几何大小，前面的减号负责表示方向。如果问题问的是曲线与横轴之间的总几何面积，则上下两部分都按正值相加，相当于先把函数取绝对值，再累加。

例题：把一次往返运动放到速度图上

某人沿直路运动，规定向东为正。前 $3$ 秒的速度为 $4$ 米每秒，随后 $2$ 秒的速度为 $-2$ 米每秒。这个分段恒速模型把转向过程理想化为一个瞬间，适合比较累计量；我们不拿它描述转向时的加速度。

前一段向东走了 $4\times3=12$ 米，后一段向西走了 $2\times2=4$ 米，因此位移为

速度图上，这就是上方矩形面积 $12$ 减去下方矩形面积 $4$。正的结果表示最后在出发点以东 $8$ 米。

如果问总路程，两段都走过，不能抵消：

全程 $5$ 秒，所以平均速度为 $8/5=1.6$ 米每秒，平均速率为 $16/5=3.2$ 米每秒。这两个答案服务于不同问题。

当速度 $v(t)$ 可积分时，我们把同一组关系记成

如果还知道起始位置 $s(a)$，最终位置才是

因此，仅知道速度曲线，能确定位置的改变；不知道从哪里出发，就不能确定最后的位置坐标。水箱同理，净流入量要加上原有水量，才得到最终存水量。

让终点移动：累积量也能成为函数

前面问的是“$4$ 分钟一共进了多少水”，答案是一个数。如果改问“到任意时刻 $T$ 为止，一共进了多少水”，我们就得到了一个新的函数。

仍用 $r(t)=2+t$，在 $0\le T\le4$ 时，定义

$T$ 是你选择的终点，$t$ 是从起点走到终点的过程中用于累加的变量。固定 $T=4$ 时，$A(4)$ 是 $16$ 升；让 $T$ 改变，累积水量随之改变，$A$ 就成为输入输出关系。一个定积分对固定端点给出一个数，这与“移动端点可以定义函数”并不矛盾。

由于速率图像是直线，从 $0$ 到 $T$ 的区域仍是梯形：

这次先由几何得到了函数，没有套任何求积分规则。$A(0)=0$ 表示从开始记录到开始记录，没有新累积的水。若水箱原有 $10$ 升，实际水量函数应是

原有 $10$ 升不会改变水管此刻的进水速率。它只把水量图像整体向上平移了 $10$；你在函数变换里追踪过的那种竖直平移，现在有了具体含义。

新增的一小条，怎样把两个问题接起来

想象终点从 $T$ 移到 $T+h$，先取一个小的正数 $h$。原来 $0$ 到 $T$ 的累积量完全没动，新增加的只是 $T$ 到 $T+h$ 那一小段。

若速率 $r$ 在 $T$ 附近连续，这一小段内的速率接近当前速率 $r(T)$。于是新增水量可以估计为

两边除以非零的 $h$，就得到

左边是不是很眼熟？它就是累积函数 $A$ 的差商！当时间段缩短，速率在这段内与 $r(T)$ 的差别也一起缩小，所以这个平均变化率趋向 $r(T)$。

$h<0$ 时也能看同一件事：终点往回移，少算了原来末尾的一小段，$A(T+h)-A(T)$ 表示那部分带方向的改变。分子和时间改变量相配，差商仍由同一附近区间上的速率决定。对区间内部的 $T$，两侧都能接上，便得到

这就是微积分基本定理的一部分直觉：把速率累积成总量，再看这个总量在当前时刻变化得多快，就找回当前速率。这里给出的充分条件是速率在整个考虑的闭区间上连续，导数关系先用于区间内部；我们还没有证明完整定理，也没有因此获得一套万能积分算法。

用已有的代数再核验一次

对于刚才用梯形算出的

我们能直接展开：

所以当 $h\ne0$ 时，

让 $h\to0$，得到 $A'(T)=2+T$，恰好就是原来的进水速率 $r(T)$。在 $T=2$ 时，累积水量为 升，而当前进水速率为 升每分钟。一个说“已经有多少”，另一个说“此刻增加得多快”。

如果终点从 $2$ 移到 $2.1$，新增水量的快速估计是 $4\times0.1=0.4$ 升。实际新增量为

多出来的 $0.005$ 升，是这十分之一分钟内速率还在继续增加造成的。这个差别让“当前速率乘短时间是近似值”变得可以直接检查。

再回到本章开头的平方模型，把两个方向放在一起。令 $S(t)=t^2$，并把 $S(0)=0$ 当作累积量的起点，那么对应的瞬时变化率是 $v(t)=2t$。

左图在 $t=2$ 时到达 $S=4$，切线 $S=4t-4$ 的斜率为 $4$；右图在同一时刻给出 $v=4$。右图从 到 的三角形面积为 ，又恰好等于 。一个数读作切线斜率，另一个量通过面积累积，两边描述的是同一段变化。

看速率图，怎样猜累积图的样子

若 $r(T)>0$，累积量在该时刻附近上升；若 $r(T)<0$，净累积量下降。若速率在一整段上为零，累积量在那一段保持不变。只有某一个时刻速率为零，则只能先说该处累积函数的切线水平，不能断言它停住了一段时间。

还要把“速率越来越小”与“累积量越来越小”分开。例如进水速率从 $5$ 降到 $2$ 升每分钟，只要仍为正，水量仍在增加，只是增加得慢了。净速率变成负数以后，水量才开始减少。

如果速率在某时刻突然从 $2$ 跳到 $5$，累积量仍然可以连续地接上，但两侧的局部斜率分别是 $2$ 和 $5$，那里就可能出现尖角。这又回到了前面“连续不一定可导”的区别。速率在该点不连续时，不能不加判断地使用 $A'(T)=r(T)$。

练习：把每个答案读回原来的问题

练习一：平均温差与中间过程

某房间的温度满足 $T(0)=18$、$T(4)=26$，$t$ 用小时计。求这四小时的平均变化率。能否据此断言第 $2$ 小时这一瞬间的升温速率一定是 $2$ 摄氏度每小时？如果只知道这两个读数，能否断言温度一直升高？

练习二：不用求导规则，算一次局部斜率

设 $f(x)=x^2+2x$。先化简 $[f(1+h)-f(1)]/h$，说明对 的要求，再求 和图像在 处的切线方程。用这条切线估计 ，并与实际值比较。

练习三：两个连续函数，局部方向一样可靠吗

比较 $g(x)=|x-2|$ 与 $q(x)=(x-2)^3$ 在 $x=$ 处的导数。请使用差商说明理由，并判断 在该点的切线是否穿过曲线。

练习四：下降的速率，左右估计谁大谁小

某水管在 $0\le t\le3$ 分钟内的进水速率为 $r(t)=7-t$ 升每分钟。用三个等宽矩形分别求左端点和右端点估计，判断哪个偏大；再用梯形面积求实际进水量。若改为六段，计算两种估计。

练习五：从速度到位移，还缺一个什么数

某物体前 $2$ 秒以 $3$ 米每秒向正方向运动，接着 $3$ 秒以 $-1$ 米每秒运动。求全程位移、总路程、平均速度和平均速率。若初始位置为 $5$ 米，最终位置是多少？

练习六：累积量上升得慢，是不是开始减少了

一个水箱原有 $20$ 升水，随后 $0\le t\le4$ 分钟内的净流入速率为 $r(t)=4-t$ 升每分钟。用几何写出这段时间内净累积量 $A(T)$ 和实际水量 。判断前四分钟水量怎样变化，求 时的水量和当前变化率。若之后速率变成负数，水量图像会怎样变化？

走到桥的这一端，你已经能读懂什么

回头看这门课，函数最初只是一个清楚的输入输出关系。后来我们追踪图像上的点怎样平移、拉伸，学习多项式、有理函数、指数和对数各自怎样变化，再用单位圆上转动的点理解周期。到极限这一章，我们开始询问“越靠近时，结果怎样”；现在，它已经能把两个点的斜率变成一个点的局部变化率，也能把一组矩形估计变成一个确定的累积量。

以后再看到一个新函数，你可以同时问三个层次的问题。$f(a)$ 告诉你当前的输出；$f'(a)$ 在存在时告诉你当前变化得多快；在可以积分的区间上，$\int_a^b f(x)\,dx$ 把这段函数值的带符号贡献累加起来。最后一种累加具体意味着什么，要回到坐标轴和单位里判断。

微积分课程接下来要做的，是把这些入口发展成可靠的定义、定理和计算方法。为什么弧度让三角函数的局部变化公式变得自然，怎样高效求复合函数的变化率，怎样不画成百上千个矩形就得到累积量，都有待在那里展开。

但你已经知道这些计算在服务什么。遇到差商，先认出它仍是两点间的平均变化率，再问极限是否存在；遇到积分符号，先认出每一小段贡献了什么，再问这些贡献该如何带着单位与方向相加。下一门课可以从这里继续走，而不必重新搭起函数、图像与变化之间的联系。

因此

该多项式在所有实数处有定义，这里只需注意差商的分母不能为零。$h$ 从两侧趋向 $0$ 时，$4+h\to4$，所以 $f'(1)=4$。

切线经过 $(1,3)$，方程为

用直线在 $x=1.02$ 处的值估计，得到 $f(1.02)\approx3.08$。实际值为

估计偏小 $0.0004$，恰好等于横向改变量的平方 $0.02^2$。

它在 $h<0$ 时等于 $-1$，在 $h>0$ 时等于 $1$，两侧极限不一致，故 $g'(2)$ 不存在。

$q$ 的差商为

两侧都趋向 $0$，故 $q'(2)=0$，切线为 $y=0$。$q$ 在 $2$ 左侧为负、右侧为正，因此曲线在切点穿过切线。这不会破坏它由局部斜率确定的切线身份。

速率递减，所以每段开头的速率较高，左端点估计偏大；右端点估计偏小。注意速率虽然下降，却始终为正，水仍在流入。

图像下方是梯形，实际进水量为

六段时，每段宽 $0.5$ 分钟，于是

上下估计把实际量夹在更窄的范围内，两种估计的误差都由 $1.5$ 升缩到 $0.75$ 升。

总时间为 $5$ 秒，所以平均速度是 $3/5=0.6$ 米每秒，平均速率是 $9/5=1.8$ 米每秒。负速度表明方向，不能把速率也写为负数。

最终位置需要在原有位置上加净位移：

如果没有给出初始位置，就只能确定“比起点向正方向改变 $3$ 米”，不能确定最后的坐标。

所以实际水量为

前四分钟内净流入速率非负，水量持续增加到 $T=4$，但增加得越来越慢。不能把速率图的下降误认成水量图的下降。

$T=3$ 时，

当前净流入速率是 $r(3)=1$ 升每分钟，也就是水量的当前变化率。水量 $27.5$ 升和变化率 $1$ 升每分钟不能互换。

若之后净流入速率为负，在水箱尚有水且模型适用的时间里，水量就会减少，水量图像向下走。$T=4$ 当时速率为零，只说明当时变化率为零；它本身不能说明之后一直保持不变。