周期函数图像与三角建模

上一章，我们一直跟着单位圆上的一个点走：它转到哪里，横坐标就是余弦，纵坐标就是正弦。现在把这个点留下，让旁边多放一张记录纸。点每转过一点，就把“转过多少角度、现在有多高”记下来。圆上的运动还是原来的运动，纸上却渐渐出现了一条波浪线。

这条线能帮我们回答一些以前不太好回答的问题：摩天轮上的乘客什么时候最高？一条波形为什么比另一条挤得更密？已经知道高度，又该怎样倒过来找时间？我们会先把波形的来历弄清楚，再把函数变换用到它身上，最后处理从数值反找角度时必然遇到的“答案不止一个”。

本章的三角函数都默认使用弧度。现实模型里的横轴可以是秒、小时或月份；送进正弦、余弦括号里的整个量，才是用弧度表示的角。分清这两层，周期和单位就不会打架。

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把转动的点记录成一条波形

横轴换了角色，纵坐标照旧记录

让单位圆上的点从 $(1,0)$ 出发，逆时针转动。刚开始时高度为 $0$；转到圆顶，高度为 $1$；转到左端，又回到高度 $0$；转到圆底，高度为 $-1$；最后绕回起点。把这些时刻按顺序展开，得到正弦图像最有用的五个点。

这里有个容易混淆的小地方：单位圆里的横坐标是 $\cos x$，但波形图里的横坐标是角 $x$。两张图的横轴含义不同。我们正在画的是 $(x,\sin x)$ 或 $(x,\cos x)$，并没有把单位圆直接拉成一条曲线。

五个点之间要用平滑的曲线连接，不能连成折线。点在圆上匀速转动，不代表它的高度匀速变化。经过圆的右端时，走过一小段圆弧，高度变化很明显；接近圆顶时，点主要向旁边移动，高度变化反而很小。所以正弦曲线经过中线时较陡，到最高点附近逐渐变平。我们暂时靠运动理解这个差别，后面学习变化率时会把它算得更精确。

余弦记录同一个点的横坐标。出发时是 $1$，四分之一圈后变成 $0$，半圈后变成 $-1$。它与正弦具有相同的形状，只是最高点出现的位置提前了四分之一圈：

$$\cos x=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$$

用图像语言说，把正弦曲线向左移动 $\frac{\pi}{2}$，就得到余弦曲线。以后拿到一条平移过的波形，不必纠结“它到底属于正弦还是余弦”；同一条曲线常常两种都能写。

重复一次，到底要走多远

点绕一整圈回到原处，以后每一步的坐标变化也重新来一遍，因此

$$\sin(x+2\pi)=\sin x,\qquad \cos(x+2\pi)=\cos x$$

若平移一个正的输入距离 $P$ 后，定义域也保持不变，并且所有对应位置都满足 $f(x+P)=f(x)$，就称 $P$ 为函数的一个周期。只要最小的正周期存在，我们把它叫作基本周期；本章谈非恒定三角函数的“周期”时，通常指这个最小值。

正弦的 $4\pi$、$6\pi$ 也都是周期，但基本周期是 $2\pi$。不能因为 $\sin0=\sin\pi=0$，就说周期为 $\pi$：从 $$ 往右走，图像先升；从 往右走，图像先降。两个点的高度相同，只能说明它们撞上了同一条水平线，不能说明整段变化已经重新开始。

正弦、余弦的定义域都是全部实数，值域都是 $[-1,1]$。它们的零点、最高点、最低点都来自上面的五点记录，只要向两边补上整圈即可。

表中 $k\in\mathbb Z$。上一章的对称性也还在：$\sin(-x)=-\sin x$，正弦关于原点对称；$\cos(-x)=\cos x$，余弦关于纵轴对称。图像经过平移后，对称中心或对称轴可能跟着移动，不能把原函数的奇偶性直接照搬过去。

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四个参数，是对同一条波形做四件事

我们优先使用这种写法：

$$y=A\sin\bigl(B(x-h)\bigr)+D$$

余弦模型只需把 $\sin$ 换成 $\cos$。先假设 $A\ne0$、$B\ne0$，这样图像确实在摆动。别急着把四个字母背成四条规定，我们还是用前面学过的办法：跟踪原来的每一个点。

$A$ 和 $D$：每一个高度怎样改变

先看 $y=3\sin x+4$。原来高度为 $0$ 的点，现在高度为 $4$；原来高度为 $1$ 的点，现在是 $7$；原来为 $-1$ 的点，现在是 。整条曲线围绕 上下摆动，最多偏离这条线 个单位。

所以 $y=D$ 是中线，$|A|$ 是振幅。振幅是一段距离，总是非负数。若改成 $y=-3\sin x+4$，原来的高点和低点交换了位置，但离中线最远仍然是 $3$，不能说振幅变成了 $$。

更准确地说，把 $A$ 从 $3$ 改成 $-3$，是把已经放在高度 $4$ 附近的波形关于中线 $y=4$ 翻转。若按照先乘 $A$、再加 $D$ 的计算顺序，则是先关于横轴翻转，再整体上移。这两种观察方式描述的是同一个结果。

最高值 $M$、最低值 $m$ 与参数之间有一组很直接的关系：

$$M=D+|A|,\qquad m=D-|A|$$

把两式相加，中线落在最高和最低的正中间；把两式相减，最高到最低的总距离是两倍振幅。因此

$$D=\frac{M+m}{2},\qquad |A|=\frac{M-m}{2}$$

非恒定正弦、余弦模型的值域就是 $[D-|A|,D+|A|]$。在理想正弦模型里，中线也等于完整一周期上的平均水平；对一组有噪声、取样不均匀的实际数据，最高最低的平均数未必等于所有测量值的平均数，二者不能混用。

$B$：横轴走一步，圆上的角走几步

比较 $\sin x$ 与 $\sin(2x)$。当横轴从 $0$ 走到 $\pi$，前一个函数的内部角只走到 $\pi$，才转半圈；后一个内部角已经走到 $2\pi$，完成一整圈。于是 $\sin (2x)$ 在同一段横轴里摆得更快，周期缩短为 。

一般来说，横轴增加 $P$ 时，内部角改变 $BP$。无论转动方向如何，完成一整圈需要角的变化量绝对值达到 $2\pi$，所以

$$|B|P=2\pi,\qquad P=\frac{2\pi}{|B|}$$

$|B|$ 越大，周期越短。$B<0$ 表示内部角沿反方向走，但不会让周期成为负数。保持 $A$、$h$、$D$ 和 $|B|$ 不变，只把 $$ 从正数改成负数时，正弦图像会关于中线翻转；余弦因为 ，图像保持不变。例如 ，它仍然每隔 重复一次。

如果 $x$ 是时间，$B$ 还带有单位。$\sin\bigl(\frac{\pi}{6}t\bigr)$ 中若 $t$ 按小时计，那么 $B=$ 弧度/小时，完成 弧度要花 小时。不能把这时的 误认成角度，也不能把 直接叫作“每小时多少圈”。

$h$：把同一个动作安排到哪个输入位置

在 $\sin\bigl(B(x-h)\bigr)$ 里，原来内部角等于 $0$ 的位置，现在要等到 $x=h$ 才出现。因此 $h>0$ 向右平移，$$ 向左平移。

把它与函数变换连起来看，会更清楚。设标准正弦曲线上原来有一点 $(u,\sin u)$，我们要求新式子内部仍然等于 $u$：

$$B(x-h)=u\quad\Longrightarrow\quad x=h+\frac{u}{B}$$

对应的新点就是

$$\left(h+\frac{u}{B},\ A\sin u+D\right)$$

横坐标先除以 $B$ 再加 $h$，纵坐标先乘以 $A$ 再加 $D$。四个参数并没有引入新魔法，它们就是前面学过的平移、伸缩和翻转，落在周期函数上的样子。

读一条变换后的曲线时，先分别找出纵向的摆动距离、横向的一次重复距离，以及整条曲线所在的高度。它们对应不同方向的变化，不能凭“图看起来更大了”来猜参数。

$Bx+C$ 里的 $C$ 为什么不能直接读成平移

若公式写成

$$y=A\sin(Bx+C)+D$$

整个 $Bx+C$ 是相位，$C$ 是 $x=0$ 时的相位。要找横向平移，先提取 $B$：

$$Bx+C=B\left(x+\frac{C}{B}\right)=B(x-h),\qquad h=-\frac{C}{B}$$

例如 $\sin(3x+\frac{\pi}{2})$ 的初相位是 $\frac{\pi}{2}$，向左平移的距离却是 。一个量描述内部的角，另一个量描述横轴距离，中间隔着系数 。

还有两个边界情形：$A=0$ 时函数恒为 $D$；$B=0$ 时括号里的角不再随 $x$ 改变，函数也成为常数。这时不再使用非恒定波形的基本周期公式。常数函数对任意正平移都保持不变，所以没有最小正周期。

在下面的工具中，先固定其余参数，只改变一个参数。调整 $B$ 后，试着预测下一个最高点的位置；调整平移参数后，再检查原来的最高点整体挪去了哪里。

例如 $y=2\sin(x-\pi/2)+1$，中线在 $y=1$，振幅是 $2$，周期是 $2\pi$，相对基本正弦向右平移了 。在 时，它的值是 ；走到 时到达最高值 ，再到 时回到最低值 。

请根据这四张说明卡，分开想三件事：离中线最远有多高、一次重复隔多远、某个特定动作出现在哪里。这比同时盯住公式里的所有符号更容易检查。

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五点法：给复杂公式找一个完整周期

四个参数都出现时，逐个代几十个 $x$ 很费劲，也容易错过顶点。我们已经知道标准正弦在内部角为 $0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2},2\pi$ 时最容易计算，就让内部角依次取这些值。

当 $B>0$，设 $P=2\pi/B$，这五个横坐标为

$$h,\quad h+\frac P4,\quad h+\frac P2,\quad h+\frac{3P}{4},\quad h+P$$

它们的间距是四分之一周期。

表里保留了带符号的 $A$。若 $A<0$，正弦从中线向下走，余弦从最低点开始；不要在求完振幅后把 $A$ 的负号丢掉。如果 $B<0$，可以用正弦的奇性、余弦的偶性先改写为正的内部系数，也可以直接使用 $x=h+u/B$ 算五点，再按横坐标从小到大排列。

例题：看上去向右，其实向左的波形

画出函数 $g(x)=-2\sin(2x+\frac{\pi}{3})+1$ 的一个完整周期，并给出值域。

先整理内部角：

$$2x+\frac{\pi}{3}=2\left(x+\frac{\pi}{6}\right)$$

因此 $A=-2$，$B=2$，$h=-\frac{\pi}{6}$，$$。振幅为 ，中线为 ，周期为 。最高值为 、最低值为 ，值域是 。

从 $x=-\frac{\pi}{6}$ 出发，每走 $\frac{\pi}{4}$，内部角增加 $$。逐项计算得到：

先画中线，再标五点，让曲线从中线下降到最低点，回到中线，再升到最高点，最后回到中线。一个周期的起点和终点都在高度 $1$，而且下一步都是向下走，首尾能够自然接上。

再挑一个没有列在表里的位置验算。$x=0$ 时，原式给出

$$g(0)=-2\sin\frac{\pi}{3}+1=1-\sqrt3$$

它介于 $-1$ 与 $1$ 之间，并且 $0$ 位于起点 $-\frac{\pi}{6}$ 和最低点 $\frac{\pi}{12}$ 之间，符合这段曲线正在下降的样子。五点给骨架，额外一点帮我们查错；这比只看一条电脑画出来的曲线更能判断式子是否读对。

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从曲线倒着找参数，先定尺度再定位置

最高值和最低值只能解决一半问题

如果只知道一条正弦曲线最高为 $8$、最低为 $2$，我们只能确定振幅 $3$、中线 $5$。它可以每 $4$ 秒摆一次，也可以每 $20$ 秒摆一次，还可以在不同时间达到最高点。这些曲线高度完全相同，模型却不同。

接下来需要横向信息：相邻最高点的间隔给出周期；某个最高点的横坐标给出位置。若知道的是穿过中线的时刻，还必须知道当时向上还是向下。一个普通点配合振幅、中线、周期，也可能对应两种相位，需要额外的运动方向或另一个点才能选定。

例题：从最低点和下一次最高点建模

某装置的位移图像是一条理想正弦曲线。$t=1$ 秒时达到最低值 $-2$ 厘米，紧接着在 $t=5$ 秒时达到最高值 $10$ 厘米。写出模型，并预测 $t=3$ 秒的位移。

写完后，先把已知条件代回去。$s(5)=6+4=10$；$t=1$ 时内部角为 $-\pi$，所以 $s(1)=-6+4=-2$。两个极值都对了。 还告诉我们：从 秒的最低点到下一个最低点，确实隔了 秒。

现在算题目要的时刻：

$$s(3)=6\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)+4=4$$

$3$ 秒位于最低点和最高点的时间中间，模型此时正向上穿过中线，与结果吻合。

如果从最低点写起，同一模型也可写成

$$s(t)=-6\cos\left(\frac{\pi}{4}(t-1)\right)+4$$

从向上穿中线的 $t=3$ 秒写起，则是

$$s(t)=6\sin\left(\frac{\pi}{4}(t-3)\right)+4$$

不同公式不代表不同运动。先比较振幅、中线、周期，再比较同一时刻的位置和变化方向，往往就能看出它们在描述同一条曲线。下一章的恒等式会把这种“图上相同”进一步写成代数证明。

平移量为什么不唯一

假设周期为 $8$ 秒，把模型整体平移 $8$ 秒，图像仍然与原来重合。因此一个可用的 $h$ 找到后，$h+8$、$h-8$ 也可以描述同样的位置关系。所谓相位确定，通常是在约定的一个周期内选取代表，不是说全世界只能有一个数值写法。

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把模型放回真实场景，检查它答应了什么

匀速摩天轮：参数直接来自几何

设一个理想摩天轮半径为 $12$ 米，最低座舱离地 $2$ 米，匀速转一圈需要 $6$ 分钟。我们从座舱位于最低点时开始计时，忽略上下客停顿和座舱摆动。

圆心高度不是 $12$ 米，而是 $12+2=14$ 米；座舱相对圆心上下移动最多 $12$ 米。所以振幅为 $12$，中线为 $14$。一圈需要 $6$ 分钟，内部角每分钟增加 $\pi/3$。从最低点开始，用负的余弦：

$$H(t)=14-12\cos\left(\frac{\pi}{3}t\right)$$

只描述第一圈时，情境定义域为 $0\le t\le6$；公式本身当然可以接受更多实数输入，但超过一圈后能否继续描述乘客，要看摩天轮是否仍按同样方式运行。

检验三个时刻：$H(0)=2$，是上车位置；$H(3)=26$，是半圈后的最高点；$H(6)=2$，回到原处。$H(1.5)=14$ 则表示四分之一圈时座舱与圆心同高。这个模型来自圆周运动的投影，在已经说明的理想条件下有明确几何依据。

温度：正弦曲线是一种近似约定

温度就没有这样严格的圆周几何保证。晴天和阴天的升温过程不同，最低温和最高温之间也未必恰好相隔 $12$ 小时。所以“每天大致重复”不等于“必定是一条正弦曲线”。

为了练习建模，设一组理想化日温度资料：最低温 $18^\circ\mathrm C$ 出现在凌晨 $3$ 时，紧接着的最高温 $30^\circ\mathrm C$ 出现在下午 $15$ 时，假设曲线每 $24$ 小时重复。令 $t$ 为从当天零时起经过的小时数。

最高与最低的中点为 $24$，振幅为 $6$；用下午的最高点定位余弦，得到

$$T(t)=24+6\cos\left(\frac{\pi}{12}(t-15)\right)$$

$T(15)=30$，$T(3)=18$，$T(9)=24$，分别对应最高、最低和升温时穿过中线。晚上 $21$ 时的模型值同样为 $$，但正在降温。同一个温度出现在两个时刻，又一次说明：只知道高度，还不能知道处于循环的哪一步。

若实测告诉我们最低温在 $5$ 时、最高温在 $15$ 时，而完整周期仍定为 $24$ 小时，两个极值只隔 $10$ 小时，单一正弦模型就不能把这三个时间条件全部精确满足。我们可以选择近似拟合，也可以换更灵活的模型，但不能悄悄忽略冲突后宣称“完全吻合”。

潮汐：要用所在地的数据选周期

海面涨落适合练习同样的方法，但不同地点的潮型不同，不能给所有海岸统一套一个周期。我们需要先用当地的观测资料估计周期，再检查简单的波形能解释多少变化。

设一组教学用水位资料：某个短时段内最高水位约为 $4.6$ 米，最低约为 $1.8$ 米，相邻高潮间隔约为 $12.4$ 小时。从一次高潮开始计时，可以先尝试

$$W(t)=3.2+1.4\cos\left(\frac{2\pi}{12.4}t\right)$$

模型在 $t=0$、$12.4$ 时给出 $4.6$ 米，在 $t=6.2$ 时给出 $1.8$ 米。对这个式子，$12.4$ 是资料选定的近似重复间隔；实际水位还受天气和地形等条件影响，我们不能据此把所有未来高潮都当成精确重复。

写出公式以后，留几个数据点检查误差

如果所有参数都是靠最高点、最低点和周期确定的，那么把这几个条件代回去，只能检查算术是否做对。要判断模型是否贴近整段变化，还要找没有用于定参数的观测点。

例如上面的温度模型预测 $9$ 时为 $24^\circ\mathrm C$。若该时刻实测为 $23^\circ\mathrm C$，定义残差为“实测减预测”，残差就是 $-1^\circ\mathrm C$，表示模型预测偏高了 度。对多个观测点 ，可以计算

$$r_i=y_i-\widehat y_i,\qquad \mathrm{RMSE}=\sqrt{\frac1n\sum_{i=1}^{n}r_i^2}$$

这里 $\widehat y_i$ 是模型在 $t_i$ 时的预测值。公式做了三件朴素的事：把每个误差平方，避免正负抵消；求平均；再开平方，回到原来温度或水位的单位。暂时不用背缩写，只要知道它用一个数概括误差大小。

误差较小仍然不表示模型保证未来准确。若白天的残差几乎都为正、夜间几乎都为负，说明偏差带有规律，可能是相位或波形选错了。调整参数时既看误差数值，也看误差出现在周期的哪个位置。

下面提供模拟潮汐数据。先用极值和重复间隔给参数一个起点，再微调相位，观察曲线是否同时贴近上升段、下降段和极值附近的数据。

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频率与衰减：有来回摆动，不一定严格重复

一秒转几圈，与一圈花几秒

如果一个振动每 $0.004$ 秒重复一次，一秒就完成 $1/0.004=250$ 次。单位时间内的循环次数叫频率，常记为 $f$；周期记为 $P$，两者互为倒数：

$$f=\frac1P$$

当时间以秒计，频率单位为赫兹，$1$ 赫兹就是每秒 $1$ 次。每一圈有 $2\pi$ 弧度，因此内部角的变化速度为 $2\pi f$，也常记作角频率 $\omega$：

$$\omega=2\pi f,\qquad y=A\sin(2\pi ft+\varphi)+D$$

这里 $f$ 是每秒多少圈，$\omega$ 是每秒多少弧度，不能混为一谈。初相位 $\varphi$ 决定零时刻已经走到循环的哪里。

比较振幅时，可以保持重复间隔不变，只改变上下高度；比较频率时，则保持上下高度相同，改变重复间隔。在纯音的简化模型中，频率与音高相关；在其他条件相近时，声压振幅增大通常会让声音听起来更响。但真实声音会包含多种频率，听感也不只由一个参数决定。先分清“上下多大”和“横向多密”，就能把这两个参数各自负责的变化看清楚。

理想弹簧与逐渐停下来的振动

若只记录理想弹簧相对平衡位置的位移，曲线可以围绕 $0$ 摆动。例如

$$s(t)=5\cos(4\pi t)$$

表示振幅为 $5$ 个长度单位，周期 $1/2$ 秒，频率 $2$ 赫兹，且 $t=0$ 时位于正方向的最大位移。这样的正弦式位移叫简谐运动模型。把中线改成实际高度，就得到相应的位置模型。我们在这里使用这种形式描述运动，暂时不推导弹簧受力如何决定它。

真实振动往往越摆越小。前面指数函数一章学过：每经过固定时间保留原来的固定比例，会出现指数衰减。将它与三角函数相乘，就得到一种振幅逐渐变小的模型：

$$s(t)=5e^{-ct}\cos(4\pi t),\qquad c>0,\quad t\ge0$$

由于 $-1\le\cos(4\pi t)\le1$，图像被夹在两条曲线之间：

$$-5e^{-ct}\le s(t)\le5e^{-ct}$$

这两条曲线叫包络线。它们给出摆动的上下边界，不表示任意时刻物体恰好位于边界，也不表示乘积曲线的每个极值恰好发生在余弦等于 $\pm1$ 的时刻。

若题目说包络的大小每 $2$ 秒减半，则

$$e^{-2c}=\frac12,\qquad c=\frac{\ln2}{2}$$

我们可以写成 $s(t)=5\cdot2^{-t/2}\cos(4\pi t)$。余弦部分每 $0.5$ 秒走完一圈，但整体函数已经不是严格周期函数：

$$s(t+0.5)=2^{-1/4}s(t)$$

下一圈相同相位的位移变小了，没有与上一圈重合。看到“仍然在振荡”，要进一步问它是否“原样重复”。这一区别也适用于在逐渐上升的平均水平附近波动的曲线：周期成分可以存在，整体却不一定有周期。

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正切和余切：比值怎样长成另一种曲线

分母接近零，图像为什么冲得很高

正切来自 $\tan x=\sin x/\cos x$。当角接近 $\pi/2$ 的左侧，单位圆上的纵坐标接近 $1$，横坐标是一个很小的正数。用接近 $1$ 的数除以很小的正数，结果自然越来越大。越过 $\pi/2$ 后，横坐标变成很小的负数，比值便落到很大的负值。

但在 $x=\pi/2$ 本身，分母为零，正切没有定义。不能把渐近线附近的趋势写成 $\tan(\pi/2)=\infty$；无穷描述没有上界的增长，不是这里可以代入得到的实数值。

角再转半圈，点的横纵坐标同时变号，比值不变，所以正切的基本周期是 $\pi$。一个标准分支位于 $(-\pi/2,\pi/2)$：它依次经过 $(-\pi/4,-1)$、$(0,0)$、$($，从左边很大的负值一直增加到右边很大的正值。

正切在每一个连续分支上递增，不能说它在整个定义域上一路递增。跨过渐近线时，左边可能很大，右边却很小。定义域排除 $x=\pi/2+k\pi$，值域为全部实数，零点为 $x=k\pi$。它没有最高值、最低值，因此也没有正弦意义下的振幅。

余切最好从自己的分母出发

余切定义为

$$\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$$

这次禁止的是 $\sin x=0$，所以渐近线在 $x=k\pi$。在 $(0,\pi)$ 上，它经过 $(\pi/4,1)$、$$、，一路下降，左右两端分别朝正无穷、负无穷的方向延伸。它的周期也是 ，值域也是全部实数。

虽然常写 $\cot x=1/\tan x$，这条等式只能在两边都有定义时使用。例如 $x=\pi/2$ 时，$\cot x=0$ 完全有意义，但 $\tan x$ 没有定义，不能先在计算器里求正切，再把结果倒过来。直接看 ，就不会丢掉余切本来允许的输入。

例题：先找渐近线，再放三个点

分析 $q(x)=2\tan\bigl(3(x-\frac{\pi}{6})\bigr)-1$ 的图像。

它的基本周期为 $\pi/3$，水平向右平移 $\pi/6$，整体向下平移 $1$。系数 $2$ 是竖直伸缩倍数，不能叫振幅。让内部角等于 $\pi/2+k\pi$，得到所有渐近线：

$$3\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\pi}{2}+k\pi \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{\pi}{3}+\frac{k\pi}{3}$$

由于 $k$ 取全部整数，这就是所有 $x=k\pi/3$ 的位置。定义域排除这些数。

选择两条相邻渐近线 $x=0$、$x=\pi/3$ 之间的一支。内部角依次取 $-\pi/4,0,\pi/4$，得到三个点：

$$\left(\frac{\pi}{12},-3\right),\qquad \left(\frac{\pi}{6},-1\right),\qquad \left(\frac{\pi}{4},1\right)$$

这一支从左下方升起，经过三个点，再向右上方延伸。注意 $(\pi/6,-1)$ 是分支的中心点，已经不是横轴交点；竖直平移以后，原来的“零点公式”不能照抄。若要找真正的零点，应该重新解 $\tan\bigl(3(x-\pi/6)\bigr)=1/2$。

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正割和余割：先看原来的零点，再取倒数

正割与余割分别是

$$\sec x=\frac1{\cos x},\qquad \csc x=\frac1{\sin x}$$

以正割为例，余弦等于 $1$ 时，正割还是 $1$；余弦降到 $1/2$ 时，正割升到 $2$；余弦变成很小的正数时，正割变得很大。因此在 $(-\pi/2,\pi/2)$ 上，正割有一个最低点 $(0,1)$，两侧都向上延伸，形成一段朝上的弯曲分支。

在 $(\pi/2,3\pi/2)$ 上，余弦为负，倒数也为负。这一段的最高点是 $(\pi,-1)$，两边向下延伸。注意“这一段的最高点”和“整个函数的最大值”不同：正割整体既没有最大值，也没有最小值。

余割按同样方法从正弦得到。在 $(0,\pi)$ 上分支朝上，最低点为 $(\pi/2,1)$；在 $(\pi,2\pi)$ 上分支朝下，最高点为 $(3\pi/2,-1)$。正弦的零点变成余割的渐近线。原函数不为零处才取倒数，不能跨着渐近线连成一整条波浪线。

因为 $0<|\sin x|\le1$ 或 $0<|\cos x|\le1$ 时，倒数的绝对值至少为 $1$，正割与余割的值域都是

$$(-\infty,-1]\cup[1,\infty)$$

它们不会穿过横轴。相邻渐近线之间只有半个基本周期：向上的分支后面接向下的分支，要再过一段才原样重复，因此两者的基本周期都是 $2\pi$。

这里仍有 $k\in\mathbb Z$。表格是刚才分母分析的整理，不需要把它当作四张互不相干的记忆卡片。

变换后，倒数要取在哪一层

对于 $A\sec(B(x-h))+D$ 或 $A\csc(B(x-h))+D$，先处理最里面的角，再对原始余弦或正弦取倒数，最后乘 $A$、加 。它们不等于把整个 或 直接取倒数。

例如

$$r(x)=2\sec\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+1 =\frac2{\cos(x-\pi/4)}+1$$

让分母等于零，得到渐近线 $x=3\pi/4+k\pi$。当内部角为 $0$ 时，$x=\pi/4$，函数值为 $3$，是朝上分支的最低点；当内部角为 $\pi$ 时，，函数值为 ，是朝下分支的最高点。值域为

$$(-\infty,-1]\cup[3,\infty)$$

一般地，非零 $A,B$ 下，变换后正割、余割的周期为 $2\pi/|B|$，值域为 $(-\infty,D-|A|]\cup[D+|A|,\infty)$，仍没有振幅。渐近线的位置从内部角方程解出最稳妥：正割令 ，余割令 。

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反三角函数：把很多可能的角，约定成一个输出

为什么不能把正弦整条曲线直接倒过来

之前函数与反函数一章说过，反函数要求一一对应。但 $\sin(\pi/6)=\sin(5\pi/6)=1/2$，再加整圈还能得到无数个角。如果输入 $1/2$，输出“所有这些角”，就不再是我们这里要求的单值函数。

办法还是以前那一个：先限制原函数的定义域，留下一段既不重复、又能覆盖全部原有输出的曲线。

对正弦，选择 $[-\pi/2,\pi/2]$。在这半圈里，单位圆上的纵坐标从 $-1$ 连续升到 $1$，每个高度只经过一次。对余弦，选择 $[0,\pi]$，横坐标从 $1$ 连续降到 $-1$。对正切，选择 ，它在这一个分支上从所有负数走到所有正数。

于是得到三个最常用的反三角函数：

这些被选中的角叫主值。正弦、余弦的区间端点可以保留，因为对应函数值存在；正切的两端是渐近线位置，必须排除。限制区间是一个约定，选定以后我们就遵守它，这样计算器和不同人的答案才能指向同一个角。

反函数图像仍然通过交换横纵坐标、关于 $y=x$ 翻折得到。$\arcsin$ 从 $(-1,-\pi/2)$ 增加到 $(1,\pi/2)$；$\arccos$ 从 降到 ； 经过原点并一直增加，左右逐渐接近水平线 ，却不取到这两个端点值。这些图像本身不再是周期波形。

求一个角，先检查输出范围

例如 $\arcsin(-\sqrt3/2)$：我们要的角在 $[-\pi/2,\pi/2]$ 内，而且正弦为负，所以应在第四象限那一段，结果为 $-\pi/3$。 虽然也有同样的正弦值，却不是反正弦选定的输出。

再看 $\arccos(-1/2)$。规定范围 $[0,\pi]$ 中，余弦为负发生在第二象限，答案为 $2\pi/3$。最后，$\arctan(-1)=-\pi/4$，不能写成 $$。

不熟悉的数值可以交给计算器，但单位要先选好。例如一个直角三角形的两条直角边相对目标角分别为对边 $3$、邻边 $8$，就有 $\theta=\arctan(3/8)$，约为 $0.359$ 弧度，也就是约 $20.556^\circ$。两种显示是同一个角的不同单位，不是两种答案。计算完成后，再用 $$ 检查是否接近 。

下面的工具把输入数值和返回的主值联系起来。可以先预测负输入时，三种反函数分别会把角放在哪一段，再操作核对。

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复合时，哪些能还原，哪些必须重新找角

顺序一换，条件就跟着换

$\sin(\arcsin u)=u$ 在 $-1\le u\le1$ 时成立，因为反正弦就是先挑出一个正弦为 $u$ 的角，再求这个角的正弦，当然回到 $u$。同理，$\cos (\arccos u)=u$ 要求 ， 对全部实数 成立。

但反过来的 $\arcsin(\sin x)$ 先把角变成高度，原来属于哪一圈、哪半圈的信息已经丢失。反正弦只能从约定区间里找一个同高度的角，无法保证找回原来的 $x$。

$$\arcsin(\sin x)=x\quad\text{仅当 }-\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}$$

对应地，$\arccos(\cos x)=x$ 要求 $0\le x\le\pi$；$\arctan(\tan x)=x$ 要求 $$。后一个复合式在原来的正切无定义处，本身也无定义。

例题：同样写着“反”，答案为什么不同

计算 $\arcsin(\sin\frac{7\pi}{6})$、$\arccos(\cos\frac{5\pi}{3})$、。

第一个先算里面：$\sin(7\pi/6)=-1/2$。反正弦要在 $[-\pi/2,\pi/2]$ 找到这个高度，所以结果是 $-\pi/6$。原角在第三象限，主值却在第四象限，但它们的纵坐标相同。

第二个里面的余弦为 $1/2$，反余弦规定输出在 $[0,\pi]$，所以结果是 $\pi/3$，不是 $5\pi/3$。第三个里面的正切为 $-1$，规定分支内对应角为 $-\pi/4$，所以结果是 。

做完都可以用同一个问题复核：这个答案在主值范围里吗？再求一次对应三角函数，能回到刚才的数值吗？两件事缺一不可。

里面是余弦，外面是反正弦

不同名称的函数也能复合，但这时更没有直接消去的理由。比如 $\arcsin(\cos(5\pi/3))$，先算出里面的余弦为 $1/2$，再在反正弦的主值范围里找角，结果为 $\pi/6$。

如果想用余角关系处理一般式，也要一路保留范围。由 $\cos x=\sin(\pi/2-x)$ 可知，当 $0\le x\le\pi$ 时，$\pi/2-x$ 恰好落在 ，所以

$$\arcsin(\cos x)=\frac\pi2-x,\qquad 0\le x\le\pi$$

前面例子的 $x=5\pi/3$ 不在这个条件内，因此不能直接相减得到 $-7\pi/6$；这个数连反正弦允许的输出范围都没有落进去。同样，$\arccos(\sin x)=\pi/2-x$ 只在 $-\pi \mathrm{/}2\le x$ 时可以直接这样写。对区间外的角，先求内层数值、再按外层范围找主值，通常比硬背分段规则更清楚。

不同三角函数复合，回到坐标比硬算角更省事

求 $\sin(\arccos(-5/13))$。里面的角不是熟悉的特殊角，如果先用计算器求近似角，再求正弦，会引入本来不需要的近似。

令 $\theta=\arccos(-5/13)$。于是 $\cos\theta=-5/13$，且 $\theta\in[0,\pi]$。余弦为负，角在第二象限，正弦应为正。从单位圆的勾股关系得到

$$\sin^2\theta=1-\frac{25}{169}=\frac{144}{169}$$

开平方时先得到 $\sin\theta=\pm12/13$，再由第二象限确定正号。因此

$$\sin\left(\arccos\left(-\frac5{13}\right)\right)=\frac{12}{13}$$

同样的理由对任意 $u\in[-1,1]$ 都适用：$\arccos u$ 总在上半圆，所以正弦非负，得到

$$\sin(\arccos u)=\sqrt{1-u^2},\qquad -1\le u\le1$$

也有 $\cos(\arcsin u)=\sqrt{1-u^2}$，因为反正弦选出的角落在右半圆，余弦非负。这里要说“非负”，端点对应的值可以为零。

再往前一步，求 $\tan(\arcsin u)$，就要把正弦除以余弦：

$$\tan(\arcsin u)=\frac{u}{\sqrt{1-u^2}},\qquad -1<u<1$$

这次两个端点被排除了。$\arcsin(\pm1)$ 本身有意义，但它返回 $\pm\pi/2$，外面的正切在那里无定义。复合函数的条件，不能只检查最里面那一层。

若里面是 $\arctan u$，返回的角始终在右半圆，余弦为正。把正切理解成纵横坐标的比 $u:1$，再把这两个坐标按长度 $\sqrt{1+u^2}$ 缩到单位圆上，就得到

$$\sin(\arctan u)=\frac{u}{\sqrt{1+u^2}},\qquad \cos(\arctan u)=\frac1{\sqrt{1+u^2}},\qquad u\in\mathbb R$$

$u<0$ 时，纵坐标带负号即可，不需要画出所谓“负长度的三角形”。例如 $\sin(\arctan(-3/4))=-3/5$，符号和第四象限一致。

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自检：让公式、图像和情境互相对账

练习一：找一个完整周期

对 $y=3\cos(2x-\pi)+2$，求振幅、周期、水平平移和值域，并列出从平移后的余弦起点开始的五个关键点。

查看解答

先把 $2x-\pi$ 写成 $2(x-\pi/2)$，得到 $A=3$、$B=2$、、。振幅为 ，周期为 ，向右平移 ，值域为 。

练习二：读图时别把半周期当成周期

一条理想正弦曲线在 $t=2$ 秒取最低值 $1$，紧接着在 $t=5$ 秒取最高值 $9$。写一个余弦模型，并给出它在 $t=3.5$ 秒的值和变化方向。

查看解答

振幅为 $(9-1)/2=4$，中线为 $(9+1)/2=5$。最低到紧接着的最高用了 $3$ 秒，是半周期，所以 $P=6$ 秒，。从最高点定位，可写成

练习三：一条有渐近线的曲线

对 $v(x)=-\cot(2x)+3$，求基本周期、定义域、值域，并列出区间 $(0,\pi/2)$ 内三个容易计算的点。该分支递增还是递减？

查看解答

余切的原周期为 $\pi$，内部角乘以 $2$ 后周期为 $\pi/2$。分母是 $\sin(2x)$，所以排除 $2x=k\pi$，即 $x=k\pi/2$，这些位置也都是渐近线。乘以 再加 不改变“能取遍所有实数”的事实，值域仍为 。

练习四：倒数曲线的空白区间

求 $w(x)=1-2\csc x$ 的定义域、值域和周期，解释它为什么取不到 $y=1$，并计算 $w(\pi/2)$、$w(3\pi/2)$。

查看解答

$\csc x=1/\sin x$，所以定义域排除 $x=k\pi$，周期为 $2\pi$。由于 $\csc x\le-1$ 或 ，乘以 并加 后，分别得到 或 。值域为 。

练习五：反函数不是无条件消去

计算 $\arcsin(\sin\frac{5\pi}{4})$、$\arccos(\cos(-\frac{2\pi}{3}))$，并化简 ，写出最后这个复合式的定义域。

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$\sin(5\pi/4)=-\sqrt2/2$。反正弦主值在 $[-\pi/2,\pi/2]$，所以第一项为 。，反余弦主值在 ，所以第二项为 。

练习六：反找时间，为什么出现两个答案

一个理想摩天轮的高度模型为 $H(t)=14-12\cos(\pi t/3)$，时间以分钟计。从最低点开始的一圈内，座舱在哪些时刻达到 $20$ 米？另判断 $z(t)=4\cdot2^{-t}\cos(2\pi t)$ 是否以 秒为周期，并说明理由。

查看解答

先把高度方程整理为

$$14-12\cos\left(\frac{\pi t}{3}\right)=20 \quad\Longrightarrow\quad \cos\left(\frac{\pi t}{3}\right)=-\frac12$$

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从“给定时刻算高度”，走到“给定高度找时刻”

我们最初只是记录单位圆上的一个点，接着把它的轨迹变成正弦、余弦图像，再用振幅、周期和中线把图像放进具体场景。现在反三角函数又给了一条回头路：从高度或比值找一个角。

但最后一道摩天轮题已经揭开了下一步的问题。计算器给出的 $\arccos(-1/2)=2\pi/3$ 只是一个主值；一圈里还有另一个时刻，转更多圈又会产生更多时刻。要把这些答案找全，我们需要把单位圆的对称性、周期性与代数变形放在一起。

下一章就从这里继续：哪些三角表达式其实始终相等，哪些只在某些角相等；怎样选择恒等式化简方程，同时保住定义域和所有应该留下的解。