概率论研究什么：随机性、模型与不确定性

学过一点概率之后，你大概已经会说：“公平骰子掷出偶数的概率是二分之一。”“硬币抛得足够多，正面的比例会接近一半。”这些话听起来都很自然。不过，如果我们往前多问一步，事情就没那么简单了：为什么骰子的六个点数可以平分概率？“足够多”到底保证了什么？一次试验还没有发生时，那个概率数值又是从哪里来的？

这门课要把这些以前凭直觉接受的说法重新理一遍。随机变量、分布、期望、大数定律和中心极限定理都在后面等着，但我们先从更靠前的位置开始：面对一个不确定的问题，怎样把它写成一个能讨论、能计算，也能检查的数学模型？

我们会反复区分两件事。一件是在已经选好的模型里进行推理，例如从“六个点数等可能”推出“偶数概率是二分之一”；另一件是判断这个模型是否适合手里的骰子。第一件事需要数学证明，第二件事需要观察、试验和对现实机制的了解。把它们混在一起，最容易出现一种错觉：公式算对了，现实结论就一定对。

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先说清楚，一次结果究竟记录什么

想象你在公交站等车。“等车这件事有随机性”当然没错，但这句话还不足以让我们开始计算。你关心的是五分钟内能否上车，还是准确等了几分钟？计时从走到站台开始，还是从上一班车离开开始？如果当天已经停运，又打算怎样记录？这些选择不同，最后得到的数学问题也不同。

我们把观察规则明确、结果在事前尚未确定的过程称为随机试验。这里的“试验”可以是掷骰子、抽取一件零件，也可以是记录明天某个地点的降雨情况。它不一定发生在实验室里，更不要求现实能原封不动地重新来一次。

明天只有一个，你不可能把同一个明天重复一千次，但仍然可以讨论明天是否下雨。又比如一张已经抽出、尚未翻开的卡片，卡面在物理上早已确定，对不知道卡面的人来说，它仍然构成一个可以建立概率模型的不确定问题。概率讨论所依据的信息和观察方式，需要写进问题；物理上的可重复性不是所有概率模型的必要条件。

可以重复的试验非常有用，因为它让我们有机会用数据检查模型。只是“有利于检查”与“没有它就不能定义概率”不是一回事。后面研究大数定律时，我们会明确写出独立重复等条件，不能在课程开头把这些条件悄悄塞进所有概率问题的定义里。

模糊的问题，要先补全观察规则

再看“明天下雨的概率”。它至少需要一个地点、一个时间区间和一个降雨判定标准。整座城市里有任意一点飘雨，和指定观测站在一天内记录到达到规定阈值的降水，不是同一个事件。我们不用在每道数学题里讨论气象细节，但必须知道：一句自然语言只有划清边界，才能对应一个确定的事件。

公交问题也是这样。如果只研究某条线路仍在运行时的等待时间，可以约定从乘客到达站台开始计时，记录下一班可乘车辆到达前的分钟数。如果允许停运，就得增加“当天没有车可乘”这一种结果，或者明确把研究范围限定在正常运行时段。不能一边说“包含所有情况”，一边把不方便计算的结果漏掉。

这一步还没有概率公式，却决定后面每个公式在说什么。尤其要留意“未作答”这样的记录：如果直接把它从调查结果里删掉，我们分析的对象就可能从“所有被抽中的学生”变成“愿意回答的人”。删掉的是一个类别，改变的可能是整个问题。

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样本空间：把所有结果放进一个集合

观察规则选好之后，我们把模型允许的一切结果放在一个集合里，叫作样本空间，记为 $\Omega$。其中一个具体结果叫作样本点，记为 $\omega$。

只记录一次掷骰子的朝上点数时，可以写成：

$$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}.$$

如果试验结束后看到点数为 $4$，就表示这次得到的样本点是 $\omega=4$。这里的数字是我们选定的记录标签；换成六种颜色也不影响样本空间的基本作用。

一个样本空间至少要让观察结果有确定的归属。比如我们把等待时间分成“不到五分钟”和“超过五分钟”，恰好五分钟就无处可放。若改成“不超过五分钟”和“不少于五分钟”，恰好五分钟又同时属于两种记录。作为最细记录的类别，应当既覆盖研究范围，又避免重叠。可以改成“不超过五分钟”和“超过五分钟”，这样边界就清楚了。

同一件事可以留下不同精细程度的记录

还是掷骰子。如果只关心奇偶，我们完全可以使用另一个样本空间：

$$\Omega_{\text{奇偶}}=\{\text{奇},\text{偶}\}.$$

如果只关心是否大于 $4$，则可以用：

$$\Omega_{\text{阈值}}=\{\text{不大于 }4,\text{大于 }4\}.$$

这三个样本空间没有谁天然更正确。记录六个点数，保留的信息多一些；记录奇偶，信息少一些，却已经足够回答有关奇偶的问题。代价也很明确：如果数据库只保存了“偶”，事后就没法再从这条记录判断当时是 $2$、$4$ 还是 $6$。

我们可以把从详细记录到粗略记录的转换写成一个规则 $g$：

$$g(1)=g(3)=g(5)=\text{奇},\qquad g(2)=g(4)=g(6)=\text{偶}.$$

这个规则没有随机性。输入 $4$，它永远输出“偶”。随机的是试验最后给它哪一个输入。后面讲随机变量时，我们会把这个想法用到数值记录上：把原始结果通过一个固定函数转换成数字，得到的就是随机变量的基本结构。

合并结果时，概率也必须一起合并

假定这枚骰子公平，每个点数的概率都是 $1/6$。在奇偶记录中，“偶”包含原来的三个点数，所以它的概率是：

$$P(\text{偶})=\frac16+\frac16+\frac16=\frac12.$$

在阈值记录中，“大于 $4$”只包含 $5$ 和 $6$，因此：

$$P(\text{大于 }4)=\frac16+\frac16=\frac13.$$

注意，这两个粗略样本空间都只有两个元素，却分别给出了 $1/2$ 和 $1/3$。这直接说明：结果种类有几个，与每种结果是否等可能，是两个不同问题。

下面这个表把信息合并的过程放在一起。你可以从左向右读成“这次记录保留了什么”，也可以从右向左追问“这个类别包含了哪些原始结果”。

我们后面会反复做这种工作：先在信息充分的空间上建模，再把概率转移到真正关心的记录上。分布、随机变量的变换乃至条件概率，都和“哪些结果被保留、合并或者排除”有关。

下面的选择器可以把同一个过程切换成不同的记录方式。先选“掷骰子”，依次查看点数、奇偶与是否大于 $4$，留意每次哪些原始结果被合并。再切换到公交等待，比较区间记录与“是否超过十分钟”的区别。这里的公交模型限定在正常运行、最终能够等到车的情形；若允许停运，必须补上相应结果。

选择器展示的是样本空间和事件的变化，没有自动替你确定概率。即使界面上的新空间只剩两个类别，仍然需要回到原始结果的概率分配，才能判断它们是否各占一半。

把这两种简化记录并排放在一起，差别就更清楚了。图中两条路线都从同一枚公平骰子的六种结果出发；每次合并，都把原来的概率一起带过去。

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事件：把一个问题翻译成一组结果

样本点回答“这次具体得到了什么”，事件回答“这次是否满足我关心的条件”。在六点骰子的模型里，“得到偶数”对应的事件是：

$$A=\{2,4,6\}.$$

如果实际结果 $\omega$ 落在 $A$ 中，我们就说事件 $A$ 发生，写成 $\omega\in A$。结果是 $4$ 时，$A$ 发生；结果是 $5$ 时， 不发生。事件本身是一个集合，不是试验结束后才产生的真假值；试验结束后，我们才能判断这次是否落进这个集合。

一个样本点也能组成事件。例如“恰好得到 $4$”是 $\{4\}$。严格写法中，$4$ 是点，$\{4\}$ 是只含这个点的集合。概率赋给事件，所以完整写法是 $P(\{4\})$。以后常见的 $P(X=4)$，也是“所有使 等于 的原始结果组成的事件”的简写。

如果记 $B=\{5,6\}$，那么“偶数而且大于 $4$”只对应 $\{6\}$；“偶数或者大于 $4$”则对应 $\{2,4,5,6\}$。这里的“或者”允许两件事同时成立，因此 应当算进去。事件语言的一个实际好处，就是逼着我们把这类容易含糊的词说清楚。

本章先掌握这些符号的读法：$A\cap B$ 表示两者同时发生，$A\cup B$ 表示至少一个发生，$A^c$ 表示 $A$ 没有发生。下一章再把它们的运算规则和概率公理逐一建立起来。

不是每一种简化记录都能回答每一个事件

假如我们只保存了奇偶，能否讨论“点数为 $2$ 或 $4$”？作为现实问题当然能问，但当前的记录不足以直接区分它。“偶”里面既有 $2$、$4$，也有 $6$。只看这个粗略结果，无法判断该事件是否发生。

这提醒我们，除了写出 $\Omega$，还需要说明允许讨论哪些事件。我们把这族事件记作 $\mathcal F$。在本章使用的有限完整模型里，可以让 $\mathcal F$ 包含 $\Omega$ 的所有子集；在更一般的模型里，事件系统需要单独指定。

一个适合概率运算的事件系统，应当包含整个样本空间，允许我们对事件取补，也允许把可数多个事件取并。“可数多个”包括有限多个，以及能够按 $1,2,3,\ldots$ 排列的无限多个。这种结构叫作 $\sigma$-代数。现在不必抢着研究它的所有性质，只要先明白用途：我们需要一套对常用逻辑运算封闭的问题集合，避免算到一半产生一个模型没有定义概率的事件。

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给结果分配概率，才得到完整模型

现在有了结果集合，也有了我们关心的问题，还差最关键的一步：给事件分配概率。一个概率空间通常写成：

$$(\Omega,\mathcal F,P).$$

$\Omega$ 是结果集合，$\mathcal F$ 是事件的集合，$P$ 是给每个允许事件分配概率的规则。只写“合格、不合格”完成的只是第一部分；不合格概率究竟是 $0.01$、$0.1$ 还是 $0.5$，样本空间本身不会替我们决定。

有限空间上，先给每个点分配权重

设样本空间是有限集合 $\Omega=\{\omega_1,\ldots,\omega_m\}$。给第 $i$ 个结果分配概率 $p_i$，要求：

$$p_i\geq 0,\qquad \sum_{i=1}^{m}p_i=1.$$

第一条排除负概率，第二条表示全部可能结果合起来占据完整的概率份额。然后，一个事件的概率就是其中各点概率的总和：

$$P(A)=\sum_{\omega_i\in A}p_i.$$

为什么能直接加？因为一次试验最终只得到一个样本点。事件 $A$ 中这些不同点代表互不重叠的发生方式，所以把它们的概率份额加起来，就得到落入整个事件的概率。

我们来看一个并非等可能的模型。一台设备完成一次检测后，输出“通过”“复检”“失败”三种状态。为了演示建模，假设在指定运行条件下，我们采用如下概率赋值：

$$P(\{\text{通过}\})=0.80,\quad P(\{\text{复检}\})=0.15,\quad P(\{\text{失败}\})=0.05.$$

这些数都是非负数，且加起来等于 $1$，因此构成一个合法的有限概率模型。若事件 $A$ 是“不能直接通过”，它包含“复检”和“失败”，于是：

$$P(A)=0.15+0.05=0.20.$$

如果某人填写的是 $0.80,0.25,0.05$，总和变成 $1.10$，模型就不合法。不能解释成“设备状态比较复杂，所以总概率超过了 $1$”。要么三种状态并不互斥，要么赋值出了问题，我们必须回到记录规则或概率数值上修正。

为什么有时不能把两个事件的概率直接相加

上面的模型里，令 $B$ 为“结果不是失败”，则 $B=\{\text{通过},\text{复检}\}$，概率为 $0.95$。如果把 $P(A)+P(B)$ 当成“$$ 或 ”的概率，会得到 。

问题在哪里？“复检”在 $A$ 中出现过，又在 $B$ 中出现过，被算了两遍。实际上 $A\cup B$ 已经包含全部三种状态，所以概率应当等于 $1$。把重复的那一份减去，得到：

$$P(A\cup B)=0.20+0.95-0.15=1.$$

这次计算让我们提前看到一般公式的理由：

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).$$

若 $A\cap B=\varnothing$，即两事件互斥，没有重复部分，才可以直接相加。下一章会从公理证明这些规则；这里先借助点概率求和，把公式背后的“重复计算”看清楚。

等可能是额外条件，不是计数的奖品

若一个有限样本空间有 $m$ 个结果，并且它们确实等可能，每个点就只能分到 $1/m$。包含 $k$ 个点的事件因此有概率：

$$P(A)=k\cdot\frac1m=\frac{|A|}{|\Omega|}.$$

“有利结果数除以总结果数”是从等可能赋值推出来的结果。它不是一个适用于所有样本空间的概率定义。

比如明天下雨与不下雨是两个类别，但我们没有理由只根据类别数把它们各分一半。前面设备的三种状态也不是各占三分之一。即使最初的详细结果等可能，合并成大小不同的类别以后，新的类别通常也不等可能。后面学习排列组合时，请一直带着这个提醒：数得再准确，也必须先确认自己数的是等可能的结果。

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不可能与概率为零，先留一个清楚的区别

空集 $\varnothing$ 中没有任何结果，因此它代表不可能事件，概率为 $0$。整个样本空间 $\Omega$ 包含模型允许的全部结果，所以它是必然事件，概率为 $1$。

这两个方向没有问题，但我们不能立即把它们反过来说成“概率为零的事件一定为空集”“概率为一的事件一定包含每个样本点”。在有限空间中，如果每个点都具有严格正的概率，确实可以这样反推；一般概率模型没有这个保证。

先看一个连续的例子：把 $[0,1]$ 上的均匀选择理解为区间概率等于区间长度。对于任意足够小的 $\varepsilon>0$，恰好落在 $1/2$ 这一点的事件，被包含在附近长度为 $2\varepsilon$ 的小区间中，因此：

$$0\leq P(\{1/2\}) \leq P([1/2-\varepsilon,1/2+\varepsilon])=2\varepsilon.$$

这个上界对任意足够小的正数 $\varepsilon$ 都成立，所以只能有 $P(\{1/2\})=0$。但 $\{1/2\}$ 明明不是空集。一次选择也总要落在某个点上；我们不能因为每个固定点的概率都是零，就说选择根本不可能发生。

这里没有矛盾。概率要求对可数个互斥事件可加，并没有要求把不可数多个点的概率像有限求和一样相加。连续模型如何给区间赋值，下一章以及后面的分布章节会继续解释。

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频率是观察值，概率是模型中的数

“正面概率是二分之一”与“这次抛一百次，正面出现了四十七次”说的是不同层面的东西。前者给出模型参数，后者报告一批已经发生的数据。

设前 $n$ 次观察中，事件 $A$ 出现了 $N_n(A)$ 次。它的相对频率是：

$$\widehat p_n(A)=\frac{N_n(A)}{n},\qquad n\geq1.$$

例如抛一百次硬币出现四十七次正面，正面相对频率就是 $0.47$。换一批一百次，可能得到另一个比例。即使我们始终使用 $P(A)=0.5$ 的模型，频率也会随着具体结果波动。

在导论课里，你可能已经接受过“抛得越多，频率越接近概率”。这句话有正确的直觉，也省略了关键条件。我们需要说明多次观察如何联系在一起。若假定每次正面概率相同，且各次相互独立，大数定律才会把这份直觉落实成严格结论。只说“观察次数很多”是不够的。

一个极端反例能看清这个条件：只抛一次公平硬币，然后把那一次结果复制记录一万遍。每个记录单独看，正面概率仍是 $1/2$；可一万条记录的正面比例只会是 $0$ 或 $1$，绝不会靠近 $1/2$。记录条数多，不等于获得了很多独立信息。

“越来越稳定”不表示每一步都更接近

假如前十次里恰好有五次正面，频率正好等于 $0.5$。第十一次不论是什么，新的频率都会变成 $5/11$ 或 $6/11$，反而离 $0.5$ 更远。这并不违反大数定律，因为它没有承诺每一步的偏差单调缩小。

我们可以直接算出增加一条记录对频率的影响。用 $I_{n+1}$ 表示第 $n+1$ 次是否出现事件 $A$：出现时取 $1$，没有出现时取 $0$。那么：

$$\widehat p_{n+1}(A) =\frac{n\widehat p_n(A)+I_{n+1}}{n+1}.$$

减去原频率，有：

$$\widehat p_{n+1}(A)-\widehat p_n(A) =\frac{I_{n+1}-\widehat p_n(A)}{n+1}.$$

由于 $I_{n+1}$ 和当前频率都在 $0$ 与 $1$ 之间，每一步改变量的绝对值至多为 $1/(n+1)$。所以记录越来越多后，单条新数据对累计比例的影响会越来越小。

但这还不是大数定律的证明。步子越来越小，并不能单独保证最后走向指定的位置；前面“复制一次结果”的例子中，频率甚至从头到尾不动，却仍然不等于 $1/2$。大数定律还要利用独立性等假设，解释频率为什么靠近期望值。我们在这里先把两层理由分开：一个解释单次更新的幅度，一个解释长期稳定的位置。

长期稳定不靠下一次“补回来”

在独立且公平的硬币模型中，已经连续出现八次正面，第九次反面的概率仍是 $1/2$。硬币没有一张欠账表，不会为了让前九次看起来平均而调整下一次结果。

那开头的八次正面怎样被“消化”？假定之后又有 $n$ 次独立抛掷，其中正面次数为 $H_n$，全部记录的正面比例是：

$$\frac{8+H_n}{8+n} =\frac{8}{8+n}+\frac{n}{8+n}\cdot\frac{H_n}{n}.$$

第一项随着 $n$ 增加而趋于 $0$，第二项中前面的权重趋于 $1$。如果后续的正面比例趋于 $1/2$，整体比例也就趋于 $1/2$。开头那段异常记录的影响被总量稀释，不需要未来出现一段专门与它对冲的反面。

这里还有一个建模层面的细节。如果“硬币公平”并不是已知条件，而只是我们的初始猜测，一长串正面可能促使我们怀疑这枚硬币并不公平。那是在用数据修正模型，不是在固定的公平独立模型中发现了“下一次必须补偿”。后面学条件概率时，我们会把已知机制下的推理与未知机制下的信息更新说得更精确。

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计算机模拟能检查什么，不能证明什么

理论概率未必容易算，计算机却可以很快生成很多次模型中的试验。模拟的想法很朴素：按照指定规则反复生成结果，再观察事件发生的比例。

例如想模拟正面概率为 $p$ 的一次硬币试验，可以先生成一个在 $[0,1)$ 上近似均匀的数 $U$，当 $U<p$ 时记正面，否则记反面。理想均匀模型下，区间 $[0,p)$ 的长度为 $p$，这就解释了为什么该规则给出所需的正面概率。 时从不记正面， 时总记正面，边界也和模型一致。

实际计算机使用伪随机数发生器，在有限精度下生成数值。它们可以帮助我们观察概率模型的行为，但仍需检查程序有没有写对：判断的是小于 $p$ 还是别的阈值？各次是否生成了新数？累计次数和正面次数是否同步清零？画图时展示的是次数还是比例？把输出画成漂亮曲线，并不自动消除这些问题。

尤其要分清模拟与现实验证。如果程序里预先设定 $p=0.5$，模拟后得到接近 $0.5$ 的频率，只说明程序在一定程度上表现出了这个模型的预期行为，不能证明桌上的某枚真实硬币公平。真实硬币是否适合该模型，需要真实的观察资料。

下面的模拟器使用每次重新生成的伪随机数，按照正面概率 $0.5$ 进行投掷。先逐次点击，观察前几次比例的大幅变化；再增加一百次，比较累计次数、正面次数与比例是否对应。重置后得到另一条轨迹，看看它是否必须始终比前一条更接近 $0.5$。

界面中关于“校准模型”的文字，在这个模拟器里只能理解为检查程序输出与设定机制是否相容。程序已经使用了 $0.5$，它没有采集真实硬币数据，因而不能据此判断某枚真实硬币是否公平。也不需要把曲线画得平滑才算成功：它应当保留实际生成的累计频率，允许偏差暂时增大。

同样，一次模拟曲线靠近理论值，也不能取代对大数定律的证明。证明要处理所有满足假设的模型和任意足够大的样本规模，说明偏离事件的概率如何变化；一段模拟只展示某次运行的有限数据。模拟很适合形成直觉、寻找程序错误、估计难算的概率，我们会用它，但不会让它承担它做不到的工作。

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概率从哪里来，要和不确定性的来源一起说明

同样写成 $P(A)=0.7$，背后的理由可能完全不同。它可能来自明确的随机抽样装置，也可能来自历史资料和当前信息。概率运算规则可以统一，建模理由却不能省略。

最容易理解的是有清楚抽样机制的情形。一个盒子里有十张外观一致的卡片，其中七张印着圆形；如果抽取机制使每张卡片等可能被抽中，抽到圆形的概率就是 $7/10$。这里支撑数值的是卡片组成与抽取机制。“随机抽”这三个字必须有实际含义；如果圆形卡片较大、更容易摸到，等可能假设就需要重查。

也有数值来自资料估计的情形。比如我们用过去相同运行条件下的检测记录估计复检概率。这时历史频率帮助我们选择参数，但参数不必等于下一批记录的频率。资料是否足够、条件是否相近、设备是否老化，都影响这种外推是否合理。

一次性事件也可以根据当前信息建立概率描述。它的困难常常不是“不能使用概率”，而是如何说明信息、假设和数值的依据。如果后来得到新信息，概率判断可能改变，这不意味着概率规则自相矛盾；我们讨论的已知条件发生了变化。

信息不全、观测误差与模型简化，不要混成一件事

一张盖住的卡片体现的是信息不足；抽哪张卡由随机装置决定时，又有抽样机制带来的变化。传感器的问题则可能是读数与我们想测的量不一致。我们需要说明的是读数本身的分布，还是读数减去真实值的误差分布，不能用同一个“有噪声”把问题带过去。

模型简化更需要仔细理解。把人的意见归为“支持”和“不支持”，并不会凭空创造一个随机装置；它先改变了我们的记录方式。如果“未决定”的人被强行分进其中一类，模型可能漏掉与问题有关的信息。概率可以描述保留下来的类别及其不确定性，却不会自动修复错误分类。

我们不用先解决“世界究竟在哪一层是随机的”这样的哲学问题，才能使用概率。但必须把数学模型的假设说清楚，也承认它只描述选定范围内的不确定性。

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一个完整模型，怎样从零件抽检中建立起来

把前面几个概念放进同一个问题里。设某批次共有 $1000$ 件零件，其中 $20$ 件不合格。为了把建模逻辑看清楚，我们先假定这两个数字已经知道，检测本身不会误判，而且每件零件被抽中的机会相同。问题是：抽一件，抽到不合格品的概率是多少？

最详细的样本空间可以直接使用零件编号：

$$\Omega=\{1,2,\ldots,1000\}.$$

事件 $D$ 是那些不合格零件的编号组成的集合，共有 $20$ 个元素。均匀抽取意味着每个编号的概率是 $1/1000$，因此：

$$P(D)=\sum_{i\in D}\frac1{1000}=\frac{20}{1000}=0.02.$$

如果我们只保存检测状态，可以把记录压缩为“合格”和“不合格”，但概率必须随之转移，分别为 $0.98$ 与 $0.02$。它们不是各占一半，也不需要在粗略空间里重新猜一次概率。

改变抽样程序，结论也可能改变

假如零件沿货架分布，抽检员总拿最外面容易碰到的那几十件。我们还能直接使用 $20/1000$ 吗？不能仅凭总数就这样算，因为“每个编号等可能被抽中”已经缺少依据。如果不合格件恰好集中在外层，抽到不合格的概率可能高于总体比例；如果集中在里面，则可能低于总体比例。

这时一般的有限模型仍然可用，只是各编号的概率不再相同。若编号 $i$ 被抽到的概率是 $q_i$，则：

$$q_i\geq0,\qquad \sum_{i=1}^{1000}q_i=1, \qquad P(D)=\sum_{i\in D}q_i.$$

数学没有失效，失效的是我们想省掉的建模步骤。一个总体中的比例，要变成抽样结果的概率，必须通过具体的抽样机制连接起来。

抽一次的模型，不能自动替代抽多次的模型

回到均匀抽取。如果每次抽完把零件放回，充分混合，并假设各次选择独立，那么每次抽到不合格的概率都是 $0.02$。如果不放回，抽过的编号不能再次出现，后续选择就会受到前面结果的影响。

例如已知第一次抽到不合格品，剩下 $999$ 件中只有 $19$ 件不合格；已知第一次抽到合格品，剩下的 $999$ 件中仍有 $20$ 件不合格。这两个情况下，第二次抽到不合格的概率分别为：

$$\frac{19}{999}\quad\text{和}\quad\frac{20}{999}.$$

我们还没有正式讲条件概率，但已经能看见它为什么有必要：新信息改变了当前可选对象和概率分配。也能看见独立性为什么必须另行假设——“每次都是抽一件”不代表“每次都不受前面影响”。

当不合格比例未知时，数据帮助我们修正模型

现实抽检往往恰好反过来：我们不知道总体不合格比例，所以才去抽样。设历史稳定生产时采用的初始模型是 $p=0.015$，现在按既定程序检测 $500$ 件，得到 $26$ 件不合格，观察频率为：

$$\widehat p=\frac{26}{500}=0.052.$$

$0.052$ 高于初始的 $0.015$，值得调查，但不能只用“这两个数不一样”就宣布模型被逻辑推翻。有限样本本来就有波动；要判断这种差异有多异常，需要进一步建立多次抽检的联合模型，并计算相应的尾部概率。这会用到后面的分布和极限定理。

在开始复杂计算之前，仍然要先排查更直接的问题：抽样是否覆盖当前批次？历史与当前的检测标准是否一致？是不是同一设备连续产生了一组相关的缺陷？记录中有没有重复样本？如果数据来自另一个机制，再精细地计算初始模型的概率，也回答不了实际问题。

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用几个问题检查模型是否已经说清楚

练习一：两个类别能不能各分一半？

一个袋子里有 $12$ 张外观相同的卡片，其中 $3$ 张红色、$9$ 张蓝色。按每张卡片等可能的方式抽一张，只记录颜色。写出详细样本空间与颜色样本空间中的概率，并说明为什么“颜色只有两种”不足以得到 $1/2$。

显示答案

给卡片编号后，详细样本空间可以取 $\{1,\ldots,12\}$，每个编号的概率为 $1/12$。红色事件包含其中三个编号，所以它的概率是 $3/12=1/4$；蓝色事件包含九个编号，概率是 $9/12=3/4$。

颜色样本空间是 $$，对应概率必须继承为 与 。把样本点合并成类别，不会把原来不同大小的概率份额重新均分。等可能发生在卡片编号这一层，并不发生在颜色这一层。

练习二：一组概率数值够不够合法？

一次服务请求最终被记录为“成功”“超时”“其他失败”三类，概率分别为 $0.85,0.10,0.05$，三类互斥且覆盖全部结果。求“没有成功”和“不是其他失败”的概率，再求这两件事至少一件发生的概率。

显示答案

“没有成功”对应超时或其他失败，概率为 $0.10+0.05=0.15$。“不是其他失败”对应成功或超时，概率为 $0.85+0.10=0.95$。

这两个事件都包含“超时”，所以直接相加会重复计算 $0.10$。至少一件发生的概率为 $0.15+0.95-0.10=1$。从集合上看，成功、超时、其他失败都包含在这个并集中，因此结果等于 也符合样本空间的归一化要求。

练习三：记录足够多，频率就一定稳定在概率附近吗？

只运行一次正面概率为 $0.4$ 的硬币试验，然后把这次结果复制成十万条记录。每条记录的正面概率是多少？十万条记录的正面比例又可能是多少？

显示答案

每条记录都来自同一个原始结果，单独看它是正面的概率仍为 $0.4$。但十万条记录要么全是正面，要么全是反面，所以正面比例只可能是 $1$ 或 $0$，分别以概率 $0.4$ 和 $0.6$ 出现。

它们高度依赖，不能当成十万次独立试验。这个反例说明，“每条记录有相同的概率”与“记录之间独立”是两条不同的假设。后面的大数定律会要求我们说明这种关系，不能只数数据条数。

练习四：一次没有下雨，能不能否定七成概率的预报？

一份预报对明确地点、明确时间段内的降雨事件给出概率 $0.7$，最后没有下雨。这是否说明预报在逻辑上矛盾？如果要检查这类预报，应当收集什么信息？

显示答案

没有逻辑矛盾。该模型同时给不下雨分配了 $0.3$ 的概率，所以本次结果仍在模型允许的范围内。一次出现较低概率的结果，并不能单独否定概率赋值。

可以收集大量按同一事件定义产生的预报和对应观测，检查在报出接近 $0.7$ 的那些情形中，实际降雨比例是否大致相符。这是检查校准的一种方式。实际评价还要留意样本量、相邻天气的依赖性和预报条件，不能把一次性事件假装成在完全相同条件下重复了一遍；总体校准良好也不表示每个细分条件下都同样准确。

练习五：概率为零，是不是意味着这个结果不在样本空间里？

在 $[0,1]$ 上均匀选择一个数，考虑事件 $A=\{1/3\}$。解释为什么 $A$ 不是空集，但 $P(A)=0$。如果只记录保留两位小数后的结果，“记录为 $0.33$”还是同一个事件吗？

显示答案

$A$ 包含一个明确的实数，所以不是空集。把它放进越来越短的小区间，区间概率等于长度，便能把 $P(A)$ 的非负上界压到任意小，因此 $P(A)=0$。

“记录为 $0.33$”是另一个事件。在通常四舍五入到两位小数的规则下，它对应一段宽度为 $0.01$ 的原始数值区间，边界的取舍不影响均匀模型中的概率，所以概率为 $0.01$。精确实数与经过舍入的显示值不能混用；记录精度改变了我们实际观察的事件。

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下一步，把这些规则变成可以证明的体系

现在再看到一个概率问题，我们可以先追问：一次记录是什么，全部结果有哪些，目标事件包含哪些结果，概率按什么机制分配，多次观察之间又有什么关系。把这些交代完整，后面的计算才有确定含义。

接下来，我们会正式研究事件运算和概率公理。从“互不重叠的概率份额可以相加”出发，推导补事件、并事件、包含关系与可数运算的规则。再往后，随机变量把结果翻译成数，分布整理这些数的概率，期望描述按概率加权的平均；到了大数定律，我们会回头证明本章暂时借用的频率直觉。现在留下的问题，会在各自需要的地方得到明确的条件和证明。