连续随机变量与密度函数

上一章里，我们经常做同一件事：先问随机变量可能取哪些数，再把概率一笔一笔记在这些数下面。掷骰子的点数是 $1$ 到 $6$，首次成功的试验次数是 $1,2,3,\ldots$。即使可能值有无穷多个，只要能按顺序列出来，概率仍然可以靠求和收齐。

现在把问题换成一台设备完成任务所花的时间。假设我们用连续模型描述它，时间就不必只取 $1$ 秒、$2$ 秒，也可以是 $1.37$ 秒、$1.3701$ 秒。你可能顺手问：“那就给每一个实数也配上概率，再加起来，不行吗？”这里恰好有一个需要停下来的地方：连续密度模型中，每个预先指定的精确数值，概率都等于零。

这不表示任务无法完成，也不表示设备不可能给出某个实际结果。它提醒我们，原先的“逐点记账”方式需要换了。真正能承载正概率的是一段范围，例如“用时在 $1.3$ 到 $1.4$ 秒之间”。本章要把这件事讲清楚：概率怎样铺在数轴上，密度为什么要乘上宽度，以及如何从密度恢复我们已经熟悉的分布函数。

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为什么一整段有概率，单个点却没有

先看一个容易核对的模型：某个信号在长度为 $4$ 秒的时间窗口内出现，假设窗口内没有位置偏好，用 $X$ 表示它出现的时刻。这里“没有位置偏好”的意思是：长度相同的时间段获得相同的概率。因此，$[0,1]$ 占整个窗口的四分之一，概率就是 $1/4$；$[2,2.5]$ 长度为半秒，概率就是 $1/8$。

对窗口内的任意 $a\lt b$，这条规则可以写成

$$P(a\le X\le b)=\frac{b-a}{4},\qquad 0\le a\lt b\le4.$$

如果你坚持追问“恰好在第 $2$ 秒出现的概率”，我们可以把它夹在越来越窄的区间里。对足够小的 $\varepsilon\gt0$，有

$$0\le P(X=2)\le P(2-\varepsilon\le X\le2+\varepsilon) =\frac{2\varepsilon}{4}.$$

右边可以小到任意程度，左边的概率又不能是负数，所以只能有 $P(X=2)=0$。这不是凭测量精度猜出来的，而是这个连续均匀模型本身推出的结论。

但信号仍然必定出现在整个窗口里，$P(0\le X\le4)=1$。看起来像是“无数个零加成了一”，问题其实出在“加”这个字上。概率公理保证的是可数可加性：有限个或能依次列成一串的互不相容事件，其并集概率可以求和。区间包含不可数多个点，不能把离散求和公式直接搬过来，对所有实数逐点相加。

这也能帮我们分清现实记录与数学模型。若仪器只显示到小数点后一位，记录“$2.0$ 秒”一般对应真实时间落在一个舍入区间，例如 $[1.95,2.05)$。在这个模型下，该记录的概率是 $0.1/4=0.025$；它并不是事件“真实时间恰好等于 $2$”。连续的真实量经过舍入，可以产生离散的显示结果。

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密度是怎样从区间概率里长出来的

上面的均匀模型，长度为 $h$ 的小区间获得 $h/4$ 的概率。把概率除以区间长度，得到恒定的 $1/4$，它表示每单位长度上分配了多少概率。这个“概率相对于长度的浓淡程度”，就是密度的直观含义。

如果时间并非均匀分布，不同位置的浓淡程度就不同。某段时间附近更容易出现信号，同样宽的小窗口里便会积累更多概率。我们用 $f_X(x)$ 表示位置 $x$ 附近的密度，常简写为 $f(x)$。当 $f$ 在 $x$ 附近连续、 足够小时，

$$P(x\lt X\le x+h)=\int_x^{x+h}f(t)\,dt \approx f(x)h.$$

右边是一个窄矩形的面积。矩形的高是 $f(x)$，宽是 $h$；只拿走高度，就把区间宽度这条信息丢了。更准确地说，在密度连续的点，

$$f(x)=\lim_{h\downarrow0}\frac{P(x\lt X\le x+h)}{h}.$$

这个极限告诉我们怎样读密度：先看一个很短的区间装了多少概率，再除以它的长度。它不等于单点概率。对有密度的变量，$P(X=x)=0$，密度却完全可以是正的。

把直觉写成定义

本课程主要研究能由密度描述的连续分布。严格说，如果存在非负可测函数 $f_X$，使得对每个实数 $x$ 都有

$$F_X(x)=P(X\le x)=\int_{-\infty}^{x}f_X(t)\,dt,$$

就称 $X$ 的分布是绝对连续的，$f_X$ 是它的概率密度函数，也叫 PDF。本章说“连续型随机变量”时，采用这个有密度的含义。“可测”保证积分有意义；眼下遇到的分段多项式、指数函数等都满足这个要求，无须额外猜测。

一个函数要成为概率密度，必须满足

$$f_X(x)\ge0,\qquad \int_{-\infty}^{\infty}f_X(x)\,dx=1.$$

第一条保住概率非负，第二条说明整条数轴把全部概率收齐了。反过来，非负可测函数只要总积分为 $1$，就能通过上面的积分定义一个分布函数。这两条不是外观要求：一条看起来很像钟形的曲线，如果面积不是 $1$，仍不能直接拿来算概率。

对任意 $a\lt b$，累积到 $b$ 再减去累积到 $a$，便得到

$$P(a\lt X\le b)=F_X(b)-F_X(a)=\int_a^b f_X(x)\,dx.$$

密度给出的概率也可以覆盖不连通的集合。例如变量落在两个互不相交的区间里，只须把两块面积相加。更一般地，对可测集合 $A$，

$$P(X\in A)=\int_A f_X(x)\,dx.$$

所以密度承载了这个变量全部的分布信息；我们日常最常算区间，只是因为区间足以把这份信息组织起来。

密度为什么可以大于一

把刚才的时间窗口缩短到 $0.2$ 秒，并仍假设其中没有位置偏好。为了让矩形面积为 $1$，它的高度必须变成 $5$：

$$f(x)= \begin{cases} 5,&0\le x\le0.2,\\ 0,&\text{其他}. \end{cases}$$

此时 $f(0.1)=5$ 完全合法。它说的是“每秒的密度为 $5$”，不是“在 $0.1$ 秒出现的概率为 $5$”。宽度为 $0.01$ 秒的小区间，对应概率为 $5\times0.01=0.05$；整个窗口对应 。

单位还能直接说明这点。如果把同一段时间改用毫秒记录，窗口是 $[0,200]$，密度就变成每毫秒 $1/200=0.005$。同一个事件的概率没有变化：

$$5\times0.01=0.005\times10=0.05.$$

密度数值随着计量单位改变，概率本身没有单位。凡是看到密度高度超过 $1$ 就怀疑模型的人，可以先做一次这样的单位换算。

同样，比较密度高低时也要把问题说完整。$f(a)\gt f(b)$ 通常意味着在两点附近取相同且足够小的宽度时，$a$ 附近的概率更大。不能拿一个很高却极窄的峰，和一个较低却很宽的区间只比高度。最终决定概率的始终是面积。

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先把一道面积题真正算透

设一个已经缩放到 $[0,1]$ 的任务耗时 $X$ 具有密度

$$f(x)= \begin{cases} 2x,&0\le x\le1,\\ 0,&\text{其他}. \end{cases}$$

这不是说现实中的任务必定遵循这条曲线，而是题目给定的模型。它把较大的密度放在右端，表示相同长度的耗时区间，靠右的一段得到较多概率。

我们先验明它确实是密度。在 $[0,1]$ 上 $2x\ge0$，区间外为 $0$，并且

$$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=\int_0^12x\,dx =\left[x^2\right]_0^1=1.$$

现在求 $P(0.2\le X\le0.5)$。需要积起来的是 $0.2$ 到 $0.5$ 这一段，而不是把两个端点的密度相减：

$$P(0.2\le X\le0.5)=\int_{0.2}^{0.5}2x\,dx =0.5^2-0.2^2=0.21.$$

用图形也能复核。这里曲线是一条直线，区间下方是梯形，左右高度分别为 $0.4$ 和 $1$，宽为 $0.3$，面积是 $(0.4+1)\times0.3/2=0.21$。积分与几何算的是同一个量。

如果改问 $P(-0.2\le X\le0.5)$，不能机械地把 $2x$ 从 $-0.2$ 积到 $0.5$。因为 $2x$ 只在 $[$ 上描述密度，在负半轴的真实密度是 。正确计算是

$$P(-0.2\le X\le0.5)=\int_{-0.2}^{0}0\,dx+\int_0^{0.5}2x\,dx=0.25.$$

反过来，如果问 $P(X\gt1.2)$，答案立即是 $0$，因为模型没有把概率放在那边。所谓“先看支撑区间”，在这里就是先找哪些地方可能贡献面积。我们通常将承载全部概率的相关区间标出来；它的端点是否单独写入，不改变本章这些密度模型的概率。

还可以比较两个等长区间：$[0,0.2]$ 的概率为 $0.04$，$[0.8,1]$ 的概率为 $0.36$。右端更密，确实在同样宽的区间里装入了更多概率。你现在应该能区分两个问题：“$X$ 恰好等于 $0.9$ 的概率是多少？”答案是零；“$$ 是否更容易落在 附近而不是 附近？”在相同的小窗口下，答案是肯定的。

也可以固定左端点 $0.5$，把宽度记为 $h$。只要 $0\le h\le0.5$，精确概率就是

$$P(0.5\le X\le0.5+h)=(0.5+h)^2-0.5^2=h+h^2.$$

左端点密度为 $f(0.5)=1$，所以矩形近似给出 $h$，漏掉的正是 $h^2$。当 $h=0.1$ 时，两者是 $0.11$ 与 ；当 时，两者是 与 。区间越窄，密度在其中的变化越小，矩形近似就越可靠。这里趋于零的是小区间的概率，而指定单点的概率从一开始就是零。

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分布函数负责累计，密度负责描述局部

密度是一种新的记账方式，但分布函数并没有退出。对刚才的模型，在 $0\le x\le1$ 时，累积到 $x$ 的概率为

$$F(x)=\int_0^x2t\,dt=x^2.$$

这里用 $t$ 作为积分变量，是为了不让“正在沿数轴扫过的位置”和“积分停下来的上限 $x$”混成同一个角色。完整的分布函数还必须交代区间外：

$$F(x)= \begin{cases} 0,&x\lt0,\\ x^2,&0\le x\le1,\\ 1,&x\gt1. \end{cases}$$

左侧尚未遇到任何密度，所以累计为 $0$；右侧已经收齐全部概率，所以保持为 $1$。不能因为 $x^2$ 很好算，就把它延伸到 $x=2$ 并得到 $F(2)=4$。分布函数始终在 与 之间。

从累计量怎样回到局部密度

若 $f$ 在 $x$ 处连续，微积分基本定理给出

$$F'(x)=f(x).$$

读法很直接：把累计终点向右移动一点，新加入的概率大约是当前位置的密度乘以移动距离。密度高的地方，CDF 上升快；密度为零的一整段，CDF 保持水平。PDF 可以上升、下降、有几个峰，CDF 则永远不会下降。

这里有一个原先很容易一句带过的细节。对于一般有密度的分布，$F'=f$ 是几乎处处成立的：允许在一个长度为零的集合上不成立。在本章分段光滑的例子里，直接对各段求导就够用；分段点要单独理解，不必硬给它安上一个导数。

为什么不能说“只要 $F$ 在某点可导，就一定等于我们写下的密度值”？因为密度在单个点的值根本不影响积分。例如，把 $[0,1]$ 上密度 $1$ 的模型改写成：除了 $x=1/2$ 处写成 $99$，其余地方仍为 $1$。得到的分布函数依然是区间内的 $$，因此 ，却不等于改写后的 。两种密度给出完全相同的分布。

回到刚才的任务耗时模型，把密度与分布函数并排放好。要算 $P(0.2<X\le 0.5)$，可以在密度图上算面积，也可以在分布函数图上算高度差，结果都为 $0.21$。这里要比较的是两种计算的含义；下方曲线只作示意，精确数值以上方算式为准。

不必每次都重新积分

一旦有了完整的 CDF，区间概率往往只剩两次代入。对上面的模型，

$$P(0.3\lt X\le0.8)=F(0.8)-F(0.3)=0.64-0.09=0.55.$$

右尾概率则是尚未累计的那部分：

$$P(X\gt x)=1-F(x).$$

例如 $P(X\gt0.8)=1-0.64=0.36$。密度图上，它是 $0.8$ 右边的面积；CDF 图上，它是当前累计值离 $1$ 还差多少。两个视角来回切换，常常比记一串概率公式更省力。

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归一化先解决“总账是不是一”

有时我们只知道曲线的相对形状，例如某些位置比另一些位置密两倍，却还没有把总面积调成 $1$。题目便会给一个非负函数 $g$，要求找常数 $c$，使 $f=cg$ 成为密度。

先记下形状原有的总面积

$$A=\int_{-\infty}^{\infty}g(x)\,dx.$$

只要 $0\lt A\lt\infty$，取 $c=1/A$ 就有

$$f(x)=\frac{g(x)}{A},\qquad \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=\frac{A}{A}=1.$$

这个动作叫归一化。所有高度乘上同一个正数，所以它保留各处的相对浓淡，只调整总规模。也可以直接用“局部原面积除以全部原面积”求概率：

$$P(a\le X\le b)=\frac{\int_a^bg(x)\,dx}{\int_{-\infty}^{\infty}g(x)\,dx}.$$

这个比值背后仍然是归一化，并非绕开了密度定义。

一个完整例子：先归一化，再算中间区域

设

$$g(x)= \begin{cases} x(2-x),&0\le x\le2,\\ 0,&\text{其他}. \end{cases}$$

在 $[0,2]$ 上，$x$ 与 $2-x$ 都非负，因此非负性没有问题。曲线在两端为零，中间较高。先求它原来的面积：

$$A=\int_0^2(2x-x^2)\,dx =\left[x^2-\frac{x^3}{3}\right]_0^2 =4-\frac83=\frac43.$$

原面积超过了 $1$，所以高度应该整体缩小，$c=3/4$。这可以用来核对方向：若算出 $c=4/3$，再放大一遍，显然不可能把 $4/3$ 的面积降到 $1$。

现在求 $P(0.5\le X\le1.5)$。先算这段的原面积，再乘归一化常数：

$$\begin{aligned} P(0.5\le X\le1.5) &=\frac34\int_{1/2}^{3/2}x(2-x)\,dx\\ &=\frac34\left[x^2-\frac{x^3}{3}\right]_{1/2}^{3/2}\\ &=\frac34\left(\frac98-\frac5{24}\right) =\frac34\cdot\frac{11}{12}=\frac{11}{16}. \end{aligned}$$

区间 $[0.5,1.5]$ 只占总长度的一半，但收到了 $11/16$ 的概率。原因很具体：它把密度最高的中部包括进来了。若直接按长度比例回答 $1/2$，等于悄悄把给定模型改成了均匀分布。

哪些形状不能靠乘常数修好

归一化有条件。若 $g$ 在一段区域为正、另一段区域为负，那么任何非零常数都无法让它处处非负；“积分刚好等于 $1$”也救不了负概率。若 $g$ 非负但总积分为 $0$，它没有可供放大的正面积。若总积分为无穷大，乘任何有限正数仍是无穷大，也不能变成概率密度。

例如 $g(x)=1/x$ 在 $x\ge1$ 上，其他地方为零。它越往右越矮，但

$$\int_1^{\infty}\frac1x\,dx=\infty,$$

所以不存在正的归一化常数。相比之下，$g(x)=1/x^2$ 在同一区域的积分为 $1$，本身就是合法密度。尾部会趋于零还不够，下降速度必须足以让总面积有限。

实际计算较复杂的形状时，可以用数值积分近似求 $A$，但屏幕上的小数不能替代对积分存在性的判断。例如很小的正面积经过舍入可能显示为 $0.00000$，它不表示真实面积等于零。归一化常数取倒数，会把面积的相对误差带入后续概率；因此最好先用能手算的例子核对，再检查数值精度是否足够。

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分段密度最容易漏掉的是已经累计的面积

密度并不需要一条公式走到底。假设

$$f(x)= \begin{cases} x,&0\le x\le1,\\ 2-x,&1\lt x\le2,\\ 0,&\text{其他}. \end{cases}$$

它先上升后下降，形状是一个底长为 $2$、高为 $1$ 的三角形。左右两块面积各为 $1/2$，合起来为 $1$。这是有密度的连续分布，尽管密度在峰顶处有折角。“连续型”不要求密度处处光滑；下一步的分段常数密度甚至可以有跳跃。

若求 $P(0.4\le X\le1.6)$，积分范围跨过了 $1$，于是

$$\begin{aligned} P(0.4\le X\le1.6) &=\int_{0.4}^{1}x\,dx+\int_{1}^{1.6}(2-x)\,dx\\ &=\frac{1-0.16}{2}+\left[2x-\frac{x^2}{2}\right]_{1}^{1.6}\\ &=0.42+0.42=0.84. \end{aligned}$$

还可以利用补事件验算：左右漏掉的两个小三角形底和高都是 $0.4$，各有面积 $0.08$，所以剩下 $1-0.08-0.08=0.84$。第一次按积分算，第二次按几何核对，能发现不少分段错误。

写第二段 CDF 时，不能从零重新开始

当 $0\le x\le1$，只累计左段：

$$F(x)=\int_0^xt\,dt=\frac{x^2}{2}.$$

当 $1\lt x\le2$，扫到 $1$ 时已经有 $1/2$ 的概率留在账上，接下来只是在它上面继续增加：

$$\begin{aligned} F(x)&=\int_0^1t\,dt+\int_1^x(2-t)\,dt\\ &=\frac12+\left(2x-\frac{x^2}{2}-\frac32\right)\\ &=2x-\frac{x^2}{2}-1 =1-\frac{(2-x)^2}{2}. \end{aligned}$$

第二种写法也有直观意义：整个面积 $1$ 减去 $x$ 右侧的小三角形。于是完整的 CDF 是

$$F(x)= \begin{cases} 0,&x\lt0,\\ \dfrac{x^2}{2},&0\le x\le1,\\ 1-\dfrac{(2-x)^2}{2},&1\lt x\le2,\\ 1,&x\gt2. \end{cases}$$

写完后逐个检查交界：在 $0$ 接上 $0$，在 $1$ 左右都得到 $1/2$，在 $2$ 接上 $1$。每段不下降，拼起来也没有跳跃。若第二段只写 $\int_1^x(2-t)\,dt$，它会在 附近回到 ，把之前已经累计的一半概率丢掉。

把累计终点分别停在 $0.5$、$1$、$1.5$，我们可以这样对照局部密度和已经收齐的面积：

在 $0.5$ 与 $1.5$ 处，局部密度同为 $0.5$，累计概率却相差很大。过了峰顶 $1$ 以后，密度下降，CDF 仍然上升，只是上升速度越来越慢。

归一化和分段同时出现时

再看一个有空白区间的形状：

$$g(x)= \begin{cases} 1,&0\le x\le1,\\ 2,&2\le x\le3,\\ 0,&\text{其他}. \end{cases}$$

两块面积分别是 $1$ 和 $2$，总面积为 $3$，所以归一化常数是 $1/3$。左块承载 $1/3$ 的概率，右块承载 $2/3$，中间的 $(1,2)$ 没有概率。

这个模型的 CDF 在两块之间会暂停增长，但不会把累计值清空：

$$F(x)= \begin{cases} 0,&x\lt0,\\ x/3,&0\le x\le1,\\ 1/3,&1\lt x\lt2,\\ 1/3+2(x-2)/3,&2\le x\le3,\\ 1,&x\gt3. \end{cases}$$

若计算 $P(0.5\le X\le2.5)$，两块有效面积是 $(1-0.5)/3$ 与 $2(2.5-2)/3$，中间区域贡献为零，合计 $$。这个例子提醒我们：支持区域可以不连通，密度可以跳跃，CDF 可以有水平段。这些都不妨碍它是有密度的连续分布。

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分位数是在找面积分界线

知道了怎么累计概率，我们还可以反过来问：要把左侧的概率留出 $p$，分界点应该放在哪里？例如把左侧留出 $50\%$，就是在找中位数。

对 $0\lt p\lt1$，一种统一的分位数定义是

$$q_p=\inf\{x:F(x)\ge p\}.$$

这个定义选择 CDF 第一次达到或超过 $p$ 的位置。在本章连续 CDF 的情形中，它满足 $F(q_p)=p$；如果 $F$ 在相关区域严格递增，就可以直接解方程，而且解是唯一的。

对 $f(x)=2x$、$0\le x\le1$ 的模型，$F(x)=x^2$，所以

$$q_p=\sqrt p,\qquad q_{1/2}=\frac1{\sqrt2}\approx0.7071.$$

中位数大于区间中点 $0.5$，因为密度把更多概率放在了右侧。如果把数轴从 $0.5$ 切开，左侧只有 $F(0.5)=0.25$，还远不到一半。这里密度最高的地方在右端 $1$ 附近，却也不等于中位数。

对三角形模型，根据 $p$ 是否超过 $1/2$，分别反解两段 CDF：

$$q_p= \begin{cases} \sqrt{2p},&0\lt p\le1/2,\\ 2-\sqrt{2(1-p)},&1/2\lt p\lt1. \end{cases}$$

例如中间 $50\%$ 的等尾区间是 $[q_{1/4},q_{3/4}]$，即

$$\left[\frac1{\sqrt2},\,2-\frac1{\sqrt2}\right].$$

它左右各留下 $25\%$，区间内概率为 $3/4-1/4=1/2$。分位数提供的是面积位置，不要求先知道均值；均值是另一种概括分布的方式，后面谈期望时还会回来比较。

若 CDF 有水平段，方程 $F(x)=p$ 可能有多个解。刚才两块矩形的例子里，$[1,2]$ 上都有 $F(x)=1/3$。按广义分位数定义，$q_{1/3}=1$，即选择第一次达到该水平的位置。平常说“解 ”很方便，但这条选择约定避免了遇到空白区间时说不清楚。

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零概率的端点，和不能省略的连续性条件

密度积分对一个单点给出的面积为零，因此对每个 $a$ 都有

$$P(X=a)=\int_{\{a\}}f(x)\,dx=0.$$

于是对 $a\lt b$，四种端点写法得到相同概率：

$$P(a\lt X\lt b)=P(a\le X\lt b)=P(a\lt X\le b)=P(a\le X\le b).$$

这是有条件的便利。上章的离散变量一般不能这么做，例如掷骰子时加入端点 $6$ 就会增加 $1/6$ 的概率。如今可以忽略端点，是因为已经证明本章密度模型的端点没有概率质量。

密度在有限个点上的修改不改变概率，在可数个点上的修改也一样，只要修改后的函数仍可作为非负可测函数使用。更一般地，在长度为零的集合上改写密度不会改变它所表示的分布。这就是为什么我们有时在分段点用 $\le$，有时用 $\lt$，而最后得到同一个概率模型。

CDF 没有跳跃，就一定有密度吗

这里需要把三个说法分开：“密度函数连续”“分布函数连续”“分布具有密度”。它们听起来相近，实际不是同一个要求。

有密度的分布，CDF 一定连续。刚才的分段常数密度已经说明，PDF 自己却可以跳跃。反过来，仅仅看到 CDF 连续，还不足以保证存在密度。CDF 连续只说明它没有跳跃，因此没有任何单点承载正概率；它没有保证所有概率都能用普通长度上的密度来积起来。

可以用一个具体构造理解这个边界。每次独立地以各 $1/2$ 的概率选 $0$ 或 $1$，记为 $B_1,B_2,\ldots$，令

$$X=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2B_n}{3^n}.$$

这个数的三进制展开只使用 $0$ 与 $2$。它永远落在这样一个集合里：从 $[0,1]$ 删除中间三分之一，再从每段剩余区间删除中间三分之一，一直做下去，最后留下的集合。

第 $n$ 步剩下 $2^n$ 段、每段长 $3^{-n}$，总长度是 $(2/3)^n$，趋于零。因此最终集合的长度为零，但这个变量以概率 $$ 落在其中。另一方面，锁定一个具体结果需要锁定无限多次选择；它的概率不会超过锁定前 次选择的概率 ，所以每个单点的概率都是零。由 CDF 的跳跃量等于点概率，可知它的 CDF 连续。

若它有普通密度 $f$，在这个长度为零的集合上积分只能得到 $0$，却又应当得到 $1$，矛盾。因此它没有密度。这类分布称为奇异连续分布。眼下不需要计算它的 CDF，只需要记住：连续 CDF 与有密度之间，还隔着绝对连续这个条件。

所以从给定 CDF 求密度时，不能只做“看起来连续，然后求导”这两步。对我们常见的、分成有限段且每段光滑的 CDF，检查拼接处连续，再把导数积分回来，确实能够恢复原函数；这才说明找回的是全部概率。

有跳跃的 CDF，求导会漏掉什么

另一个更常见的边界是混合分布。假设某项请求以 $1/4$ 的概率立即处理完，令耗时 $X=0$；其余 $3/4$ 的概率下，耗时均匀落在 $(0,2)$。这时

$$F(x)= \begin{cases} 0,&x\lt0,\\ \dfrac14+\dfrac{3x}{8},&0\le x\le2,\\ 1,&x\gt2. \end{cases}$$

在 $0$ 处的跳跃量是 $1/4$，对应立即完成的概率。区间 $(0,2)$ 内的导数是 $3/8$，但它的总积分只有 $3/4$。这不是少乘了某个归一化常数，而是还有 $1/4$ 的概率集中在单点，普通密度无法表达这一块。

如果把导数强行归一化成积分为 $1$，得到的会是另一个分布：它描述“已知没有立即完成时的耗时”，不再是原来的总体耗时。对于混合模型，CDF 仍然完整可靠，只是不能假装单靠一条普通密度就收齐了全部概率。

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已知落在一个区间后，密度怎样更新

前面学条件概率时，我们把注意力限制在已知事件里，再重新分配权重。密度模型也做同一个动作：先把不符合条件的区域剪掉，再把留下来的面积归一化。

设已知事件是 $X\in B$，其中

$$P(X\in B)=\int_B f(x)\,dx\gt0.$$

对于新的观察范围 $A$，条件概率为

$$P(X\in A\mid X\in B) =\frac{\int_{A\cap B}f(x)\,dx}{\int_B f(x)\,dx}.$$

因此条件下的密度可以写成

$$f_{X\mid X\in B}(x) =\frac{f(x)\mathbf1_B(x)}{P(X\in B)}.$$

符号 $\mathbf1_B(x)$ 在 $x\in B$ 时为 $1$，其他地方为 $0$。它负责“剪掉”，分母负责“把剩下的面积放大到 $1$”。这是我们早先条件概率公式在面积语言里的同一件事。

例如 $f(x)=2x$ 在 $[0,1]$ 上，已知 $X\ge1/2$。这个条件的概率是

$$P(X\ge1/2)=1-F(1/2)=1-\frac14=\frac34.$$

于是条件密度为

$$f_{X\mid X\ge1/2}(x)= \begin{cases} \dfrac{8x}{3},&1/2\le x\le1,\\ 0,&\text{其他}. \end{cases}$$

已知在右半段之后，落在 $[3/4,1]$ 的条件概率是

$$\frac{P(X\ge3/4)}{P(X\ge1/2)} =\frac{1-9/16}{3/4}=\frac7{12}.$$

截取右半段并不会让它自动均匀。原密度越靠右越高，这个相对形状在更新后仍然保留。条件只改变支持区域与总规模。

这里要求条件事件概率为正。如果把条件写成 $X=1/2$，分母就是零，不能继续使用这个比值。后面学习联合密度与条件分布时，我们会解释如何处理连续变量的点条件；现在先把“条件在一个正概率区间里”这件事做好。

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把密度、面积和累计值放在一起练习

小区间近似究竟近似在哪里

设 $X$ 的密度在 $[0,1]$ 上为 $3x^2$，其余地方为零。计算 $P(0.3\le X\le0.8)$；再比较 的精确值与左端点矩形近似，说明两者为什么不完全相等。

显示答案

先检查 $\int_0^13x^2\,dx=1$，函数非负，是合法密度。第一问为

$$P(0.3\le X\le0.8)=\left[x^3\right]_{0.3}^{0.8}=0.512-0.027=0.485.$$

先归一化，再跨段积分

设

$$f(x)= \begin{cases} cx,&0\le x\le1,\\ c,&1\lt x\le3,\\ 0,&\text{其他}. \end{cases}$$

求 $c$、完整的 $F(x)$，以及 $P(0.5\le X\le2)$。

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总面积为 $c/2+2c=5c/2$，因此 $c=2/5$。这个正数也保证密度非负。CDF 在第二段必须带上前一段已经累计的 $1/5$：

$$F(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<0,\end{array}$$

密度的一处高峰能决定中位数吗

设 $f(x)=2x$ 在 $[0,1]$ 上，其他地方为零。有人说：“$0.9$ 附近的密度很高，所以 $P(X=0.9)$ 很大，中位数也应该是 $0.9$。”请分别指出这两个判断的问题，并求 分位数。

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密度高度不能作为点概率。这里 $f(0.9)=1.8$，但 $P(X=0.9)=0$。中位数要满足左侧面积为一半，所以为 $1/\sqrt2\approx0.7071$；实际上 ，左侧已经积了 ，并没有平分概率。

从 CDF 求导时，怎样发现漏掉了概率

给定

$$F(x)= \begin{cases} 0,&x\lt0,\\ \dfrac15+\dfrac{4x^2}{5},&0\le x\le1,\\ 1,&x\gt1. \end{cases}$$

它是不是合法 CDF？能不能把它在 $(0,1)$ 上的导数当作整个分布的概率密度？计算 $P(X=0)$ 与 $P(0\lt X\le1/2)$。

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它不下降、右连续，左右无穷处分别趋于 $0$ 和 $1$，是合法 CDF。在 $0$ 处有跳跃，因此

$$P(X=0)=F(0)-F(0-)=\frac15.$$

在保留下来的区域内重新记账

设 $X$ 具有本章的三角形密度。已知 $X\ge1$，求条件密度，以及条件下 $X\ge1.5$ 的概率。再判断 $P(X=1\mid X\ge1)$ 是否仍为零。

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右半边的原面积为 $1/2$，因此把这块密度乘以 $2$：

$$f_{X\mid X\ge1}(x)= \begin{cases} 2(2-x),&1\le x\le2,\\ 0,&\text{其他}. \end{cases}$$

我们现在可以把一个连续模型读得比较完整了：密度说明概率在局部怎样分配，积分把它累积为区间概率，CDF 保存全部累计信息，分位数再从累计概率反查位置。遇到具体题目，先确认支持区域与密度合法性，再决定用积分、CDF 差或补事件，计算便有了依据。

接下来还差一个建模层面的问题：真实问题给出的是“等待时间”“一定范围内的位置”“许多小误差的合计”，通常不会直接递给我们一条分段函数。下一章就从这些机制出发，认识均匀、指数、正态、Gamma 与 Beta 分布，看看同一套密度与面积语言如何落到不同的模型里。