随机变量与分布函数

上一章讨论独立时，我们反复问的是：“知道一件事发生，会不会改变另一件事的概率？”掷两枚骰子，第一枚是否出现 $6$、第二枚是否出现 $6$，都可以写成事件。可如果问题换成“两枚点数加起来是多少”，只用事件说话就开始显得费劲：和为 $2$ 是一个事件，和为 $3$ 又是一个事件，一直到 $12$，我们得逐个记录。

能不能先把“把两个点数相加”这条规则起个名字，再统一讨论它的取值？随机变量就是从这个需要里走出来的。后面要计算平均收益、波动大小，研究很多次观测的平均值，第一步都是把关心的数量定义清楚。

不过，这个名字很容易让人误会。“随机变量”听着像一个会随机变化的数，严格说，它首先是一个函数。这次概念转换值得慢一点：真正随机的是试验产生哪个结果；函数本身规定的是，同一个结果永远对应同一个数。先把这一点想清楚，分布、期望和极限定理才有明确的研究对象。

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随机变量是一条确定的取数规则

一个结果，可以从不同角度取数

考虑依次抛两枚硬币，用 $H$ 表示正面、$T$ 表示反面。样本空间是

$$\Omega=\{HH,HT,TH,TT\}.$$

这里装的是完整结果：$HT$ 说明第一枚正面、第二枚反面。它本身并不是“正面出现几次”的答案。为了回答这个问题，我们定义函数 $X$，把每个结果对应到正面个数：

$$X(HH)=2,\qquad X(HT)=1,\qquad X(TH)=1,\qquad X(TT)=0.$$

当我们说“令随机变量 $X$ 表示正面个数”，其实就是用一句话写下了上面四条规则。$X$ 是整张对应表；$X(HT)=1$ 是其中一条对应关系；试验后看到的 $1$ 是一次观测值。三个对象相关，却不能混成一个。

同一个试验还可以定义另一个函数 $Y$：只记录第一枚是否正面，正面记 $1$，反面记 $0$。于是

$$Y(HH)=Y(HT)=1,\qquad Y(TH)=Y(TT)=0.$$

当结果是 $TH$ 时，$X$ 给出 $1$，$Y$ 给出 $0$。没有矛盾，因为它们回答的是不同问题。我们也可以令 $Z=X-Y$，记录第二枚是否正面；它仍然是定义在同一样本空间上的函数。

随机变量通常会丢掉一部分原始信息。知道 $X=1$，我们只能判断结果是 $HT$ 或 $TH$，无法恢复哪枚先出现正面。这个信息损失正是我们愿意接受的：如果只研究正面个数，就不必把硬币顺序一直带在计算里。

若再假定两枚硬币公平且相互独立，四种原始结果的概率就都是 $1/4$。沿着取数规则把概率一起送到数轴上，“正反”和“反正”汇到同一个值 $1$，因此这个值接住了 $1/2$ 的概率。

随机在哪里，函数又为什么是确定的

函数的写法是

$$X:\Omega\longrightarrow\mathbb R,\qquad \omega\longmapsto X(\omega).$$

试验发生前，我们不知道输入会是哪个 $\omega$，所以不知道最后读到哪个数；但把 $HT$ 输入 $X$，无论输入多少次，答案都是 $1$。随机性来自输入的概率安排，并不是函数临时改变了规则。

这里也没有要求现实中的试验必须能原样重复。明天某地的降雨量、某项未来任务的完成时间，都可以建立随机变量模型。样本空间描述我们考虑的可能情形，概率描述这些情形的权重，随机变量从每种情形中取出所关心的数。独立重复试验是以后研究长期平均时要额外说明的结构，并不包含在随机变量的定义里。

观测发生后，函数也不会消失。只是这一次的输入已经确定为某个 $\omega_0$，我们读到了 $x=X(\omega_0)$。以后说“随机变量服从某个分布”，是在讨论所有可能输入所形成的概率规律；说“这次观测到 $x=1$”，只是在报告其中一次结果。

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数轴上的条件，怎样成为可以计算概率的事件

现在我们想求 $P(X\ge1)$。概率 $P$ 原本是给事件用的，$X\ge1$ 看起来却是一条关于函数值的不等式。它们怎么接上？

答案是，把这个条件翻译回样本空间：

$$\{X\ge1\} =\{\omega\in\Omega:X(\omega)\ge1\} =\{HH,HT,TH\}.$$

所以 $P(X\ge1)$ 是一个省略写法，完整含义是“所有能被 $X$ 映射到 $[1,\infty)$ 的样本点所组成的事件的概率”。若两枚硬币公平且独立，四个结果各有概率 $1/4$，于是答案是 $3/4$。公平和独立负责给原始结果分配概率；$$ 的对应规则负责把它们归并到一起。

对数轴上的集合 $B$，这个动作写成

$$\{X\in B\}=X^{-1}(B)=\{\omega:X(\omega)\in B\}.$$

$X^{-1}(B)$ 读作 $B$ 的“原像”。这里的 $-1$ 并不意味着 $X$ 存在反函数，也不要求它是一一对应。正面个数这个函数就没有普通意义的反函数，因为数值 $1$ 对应两个原始结果；但集合 $\{1\}$ 的原像完全清楚，就是 。

可测性是在保证每个概率问题都有意义

在有限样本空间里，如果所有子集都被允许当作事件，取原像后当然还是一个事件，因此任何实值函数都能这样使用。但前面学习概率空间时，我们已经把“允许赋予概率的事件”集中放在 $\mathcal F$ 里。一般模型中，不能假定任意子集都属于 $\mathcal F$。

因此，随机变量的严格定义比“从样本空间到实数的函数”多一步：在概率空间 $(\Omega,\mathcal F,P)$ 上，实值函数 $X$ 要满足，对每个实数 $x$，都有

$$\{\omega:X(\omega)\le x\}\in\mathcal F.$$

这叫作 $X$ 的可测性。名字听起来像增加了一层抽象，要求其实很具体：我们一旦提出“$X$ 不超过这个阈值吗”，被挑出来的样本点必须构成一个合法事件，否则 $P(X\le x)$ 连定义都谈不上。

为什么只检查“不超过某个阈值”就够了？因为这些半直线能通过可数次并、交、补生成实数轴上的 Borel 集，而原像运算保留这些集合运算。例如

$$\{a<X\le b\}=\{X\le b\}\setminus\{X\le a\},$$ $$\{X<a\}=\bigcup_{n=1}^{\infty}\{X\le a-1/n\},$$ $$\{X=a\}=\{X\le a\}\setminus\{X<a\}.$$

这些都是我们马上要计算概率的事件。更完整的说法是，对每个 Borel 集 $B$，都要求 $X^{-1}(B)\in\mathcal F$；对实值函数，这与上面的阈值条件等价。

可以用一个很小的模型看看，这个要求不是空话。设 $\Omega=\{a,b,c,d\}$，但事件集合只有

$$\mathcal F=\{\varnothing,\Omega,\{a,b\},\{c,d\}\}.$$

这个模型只能区分“结果在前一组还是后一组”。若令 $X(a)=X(b)=0$、$X(c)=X(d)=1$，它是可测的，因为任何阈值只会挑出空集、前一组或整个空间。若改成 $Y(a)=0$、其余结果都记 ，则 不在 中。 依然是一条函数，却不是这个概率空间上的随机变量。我们不能要求现有的概率模型回答它根本没有定义的问题。

把事件本身写成一个数

对任意事件 $A\in\mathcal F$，定义指示随机变量

$$\mathbf1_A(\omega)= \begin{cases} 1,&\omega\in A,\\ 0,&\omega\notin A. \end{cases}$$

它只回答“这件事发生了吗”。掷两枚骰子时，令 $A$ 为“至少一枚出现 $6$”，那么 $I=\mathbf1_A$ 满足

$$P(I=1)=P(A)=1-\left(\frac56\right)^2=\frac{11}{36}, \qquad P(I=0)=\frac{25}{36}.$$

这里我们把上一章的独立性用于“两个骰子都不出现 $6$”，再用补事件计算。指示变量让事件和数字接在一起，后面“发生了多少次”可以写成许多个 $0$、$1$ 的和，“发生的比例”可以写成它们的平均值。大数定律最终要解释的频率，就是这样的平均值。

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分布：把数值与概率打包起来

我们已经有了函数 $X$，为什么还需要“分布”？因为知道对应规则，并不等于知道每个输出有多大概率。刚才那张正面个数的对应表，对偏硬币同样成立；一旦硬币的正面概率改变，$X$ 的分布就会改变。

反过来，不同试验也能产生相同的数值概率规律。例如，一枚公平硬币正面记 $1$、反面记 $0$；另一个设备以各 $1/2$ 的概率显示“开”或“关”，分别记 $1$、$0$。两个试验的原始结果完全不同，但若只问“输出为 $0$ 或 $1$ 的概率”，两边得到同一张表。

分布就是把这份数值概率信息单独拿出来。对实数轴上的 Borel 集 $B$，定义

$$\mu_X(B)=P(X\in B).$$

$\mu_X$ 是数轴上的概率分布。原先 $P$ 给样本空间的事件分配概率，现在 $\mu_X$ 给数轴上的集合分配概率。它没有另造一套权重，只是把原有权重按照 $X$ 的取值汇总。

这份新安排确实仍然满足概率公理。整个实数轴对应整个样本空间，所以 $\mu_X(\mathbb R)=1$；不交的数值集合，对应的原像也不交，因此概率可以相加。只要研究的是 $X$ 本身取值的概率，就可以用 $\mu_X$ 计算，不必每次回到原始样本点逐个数。

同分布，不代表是同一个随机变量

两个随机变量对所有数值集合给出相同概率，就叫同分布，记为

$$X\overset d=Y.$$

但别把这句话扩大成“在所有概率问题上它们都一样”。分布只记录一个变量单独的取值规律，不记录它怎样与别的变量一起出现。

在同一次公平硬币试验上，令 $X$ 为“正面记 $1$、反面记 $0$”，再令 $Y=1-X$。它们都以各 $1/2$ 的概率取 $0$、$$，所以同分布；可是每次试验它们都不相等，而且

$$P(X=1,Y=1)=0.$$

如果另取 $Z=X$，$Z$ 也有相同的分布，但这次

$$P(X=1,Z=1)=\frac12.$$

再扩展试验，独立抛第二枚公平硬币，用 $W$ 记录它是否正面。$W$ 仍然是同样的 $0$、$1$ 分布，却有

$$P(X=1,W=1)=\frac14.$$

三位“同分布的伙伴”与 $X$ 同时取 $1$ 的概率分别是 $0$、$1/2$、$1/4$。所以上一章的独立性不能被一个分布名称替代。以后只给出 $X$ 与 $Y$ 各自的分布，如果题目问 $X+Y$ 的分布，往往还缺少它们的联合关系。

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用一个函数记录整份分布

直接给每个集合 $B$ 写出 $P(X\in B)$ 太繁琐。我们希望找到一种更紧凑的记录方法：只问一种形状的集合，却足以恢复全部分布。累积分布函数正好做到这一点。

定义

$$F_X(x)=P(X\le x),\qquad x\in\mathbb R.$$

这里大写 $X$ 是随机变量，小写 $x$ 是由我们移动的阈值。固定阈值 $x$ 后，$F_X(x)$ 是一个确定的概率数字。例如 $F_X(1)$ 问“不超过 的概率”； 问“不超过 的概率”。即使 从不取 ，后一个问题仍然有意义。

把阈值从左向右移动，相当于沿数轴把已经经过的概率累计起来。这也是它叫累积分布函数、简称 CDF 的原因。对前面公平独立硬币的正面总数，

$$F_X(x)= \begin{cases} 0,&x<0,\\ \frac14,&0\le x<1,\\ \frac34,&1\le x<2,\\ 1,&x\ge2. \end{cases}$$

例如 $x=1.7$ 时，满足条件的取值仍然只有 $0$、$1$，所以 $F_X(1.7)=3/4$。CDF 在没有新增概率的地方保持水平，到有概率质量的点才向上跳。

CDF 的三个基本性质都有事件依据

首先，CDF 单调不下降。如果 $x<y$，那么“$X$ 不超过 $x$”发生时，“$X$ 不超过 $y$”也一定发生，即

$$\{X\le x\}\subseteq\{X\le y\}.$$

概率的单调性便给出 $F_X(x)\le F_X(y)$。所以一条哪怕只有局部下降的曲线，都不可能是 CDF。它也不必严格上升：没有概率落在某个区间里，累计量就在那段保持不变。

其次，两端的极限必须是

$$\lim_{x\to-\infty}F_X(x)=0, \qquad \lim_{x\to+\infty}F_X(x)=1.$$

为什么最右边会把概率收齐？因为本章定义的是实值随机变量，每个 $X(\omega)$ 都是有限实数。当整数 $n$ 增大时，事件 $\{X\le n\}$ 逐渐扩张，它们的并集是 $\Omega$。由概率对递增事件列的连续性，$F_X(n)\to P(\Omega)=1$。另一方面， 逐渐缩小，交集为空，于是 。再用单调性，就得到对实数阈值的两个极限。

“趋近 $1$”并不要求在某个有限位置已经等于 $1$。例如一个可以取任意大的正整数、但大值概率越来越小的变量，可能对每个有限 $x$ 都有 $F_X(x)<1$。这不会漏掉概率，只是总概率要在无限向右的极限中收齐。

第三，CDF 必须右连续：

$$\lim_{h\downarrow0}F_X(x+h)=F_X(x).$$

先固定一个 $x$，看事件列

$$A_n=\{X\le x+1/n\}.$$

阈值逐渐下降，$A_n$ 也逐渐缩小。如果 $X(\omega)\le x$，这个样本点会一直留在里面；如果 $X(\omega)>x$，那么差值 $X(\omega)-x$ 是正的，只要 足够大， 小于这个差值，它就会被排除。因此

$$A_n\downarrow\{X\le x\}.$$

由概率对递减事件列的连续性，

$$\lim_{n\to\infty}F_X(x+1/n) =\lim_{n\to\infty}P(A_n) =P(X\le x) =F_X(x).$$

单调性又保证，其他从右边靠近 $x$ 的阈值也得到同一极限：当 $0<h<1/n$ 时，$F_X(x)\le F_X(x+h)\le F_X(x+1/n)$，两边一起夹向 。右连续性就证明出来了。

这不是为了画阶梯图临时订的一条规则。它来自“$\le$ 把端点算进去”，以及概率公理已经保证的事件列连续性。过去凭图像记住的性质，现在有了明确依据。

左极限为什么可能不等于函数值

让阈值从左边靠近 $x$，事件变成

$$\{X\le x-1/n\}\uparrow\{X<x\}.$$

这里的并集不包含 $X=x$ 的样本点：无论 $n$ 多大，$x-1/n$ 都还小于 $x$。所以

$$F_X(x^-):=\lim_{t\uparrow x}F_X(t)=P(X<x).$$

把它与 $F_X(x)=P(X\le x)$ 相减，恰好剩下端点的概率：

$$P(X=x)=F_X(x)-F_X(x^-).$$

因此，CDF 在一点跳了多高，那一点就有多大的概率。硬币正面总数的 CDF 在 $1$ 处从 $1/4$ 跳到 $3/4$，跳幅为 $1/2$，正好等于 $P(X=1)$。画图时，$x=1$ 处的实心点应该在 ； 是左侧靠近时的高度，应在旧台阶右端画空心点。连接上下台阶的辅助竖线只是提示跳跃，不表示同一个 有一整段函数值。

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从 CDF 取回区间概率

CDF 已经累计了左边的一大块概率。要留下中间一段，最自然的办法是做减法。对 $a<b$，

$$\{X\le b\}=\{X\le a\}\,\dot\cup\,\{a<X\le b\},$$

其中点并号表示不交并。因此

$$P(a<X\le b)=F_X(b)-F_X(a).$$

这里左端点不包含、右端点包含，完全由这次集合拆分决定。若左端点也要保留，就应减去 $P(X<a)=F_X(a^-)$。四种区间对应关系可以放在一起看：

不用把表硬背下来。看上界是否包含端点，决定用 $F_X(b)$ 还是 $F_X(b^-)$；再看下界要排除哪部分。类似地，右尾概率为

$$P(X>x)=1-F_X(x), \qquad P(X\ge x)=1-F_X(x^-).$$

用硬币总数检查一次：$P(0<X\le1)=3/4-1/4=1/2$；而 $P(0\le X\le1)=3/4-0=3/4$。左端点的一个小小等号，在这里改变了 的概率，不能凭习惯忽略。

CDF 能恢复所有这些区间概率，而数轴上的 Borel 概率分布由这类区间的概率唯一确定。所以两个变量的 CDF 处处相等，就足以判断它们同分布。它仍然没有告诉我们两个变量在同一次试验中如何配对，这与前面“同分布不确定联合关系”的结论是一致的。

满足这些条件的函数，真的能成为 CDF 吗

我们已经证明，一个 CDF 必须单调不下降、右连续，并且在负无穷和正无穷分别趋于 $0$ 和 $1$。这三项也足够：任意满足它们的函数 $F$，都能成为某个实值随机变量的 CDF。

可以直接构造一个变量来说明。取一个在 $(0,1)$ 上均匀分布的随机变量 $U$，把它看成随机选中的“累计概率高度”。对 $0<u<1$，定义

$$Q(u)=\inf\{x:F(x)\ge u\}.$$

也就是从左向右找，累计概率第一次达到高度 $u$ 的位置。两端极限保证这个位置有限；单调性与右连续性保证，下确界位置也已达到该高度。因此

$$Q(u)\le x\quad\Longleftrightarrow\quad u\le F(x).$$

令 $V=Q(U)$，上面的等价关系一方面说明 $\{V\le x\}=\{U\le F(x)\}$ 是事件，另一方面给出

$$P(V\le x)=P(U\le F(x))=F(x).$$

于是 $V$ 的 CDF 确实就是 $F$。这里的 $Q$ 叫广义分位数函数：即使 $F$ 有水平段或跳跃、不存在普通反函数，这个构造仍然可用。它也解释了计算机为什么能从一个均匀随机数出发，生成其他分布的数值。我们会在随机变量变换时继续使用这个想法。

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离散分布：把同一个数背后的概率加起来

如果存在一个有限或可数无限的集合 $S$，使得 $P(X\in S)=1$，我们称 $X$ 为离散随机变量。通常题目直接给出它的所有可能取值，此时可把它们组成 $S$。更严格的表述允许在零概率事件上还有其他取值；这些取值不会改变分布。

离散变量适合逐点记录概率，定义概率质量函数，简称 PMF：

$$p_X(s)=P(X=s),\qquad s\in S.$$

每一项非负，总和为 $1$：

$$p_X(s)\ge0,\qquad \sum_{s\in S}p_X(s)=1.$$

对于有限样本空间，它来自一个很明确的汇总动作：

$$p_X(s)=\sum_{\omega:X(\omega)=s}P(\{\omega\}).$$

所以，原始样本点等可能，不代表随机变量的取值等可能。有的输出背后挤着很多原始结果，有的输出只对应一个；汇总后的权重当然不同。

两枚骰子的点数和

设两枚骰子公平且独立，结果写成有序对 $(i,j)$。共有 $36$ 个等可能结果，每个概率都是 $1/36$。令 $S=i+j$。固定 $s$ 后，我们要数满足 $$、 的有序对，而不是数“可能的和一共有几个”。

当 $s=2,3,\ldots,7$ 时，第一枚可以从 $1$ 取到 $s-1$，共有 $s-1$ 种；当 $s=8$ 时，两枚都不超过 的限制逐渐排除选项，只剩 种。因此

$$p_S(s)= \begin{cases} \dfrac{s-1}{36},&s=2,3,\ldots,7,\\ \dfrac{13-s}{36},&s=8,9,\ldots,12,\\ 0,&\text{其他}. \end{cases}$$

这些分子依次是 $1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1$，加起来是 $36$，归一化正确。和为 $7$ 的概率是 $6/36$，并不是把 个可能的和平均分配后得到的 。

CDF 则把 PMF 累计起来：

$$F_S(x)=\sum_{s\le x}p_S(s).$$

例如 $F_S(5)=(1+2+3+4)/36=10/36$，$F_S(8)=($，于是

$$P(5<S\le8)=F_S(8)-F_S(5)=\frac{16}{36}=\frac49.$$

也可以直接加 $s=6,7,8$ 的概率，得到 $(5+6+5)/36$。两种方法算的是同一组原始结果，这种交叉核对能及时发现端点有没有多算或少算。

可数无限取值的处理没有换一套逻辑，只是有限和变成无穷级数。例如 $P(N=n)=2^{-n}$，$n=1,2,\ldots$，总和是 $1$；对正整数 ，。每个有限阈值都还漏着一点尾部概率，但阈值趋于无穷时遗漏趋于 。下一章的等待次数模型会让这条级数有具体的试验解释。

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密度：区间里的概率有多集中

现在换成等待时间。假设某种等待时间 $T$ 在 $0$ 到 $10$ 分钟之间均匀分布。这个假设说的是：位于这个范围内、长度相同的两个区间，获得相同的概率。它没有说“每个精确时刻都有一个相等的正概率”。如果每个点都分到相同的正概率，光是挑足够多个点，总概率就会超过 $1$。

这个模型把概率按长度分配，因此长度为 $3$ 分钟的区间概率是 $3/10$。可以用一个高度为 $1/10$ 的函数表达这种分配方式：

$$f_T(t)= \begin{cases} 1/10,&0<t<10,\\ 0,&\text{其他}. \end{cases}$$

区间概率等于曲线下方的面积：

$$P(4<T\le7)=\int_4^7\frac1{10}\,dt=\frac3{10}.$$

一般地，如果存在非负可积函数 $f_X$，使得

$$F_X(x)=\int_{-\infty}^{x}f_X(t)\,dt$$

对所有实数 $x$ 成立，就称 $X$ 有概率密度函数，简称 PDF。这时分布叫作绝对连续分布。后面常见连续分布主要研究这一类。

密度满足

$$f_X(x)\ge0, \qquad \int_{-\infty}^{\infty}f_X(x)\,dx=1,$$

而任意区间的概率可由积分得到。对等待时间，完整 CDF 为

$$F_T(t)= \begin{cases} 0,&t<0,\\ t/10,&0\le t\le10,\\ 1,&t>10. \end{cases}$$

写出支持范围外的 $0$ 和 $1$ 很有必要；若只写 $F_T(t)=t/10$ 而不限制范围，负时间会得到负概率，超过 $10$ 分钟又会得到大于 $1$ 的概率。

为什么密度高度不是点概率

有密度时，CDF 连续，因此每个单点的概率都是

$$P(X=x)=F_X(x)-F_X(x^-)=0.$$

这个结论不需要加“通常”两个字：对有密度的随机变量，每个单点概率确实都是 $0$。但零概率不等于事件为空。均匀模型允许 $T=4$，只是这个单点没有长度；模型把正概率分配给区间，而没有给单点分配正质量。

这也没有与“所有可能值总共概率为 $1$”冲突。概率公理保证的是可数可加性，我们不能把一个实数区间拆成不可数多个单点，再把普通无穷级数的求和规则直接套过去。把区间切成有限或可数个小区间时，可加性仍然正常工作。

密度甚至可以大于 $1$。例如均匀分布在 $(0,1/4)$ 上的变量，密度是 $4$，但整个面积为 $4\times1/4=1$；落在长度 $0.02$ 的内部区间里的概率是 $0.08$。高度越大，表示相同短区间里概率越集中，不表示单点有超过 的概率。

若 $f_X$ 在 $x$ 处连续，那么对足够小的正数 $h$，

$$P(x<X\le x+h)=\int_x^{x+h}f_X(t)\,dt\approx f_X(x)h.$$

右边的 $h$ 不能漏掉。如果 $X$ 用分钟计量，密度的单位就是“每分钟”，乘上区间的分钟数才得到无单位的概率。这个单位检查也能提醒我们：密度高度和概率本来就是不同的量。

积分与求导之间，哪些条件不能省

从密度得到 CDF 用积分；从 CDF 得到密度常用求导。在密度连续的点，微积分基本定理给出

$$F_X'(x)=f_X(x).$$

一般的可积密度只保证这个等式几乎处处成立，也就是允许在一个长度为零的集合上例外。密度本身也不是逐点唯一的：改动某一个点的高度，不会改变任何积分，因此不会改变分布。CDF 则对每个 $x$ 都有确定值。

所以不要把“只要 CDF 可导就能在每一点恢复预先指定的密度值”当作无条件规则。我们后面遇到的分段密度，在拼接点用哪一个高度通常不影响概率；真正应检查的是各段积分以及 CDF 能否正确衔接。

下面的演示换用另一种有密度的模型：$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$，$x\ge0$，其中 $\lambda>0$；负数范围的密度为 $0$。把它从 积分到 ，得到 。我们稍后会专门研究这种指数分布，这里先用它核对“面积等于累计量之差”。

先保持参数不变，只移动区间右端点，比较左图的阴影面积和右图的竖直高度差。再把两个端点移到一起，区间概率就变为 $0$，即使端点处的密度仍然为正。调大 $\lambda$ 后，左图起始高度可以超过 $1$，而概率读数始终在 $0$ 与 $1$ 之间。图只显示 $0$ 到 $8$ 的范围，右边未画出的尾部仍有概率；“总面积为 $1$”指整个非负实数轴上的积分。

这三种函数并不是每个随机变量都同时拥有。CDF 总是存在；纯离散分布用 PMF；绝对连续分布用 PDF。下面这个例子就不能只靠一张 PMF 或一个普通 PDF 讲完。

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一部分概率在点上，一部分铺在区间里

设某个服务窗口有 $30\%$ 的概率可以立即办理，等待时间 $T=0$；其余 $70\%$ 的情况下需要排队，并假设给定“需要排队”后，等待时间在 $0$ 到 $10$ 分钟之间均匀分布。

这不是“有 $30\%$ 的人恰好等到零附近”的连续近似。模型明确把 $0.3$ 的概率放在精确的 $0$ 上，其余概率才按区间长度铺开。由前面学过的全概率公式，当 $0\le t\le10$ 时，

$$\begin{aligned} P(T\le t) &=P(\text{立即办理}) +P(\text{排队})P(T\le t\mid\text{排队})\\ &=0.3+0.7\frac{t}{10}. \end{aligned}$$

所以它的 CDF 是

$$F_T(t)= \begin{cases} 0,&t<0,\\ 0.3+0.07t,&0\le t<10,\\ 1,&t\ge10. \end{cases}$$

在 $0$ 处，CDF 从 $0$ 跳到 $0.3$；从 $0$ 到 $10$，再沿直线增加到 $1$。这叫作离散成分与绝对连续成分的混合分布。

同一个 CDF 可以直接处理端点和区间：

$$P(T=0)=0.3, \qquad P(0<T\le3)=F_T(3)-F_T(0)=0.21,$$ $$P(T\le3)=0.51.$$

后两个概率相差 $0.3$，差的正是无需等待的那一组。如果只对 $F_T$ 的普通上升部分求导，会得到 $0.07$；在 $(0,10)$ 上积分却只有 $0.7$。剩下的 $0.3$ 藏在跳跃里，不能用单个点的普通函数高度补回来，因为任何有限的单点高度都没有面积。这个分布没有覆盖全部概率的普通 PDF。

对任何 Borel 集 $B$，它完整的概率安排可以写成

$$P(T\in B) =0.3\,\mathbf1_{\{0\in B\}} +\int_{B\cap(0,10)}0.07\,dt.$$

第一项处理 $B$ 是否包含原子点 $0$，第二项处理区间部分。在后面的条件分布、截断和变换问题里，这种“一个点加一段连续部分”的结构还会出现。遇到它时直接回到 CDF，通常比勉强寻找一个纯离散或纯连续的标签更省事。

CDF 连续，也不一定存在密度

我们已经知道：有密度，一定没有跳跃；没有跳跃，说明所有单点概率都是 $0$。能否倒过来说，没有跳跃就必然有密度？不能。

可以这样理解一个边界例子。独立生成一串公平的 $0$、$1$ 变量 $B_1,B_2,\ldots$，令

$$C=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2B_n}{3^n}.$$

它的三进制数字只能是 $0$ 或 $2$，因此取值落在不断删除中间三分之一后留下的集合里。保留到第 $n$ 步时，共有 $2^n$ 个区间，每段长度是 $3^{-n}$，总长度为 $(2\mathrm{/}3{)}^{}$；继续下去，最终留下的集合长度为 。

但变量 $C$ 的全部概率都在这个集合上。同时，指定一个具体取值需要指定无限串数字，前 $n$ 个数字同时吻合的概率只有 $2^{-n}$，它趋于 $0$，所以每个单点的概率都是 $0$。于是 CDF 连续，却不可能有普通密度：如果存在密度，对长度为零的集合积分应当得到 $0$，而这里那个集合的概率是 $1$。

我们不会在入门计算里大量使用这类奇异连续分布，但它指出了一个必要的逻辑边界：“CDF 连续”“单点概率全为零”“存在密度”不是三句可以随意互换的话。前两者等价；存在密度是更强的条件。本课程后面提到常见连续分布时，会明确使用有密度的模型。

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从实际问题写出可以使用的模型

现在回头看“令 $X$ 表示某个量”这句话，它其实压缩了好几项工作。先要弄清完整结果是什么，再规定从结果里取哪个数，最后说明哪些概率信息来自假设、哪些来自计算。

比如一个网站记录用户点击按钮的时间。若只关心是否在 $5$ 秒内点击，可以定义 $I=\mathbf1_{\{\text{5 秒内点击}\}}$；没点击的人取 $0$，数值规则没有遗漏。若直接说“$T$ 是点击等待时间”，却允许用户永远不点击，就还欠着一个定义：对那些结果，$T$ 究竟取什么值？

一种办法是只研究给定“最终会点击”后的等待时间，但这时分布是条件分布，研究对象已经改变。另一种办法是固定观察窗口，比如 $60$ 秒，把变量定义为“点击时间与 $60$ 秒的较小者”，未点击也记 $60$。这个变量是有限实值的，但在 $60$ 秒处可能出现一块正概率质量，因此未必有纯粹的连续密度。

也可以允许扩展实值 $+\infty$ 表示永不点击，不过这超出了本章的有限实值约定；如果 $P(T=+\infty)>0$，那么对有限阈值定义的 $F_T(t)$ 在 $t\to \mathrm{\infty }$ 时就只能趋于 ，不再趋于 。这正解释了前面证明 CDF 两端极限时，为什么明确使用“每个输出都是有限实数”。

这些区别不是记号上的挑剔。一个截止时刻积累起来的点概率，可能改变阈值事件的计算；删掉未点击者，则会改变我们分析的总体。写模型时把这些问题交代清楚，后面的积分和求和才是在回答同一个问题。

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把概念放回计算里

练习：同一结果的两种记录

抛两枚公平且独立的硬币。令 $X$ 为正面个数，令 $J$ 为“两枚结果相同”的指示变量。写出 $J$ 在四个样本点的取值，求 $P(J=1)$，并判断 $J$ 是否可以写成 $X$ 的函数。

显示答案

在 $HH,HT,TH,TT$ 上，$J$ 依次取 $1,0,0,1$，所以 $P(J=1)=1/2$。两枚结果相同恰好对应正面个数为 或 ，因此

练习：端点究竟带走多少概率

已知 $Y$ 的概率质量为 $P(Y=-1)=0.2$、$P(Y=2)=0.5$、$P(Y=5)=0.3$。写出完整 CDF，求 、 和 。

显示答案

从左向右累加，得到

$$F_Y(y)= \begin{cases} 0,&y<-1,\\ 0.2,&-1\le y<2,\\ 0.7,&2\le y<5,\\ 1,&y\ge5. \end{cases}$$

练习：一条曲线是否能作 CDF

考虑函数 $G(x)$：当 $x\le0$ 时为 $0$，当 $0<x<1$ 时为 $0.4+0.6x$，当 时为 。它单调不下降，两端极限也正确，能否作为某个实值随机变量的 CDF？怎样只改一个点就使它成为合法 CDF？

显示答案

不能，因为 $G(0)=0$，但从右边靠近 $0$ 时，极限为 $0.4$，它不右连续。把 $G(0)$ 改成 $0.4$ 后，三个基本条件都成立。这时 $0$ 处有概率质量 $$，而 内的连续部分密度为 。这里单点修改会改变 CDF 的合法性，与“单点修改密度不改变分布”正好形成区别。

练习：密度、CDF 与短区间

设 $Z$ 的密度为 $f_Z(z)=3z^2$，$0<z<1$，其他位置为 。验证归一化，求完整 CDF、 和 。在 附近长度为 的右侧区间中，用密度给出概率的近似值。

显示答案

归一化由 $\int_0^1 3z^2\,dz=1$ 得到。积分给出

$$F_Z(z)=\{\begin{array}{ll}0,& z\le 0,\\ z^{}\end{array}$$

练习：同样的分布，能否直接求和

随机变量 $A$、$B$ 都以各 $1/2$ 的概率取 $0$ 和 $1$。仅凭这条信息，能否求出 $P(A+B=1)$？分别在 、、 与 独立时计算。

显示答案

不能唯一确定。如果 $B=A$，和只可能是 $0$ 或 $2$，所求概率是 $0$；如果 $B=1-A$，和恒等于 $1$，所求概率是 ；如果两者独立， 对应 或 ，概率是 。

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接下来，我们给常用的计数规则写出分布

现在看到 $P(X\le x)$，我们可以把它完整地展开：先在样本空间上有一条可测的取数规则 $X$，再用阈值 $x$ 选出事件，最后由概率给这个事件赋值。分布把这些数值事件的概率组织起来，CDF 用一种统一的累计方式记录它们。

下一章把注意力放到离散变量：一次成败、固定次数中的成功总数、等到成功所需的次数、无放回抽样中的命中数。它们看起来都在“数个数”，对应的函数和试验结构却不同。我们会从这些区别推导常见分布的公式，而不是先拿一个名字去套题目。以后研究平均值是否稳定时，再回头看今天的指示变量：把事件是否发生记成 $0$ 和 $1$，正是把频率写成随机变量平均值的起点。