有理函数：分式、渐近线与图像

有理函数把多项式放进“分子/分母”的结构里。前面学习多项式时，我们主要看零点、次数、端行为和因式分解；到了有理函数，这些工具仍然有用，但多了一个新问题：分母不能为零。

这章的核心不是背几条渐近线规则，而是建立一条稳定的分析路线：先保留原式的限制，再用因式分解看哪些限制变成洞，哪些限制变成垂直渐近线，最后用端行为、截距和符号表把图像拼出来。

分式函数的基本语言

如果一个函数可以写成两个多项式的商，就叫有理函数：

其中 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 都是多项式，并且 $Q(x)$ 不是零多项式。对每一个具体输入，只有当 $Q(x)\neq 0$ 时，$f(x)$ 才有定义。

最简单的有理函数是反比例函数：

它的图像有两条渐近线：$x=0$ 和 $y=0$。这两条线不是装饰，而是在告诉我们：当输入接近 $0$ 时，输出会剧烈增大或减小；当输入的绝对值越来越大时，输出会越来越接近 $0$。

更一般地看，有理函数的图像可能出现这些特征：

• 分母为零导致某些输入不在定义域内。
• 约去公共因子后，某些缺失点表现为可去间断点，也就是图像上的洞。
• 未被约去的分母零点通常对应垂直渐近线。
• 分子、分母次数的比较决定远处图像靠近水平线、斜线，或更高次数的曲线。
• 分子零点、分母零点和洞会把数轴切成若干区间，适合用符号表判断正负。

定义域先于化简

研究有理函数时，第一步永远是看原始分母。原式中的分母为零时，函数没有定义；这个限制不会因为后面化简看起来变简单而消失。

例如：

分母因式分解为：

因此原函数在 $x=2$ 和 $x=-2$ 处都没有定义。虽然对 $x\neq 2$ 的输入可以约去公共因子：

但 $x=2$ 仍然不能放回定义域。

用区间表示，这个函数的定义域是：

洞和垂直渐近线

洞和垂直渐近线都来自“某个输入不能代入原函数”，但它们附近的图像行为完全不同。

看因式分解后的形式：

只要 $B(a)\neq 0$，公共因子 $x-a$ 约去后，图像在 $x=a$ 附近会靠近一个有限点。这个点本该在化简后图像上，但原函数不允许 $x=a$，所以那里留下一个洞。

洞的纵坐标用化简后的函数计算。若

先因式分解：

公共因子 $x+2$ 对应 $x=-2$，所以 $x=-2$ 是洞的位置。化简式是：

洞的纵坐标为：

因此洞是：

未被约去的分母因子 $x-3$ 对应 $x=3$。当 $x$ 接近 $3$ 时，分母接近 $0$，而分子不接近 $0$，函数值会趋向很大的正数或负数，所以 $x=3$ 是垂直渐近线。

端行为与渐近线

垂直渐近线描述图像在某个有限输入附近的行为；水平渐近线和斜渐近线描述图像在 $x\to \infty$ 或 $x\to -\infty$ 时的远处趋势。

设分子次数是 $n$，分母次数是 $m$。

当 $n<m$ 时，分母增长更快，函数值趋近 $0$，水平渐近线是：

当 $n=m$ 时，最高次项的比值决定远处的高度。若最高次项分别是 $a_nx^n$ 与 $b_mx^m$，水平渐近线是：

当 $n=m+1$ 时，图像通常有斜渐近线。斜渐近线来自多项式除法中的商。比如：

做除法：

当 $x$ 的绝对值越来越大时，$\frac{2}{x-1}$ 越来越接近 $0$，所以图像越来越接近直线：

图像草图的完整流程

画有理函数草图时，不要急着代很多点。更稳的做法是先列出“骨架信息”，再用少量测试点决定每一段的走向。

以函数为例：

第一步，因式分解：

原函数的定义域排除 $x=-2$ 和 $x=3$。

第二步，判断洞和垂直渐近线。公共因子 $x+2$ 被约去，所以 $x=-2$ 是洞。化简式为：

洞的坐标是：

未约去的分母因子 $x-3$ 给出垂直渐近线：

第三步，判断端行为。原函数分子分母次数相同，最高次项系数都是 $1$，所以水平渐近线是：

第四步，找截距。$x$ 轴截距来自化简后分子为零且不被定义域排除的位置：

所以 $x$ 轴截距是 $(2,0)$。$y$ 轴截距用 $x=0$ 计算：

所以 $y$ 轴截距是：

第五步，看每个区间的正负和靠近渐近线时的方向。因为化简式可以写成：

当 $x\to 3^-$ 时，$\frac{1}{x-3}\to -\infty$，所以函数值趋向 $-\infty$；当 时，函数值趋向 。

符号表与分式不等式

分式不等式的关键是：先把不等式变成“一个分式与 $0$ 比较”的形式，再用零点和无定义点切分数轴。

例如求：

临界点来自分子零点和分母零点：

这些点把数轴切成四段：

在每段取一个测试点，判断三个因子 $x+2$、$x-3$、$x-1$ 的符号。得到：

因为题目要求分式大于或等于 $0$，所以保留正区间，并把分子为零的点加入解集。分母为零的点 $x=1$ 必须排除。

答案是：

实际反比例模型

许多实际问题中的“平均量”“单价”“速度与时间”“固定总量分配”都会出现有理函数。最常见的基础模型是：

当 $k>0$ 且 $x>0$ 时，$x$ 增大，$y$ 减小；但 $y$ 不会变成负数，也不会真正等于 $0$。这和很多实际场景吻合：同一项工作交给更多同等效率的人，完成时间会缩短，但不会因为人数很多就变成零时间。

例如一批同样的任务，总工作量相当于 $240$ 人时。若有 $n$ 名效率相同的人同时完成，所需时间可以建模为：

这里的实际定义域不是所有 $n\neq 0$，而是正整数：

从纯函数角度看，$x=0$ 是垂直渐近线，$y=0$ 是水平渐近线；从实际情境看，$n=0$ 表示没人做事，模型没有意义，而 $T(n)$ 趋近于 $0$ 只表示时间越来越短，不表示可以瞬间完成。

另一个常见模型是平均成本：

其中 $q$ 是生产数量，$600$ 是固定成本，$12q$ 是可变成本。化简得到：

这个模型的水平渐近线是：

它的含义不是“平均成本等于 12”，而是当产量很大时，固定成本被分摊得很薄，平均成本会越来越接近每件 $12$ 的可变成本。

常见误区

有理函数的错误通常不是计算太难，而是顺序乱了。下面几类尤其常见。

把“分母为零”直接等同于“垂直渐近线”。正确做法是先因式分解并约去公共因子。约去的限制是洞，没约去的限制才形成垂直渐近线。

把化简后的式子当成完整原函数。化简式只在原函数允许的输入上等价，不能把原先排除的输入补回来。

认为图像不能穿过水平渐近线。水平渐近线描述远处趋势，图像在有限位置可能穿过它。

用交叉相乘处理分式不等式。只要乘上的表达式可能为负，不等号方向就不稳定。更可靠的方法是移到一边、通分、因式分解、做符号表。

只找截距，不看渐近线附近的方向。截距只是图像上的点；渐近线附近的正负无穷行为决定分支如何进入和离开每个区间。

练习

练习一

求函数的定义域，并指出洞和垂直渐近线：

练习二

找出下列函数的水平渐近线或斜渐近线：

练习三

解分式不等式：

练习四

某社团租用一台设备需要固定费用 $300$ 元，每小时另付 $40$ 元。如果使用 $h$ 小时，平均每小时费用为：

写出它的实际定义域，并解释水平渐近线。

因此斜渐近线是 $y=2x+1$。