有理函数：先守住分母，再看懂图像

先想一个最朴素的问题：一个分式什么时候会“坏掉”？

答案不是分子等于零。分子等于零，往往只是函数值等于零；真正不能发生的是分母等于零，因为除以零没有意义。

这句话看起来简单，却管着有理函数几乎所有重要特征。图像上的洞从这里来，垂直渐近线从这里来，分式不等式里必须挖掉的端点也从这里来。你拿到一道题，先别急着画图，更别急着约分。先把原式的分母圈出来，问一句：

哪些输入会让分母变成零？

把这些输入记牢，后面的分析才不会乱。

这一章会反复使用同一个例子：

我们会从原式一路追到定义域、洞、渐近线、截距、符号表和完整草图。这样你看到的不是一堆彼此分开的规则，而是一条能真正拿来解题的路线。

什么叫有理函数

如果一个函数能写成两个多项式的商，

其中 $P(x)$、$Q(x)$ 都是多项式，而且 $Q(x)$ 不是零多项式，那么它就是有理函数。

这里有两个容易混淆的地方。

第一，“有理”说的是表达式由多项式相除得到，不是说函数值只能是有理数。比如 $f(x)=1/x$，把 $x=\sqrt2$ 代进去，函数值是 $1/\sqrt2$，照样没有问题。

第二，$Q(x)$ 不是零多项式，并不等于 $Q(x)$ 永远不为零。它只表示 $Q(x)$ 不能整条都等于零。至于某些具体输入会不会让 $Q(x)=0$，还得单独检查。

最基础的例子是反比例函数：

$x=0$ 不能代入，所以图像在 $y$ 轴两侧分成两支。当 $x$ 从右边靠近 $0$ 时，$1/x$ 越来越大；从左边靠近 $0$ 时，$1/x$ 越来越小。可当 越来越大， 又会慢慢贴近 。

这正好预告了有理函数的两种观察方向：

• 靠近某个不能取的有限输入时，函数会发生什么；
• 当 $x$ 向很远的地方走时，函数又会靠近什么。

前一种行为会带来洞或垂直渐近线，后一种行为会带来水平、斜的，甚至更高次的多项式渐近线。

定义域必须先于化简

来看贯穿本章的函数：

先别约分。把原始分母因式分解：

于是分母在 $x=3$ 和 $x=-2$ 时等于零。原函数的定义域是

也可以写成区间：

接着再分解分子：

所以在原函数允许的输入上，

请留意中间那句“在原函数允许的输入上”。约去 $x+2$ 的动作其实是在用

而这个等式只有在 $x\neq-2$ 时才成立。$x=-2$ 原来不能取，约分以后也不能突然补回来。

可以把这件事记成两本账：

两本账都要保留。只看原式，你不容易读出图像形状；只看化简式，你又会把已经排除的输入误放回来。

被约掉的是洞，留下来的是垂直渐近线

同样是“某个输入不能取”，附近的图像却可能完全不同。

洞：只缺一个点

在贯穿例题中，因子 $x+2$ 在分子和分母各有一个，约分后完全消失。因此当 $x$ 接近 $-2$ 时，函数并不会失控，而是越来越接近化简式在 $x=-2$ 处的值：

所以图像在

留下一个开圆点。周围的曲线照常延伸，只是这个点本身不属于原函数。这就是可去间断点，也常简称为洞。

“可去”不是说你可以擅自把点填回去，而是说只要另外定义 $f(-2)=4/5$，这处断裂就能被补上。

垂直渐近线：附近的函数值失控

因子 $x-3$ 没有被约掉。化简后它仍在分母里：

当 $x$ 靠近 $3$ 时，分子靠近 $1$，分母却靠近 $0$。一个接近 $1$ 的数除以一个绝对值极小的数，结果的绝对值会非常大。因此

是垂直渐近线。

还要继续判断两侧分别往上还是往下。这里分子在 $x=3$ 附近为正：

• $x\to3^-$ 时，$x-3$ 是很小的负数，所以 $f(x)\to-\infty$；
• $x\to3^+$ 时， 是很小的正数，所以 。

把“很小的正数、很小的负数”说清楚，比只背一条竖线可靠得多。

别把规则说得太粗

“分母等于零就是垂直渐近线”这句话不够准确。更稳的判断顺序是：

这里还有个容易被忽略的次数问题。比如

虽然约掉了一个 $x+1$，分母里还剩一个，所以 $x=-1$ 仍是垂直渐近线，不是洞。只有分母中的这个因子完全消失，才会留下洞。

截距：必须同时通过定义域检查

有理函数的 $x$ 轴截距满足两个条件：分子为零，并且分母不为零。

对贯穿例题，化简式的分子为零给出

$2$ 没有被定义域排除，因此 $x$ 轴截距是

原分子还有一个零点 $x=-2$，但它恰好让原分母也等于零，所以那里是洞，不是截距。

$y$ 轴截距更直接：只要 $x=0$ 在定义域内，就把 $0$ 代入原式或化简式。

因此 $y$ 轴截距是

如果 $x=0$ 被定义域排除，那就没有 $y$ 轴截距。别为了“每张图都该碰一下两条坐标轴”而硬算一个不存在的点。

远处靠近哪条线：先做次数比较

垂直渐近线管的是 $x$ 靠近某个有限值时的行为。水平渐近线、斜渐近线和更一般的多项式渐近线，管的是 $x\to\pm\infty$ 时的端行为。

设化简后的有理函数为

分子次数是 $m$，分母次数是 $n$。为什么要强调“化简后”？因为公共因子可能改变表面次数，却不改变远处真正的图像趋势。

分子次数低：远处贴近 $y=0$

当 $m<n$ 时，分母增长得更快。例如

分子大约按 $x$ 增长，分母大约按 $x^2$ 增长，所以整个分式大约像 $3/x$，最终趋近 $0$。水平渐近线是

次数相同：看最高次项系数之比

当 $m=n$ 时，把分子、分母同时除以 $x^n$，低次项都会在远处趋近 $0$。最后留下的是最高次项系数之比。

贯穿例题的分子、分母都是二次，首项系数都是 $1$，所以

是水平渐近线。

你也可以从化简式直接看出来：

当 $|x|$ 很大时，$1/(x-3)$ 越来越接近 $0$，于是图像越来越贴近 $y=1$。

这一步还顺手告诉我们靠近方向：

• $x\to+\infty$ 时，$1/(x-3)>0$，图像从 $y=1$ 上方靠近；
• $x\to-\infty$ 时，，图像从 下方靠近。

分子次数高一次：做多项式除法

当 $m=n+1$ 时，商是一次式。比如

做多项式除法：

所以

余项部分 $2/(x-1)$ 在远处趋近 $0$，因此斜渐近线是

你可以把多项式除法理解成“把函数拆成远处的主干和逐渐消失的误差”：

分子次数高两次或更多

这时商不再是直线，而是二次或更高次多项式。只要余式次数比分母低，

图像就会在远处靠近“$y=$ 多项式商”。水平和斜渐近线只是这个想法最常见的两个版本。

例如

的水平渐近线是 $y=0$，但图像在原点穿过 $x$ 轴。这个例子足够提醒你：“趋近”与“永不相交”不是一回事。

把信息拼成一张图

现在回到贯穿例题：

前面已经得到：

• 原定义域排除 $x=-2,3$；
• 化简式是 $g(x)=\frac{x-2}{x-3}=1+\frac1{x-3}$；

还差一块：每个区间里，函数在 $x$ 轴上方还是下方。

用符号表确定上下位置

对化简式

真正会影响正负的临界位置是 $x=2$ 和 $x=3$。不过 $x=-2$ 是原函数的洞，也应该在数轴上单独标出来，提醒自己图像在那里断一个点。

注意，经过洞 $x=-2$ 时符号没有改变。道理也很直接：洞来自一个已经约掉的公共因子，洞两侧仍沿着同一个化简后的图像走。

再把单侧趋势放进去

由

可知：

• $x\to3^-$ 时，$f(x)\to-\infty$；
• $x\to3^+$ 时，；

这四句话把两支曲线的“入口”和“出口”都定住了。

最后落笔

分式不等式：别急着乘分母

解下面的不等式：

你可能会想两边同乘 $x-1$。这里正好有个坑：$x-1$ 在 $x>1$ 时为正，在 $x<1$ 时为负。乘上一个符号不确定的量，不等号到底要不要反向也跟着不确定。

更稳的办法是把所有内容移到一边，整理成“一个分式与 $0$ 比较”，再做符号表。这道题已经是目标形式。

第一步：找临界点

分子零点是

分母零点是

三个点把数轴切成四段：

第二步：逐段判断符号

第三步：处理端点

题目要“大于或等于 $0$”，所以正区间要保留，分子为零的 $x=-2,3$ 也可以纳入。

但 $x=1$ 让分母为零，无论不等号有没有等号都不能取。答案是

重根会不会换号

如果一个因子以奇数次幂出现，穿过它的零点时，这个因子的符号会改变；如果以偶数次幂出现，符号不会改变。

例如

在 $x=2$ 左右，$(x-2)^2$ 都是正数，所以整体符号不会因为经过 $2$ 而翻转。$x=2$ 只是分子零点，题目又是严格大于 $0$，因此要把它从正区间里挖掉。

反比例模型：公式之外还要看情境

有理函数并不只活在坐标纸上。只要一个固定总量被不同数量的单位分担，就很容易出现

这样的反比例关系。

固定工作量与人数

假设一项任务总工作量是 $240$ 人时，所有人效率相同，并且可以同时开工。若有 $n$ 人参与，理想完成时间为

代入几个值检查：

人数翻倍，时间减半。这就是反比例最醒目的特征。

纯代数只要求 $n\neq0$，但情境把定义域收得更紧：人数不能为负，也不能是 $2.4$ 个人，所以实际定义域通常是

图像的连续曲线可以帮助你看趋势，但真正允许的输入只是曲线上的离散整数点。

还要看模型假设。现实里人越多，不一定永远按比例提速：沟通、场地、设备数量都会限制效率。因此 $T(n)=240/n$ 是一个理想模型，适合描述“工作可完全分割、效率相同、互不干扰”的情形。

平均成本

某产品固定成本为 $600$ 元，每件还需要 $12$ 元可变成本。生产 $q$ 件时，总成本是

平均到每一件：

这里的水平渐近线是

它不是说某个有限产量会让平均成本恰好等于 $12$。因为只要 $q$ 是有限正数，$600/q$ 就仍然大于 $0$，所以

$y=12$ 表示的是长期趋势：产量越大，平均成本越接近单位可变成本。

容易踩的坑，提前拆掉

坑一：约分以后重算定义域

错在把原函数和化简式当成完全相同。它们只在原函数允许的输入上相等。正确顺序是先用原分母确定限制，再约分。

坑二：分母零点一律画垂直渐近线

要先看相关因子是否被完全约掉。完全约掉留下洞；约后仍在分母里，才是垂直渐近线。

坑三：分子零点一律算作 $x$ 轴截距

还要检查分母。若这个输入被定义域排除，就不是函数点，更不可能是截距。

坑四：图像不能穿过水平渐近线

水平渐近线只描述远处。判断是否穿过，可以直接解 $f(x)=L$，其中 $y=L$ 是那条水平线。

坑五：画了渐近线，却不判断两侧方向

只知道 $x=3$ 是垂直渐近线，还不足以画对分支。你必须判断 $x\to3^-$、$x\to3^+$ 时分别趋向哪个无穷。

坑六：解不等式时直接交叉相乘

只要分母含变量，它的正负就可能改变。先移到一边、通分、因式分解、做符号表，通常更稳。

坑七：实际模型照搬代数定义域

人数、件数往往是正整数；时间、长度可能是正实数；有些输入还受容量或制度限制。变量的单位和含义会替你筛掉不少不合理的值。

一页式分析清单

面对

你可以按下面的顺序自检：

1. 原始分母在哪些输入下等于零？先写定义域。
2. 分子、分母能否完全因式分解？
3. 哪些公共因子被完全约掉？对应洞在哪里，纵坐标是多少？
4. 化简后分母还剩哪些零点？它们给出哪些垂直渐近线？
5. 每条垂直渐近线两侧分别趋向 $+\infty$ 还是 $-\infty$？
6. 分子、分母次数如何？远处靠近水平线、斜线还是更高次多项式？
7. 哪些分子零点真正属于定义域？$y$ 轴截距是否存在？
8. 临界点把数轴切成哪些区间？各区间函数符号如何？
9. 洞、截距、渐近线和符号是否彼此一致？
10. 若是实际问题，变量的单位、实际定义域和模型假设是什么？

只要这十问答得完整，大多数有理函数的图像和不等式就已经没有神秘感了。

练习

练习一：定义域、洞和垂直渐近线

分析函数

练习二：斜渐近线

求

的斜渐近线，并说明图像从斜线哪一侧靠近。

练习三：分式不等式

解

练习四：平均费用模型

某社团租设备要先付 $300$ 元，再按每小时 $40$ 元计费。使用 $h$ 小时，平均每小时费用为

写出实际定义域，并解释水平渐近线。

练习五：完整作图信息

不必精确描点，列出函数

的定义域、垂直渐近线、水平渐近线、截距和两侧趋势。

练习六：剩余因子决定什么

分析

$x=1$ 是洞还是垂直渐近线？$x=4$ 呢？

练习七：会不会穿过水平渐近线

判断

是否穿过它的水平渐近线。

练习八：偶数重零点与符号

解

原始分母在 $x=-3,4$ 时为零，所以定义域排除这两个值。约分后

$x=-3$ 对应的因子被完全约掉，因此是洞。洞的纵坐标为

洞是 $\left(-3,\frac67\right)$。$x-4$ 仍在分母里，所以垂直渐近线是 $x=4$。

斜渐近线是 $y=2x+1$。当 $x\to+\infty$ 时，$4/(x-3)>0$，图像从斜线上方靠近；当 $x\to-\infty$ 时，$4/(x-3)<0$，图像从斜线下方靠近。

逐段测试，分式符号依次为 $-$、$+$、$-$、$+$。题目要求严格小于 $0$，所以选第一段和第三段。$x=-1,2$ 让分母为零，必须排除；$x=4$ 让分子为零，但严格不等式也不取。答案为

水平渐近线是 $y=40$。它表示使用时间越长，固定费用分摊得越薄，平均每小时费用越接近 $40$ 元。对任意有限的 $h>0$，都有 $300/h>0$，所以平均费用始终大于 $40$ 元，不会真正等于 $40$ 元。

因此 $x\to2^-$ 时 $p(x)\to-\infty$，$x\to2^+$ 时 $p(x)\to+\infty$；$x\to-\infty$ 时从 $y=1$ 下方靠近，$x\to+\infty$ 时从上方靠近。

$x$ 轴截距由 $x+1=0$ 得到 $(-1,0)$；$y$ 轴截距为

所以是 $\left(0,-\frac12\right)$。

$x=1$ 虽然发生了约分，但分母仍剩一个 $x-1$，所以它是垂直渐近线，不是洞。$x=4$ 对应的因子也仍在分母里，因此 $x=4$ 也是垂直渐近线。这个函数没有由 $x=1$ 产生的洞。

因为 $x^2+1>0$，可以安全同乘，得到

所以 $x=1$。此时 $s(1)=1$，图像在 $(1,1)$ 穿过水平渐近线。

$(x-2)^2$ 在 $x\neq2$ 时始终为正，所以整体符号只由 $x+1$ 决定：$x<-1$ 时为负，$x>-1$ 时为正。再把 $x=2$ 从正区间里挖掉，得到

经过 $x=2$ 时符号不改变，因为对应因子的次数是偶数。