复合函数与反函数

假设你在手机上输入一张照片。第一步，软件把照片压缩；第二步，它调亮颜色；第三步，它再把处理后的图片保存下来。你最后看到的结果，并不是某一步单独完成的，而是几道操作按顺序接起来的结果。

复合函数研究的就是这种“接起来”。一个输入先交给内层函数，内层产生的输出马上变成外层函数的输入。至于反函数，它问的是相反方向的问题：机器已经吐出一个结果了，我们能不能顺着过程倒回去，唯一找出最初的输入？

这两个主题表面上一个向前、一个向后，真正要练的却是同一种本领：别只盯着最后的式子，要沿途看清每一层的输入、输出和允许范围。

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复合函数：把一台机器接到另一台机器后面

先给两个函数：

$$g(x)=x^2-3,\qquad f(u)=2u+1$$

这里故意把外层函数的自变量写成 $u$。这样更容易看清：$u$ 只是一个临时位置，它等着接收前一步的输出。输入 $x$ 先经过 $g$，变成

$$u=g(x)=x^2-3,$$

再把这个完整结果交给 $f$：

$$f(u)=2u+1.$$

于是两步接在一起就是

$$f(g(x))=2(x^2-3)+1=2x^2-5.$$

我们把这个新函数记作

$$(f\circ g)(x)=f(g(x)).$$

$f\circ g$ 读作“$f$ 复合 $g$”。符号里 $f$ 写在左边，真正动手却要从离 $x$ 最近的 $g$ 开始。你可以给自己一句很短的提醒：先里后外，顺着括号走。

拿 $x=2$ 试一下，过程会更直观：

$$2\xrightarrow{g}2^2-3=1\xrightarrow{f}2\cdot1+1=3.$$

所以 $(f\circ g)(2)=3$。

如果交换顺序，事情就变了：

$$(g\circ f)(x)=g(f(x))=(2x+1)^2-3.$$

同样取 $x=2$：

$$2\xrightarrow{f}5\xrightarrow{g}5^2-3=22.$$

一个结果是 $3$，另一个是 $22$。这不是算术失误，而是在提醒你：复合描述的是有先后的过程，通常

$$f\circ g\ne g\circ f.$$

下面的交互页可以拖动 $x$，同时观察两条流水线。把定义域检查按钮也打开，看看中间输出为负数时，为什么平方根那一步会停下来。

三层复合也还是从里面开始

如果还有第三个函数 $h$，那么

$$(f\circ g\circ h)(x)=f(g(h(x))).$$

计算顺序是先 $h$，再 $g$，最后 $f$。只要每一步都有定义，分组方式不会改变最终结果：

$$f\circ(g\circ h)=(f\circ g)\circ h.$$

不过别把“分组不影响结果”误听成“顺序可以交换”。它们不是一回事。像“先穿袜子再穿鞋”和“把这两步看成一个穿戴流程”，分组可以换个说法，袜子和鞋的先后却不能乱。

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定义域要一路追踪，不能等化简完再猜

一看到复合函数，不少人会立刻代入、展开、约分，最后才看定义域。这个习惯很危险。定义域不是式子旁边补写的一条备注，它决定这条计算路线能不能真正走通。

对 $f(g(x))$ 来说，有两道关口：

1. $x$ 必须先能进入内层函数 $g$；
2. 中间结果 $g(x)$ 必须还能进入外层函数 $f$。

写成集合就是

$$D_{f\circ g}=\{x\in D_g\mid g(x)\in D_f\}.$$

例 1：外层是根式

设

$$f(u)=\sqrt{u-1},\qquad g(x)=x^2-4.$$

内层 $g(x)$ 对所有实数都有定义，第一道关口没有拦住任何 $x$。但外层 $f(u)$ 要求根号里的量不能为负：

$$u-1\ge 0,$$

也就是 $u\ge1$。现在把中间输出 $u=g(x)=x^2-4$ 放进这个条件：

$$x^2-4\ge1.$$

继续解：

$$x^2\ge5,$$

所以

$$x\le-\sqrt5\quad\text{或}\quad x\ge\sqrt5.$$

因此

$$D_{f\circ g}=(-\infty,-\sqrt5]\cup[\sqrt5,\infty).$$

这里最容易犯的错，是只说“$g$ 的定义域是全体实数”，然后就停了。别忘了，$g$ 的输出还要继续旅行。

例 2：内外两层都有限制

设

$$f(u)=\frac1{u-3},\qquad g(x)=\frac{2x}{x-1}.$$

第一道关口来自 $g$ 的分母：

$$x\ne1.$$

第二道关口来自 $f$。外层不能接收 $u=3$，所以要求

$$g(x)\ne3.$$

代入中间输出：

$$\frac{2x}{x-1}\ne3.$$

在已经知道 $x\ne1$ 的前提下，两边同乘 $x-1$：

$$2x\ne3x-3,$$

得到

$$x\ne3.$$

两道限制合起来，定义域是

$$\mathbb R\setminus\{1,3\}.$$

注意 $x=1$ 与 $x=3$ 被排除的原因不同：$x=1$ 连内层都进不去；$x=3$ 能算出 $g(3)=3$，却会在外层的分母处撞墙。

例 3：约掉的因式，不会替你修好原来的断点

设

$$f(u)=\frac{u^2-1}{u-1},\qquad g(x)=x+1.$$

$f$ 的定义域先排除 $u=1$。因此复合时必须满足

$$g(x)=x+1\ne1,$$

也就是 $x\ne0$。

再代入并化简：

$$f(g(x)) =\frac{(x+1)^2-1}{(x+1)-1} =\frac{x^2+2x}{x} =x+2.$$

最后一行看起来像一条对所有实数都有定义的直线，可原来的计算在 $x=0$ 时分母确实为零。所以正确结论是

$$(f\circ g)(x)=x+2,\qquad x\ne0.$$

你可以把定义域检查固定成一个小清单：

• 内层有没有分母、偶次根号或其他输入限制？
• 内层输出要满足外层的哪些条件？
• 化简时有没有约掉因式，从而把旧限制藏起来？
• 最终写答案时，是否把所有条件取了交集？

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分解复合函数：把复杂式子拆成几步操作

有时题目反过来，只给你一个完整函数，让你找出它是由哪些简单函数复合而成的。别急着背某种固定拆法。先问一句：如果真的拿一个数来算，我手上会依次做什么？

例如

$$F(x)=\sqrt{3x-1}.$$

你不可能先开平方，再去算 $3x-1$。实际动作是先得到 $3x-1$，再对整个结果开平方。因此可以取

$$g(x)=3x-1,\qquad f(u)=\sqrt u,$$

于是

$$F(x)=f(g(x)).$$

顺便把定义域也读出来。外层开平方要求

$$3x-1\ge0,$$

所以 $F$ 的定义域是 $[\frac13,\infty)$。

再看一个层数更多的函数：

$$H(x)=\left(\frac5{x^2+1}\right)^4.$$

把计算动作拆开，可以写成

$$p(x)=x^2+1,\qquad q(u)=\frac5u,\qquad r(v)=v^4.$$

于是

$$H=r\circ q\circ p,$$

也就是

$$H(x)=r(q(p(x))).$$

代回去核对：

$$p(x)=x^2+1,$$ $$q(p(x))=\frac5{x^2+1},$$ $$r(q(p(x)))=\left(\frac5{x^2+1}\right)^4.$$

完全回到原式，拆分才算过关。这里 $x^2+1\ge1$，永远不为 $0$，所以中间的除法对所有实数都能继续，$H$ 的定义域是 $\mathbb R$。

分解往往不唯一。例如 $\sqrt{3x-1}$ 可以拆成两层，也可以拆成“乘 $3$、减 $1$、开平方”三层。哪一种更好，取决于接下来要做什么。研究定义域时，把根号前的整块看成内层最方便；讨论每一步操作时，拆细一些更清楚。

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反函数：从结果唯一找回起点

现在把方向转过来。

原函数 $f$ 把输入 $a$ 送到输出 $b$：

$$f(a)=b.$$

如果看到 $b$ 时，我们能够确定它只来自一个 $a$，就可以定义反函数把 $b$ 送回去：

$$f^{-1}(b)=a.$$

这就是反函数最核心的意思：交换输入和输出的角色，并且这次交换仍然必须满足函数的规则——每个允许输入只能得到一个输出。

当 $f$ 与 $f^{-1}$ 确实互为反函数时，两次操作会互相撤销：

$$f^{-1}(f(x))=x,\qquad x\in D_f,$$

以及

$$f(f^{-1}(y))=y,\qquad y\in R_f.$$

这里的范围不能省。第一式从原函数的定义域出发；第二式从原函数的值域出发。换句话说，反函数的定义域就是原函数的值域，反函数的值域就是原函数的定义域：

$$D_{f^{-1}}=R_f,\qquad R_{f^{-1}}=D_f.$$

一个熟悉的来回过程：温度换算

把华氏温度 $F$ 转成摄氏温度 $C$，可以写成

$$c(F)=\frac59(F-32).$$

如果结果 $C$ 已知，要找回原来的 $F$，就解方程

$$C=\frac59(F-32).$$

两边乘 $\frac95$：

$$\frac95C=F-32,$$

再加 $32$：

$$F=\frac95C+32.$$

所以

$$c^{-1}(C)=\frac95C+32.$$

取 $C=20$ 检查：

$$c^{-1}(20)=\frac95\cdot20+32=68.$$

再送回原函数：

$$c(68)=\frac59(68-32)=\frac59\cdot36=20.$$

这一来一回正好回到起点。

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不是每个函数都能反过来

反函数存在的关键不是式子复杂不复杂，而是输出能不能认出自己的唯一来源。

如果

$$f(a_1)=f(a_2)$$

总能推出

$$a_1=a_2,$$

就说 $f$ 是一对一函数，也叫单射。说白了，不同输入不能挤到同一个输出上。

平方函数在全体实数上就过不了这一关，因为

$$2^2=(-2)^2=4.$$

只告诉你输出是 $4$，你无法判断原输入是 $2$ 还是 $-2$。若硬把关系反过来，就会让输入 $4$ 同时对应 $2$ 和 $-2$，这不再是函数。

水平线检验为什么有效

图像上的点 $(x,y)$ 表示 $f(x)=y$。固定一个输出 $y=k$，就是在图上画水平线 $y=k$：

• 若水平线与图像最多交一次，这个输出最多只有一个来源，函数是一对一的；
• 若某条水平线交两次或更多次，同一个输出就有多个来源，反关系不能成为函数。

这里别和竖线检验混了：

• 竖线检验问“原图是不是函数”，同一个 $x$ 不能对应两个 $y$；
• 水平线检验问“原图能不能拥有反函数”，同一个 $y$ 不能来自两个 $x$。

严格说，如果题目把函数写成 $f:A\to B$，还想让反函数在整个 $B$ 上都有定义，那么除了“一对一”，还要保证 $B$ 里的每个元素都真的被 $f$ 输出过。这样的函数称为双射。在多数中学题里，我们直接把反函数的定义域取成原函数的实际值域，于是重点就落在一对一上。

限制定义域，给平方函数选一条单行道

完整的 $y=x^2$ 左右两支会产生重复输出。但如果只保留右半支 $x\ge0$，函数严格递增，每个非负输出只有一个来源：

$$f:[0,\infty)\to[0,\infty),\qquad f(x)=x^2.$$

这时反函数是

$$f^{-1}(x)=\sqrt x,\qquad x\ge0.$$

为什么没有 $\pm\sqrt x$？因为反函数必须给出唯一结果，而且原函数已经限制 $x\ge0$，所以找回来的原输入只能取非负的那一个。

如果改为只保留左半支 $x\le0$，同样能通过水平线检验，不过找回来的输入必须非正：

$$f^{-1}(x)=-\sqrt x,\qquad x\ge0.$$

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求反函数：不是机械交换字母，而是解回原输入

求反函数最稳妥的想法只有一句：把输出当作已知量，解出原来的输入。

例 1：线性函数

求

$$f(x)=3x-5$$

的反函数。

只做交换和求解还不够，代回复核更可靠：

$$f^{-1}(f(x)) =\frac{(3x-5)+5}{3} =x,$$

同时

$$f(f^{-1}(x)) =3\cdot\frac{x+5}{3}-5 =x+5-5 =x.$$

两个方向都回到输入，所以答案成立。

例 2：分式函数，范围也要跟着算

设

$$f(x)=\frac{2x-1}{x+3},\qquad x\ne-3.$$

令

$$y=\frac{2x-1}{x+3}.$$

先消去分母：

$$y(x+3)=2x-1.$$

把含 $x$ 的项放到一边：

$$yx-2x=-1-3y.$$

提取 $x$：

$$x(y-2)=-(1+3y).$$

于是

$$x=\frac{1+3y}{2-y}.$$

所以

$$f^{-1}(x)=\frac{3x+1}{2-x},\qquad x\ne2.$$

为什么反函数要排除 $2$？一方面它会让反函数分母为零；另一方面，原函数也永远不可能输出 $2$。若强行令

$$\frac{2x-1}{x+3}=2,$$

就会得到 $2x-1=2x+6$，也就是荒唐的 $-1=6$。因此原函数的值域是 $\mathbb R\setminus\{2\}$，这正是反函数的定义域。

再验一个方向。设

$$t=f^{-1}(x)=\frac{3x+1}{2-x}.$$

那么

$$2t-1 =\frac{2(3x+1)-(2-x)}{2-x} =\frac{7x}{2-x},$$

而

$$t+3 =\frac{3x+1+3(2-x)}{2-x} =\frac7{2-x}.$$

所以

$$f(f^{-1}(x)) =\frac{2t-1}{t+3} =\frac{\frac{7x}{2-x}}{\frac7{2-x}} =x,\qquad x\ne2.$$

例 3：受限二次函数

求

$$h(x)=(x-2)^2+1,\qquad x\ge2$$

的反函数。

令

$$y=(x-2)^2+1.$$

先移项：

$$y-1=(x-2)^2.$$

现在到了最容易写错正负号的地方。因为原定义域给出 $x\ge2$，所以 $x-2\ge0$，只能取非负平方根：

$$x-2=\sqrt{y-1}.$$

于是

$$x=2+\sqrt{y-1}.$$

因此

$$h^{-1}(x)=2+\sqrt{x-1}.$$

原函数最小值是 $1$，值域为 $[1,\infty)$，所以反函数的定义域是 $[1,\infty)$；反函数输出原来的输入，值域为 $[2,\infty)$。

检查时要用到 $x\ge2$：

$$h^{-1}(h(x)) =2+\sqrt{(x-2)^2+1-1} =2+|x-2| =2+(x-2) =x.$$

若没有 $x\ge2$，就不能把 $|x-2|$ 直接写成 $x-2$。定义域限制正是在这里发挥作用。

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图像为什么关于直线 $y=x$ 对称

设点 $(a,b)$ 在原函数图像上。这句话等价于

$$f(a)=b.$$

反函数把这段关系倒过来，于是

$$f^{-1}(b)=a.$$

所以反函数图像上对应的点是 $(b,a)$。原图上每个点的横纵坐标整体交换，几何上恰好就是沿直线 $y=x$ 翻折：

$$(a,b)\longleftrightarrow(b,a).$$

这也解释了定义域和值域为什么交换。原图横向能走到哪里，是原函数的定义域；翻折后，它变成反函数纵向能到达的范围，也就是反函数的值域。

直线 $y=x$ 上的点满足横纵坐标相等，交换以后仍是自己。因此，只要某个数满足

$$f(x)=x.$$

点 $(x,x)$ 就会同时落在原函数与反函数图像上。反过来却要小心：不能笼统地说“两幅图的所有交点一定都在 $y=x$ 上”。例如某些递减的自反函数会与自己的反函数整段重合。这里真正始终成立的是点对 $(a,b)$ 与 $(b,a)$ 的镜像关系。

下面的交互页把“线性函数、平方函数右半支、完整平方函数”放在一起。切换三种模式，再移动水平线，你会同时看到坐标交换、对称关系和水平线检验。

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复合函数的反函数：倒着拆，顺序也要反过来

如果先做 $g$，再做 $f$，得到

$$h=f\circ g.$$

现在要撤销整个过程，应该先撤销最后做的 $f$，再撤销最先做的 $g$。因此在各层都可逆且范围匹配时，

$$(f\circ g)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}.$$

注意右边顺序反了。这和解开打包盒很像：最后盖上的盖子，要最先打开。

例如

$$h(x)=\sqrt{2x+3},\qquad x\ge-\frac32.$$

把它分成

$$g(x)=2x+3,\qquad f(u)=\sqrt u.$$

所以 $h=f\circ g$。两层各自反过来是

$$f^{-1}(y)=y^2,\qquad y\ge0,$$

以及

$$g^{-1}(v)=\frac{v-3}{2}.$$

撤销时先平方，再减 $3$、除以 $2$：

$$h^{-1}(y) =g^{-1}(f^{-1}(y)) =\frac{y^2-3}{2},\qquad y\ge0.$$

直接检查：

$$h(h^{-1}(y)) =\sqrt{2\cdot\frac{y^2-3}{2}+3} =\sqrt{y^2} =|y|.$$

因为反函数定义域是 $y\ge0$，所以 $|y|=y$。少写这个范围，最后一步就没有理由成立。

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例题串讲

例题 1：已知函数值，计算复合

已知 $f(2)=5$、$g(5)=-1$，求 $(g\circ f)(2)$。

别被信息形式吓到。按顺序走：

$$(g\circ f)(2)=g(f(2))=g(5)=-1.$$

这里根本不需要知道 $f$ 与 $g$ 的完整公式。复合函数只要求你能沿着输入输出接下去。

例题 2：复合以后求定义域

设

$$f(u)=\sqrt{u+2},\qquad g(x)=3-x.$$

求 $f(g(x))$ 的定义域。

内层 $g$ 对所有实数有定义。外层要求

$$u+2\ge0,$$

即 $u\ge-2$。把 $u=3-x$ 代进去：

$$3-x\ge-2.$$

两边减 $3$：

$$-x\ge-5.$$

乘 $-1$ 时不等号反向：

$$x\le5.$$

所以定义域是

$$(-\infty,5].$$

例题 3：验证两个函数互为反函数

设

$$f(x)=2x-3,\qquad g(x)=\frac{x+3}{2}.$$

先算一个方向：

$$f(g(x)) =2\cdot\frac{x+3}{2}-3 =x+3-3 =x.$$

再算另一个方向：

$$g(f(x)) =\frac{(2x-3)+3}{2} =\frac{2x}{2} =x.$$

两个函数的定义域和值域都是全体实数，两个方向都成立，因此 $f$ 与 $g$ 互为反函数。

例题 4：只看图像信息判断反函数上的点

若原函数图像经过点 $(-2,5)$，而且原函数是一对一函数，那么反函数图像必经过

$$(5,-2).$$

理由不是套口诀，而是

$$f(-2)=5\quad\Longrightarrow\quad f^{-1}(5)=-2.$$

坐标交换，正好对应关于 $y=x$ 的镜像。

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常见误区：这些地方真的很容易丢分

• 把复合当乘法。 $f(g(x))$ 是代入关系，$f(x)g(x)$ 才是两个函数值相乘。
• 按书写方向计算。 $(f\circ g)(x)$ 要先做右边的 $g$，再做左边的 。

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小结与练习

复合函数是在追踪一条向前的计算链：先做谁，中间得到什么，这个中间值能不能进入下一层。反函数是在追踪同一条链的返回路线：输出有没有唯一来源，撤销操作该按什么顺序，定义域和值域怎样交换。

做题时可以先在草稿纸边上写三句：

1. 从最里面开始，我先做哪一步？
2. 每一步的输入有没有踩到分母、根号或其他限制？
3. 反过来以后，一个输出能不能唯一找回一个输入？

练习 1

设 $f(x)=x+4$，$g(x)=x^2$。求 $(f\circ g)(x)$ 与 ，并判断它们是否相同。

显示答案

$(f\circ g)(x)=f(x^2)=x^2+4$。$(g\circ f)$。它们不是同一个函数；例如 时，前者为 ，后者为 。

练习 2

设 $f(u)=\sqrt{4-u}$，$g(x)=x^2$。求 的解析式与定义域。

显示答案

复合后 $f(g(x))=\sqrt{4-x^2}$。内层 $g$ 对所有实数有定义，外层要求 ，即 ，所以 。定义域是 。

练习 3

设 $f(u)=\frac{u-2}{u+1}$，$g(x)=\frac1x$。求 ，并写出完整定义域。

显示答案

先看限制：$g(x)=\frac1x$ 要求 $x\ne0$；外层 $f$ 不接收 ，所以还要 ，得到 。复合并化简：。定义域是 ；即使化简后的分式在形式上已经没有分母 ， 仍不能补回。

练习 4

把

$$P(x)=\left(1+\sqrt{2x-3}\right)^5$$

分解成三个简单函数的复合，并求 $P$ 的定义域。

显示答案

可以取 $g(x)=2x-3$，$h(u)=1+\sqrt u$，，于是 。外层五次方没有额外限制，关键是根号要求 ，所以定义域为 。代回可得 。

练习 5

判断下列函数在给定定义域上是否一对一：

1. $f(x)=x^2$，$x\in\mathbb R$；
2. $g(x)=x^2$，；

显示答案

$f$ 不是一对一，因为 $f(a)=f(-a)$，如 $f(2)=f(-2)=4$。$$ 在 上严格递增，所以是一对一。 在 上严格递减，也是一对一；它的值域为 。

练习 6

设 $f(x)=\sqrt{x+3}$。求反函数，并写出原函数与反函数各自的定义域和值域。

显示答案

原函数要求 $x\ge-3$，且平方根非负，所以 $D_f=[-3,\infty)$，$R_f=[0,\infty)$。令 ，因为 ，平方得 ，所以 。因此 ，其定义域为 ，值域为 。

练习 7

求

$$q(x)=\frac{x+4}{2x-1}$$

的反函数，并说明反函数定义域中要排除哪个数。

显示答案

令 $y=\frac{x+4}{2x-1}$。则 $y(2x-1)=x+4$，所以 ，进而 。因此 ，得到 。这个函数恰好是自己的反函数。反函数定义域排除 ，因为原函数不可能输出 ；原函数本身也要求输入 。

练习 8

函数 $p(x)=(x+1)^2$ 限制在 $x\ge-1$。求 $p^{-1}$，并验证 。

显示答案

令 $y=(x+1)^2$。因为 $x\ge-1$，所以 $x+1\ge0$，取非负平方根：，于是 ，定义域为 。验证：，最后一步正是用了 。

练习 9

设 $h(x)=\frac1{3x-2}$。把 $h$ 分解成两个函数的复合，再利用“逆序撤销”求 $h^{-1}$。

显示答案

可取 $g(x)=3x-2$，$f(u)=\frac1u$，于是 $$。这里 ，而 。所以 ，得到 。原函数定义域排除 ，值域排除 ，所以反函数定义域为 ，值域为 。

练习 10

一对互为反函数的图像中，原函数经过点 $(3,-2)$ 与 $(5,5)$。写出反函数图像上的对应点，并判断哪个点在直线 $y=x$ 上。

显示答案

交换横纵坐标，反函数图像经过 $(-2,3)$ 与 $(5,5)$。点 $(5,5)$ 的横纵坐标相等，因此在 $y=x$ 上，翻折后仍是自己；它对应一个不动点，满足 $f(5)=5$。