对数函数：把“指数是多少”说清楚

你已经会算 $2^5=32$。可要是问题换成这样呢：

空格里显然不是整数。它比 $5$ 大，因为 $2^5=32$；又比 $6$ 小，因为 $2^6=64$。那这个数到底是多少？

这正是对数要回答的问题。指数运算从“底数和指数”出发找结果，对数则抓住底数和结果，回头寻找那个指数。学这一章时，先别急着把一串公式塞进脑子。你只要始终追问一句——“这个对数是在问谁的几次方？”——许多结论都会自己长出来。

同一件事，两种说法

图中左右两边不是两个不同的计算，而是同一个数量关系的两种读法。

先固定一个底数 $b$。当

时，我们把

反过来写成

合在一起，就是对数最核心的定义：

读 $\log_bx$ 时，$b$ 叫作底数，$x$ 叫作真数，算出的 $y$ 是对数值。这个值本质上是一个指数。

比如：

第二个例子很值得停一下。对数值可以是负数，因为负指数会产生 $0$ 与 $1$ 之间的正数；但真数本身仍然是正数。很多人把“对数可以等于负数”误听成“可以对负数取对数”，这两句话完全不是一回事。

再回到开头的 $2^{\square}=40$。现在可以把答案写成

这个小数不是凭空冒出来的。它就是那个满足 $2^{5.322\cdots}=40$ 的指数。

两个“来回抵消”的公式

既然对数和指数互为反向运算，把一个数先送进指数、再送回对数，应该回到原来的指数：

反过来也一样。把正数 $x$ 先取对数，得到指数 $\log_bx$，再让 $b$ 乘方，就会回到 $x$：

注意两个公式的条件不完全相同。第一个公式里，$b^t$ 本来就一定为正，所以 $t$ 可以是任意实数；第二个公式里，$x$ 要先能取对数，因此必须有 $x>0$。

试着把互动实验的底数调到 $0$ 与 $1$ 之间，再让 $x$ 从小于 $1$ 移到大于 $1$。你会发现对数值的正负和函数的增减方向都变了，但高亮的两个点始终交换坐标，并关于 $y=x$ 对称。

三个条件，一个都不能漏

在实数范围内写 $\log_bx$，要同时满足：

别只把它们当作考试前要背的条款。每个条件都在排除一种真正的麻烦。

为什么底数必须是正数

我们希望指数函数 $b^t$ 对每个实数 $t$ 都有意义。若 $b<0$，整数指数有时能算，但一碰到分数指数就会出问题。例如 $(-2)^{1/2}$ 在实数中没有值，而 $($ 又有值。这样得到的不是一条定义在整条实数轴上的连续指数曲线，自然也无法建立本章需要的反函数。

$b=0$ 也不行。$0^{-1}$ 没有意义，而且 $0^t$ 无法在所有实数指数上保持我们需要的指数规律。

为什么底数不能等于 $1$

如果 $b=1$，那么不管指数是多少，结果总是

现在给你结果 $1$，你没法反推出唯一的 $t$；给你别的正数，又根本找不到 $t$。这就像一台无论输入什么都只吐出同一个结果的机器，它没有可用的反向操作。

为什么真数必须大于 $0$

只要 $b>0$，任意实数次幂 $b^t$ 都是正数，既不会等于 $0$，也不会变成负数。对数是在指数函数的输出中反查指数，因此它只能接收正数：

所以基本对数函数

的定义域是 $(0,+\infty)$，值域是整个实数集 $\mathbb R$。

例题：只有真数含未知数

求

的定义域。

例题：底数和真数都含未知数

求

的定义域。

这题容易漏条件。按顺序列出来：

分别解得

取三者的公共部分：

这里的 $x=2$ 很隐蔽。真数 $5-x$ 在 $x=2$ 时明明是正数，但底数恰好变成 $1$，所以仍然必须挖掉这个点。

例题：真数是分式

求

的定义域。

真数要求大于 $0$：

分子、分母同号时分式为正。临界点是 $-1$ 和 $2$，作符号判断可得

所以定义域为

别把 $x=-1$ 放进去，因为这会让真数等于 $0$；也别把 $x=2$ 放进去，因为分式本身就没有意义。

图像：把指数曲线沿 $y=x$ 翻过去

图中指数曲线与对数曲线互换坐标；对数曲线只出现在 $x>0$ 的区域。

函数 $y=b^x$ 与 $y=\log_bx$ 互为反函数。指数图像上的点

翻过直线 $y=x$ 后，坐标互换成

而这恰好满足 $t=\log_b(b^t)$。所以整条对数曲线，就是指数曲线关于 $y=x$ 的镜像。

先抓住三个不会跑的点：

因此图像一定经过

画草图时，这三个点比随手代一串小数更有用。

当 $b>1$：向右上升

底数大于 $1$ 时，指数 $t$ 越大，$b^t$ 越大。反函数保留这个顺序，因此 $y=\log_bx$ 是增函数。

• 当 $0<x<1$ 时，$\log_bx<0$；
• 当 $x=1$ 时，$$；

当 $x$ 从右侧靠近 $0$ 时，要用越来越大的负指数才能让 $b^t$ 靠近 $0$，所以

图像会无限贴近 $x=0$，但绝不会碰到它。这就是竖直渐近线 $x=0$。

当 $0<b<1$：向右下降

拿 $b=\frac12$ 想最直观：

指数越大，结果反而越小，所以 $y=\log_bx$ 是减函数。此时符号关系也倒了过来：

• 当 $0<x<1$ 时，$\log_bx>0$；
• 当 $x=1$ 时，$$；

还有一个很省力的关系：

因为 $\frac1b=b^{-1}$。这说明 $y=\log_{1/b}x$ 与 关于 轴对称。

对数为什么增长得这么慢

看 $y=\log_{10}x$：

横向输入每次乘 $10$，纵向读数才增加 $1$。所以对数能把跨度极大的数压进一段不长的刻度里。后面讲 pH、分贝和震级时，靠的就是这个特点。

平移后的图像先找“边界”

对

最稳的观察顺序是：

1. 真数 $x-h>0$，所以定义域是 $x>h$；
2. 原来的渐近线 $x=0$ 向右平移到 $x=h$；
3. 图像再整体向上平移 $$ 个单位。

例如

的定义域是 $x>-3$，竖直渐近线是 $x=-3$。前面的负号把曲线关于 $x$ 轴翻转，再向上移动 $1$ 个单位。

常用对数与自然对数：两把最常见的尺

底数可以有很多种，但计算器上最常见的是 $10$ 和 $e$。

常用对数

以 $10$ 为底的对数叫常用对数：

计算器通常把它标成 $\log x$，一些教材也写成 $\lg x$。它和十进制数量级贴得很近：

意思就是 $1000=10^3$。

如果一个正整数 $N$ 满足

那么

因此 $N$ 有 $m+1$ 位十进制数字。比如想知道 $2^{100}$ 有多少位，不必把它完整乘出来：

于是

所以 $2^{100}$ 是一个 $31$ 位数。

自然对数

以 $e$ 为底的对数叫自然对数：

其中

$e$ 经常出现在连续增长与连续衰减中，所以自然对数会在微积分、复利、放射性衰变、人口模型等地方反复出现。现阶段你只要牢牢记住：$\ln$ 不是一种新运算，它仍然是对数，只不过底数固定为 $e$。

对数律不是口诀，它是指数律的回声

假设

并令

翻回指数语言：

现在相乘：

再反向读回对数：

这就是乘积公式。不是因为“对数看见乘号就喜欢变加号”，而是因为背后的指数律本来就把同底数幂的指数相加。

用完全相同的办法，从

得到商的公式：

再从

得到幂的公式：

这些公式都要求式子中的对数有意义。最常用的安全条件是

这里有个坑：对数不能拆加法

乘积公式处理的是 $MN$，不是 $M+N$。一般来说，

拿最简单的数字一验就知道：

而

两边根本不相等。以后只要真数里出现加号或减号，先停一下，不要条件反射地拆开。

例题：把一个对数展开

在 $x>0$、$y>0$ 的条件下展开

绝对值为什么会冒出来

对 $x\ne0$，$x^2>0$，所以 $\log_b(x^2)$ 有意义。可如果 ， 没有意义，因此不能不加条件地写

真正覆盖所有 $x\ne0$ 的写法是

原因很简单：$x^2=|x|^2$，而 $|x|$ 一定为正。这类细节最能区分“只会套公式”和“知道公式在哪些地方能用”。

合并对数时，原定义域不能丢

把

合并，可得

但原式要求

所以原定义域是 $x>1$。合并后的单个真数在某些 $x<-2$ 时也可能为正，可那些点并不属于原式的定义域，不能因为合并了一步就偷偷加回来。

在实验台里把底数调到 $0$ 与 $1$ 之间，再切换乘积、商和幂。你会看到函数的增减方向虽然改变了，但三条对数律仍然成立，因为它们依赖的是指数律，不依赖图像向上还是向下。

换底公式：计算器只有两把尺也够用

题目可能让你算 $\log_2 7$，计算器上却只有 $\log$ 和 $\ln$ 键。怎么办？把它换成计算器认识的底数。

设

那么

两边同时取以 $a$ 为底的对数：

利用幂公式：

于是

最常用的两种形式是

和

例如：

这个结果也符合范围判断，因为

所以答案本来就应该在 $2$ 与 $3$ 之间。计算器给出小数后，最好顺手做这种检查；它能很快发现底数和真数按反了之类的输入错误。

换底公式还会顺带给出两个有用关系。下面默认 $a>0$、$a\ne1$、$b>0$、$b\ne1$，并且 ：

第一条说的是两把互换底数的对数尺彼此取倒数；第二条则可以直接用换底式约掉中间的 $\log b$ 来验证。

对数尺度：等距的刻度，背后是等比的变化

普通直尺关心“相差多少”。从 $2$ 到 $5$ 与从 $12$ 到 $15$ 都相差 $3$，所以在线性尺上长度相同。

对数尺关心的是“变成多少倍”。如果

那么

$k$ 每增加 $1$，$R$ 就乘以 $10$；$k$ 每减少 $1$，$R$ 就除以 $10$。因此，对数尺上相邻的等距刻度，对应真实量的等比变化。

pH：先看清公式前面的负号

pH 可写成

其中 $[H^+]$ 表示氢离子浓度。公式前面有负号，所以方向会反过来：

• pH 降低 $1$，氢离子浓度乘以 $10$；
• pH 升高 $1$，氢离子浓度除以 $10$。

例如两种溶液的 pH 分别为 $5.2$ 和 $7.2$。前者比后者低 $2$，所以前者的氢离子浓度是后者的

倍。这里比较的是氢离子浓度，不是把 pH 数值直接相除。

分贝：增加 $10$ dB，强度乘以 $10$

比较两个声强 $I$ 与 $I_0$ 时，常用

若声强比乘以 $10$，那么

读数会增加 $10$ dB。若相差 $30$ dB，强度比就是

地震震级：加法差值对应振幅倍数

用简化模型看，地震震级差 $\Delta M$ 与记录到的振幅比满足

震级相差 $1$，振幅约相差 $10$ 倍；相差 $2$，振幅约相差 $100$ 倍。这里说的是振幅关系，不能直接替换成释放能量的倍数。不同物理量可能有不同的换算公式，别只看见“震级加一”就把所有量都机械地乘 $10$。

拖动上面的 $k$，先看真实比例 $10^k$，再切换 pH、分贝和震级。尤其留意 pH：同一个真实比例变化，因为公式前有负号，它在刻度上的方向和另外两种例子相反。

综合例题：把对数真正用起来

例题一：心算精确值

求

例题二：由对数式反推真数

已知

求 $x$。

把它翻回指数式：

因为 $4^{1/2}=2$，所以

从而

回代检查：

完全吻合。

例题三：增长到初始值的五倍要多久

某细菌数量按

增长，$t$ 以小时计。数量达到初始值的 $5$ 倍大约需要多久？

例题四：由浓度求 pH

某溶液的氢离子浓度为

那么

数量级检查也能帮你判断答案：浓度在 $10^{-5}$ 与 $10^{-4}$ 之间，所以 pH 应在 $4$ 与 $5$ 之间，$4.495$ 是合理的。

常见误区，集中排雷

误区一：把底数、真数和答案的位置记反

永远要翻译成

底数 $b$ 不动，答案 $y$ 去指数的位置，真数 $x$ 留在结果的位置。

误区二：认为对数值不能为负

完全合法，因为 $0.01>0$，而且 $10^{-2}=0.01$。真正不能为负的是真数，不是对数值。

误区三：忘了底数小于 $1$ 时函数递减

$\log_2x$ 递增，但 $\log_{1/2}x$ 递减。以后比较对数大小或解对数不等式时，这个方向会直接决定不等号是否反向。

误区四：把真数里的和拆开

不代表

对数律能处理乘、除、乘方，不能直接处理加、减。

误区五：化简后忘掉原式限制

原来有两个对数，就要让两个真数分别为正。即使合并成一个对数以后看起来能接受更多 $x$，也不能扩大原定义域。

自测：别只看答案，先翻译

1. 把 $5^{-2}=\frac1{25}$ 改写成对数式。

2. 求 $\log_464$ 与 $\log_{1/3}27$。

3. 求 $\log_7(x+2)$ 的定义域。

4. 求 $\log_{x+3}(9-x)$ 的定义域。

5. 当 $0<b<1$ 时，若 $0<x<1$，$\log_bx$ 是正数、零还是负数？

6. 判断

是否成立。

7. 在 $a>0$、$b>0$ 时展开

8. 用换底公式估算 $\log_210$。

9. $2^{100}$ 有多少位十进制数字？

10. 两种溶液的 pH 分别为 $3$ 和 $6$。前者的氢离子浓度是后者的多少倍？

11. 两个声强级相差 $20$ dB，对应的声强比是多少？

12. 已知 $\log_b4=\frac12$，且 $b>1$，求 $$。

小结：始终回到那句反问

对数并不是突然出现的一套新算术。它只是把指数问题倒过来问：

做题时可以固定成这样的顺序：

1. 先检查底数 $b>0$ 且 $b\ne1$；
2. 再让每个真数严格大于 $0$；
3. 需要理解数值时，把对数式翻成指数式；
4. 需要化简时，从指数律理解乘积、商和幂的公式；
5. 需要近似值时，用换底公式，并用相邻整数次幂检查范围；
6. 遇到对数尺度，先判断刻度差，再翻译成真实量的倍数。

如果你能随时说清“底数的几次方等于真数”，这一章最重要的骨架就已经立住了。下一步再去解指数方程和对数方程，会自然得多。

所以 $\log_{1/3}27=-3$。