对数函数：指数问题的反向语言

指数函数回答的是“给定底数和指数，结果是多少”。对数函数把这个问题倒过来：给定底数和结果，追问指数是多少。这个转身看起来只是换了一种写法，实际会改变我们观察增长的方式。许多很大的倍数关系、很慢的增长、很宽的测量范围，都会因为对数而变得可读。

本章把对数函数放在指数函数之后学习。你会反复看到同一句话的两种语言：指数语言说“b 的 y 次方得到 x”，对数语言说“以 b 为底，x 的对数是 y”。

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从指数问题反向读

图：对数把“算出结果”的指数问题，改写成“追问指数”的反向问题。

对数的核心定义只有一行：

$$\log_b(x)=y \Longleftrightarrow b^y=x$$

这行公式要从右往左、从左往右都能读。右边的 $b^y=x$ 是指数式：底数是 $b$，指数是 $y$，结果是 $x$。左边的 $\log_b(x)=y$ 是对数式：底数仍然是 $b$，输入是 $x$，输出是让 $b$ 变成 $x$ 所需要的指数 $y$。

例如 $2^5=32$，所以：

$$\log_2(32)=5$$

这不是新算术规则，而是同一事实的另一种说法。再比如 $3^{-2}=\frac{1}{9}$，所以：

$$\log_3\left(\frac{1}{9}\right)=-2$$

对数可以是负数，因为负指数可以产生小于 $1$ 的正数。对数的输入不能是负数或 $0$，这一点来自指数函数的值域，而不是记号上的规定。

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符号里藏着三个条件

图：$\log_b(x)$ 的输入必须在正半轴上，底数必须是正数且不能等于 $1$。

在 $\log_b(x)$ 里，$b$ 叫底数，$x$ 叫真数或输入，整个表达式的值是一个指数。为了让它在实数范围内成为一个函数，我们要求：

$$b>0,\quad b\ne 1,\quad x>0$$

底数要大于 $0$，是因为本课程研究的指数函数 $b^t$ 需要对所有实数 $t$ 有意义并保持连续的函数图像。底数不能等于 $1$，是因为 $1^t$ 永远等于 $1$，无法从结果反推出唯一指数。输入 必须大于 ，是因为正底数的指数函数只能输出正数。

因此，基本对数函数

$$f(x)=\log_b(x)$$

的定义域是 $(0,\infty)$，值域是 $(-\infty,\infty)$。换句话说，对数函数只接受正输入，但输出可以是任意实数。

几个基础值值得记熟：

$$\log_b(1)=0$$ $$\log_b(b)=1$$ $$\log_b(b^k)=k$$

这些式子直接来自 $b^0=1$、$b^1=b$ 和 $b^k=b^k$。它们是日后心算、画图和化简的支点。

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常用对数与自然对数

图：常用对数使用底数 $10$，自然对数使用底数 $e$。

对数可以有许多底数，但两个底数最常见。

常用对数是以 $10$ 为底的对数：

$$\log_{10}(x)$$

在许多计算器上，它写成 $\log(x)$；在不少中文教材中，也常写成 $\lg x$。因为 $10$ 是十进制的底，常用对数很适合描述数量级。例如：

$$\log_{10}(1000)=3$$

这句话的意思是 $1000$ 是 $10$ 的 $3$ 次方。

自然对数是以 $e$ 为底的对数：

$$\ln(x)=\log_e(x)$$

其中 $e\approx 2.71828$。自然对数在连续增长、微积分和许多科学模型中出现得非常频繁。现在只需要先把它看成“底数是 $e$ 的对数”。例如：

$$\ln(e^4)=4$$

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图像是指数图像的镜像

图：$y=\log_2 x$、$y=\ln x$、$y=\log_{10}x$ 都经过 ，并以 为竖直渐近线。

指数函数 $y=b^x$ 与对数函数 $y=\log_b(x)$ 互为反函数，所以它们的图像关于直线 $y=x$ 对称。指数函数的点 ，在对数图像上会变成 。

以 $b>1$ 为例，指数函数 $y=b^x$ 经过 $(0,1)$，对数函数 $y=\log_b(x)$ 就经过 。指数函数的值域是 ，对数函数的定义域也正好是 。

对数图像有几个稳定特征：

• 它经过 $(1,0)$，因为 $\log_b(1)=0$。
• 它经过 $(b,1)$，因为 ${\log }_b(b)$。

对数函数的增长很慢。以 $y=\log_{10}(x)$ 为例，$x$ 从 $10$ 增加到 $100$，函数值只从 $1$ 增加到 ； 再增加到 ，函数值才到 。每往上走一格，横向输入都要乘以 。

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对数律来自指数律

图：指数相加对应幂相乘；对数把这个关系反向读成“乘法变加法”。

对数律不是一组孤立要背的规则。它们来自指数律。先看乘积公式。设：

$$u=\log_b(M),\quad v=\log_b(N)$$

根据定义，有：

$$M=b^u,\quad N=b^v$$

于是：

$$MN=b^u\cdot b^v=b^{u+v}$$

再把它读回对数语言：

$$\log_b(MN)=u+v=\log_b(M)+\log_b(N)$$

所以：

$$\log_b(MN)=\log_b(M)+\log_b(N)$$

同样地，在 $b>0$、$b\ne1$、$M>0$、$N>0$ 的条件下：

$$\log_b\left(\frac{M}{N}\right)=\log_b(M)-\log_b(N)$$ $$\log_b(M^r)=r\log_b(M)$$

商律来自 $b^u/b^v=b^{u-v}$，幂律来自 $(b^u)^r=b^{ur}$。只要你能把对数换回指数，就能看出这些规则为什么成立。

用换底公式连接不同底数

计算器通常直接提供 $\log$ 和 $\ln$，但题目里可能出现任意底数，比如 $\log_2(7)$。这时可以使用换底公式：

$$\log_b(x)=\frac{\log_a(x)}{\log_a(b)}$$

其中 $a>0$ 且 $a\ne1$。常用写法是：

$$\log_b(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(b)}$$

或者：

$$\log_b(x)=\frac{\log_{10}(x)}{\log_{10}(b)}$$

换底公式的含义是：先用同一把“对数尺”分别量 $x$ 和 $b$，再比较这两个读数。它不改变对数的本质，只是换一种可计算的单位。

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对数尺度看的是倍数

图：对数尺度把很宽的真实数值范围压缩成容易比较的刻度。

线性尺度关心“多了多少”。对数尺度更关心“变成了多少倍”。如果一个量写成 $R=10^k$，那么：

$$\log_{10}(R)=k$$

$k$ 每增加 $1$，真实比例 $R$ 就乘以 $10$。所以对数尺度上的等距刻度，对应真实世界中的等比变化。

这就是为什么对数常用于范围特别大的测量。

pH 使用负的常用对数描述氢离子浓度：

$$\mathrm{pH}=-\log_{10}[H^+]$$

由于前面有负号，pH 每降低 $1$，氢离子浓度约乘以 $10$。pH 为 $3$ 的溶液，其氢离子浓度约是 pH 为 $4$ 的 $10$ 倍。

分贝常用来描述强度比，例如声强级可以写成：

$$L=10\log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right)$$

这里比较的是声强 $I$ 相对于参考声强 $I_0$ 的倍数。读数增加 $10$ dB，对应强度比乘以 $10$。

地震震级也使用对数思想。简化地说，震级差 $1$ 对应某个测量量约相差 $10$ 倍。真实地震能量还有更细的换算，不能把“震级多 $1$”粗略理解成所有物理量都只多 $10$ 倍。这里最重要的是看懂：对数刻度上的加法，背后对应真实量的乘法。

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例题把定义落到手上

例题：心算对数值

求 $\log_3(81)$、$\log_3\left(\frac{1}{27}\right)$ 和 。

例题：先找定义域

求函数 $f(x)=\log_2(3x-6)$ 的定义域。

例题：用对数律展开

在 $x>0$、$y>0$ 的条件下，展开：

$$\log_2\left(\frac{8x^3}{y}\right)$$

例题：把倍数增长转成时间

某细菌数量按 $P(t)=1200\cdot 1.18^t$ 增长，$t$ 以小时计。数量达到初始值 $5$ 倍大约需要多少小时？

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常见误区集中拆开

图：对数运算最常见的错误，往往来自忘记定义域或把加法误拆。

误区一是把对数当成普通乘法记号。$\log_b(x)$ 是一个函数值，不是 $\log\cdot b\cdot x$。底数 $b$ 说明使用哪一种指数尺，真数 $x$ 是被测量的正数。

误区二是忽视真数条件。$\log_2(x^2)$ 的定义域是 $x\ne0$，因为 $x^2>0$； 的定义域才是 。两者不能随意互换。

误区三是把加法放进对数律。对数可以把乘法变成加法，但不能把加法拆成加法：

$$\log_b(MN)=\log_b(M)+\log_b(N)$$

一般却没有：

$$\log_b(M+N)=\log_b(M)+\log_b(N)$$

误区四是忘记底数小于 $1$ 时图像递减。当 $0<b<1$ 时，$b^x$ 随 $x$ 增大而减小，它的反函数 $\log_b(x)$ 也随 增大而减小。这个性质在下一章解不等式时尤其重要。

自测

1. 判断 $\log_4(64)$ 的值。

显示答案

因为 $4^3=64$，所以 $\log_4(64)=3$。

2. 求 $\log_7(x+2)$ 的定义域。

显示答案

真数要大于零，所以 $x+2>0$，定义域是 $(-2,\infty)$。

3. 判断等式 $\log_2(8+8)=\log_2(8)+\log_2(8)$ 是否成立。

显示答案

不成立。左边是 $\log_2(16)=4$，右边是 $3+3=6$。对数律不能拆真数里的加法。

4. 用换底公式估算 $\log_2(10)$。

显示答案

可以写成 $\log_2(10)=\frac{\ln(10)}{\ln(2)}\approx 3.322$。这也说明 位于 和 之间。

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小结

对数函数的本质是指数函数的反函数。只要记住 $\log_b(x)=y$ 等价于 $b^y=x$，许多看似新的公式都会回到熟悉的指数律。

本章最重要的检查顺序是：先确认底数 $b>0$ 且 $b\ne1$，再确认真数 $x>0$，最后把问题翻译成指数语言或对数语言。对数图像、对数律、换底公式和对数尺度都围绕这一点展开。

学到这里，你已经能读懂对数函数本身。下一章会进一步处理指数方程和对数方程，也就是把“反向语言”用于求未知数。