多项式函数：次数、零点与端行为 | 高级代数与函数：指数、对数、多项式与有理函数 | 自在学

多项式函数：从一个式子读出整条曲线

拿到一个六次、七次多项式，你当然可以列一大张数值表，再一个点一个点地描。可问题是：点取少了，曲线中间藏着的起伏可能被你漏掉；点取多了，又像在用体力替代判断。

更省力的办法，是先读它的“骨架”。

一个多项式最远处往哪边走，由最高次项管；它在什么地方碰到 $x$ 轴，由零点管；碰到以后是穿过去还是掉头回来，由重数管；至于整条曲线最多能拐几次，次数又给出了一道上限。你把这些线索按顺序拼起来，图像就不再是一条凭感觉画出的波浪线，而是一张可以逐项核对的草图。

这一章我们要养成的，就是这种读式子的习惯。

先认清：什么式子才是多项式

一个一元多项式函数整理后可以写成

f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0, \qquad a_n\neq 0

这里的指数 $n,n-1,\ldots,1,0$ 都是非负整数，系数 $a_0,a_1,\ldots,a_n$ 是实数。

说得直白一点：变量 $x$ 只能做有限次乘法，再把这些结果乘上常数、相加或相减。于是

3x^5-2x^2+x-7

是多项式，而下面三个都不是：

\sqrt{x}+1,\qquad \frac{2}{x}-3,\qquad 2^x+4.

原因分别是： $\sqrt{x}=x^{1/2}$ 的指数不是整数， $\frac{2}{x}=2x^{-1}$ 的指数是负数，而把变量放到了指数的位置。

多项式的次数、首项、首项系数和常数项手绘结构图

图示：标准式把次数、首项、首项系数和常数项放在了最容易读取的位置。

次数不是“看起来最大的数字”

多项式按 $x$ 的指数从高到低排列后，最前面的非零项叫作首项；首项的指数叫作次数；首项前面的数叫作首项系数。

例如

p(x)=-2x^5+9x^3-x+4

的首项是 $-2x^5$ ，次数是 $5$ ，首项系数是 $-2$ 。

这里有几个很常见的坑：

次数看最高指数，不看一共有几项；
首项系数看最高次项前面的数，不看哪个系数绝对值最大；
缺掉的幂次可以看成系数为 $0$ ，但零系数项不参与判断次数；
式子没整理时，最高次项可能会抵消，不能只扫一眼就下结论。

看这个例子：

\begin{aligned} q(x) &=(x+1)(2x^3-x+4)-2x^4\\ &=2x^4+2x^3-x^2+3x+4-2x^4\\ &=2x^3-x^2+3x+4. \end{aligned}

最前面的两个 $2x^4$ 抵消了，所以 $q$ 是三次多项式，不是四次。

零多项式 $f(x)=0$ 的次数通常不定义。非零常数函数 $f(x)=c$ 是 $0$ 次多项式，因为它可以写成 $cx^0$ 。

乘法时，次数和首项怎样变化

设

P(x)=a_mx^m+\cdots,\qquad Q(x)=b_nx^n+\cdots,

其中 $a_m\neq0,\ b_n\neq0$ 。相乘时，最高次项只能由两个首项相乘得到：

(a_mx^m)(b_nx^n)=a_mb_nx^{m+n}.

因为 $a_mb_n\neq0$ ，这个最高次项不会凭空消失。因此

\operatorname{deg}(PQ)=m+n,

而 $PQ$ 的首项系数是 $a_mb_n$ 。

加法就没这么老实了。 $P+Q$ 的次数不会超过 $\max(m,n)$ ，但同次数首项可能抵消。比如

(3x^4+x)+(-3x^4+2x^2)=2x^2+x,

结果从四次掉到了二次。

为什么远处只看最高次项

先别急着背“四种端行为”。你可能会问：一个多项式明明有这么多项，凭什么最后只听最高次项的？

把非零首项 $a_nx^n$ 提出来：

f(x) =a_nx^n\left( 1+\frac{a_{n-1}}{a_n}\frac1x +\frac{a_{n-2}}{a_n}\frac1{x^2} +\cdots +\frac{a_0}{a_n}\frac1{x^n} \right).

当 $|x|$ 越来越大时， $\frac1x,\frac1{x^2},\ldots,\frac1{x^n}$ 都越来越接近。括号里的整块会越来越接近，所以

\frac{f(x)}{a_nx^n}\to 1.

这句话的意思不是“低次项突然消失了”，而是它们和最高次项相比越来越不显眼。远远看去， $f(x)$ 与 $a_nx^n$ 的方向一致。

四类多项式端行为的中文手绘总览

图示：次数的奇偶决定两端同向还是反向，首项系数的正负决定右端向上还是向下。

把规律整理成表：

次数	首项系数	当 $x\to-\infty$	当 $x\to+\infty$
偶数	正	$f(x)\to+\infty$	$f(x)\to+\infty$

一个很顺手的记法是：

先看右端。 $x$ 为很大的正数时， $x^n$ 总为正，所以右端只跟首项系数同号；
再看左端。偶次幂不改符号，左右同向；奇次幂会改符号，左右反向。

“足够远”可能比你想得更远

考虑

f(x)=2x^4-100x^3+7x-9.

它是偶次、正首项，所以左右两端最终都向上。可在 $x=10$ 时，

2x^4=20\,000,\qquad -100x^3=-100\,000,

三次项反而更显眼。要让前两项中四次项的绝对值超过三次项，需要

2|x|^4>100|x|^3,

也就是 $|x|>50$ 。所以屏幕窗口里暂时向下，不代表真正的端行为向下。端行为说的是最终趋势，不是某个有限画面边缘的方向。

判断端行为时只需要次数奇偶和首项系数正负。首项系数的绝对值会影响曲线远端变陡的速度，却不会改变最终朝向。

零点为什么等价于一个线性因式

如果 $f(r)=0$ ，就说 $r$ 是 $f$ 的一个零点。图像上对应的是点 $(r,0)$ ，也就是一个 $x$ 轴截距。

注意这两个说法的区别：

零点是输入值 $r$ ；
$x$ 轴截距是坐标点 $(r,0)$ 。

为什么看到零点 $r$ ，就能写出因式 $(x-r)$ ？这不是一条凭空规定的规则。

把任意多项式 $P(x)$ 除以 $x-r$ ，余数只能是一个常数。于是总能写成

P(x)=(x-r)Q(x)+c.

令 $x=r$ ，前面那一项变成 $0$ ，所以

P(r)=c.

换句话说，

P(x)=(x-r)Q(x)+P(r).

因此

P(r)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad (x-r)\text{ 是 }P(x)\text{ 的因式}.

这条联系非常重要。它把“代入后等于零”和“式子可以分解”接到了一起。

零点的数量有上限

如果 $r_1,r_2,\ldots,r_k$ 是互不相同的零点，那么

(x-r_1)(x-r_2)\cdots(x-r_k)

是 $P(x)$ 的因式。这个乘积已经有 $k$ 次，所以一个非零 $n$ 次多项式不可能拥有超过 $n$ 个不同的实零点。

“最多”仍然是关键词。四次多项式可能有 $0,1,2,3$ 或 $4$ 个不同的实零点；图像只能显示实零点，非实数解不会出现在 $x$ 轴上。

不要把“ $n$ 次多项式最多有 $n$ 个不同实零点”误读成“图像一定与 $x$ 轴相交 $n$ 次”。例如 $x^4+1$ 在实数范围内一个零点也没有。

重数：零点附近到底是穿过去，还是碰一下就回来

若

f(x)=(x-r)^m g(x),\qquad g(r)\neq0,

就说 $r$ 是一个重数为 $m$ 的零点。

这里真正决定局部动作的是 $(x-r)^m$ 。因为 $g(r)\neq0$ ，在离 $r$ 足够近的一小段里， $g ($ 不会突然换号。于是只要观察从左边走到右边时，有没有换号。

$m$ 为奇数： $(x-r)^m$ 左右异号，函数也换号，图像穿过 $x$ 轴；
$m$ 为偶数： $(x-r)^m$ 左右同号，函数不换号，图像贴到轴后折回。

零点重数1到4与局部形状的中文手绘图

图示：奇数重数穿过，偶数重数反弹；重数越高，零点附近通常越平。

还有一层容易漏掉：重数不只管“穿”还是“贴”，也管平坦程度。

重数 $1$ ：通常像斜线一样直接穿过；
重数 $2$ ：像普通抛物线的顶点那样贴着反弹；
重数 $3$ ：仍然穿过，但在轴上短暂变平；
重数 $4$ ：仍然反弹，而且底部或顶部更宽、更平。

偶数重数只保证“不换号”，不保证曲线一定从 $x$ 轴上方反弹。如果附近其余因式的乘积为负，曲线也可能从下方贴到 $x$ 轴，再向下折回。

次数还限制了曲线能拐多少次

多项式图像连续而且光滑，不会突然跳跃，也不会冒出尖角。它从上升改成下降，或从下降改成上升的位置，叫作局部转折点。

一个 $n$ 次多项式最多有

n-1

个局部转折点。

二次到五次多项式的局部转折点数量上限手绘图

图示：二次、三次、四次、五次多项式分别最多有 $1,2,3,4$ 个局部转折点。

如果你学过导数，这个上限很好理解： $n$ 次多项式的导数是 $n-1$ 次，局部转折点必须出现在导数为 $0$ 的候选位置，而一个非零 $n-1$ 次多项式最多有 $n-1$ 个不同实零点。

还没学导数也没关系，先把它当作图像复杂度的硬上限来用。

“最多”不是“恰好”。比如

f(x)=x^5

是五次多项式，却一直递增，没有局部极大值或局部极小值。原点附近虽然变平了，但曲线没有从增变减，也没有从减变增，所以原点不是局部转折点。

从图像反推次数，只能得到约束

如果一张图有 $T$ 个局部转折点，那么次数 $n$ 至少满足

n\ge T+1.

如果图上有 $Z$ 个不同的 $x$ 轴截距，还必须有

n\ge Z.

再结合两端同向还是反向，可以判断次数的奇偶。可即便这些条件全用上，通常也只能得到“最低可能次数”，不能锁死唯一次数。

例如，一条图像有 $3$ 个局部转折点、左右两端都向上。它至少是四次，而且次数为偶数；四次可能，六次、八次也不一定被排除。

由因式形式搭出一张可靠草图

现在把线索放到同一个例子里。考虑

f(x)=-\frac18(x+3)(x+1)^2(x-2)^3.

先忍住，不要展开。因式形式已经把最有用的信息摆在眼前了。

由因式形式读取端行为、零点、重数并连成草图的中文手绘流程图

图示：草图的顺序是先定两端，再标零点和局部动作，最后用符号区间与辅助点连接。

第一步：次数和端行为

各因式次数相加：

1+2+3=6.

每个括号的首项都是 $x$ ，所以整体首项是

-\frac18\cdot x\cdot x^2\cdot x^3 =-\frac18x^6.

这是偶次、负首项，因此

x\to-\infty,\ f(x)\to-\infty,

x\to+\infty,\ f(x)\to-\infty.

左右两端都向下。

第二步：标零点与重数

零点	来源	重数	图像动作
$x=-3$	$(x+3)$	$1$	直接穿过
$x=-1$	$(x +$

第三步：做符号区间检查

从最右边开始最方便。取 $x>2$ ，四部分

-\frac18,\quad x+3,\quad (x+1)^2,\quad (x-2)^3

的符号依次是负、正、正、正，所以 $f(x)<0$ 。

向左经过 $x=2$ 时，重数 $3$ 为奇数，符号改变；经过 $x=-1$ 时，重数 $2$ 为偶数，符号不变；经过 $x=-3$ 时，重数 $1$ 为奇数，符号再次改变。于是：

区间	$(-\infty,-3)$	$(-3,-1)$	$(-1,2)$	$(2,+\infty)$

现在局部动作就不再含糊了：

在 $x=-3$ ，曲线从轴下穿到轴上；
在 $x=-1$ ，曲线从上方贴住轴，再回到上方；
在 $x=2$ ，曲线变平后从轴上穿到轴下。

第四步：补一两个辅助点

$y$ 轴截距是

\begin{aligned} f(0) &=-\frac18(3)(1)^2(-2)^3\\ &=-\frac18\cdot3\cdot(-8)\\ &=3. \end{aligned}

所以图像经过 $(0,3)$ 。

再试一个容易算的点 $x=-2$ ：

\begin{aligned} f(-2) &=-\frac18(1)(-1)^2(-4)^3\\ &=-\frac18\cdot(-64)\\ &=8. \end{aligned}

于是图像还经过 $(-2,8)$ 。

到这里，草图的骨架已经够稳：两端、三个零点、三种局部动作、四段符号和两个辅助点彼此一致。至于每个局部最高点精确在哪儿，仅靠这些信息还不能确定；草图不需要假装知道它。

一张可信的多项式草图，至少要让四件事同时对得上：端行为、零点、重数动作、区间符号。辅助点用来校准高度，不是用来替代前面四步。

反过来：由图像特征写一个可能的函数

这类题看似开放，其实也有顺序。先把零点翻译成因式，再用重数表达局部动作，最后用端行为和已知点确定整体常数。

假设一个多项式满足：

左端向上，右端向下；
在 $x=-2$ 处直接穿过 $x$ 轴；
在 $x=1$ 处贴着 $x$ 轴后折回；
$y$ 轴截距是 $-4$ 。

直接穿过先选最小奇数重数 $1$ ，贴着反弹先选最小偶数重数 $2$ 。于是最低次数的候选式是

g(x)=a(x+2)(x-1)^2.

次数是 $3$ 。题目要求左上右下，所以首项系数必须为负，也就是 $a<0$ 。

再代入 $x=0$ ：

g(0)=a(2)(1)=2a.

由 $g(0)=-4$ 得

2a=-4,\qquad a=-2.

因此一个符合条件的函数是

g(x)=-2(x+2)(x-1)^2.

最后别嫌麻烦，快速回查一遍：

次数 $3$ 、首项系数 $-2$ ，左上右下；
$x=-2$ 的重数为 $1$ ，穿过；
$x=1$ 的重数为 $2$ ，反弹；
。

四条都对，构造才算完成。

有些图像条件其实互相打架

再看一组条件：

左端向上，右端向下；
在 $x=-2$ 处穿过；
在 $x=1$ 处贴着反弹；
在 $x=4$ 处变平后穿过。

最小重数分别是 $1,2,3$ ，总和为

1+2+3=6,

是偶数。把任何奇数重数增加 $2$ ，或把偶数重数增加 $2$ ，总和的奇偶都不会改变；再乘一个没有实零点的实系数因式，它的次数也只能增加偶数。因此总次数仍为偶数，两端应同向，不可能满足“左上右下”。

由图像写函数时，先别急着把因式乘起来。一定要做一次相容性检查：重数总和的奇偶、首项系数的正负和端行为能不能同时成立？

如果把第一条改成“左右两端都向下”，那么

h(x)=-(x+2)(x-1)^2(x-4)^3

就是一个符合局部动作与端行为的例子。

多项式模型有“数学定义域”，也有“现实使用范围”

多项式本身对每个实数 $x$ 都有定义。可一旦它被拿来描述现实问题，能代入不等于应该代入。

想象一张长 $30$ 厘米、宽 $20$ 厘米的长方形硬纸板。四个角各剪去边长为 $x$ 厘米的正方形，再把四边折起，得到一个无盖盒子。盒子的长、宽、高分别是

30-2x,\qquad 20-2x,\qquad x.

体积模型为

\begin{aligned} V(x) &=x(30-2x)(20-2x)\\ &=x(600-100x+4x^2)\\ &=4x^3-100x^2+600x. \end{aligned}

从纯代数看， $V(x)$ 对所有实数都有值。但要真的折成盒子，三条长度都不能为负：

x\ge0,\qquad 30-2x\ge0,\qquad 20-2x\ge0.

合起来得到

0\le x\le10.

如果要求盒子不是压扁的，还要写成

0<x<10.

这里就能看见“模型范围”的意义。这个三次多项式首项为 $4x^3$ ，当 $x\to+\infty$ 时会趋向 $+\infty$ ；可 $x>10$ 时，所谓盒子的宽 $20-2x$ 已经变成负数，继续讨论体积没有现实意义。

多项式模型的数据支持范围与外推风险中文手绘图

图示：模型在数据支持范围内可以贴合观测；离开窗口后，多项式的远端趋势可能迅速偏离现实。

用数据拟合出来的多项式也一样。你至少要同时说明：

模型是在哪个输入区间上建立或验证的；
区间外的预测有没有实际依据；
变量本身是否有物理限制，例如时间不能为负、人数必须为非负整数、长度不能超过材料尺寸。

“公式能算”只是代数层面的合法；“结果能解释”才是模型层面的合法。外推得越远，越不能只盯着计算器给出的数字。

一套可以直接照着走的检查顺序

以后遇到多项式图像题，可以按下面的顺序来。顺序别乱，能少走不少弯路。

整理式子。若是标准式，确认同类项已经合并；若是因式形式，先不要急着展开。

读次数和首项系数，判断左右两端最终的方向。

求实零点并记录重数，把所有 $x$ 轴截距标在数轴上。

常见坑点，集中扫一遍

把项数当次数。
$7x^6-x+3$ 只有三项，但次数是 $6$ 。

把最大系数当首项系数。
$100x^2+x^5$ 的首项是 $x^5$ ，首项系数是 $1$ ，不是 $100$ 。

式子没化简就报次数。
最高次项可能抵消，先展开并合并同类项。

只数不同零点，不数重数。
$(x-2)^4(x+1)$ 只有两个不同实零点，但这些因式已经贡献了 $4+1=5$ 次。

以为偶数重数一定从上方反弹。
偶数重数只说明两侧同号；在上方还是下方，要看其余因式与整体常数的符号。

把变平当转折。
$x^3$ 在原点变平却继续递增，原点不是局部转折点。

把当前窗口边缘当端行为。
端行为看 $x\to\pm\infty$ ，有限窗口可能还没走到首项真正占主导的位置。

把“最多”读成“一定”。
$n$ 次多项式最多有 $n$ 个不同实零点、最多有 $n-1$ 个局部转折点；两句话都不承诺一定达到上限。

自我检查

练习一：读标准式

判断

f(x)=5x^4-2x^3+9x-1

的次数、首项、首项系数和端行为。

练习二：先化简，再判断次数

求

P(x)=(x-2)(3x^3+x^2-1)-3x^4

的次数与首项系数。

练习三：零点、重数与局部动作

函数

g(x)=-2(x+4)^2(x-1)^3(x-5)

有哪些实零点？在每个零点处，图像穿过还是反弹？两端又朝哪里？

练习四：用代入判断因式

设

P(x)=2x^3-3x^2-8x+12.

判断 $x-2$ 是否是 $P(x)$ 的因式，并说明理由。

练习五：写一个可能的函数

一个多项式左端向下、右端向上，在 $x=-1$ 处贴着 $x$ 轴，在 $x=2$ 处直接穿过，并且 $f(0)=-4$ 。写出一个最低次数的函数。

练习六：从图像信息估计最低次数

一条多项式曲线有 $4$ 个不同的 $x$ 轴截距和 $3$ 个局部转折点，左右两端同向。它的最低可能次数是多少？

练习七：检查条件是否相容

能否存在一个实系数多项式，左端向下、右端向上，并且只有两个实零点： $x=0$ 的重数为 $2$ ， $x=3$ 的重数为 $4$ ？

练习八：模型范围

无盖盒子的体积模型是

V(x)=x(24-2x)(18-2x).

写出 $x$ 的现实可行范围，并计算 $x=3$ 时的体积。

x

)

g(x)

1

)^{2}

(x+1)^2

g(0)=-4

4