指数函数：增长、衰减与模型

有些变化看起来一开始很慢，后来突然变快。也有些变化一开始下降明显，后来越来越接近某个底线。银行账户的复利、细菌数量的扩张、药物在体内的减少、放射性物质的衰变，都有这种味道。

它们的共同点不是“每次多加同样多”，而是“每次乘同一个因子”。本章就从这个重复乘法出发，学习指数函数的表达式、图像、增长与衰减模型，以及怎样用数据判断一个指数模型是否合适。

从反复乘同一个因子开始

假设某个数量一开始是 100，每过 1 个时间单位就变成原来的 1.2 倍。前几项是：

这里的指数 $x$ 不是装饰，它记录“同一个因子被乘了多少次”。把初始量和因子抽象出来，就得到指数函数的常见形式：

其中 $a$ 是 $x=0$ 时的函数值，也叫初始值或起始值；$b$ 是每增加 1 个单位时要乘上的因子，叫增长因子或衰减因子。

图示：指数函数的核心动作是从初始量出发，在相同间隔内反复乘同一个因子。

严格地说，在实数范围内讨论 $f(x)=ab^x$ 时，通常要求：

如果 $b=1$，函数就是常数函数 $f(x)=a$，已经不再体现指数增长或衰减。如果 $b<0$，像 $(-2)^{1/2}$ 这样的值会脱离实数范围，所以高中代数里通常不把负底数放进指数函数的基本定义。

指数函数和幂函数不同

$2^x$ 是指数函数，因为变量在指数位置；$x^2$ 是幂函数，因为变量在底数位置。两者都会弯曲，但变化规律不同。

例如，当 $x$ 每增加 1 时，$2^x$ 总是乘以 2；而 $x^2$ 从 $3^2$ 到 $4^2$ 增加 7，从 到 增加 9，既不是固定加法，也不是固定乘法。

增长因子、衰减因子与百分比变化

很多题目不会直接告诉你 $b$，而是说“每年增长 8%”“每小时减少 15%”。这时要把百分比变化转换成乘法因子。

如果每期增长 $r$，其中 $r$ 用小数表示，那么增长因子是：

如果每期减少 $r$，那么衰减因子是：

例如，增长 8% 对应 $b=1.08$；减少 15% 对应 $b=0.85$。这里的 $0.85$ 表示“剩下原来的 85%”，不是“减少到 15%”。

图示：百分比变化先要转换成乘法因子，再写进 $ab^x$。

例题：从文字写出模型

一台设备现在价值 4800 元，预计每年贬值 18%。设 $t$ 表示经过的年数，写出设备价值 $V(t)$ 的模型，并求 3 年后的估计价值。

注意这个模型不是每年少 $4800\cdot 18\%=864$ 元。第一年减少 864 元，第二年减少的是剩余价值的 18%，金额会变小。指数衰减的“百分比”保持不变，但每期减少的绝对数量通常不相同。

图像：截距、渐近线与方向

先看最基本的 $f(x)=b^x$。无论 $b>1$ 还是 $0<b<1$，都有：

所以图像经过 $(0,1)$。如果是 $f(x)=ab^x$，则：

所以 $y$ 轴截距是 $(0,a)$。

图示：$b>1$ 时图像向右快速上升；$0<b<1$ 时图像向右靠近 $x$ 轴。

当 $a>0$ 时，指数函数的值始终为正。图像会接近 $x$ 轴，但不会真正碰到 $x$ 轴。因此 $y=0$ 是水平渐近线。

用交互观察参数

下面的交互可以调整 $a$ 和 $b$，观察曲线、表格和相邻函数值的比值。重点看一件事：只要 $x$ 增加 1，函数值就乘以同一个 $b$。

倍增时间与半衰期

有些模型不用“每期增长多少百分比”描述，而是用“多久翻倍”或“多久减半”描述。

如果一个数量每 3 小时翻倍，初始量为 $Q_0$，那么经过 $t$ 小时后的模型可以写成：

这里 $t/3$ 表示“经过了多少个 3 小时”。当 $t=3$ 时，指数是 1，数量乘以 2；当 $t=6$ 时，指数是 2，数量乘以 $2^2$。

如果一个药物浓度每 5 小时减半，初始浓度为 $C_0$，那么：

图示：倍增时间看“每隔多久乘以 2”，半衰期看“每隔多久乘以 $\frac12$”。

倍增时间和半衰期本质上仍然是增长因子和衰减因子。只是它们把“每 1 单位时间乘多少”改写成了“每一个固定时间段乘 2 或乘 $\frac12$”。

从因子反推时间

如果模型按每 1 个时间单位写成 $Q(t)=Q_0b^t$，那么倍增时间 $T$ 满足：

半衰期 $H$ 满足：

在下一章学习对数后，可以把它们解成：

以及：

这些公式不是本章的重点。本章更重要的是理解：倍增和减半都来自同一个结构，也就是重复乘法。

指数增长和线性增长的区别

线性增长每期增加同样多。指数增长每期乘以同一个因子。

假设两个数量都从 100 开始。A 每期增加 20，B 每期增长 20%。前几期如下：

图示：线性增长保持相同差值，指数增长保持相同倍数。

一开始，两个模型可能差得不多。时间拉长后，指数模型的每期增量会越来越大，因为它的增量也建立在前一期已经变大的数量上。

例题：根据表格判断模型类型

判断下面两组数据更适合线性模型还是指数模型。

用数据建立指数模型

建立指数模型时，最理想的情况是你知道初始值和每期因子。比如一种细菌初始有 200 个，每小时变成原来的 1.35 倍，那么模型就是：

很多实际数据不会直接给因子，只给两个测量点。假设数据适合指数模型，并且给出两个点 $(x_1,y_1)$ 和 $(x_2,y_2)$，其中 。从：

出发，两点的比值满足：

所以：

再用其中一个点代回去求 $a$：

图示：如果散点在原图上呈指数弯曲，而 $\log(y)$ 对 $x$ 近似成直线，指数模型通常值得尝试。

例题：由两个点建立模型

某城市某项指标在 $t=0$ 年时为 800，5 年后为 1100。假设它按指数方式增长，建立模型并估计 10 年后的值。

用交互比较指数模型和线性模型

下面的交互可以输入两个数据点，自动生成通过这两个点的指数模型和线性模型。它们在两个已知点上都吻合，但在中间和外推位置可能给出不同预测。

拟合时要问的三个问题

第一，数据是否都为正？指数模型 $ab^x$ 在 $a>0$ 时只能给出正值。如果数据出现 0 或负数，需要先理解情境，不能机械套用。

第二，相邻数据的比值是否比较稳定？真实数据会有波动，但如果比值大致稳定，指数模型通常有解释空间。

第三，模型能否在情境上说得通？例如资源有限的人口增长、传播过程、市场占有率，早期可能近似指数增长，但长期常会受到上限影响。此时指数模型适合局部预测，不适合无限外推。

常见误区

把增长率当成增长因子

增长 12% 的因子是 $1.12$，不是 $0.12$。如果写成 $500(0.12)^t$，模型会迅速衰减到接近 0，这和“增长”相反。

把连续减少同一百分比看成连续减少同一数量

从 100 连续减少 10%，得到的是 $100,90,81,72.9,\ldots$。每次减少的金额不同，但每次保留的比例相同。

以为先增长 20% 再减少 20% 会回到原值

从 100 开始，先增长 20% 得到 120，再减少 20% 得到 96。百分比变化是相对“当时的数量”计算的，基准变了，结果就不会回到原点。

看到曲线就一定选指数模型

二次函数、根式函数、有理函数、对数函数也会弯曲。指数模型的关键证据是“相同输入间隔内，输出大致乘同一个因子”，不是“图像弯了”。

忘记水平渐近线

像 $300(0.7)^t$ 这样的衰减模型会越来越接近 0，但不会在有限时间内真正等于 0。在现实中，测量仪器可能读成 0，模型本身却仍然给出一个正数。

自主检查

1. 某数量初始为 75，每天增长 6%。写出模型，并求 4 天后的近似值。

2. 某药物浓度初始为 40，每小时减少 25%。写出模型，并说明 3 小时后是否等于 10。

3. 一组数据为 $4,6,9,13.5$，对应 $x=0,1,2,3$。判断模型类型并写出函数。

4. 某数据从 $x=2$ 时的 50 增长到 $x=6$ 时的 200。若按指数模型变化，求每单位因子 $b$。

本章小结

指数函数 $f(x)=ab^x$ 描述的是从初始值 $a$ 出发，在相同输入间隔内反复乘同一个因子 $b$ 的变化。

$b>1$ 表示指数增长，$0<b<1$ 表示指数衰减。百分比增长要转成 $1+r$，百分比减少要转成 $1-r$。

线性模型看固定差值，指数模型看固定比值。用数据建模时，除了计算 $a$ 和 $b$，还要检查数据是否为正、比值是否稳定、情境是否允许长期按指数规律发展。

它不等于 10。减少 25% 不是每小时减少初始值的 25%，而是每小时减少当前值的 25%。