根式函数与分式方程

拿到一个带根号、带分母的式子，先别急着移项，也别急着按计算器。你最先该问的是：哪些数根本不能代进去？

这句话听起来像准备工作，其实是整章的主线。

• 平方根里不能出现负数；
• 分母不能等于 $0$；
• 平方和清分母虽然能让式子变简单，却可能把原来不允许的数带进候选名单；
• 应用题里的速度、时间、长度还要满足现实限制。

所以，解题不是一路把式子“化简到 $x=$”就结束了。你要一直记得原式允许什么，并在最后回到原式验算。

根号不是装饰，它先决定哪些输入能进来

先看最熟悉的平方根。

这里的 $\sqrt{9}$ 表示非负的主平方根。虽然 $3^2=9$，$(-3)^2=9$，但根号符号本身只取 。如果题目写的是方程 ，那才有

这两个说法常被混在一起，后面很多符号错误就是从这里开始的。

再看根指数。实数范围内，偶次根和奇次根的脾气不一样。

比如：

而

对每一个实数 $x$ 都有意义。你把 $x=-5$ 代进去，得到的只是 $\sqrt[3]{-8}=-2$，不会“崩掉”。

平方根与立方根母函数

先不加平移、伸缩，看看两条最基本的曲线。

平方根母函数

经过 $(0,0)$、$(1,1)$、$(4,2)$、$(9,3)$。它从原点出发，只向右延伸，而且越往右增长得越慢。输入不能小于 $0$，输出也不会小于 ：

立方根母函数

经过 $(-8,-2)$、$(-1,-1)$、$(0,0)$、$(1,1)$、$(8,2)$。负数能开立方，所以曲线会穿过第三象限、原点和第一象限：

它还是奇函数，因为

图像关于原点中心对称。

求定义域：把所有限制取交集

不要靠图像猜定义域。先读式子，把每一个限制单独写出来，最后再取交集。

只有一个偶次根

求

的定义域。根号内必须非负：

移项时注意除以负数，不等号要反向：

所以定义域是

这里很多人会顺手写成 $x\ge \frac52$。错不在根号，而在最后除以 $-2$ 时忘了反向。

根号和分母同时出现

再看

这次有两道门槛：

也就是

两者同时满足，定义域才算完整：

注意，$x=2$ 虽然能让根号内为正，却会让分母为 $0$，所以仍然要挖掉。

图像变换：先找锚点，再看方向

平方根函数常写成

先假设 $a\ne 0$。你可以按下面的顺序读图。

1. 根号内要求 $x-h\ge 0$，所以定义域是 $x\ge h$。
2. 母函数的端点 $(0,0)$ 平移到 $(h,k)$。
3. 时，曲线从端点向右上方延伸，值域是 。

想画得准一点，不要只凭手感。令 $t\ge 0$，母函数上的点可以写成 $(t^2,t)$，变换后就变成

取 $t=0,1,2$，马上能得到三个可靠的落点。

例：画出 $y=-2\sqrt{x+3}+5$ 的关键信息

先问根号什么时候有意义：

所以定义域是 $[-3,\infty)$，端点是 $(-3,5)$。系数 $-2$ 为负，图像从端点向右下方走，因此值域是 $(-\infty,5]$。

再取几个点：

把这三个点连成平滑曲线，方向就不会画反。

立方根的变换写成

当 $a\ne 0$ 时，定义域和值域仍然都是全体实数，$(h,k)$ 是中心锚点。令 $t$ 取任意实数，母函数点 $(t^3,t)$ 会变成

还有一个容易漏掉的小情况：如果 $a=0$，不论根号里写什么，函数都退化成常数函数 $y=k$。这时值域只有一个数 $\{k\}$，不能再写成全体实数。

根式方程：平方只负责产生候选值

为什么解根式方程一定要验根？看看这两个方向：

这个方向没有问题。但反过来，

也就是说，平方会把符号相反的两种情况压成同一个结果。原方程只要 $A=B$，平方后的方程却可能把 $A=-B$ 也收进来。

平方是单向安全的；从平方后的等式往回走时，符号信息已经丢失。

所以，解含平方根的方程时，用这一套顺序最稳：

例 1：一次平方会带来什么

解

左边要有意义，先有

左边还是一个非负数，所以右边也必须满足

合起来，候选解必须先过 $x\ge 0$ 这一关。根式已经孤立，两边平方：

整理并因式分解：

候选值是 $x=3$ 和 $x=-2$。现在回到原方程。

当 $x=3$ 时：

成立。

当 $x=-2$ 时：

不成立。$-2$ 是平方后出现的增根，原方程只有

候选值只是等待审查的名单，最后由原方程决定谁能留下。

例 2：有两个根式时，一次处理一个

解

先写定义域：

取交集得 $x\ge 1$。把一个根式移到右边：

两边平方：

右边一定要完整展开，别漏掉中间项：

整理：

这里可以直接平方：

代回原式：

所以 $x=\frac54$ 是有效解。

分式表达式：约掉的因子，限制不会跟着消失

只要变量出现在分母里，你就要先圈出禁用值。

看这个式子：

原分母要求

因式分解后，

但这串等式只对 $x\ne 2$ 的数成立。约分后的 $x+2$ 在 $x=2$ 时有值，原式却没有意义。换句话说，约分能简化计算，却不能偷偷把原来的禁用值补回来。

分式方程：共同分母是工具，不是通行证

解分式方程可以按四步走：

1. 写出所有原分母不为 $0$ 的限制；
2. 分解分母，找最小公分母；
3. 方程两边的每一项都乘共同分母，约去分母；
4. 解候选值，再检查限制条件并代回原方程。

最常见的清分母错误，不是不会找共同分母，而是漏乘某一项。给每一项都加上括号，会安全很多。

例 3：完整清分母

解

原分母先给出限制：

共同分母取 $x(x+2)$。方程两边同乘它：

逐项约分：

展开并移到一边：

因式分解：

候选值为 $x=2$、$x=-1$。它们都没有碰到 $0$ 和 $-2$ 这两个禁用值，还要代回原式。

当 $x=2$ 时：

当 $x=-1$ 时：

两个都成立，所以解集是

例 4：清分母得到的唯一候选值，偏偏不能用

解

先写 $x\ne 2$。两边同乘 $x-2$ 后得到

但 $x=2$ 会让原方程的两个分母都等于 $0$。因此这个候选值必须舍去，原方程无解。

这里不是计算错了。真正发生的是：在允许范围 $x\ne 2$ 内，清分母变形没有问题；可新方程算出的结果刚好跑出了允许范围。

实际问题：代数解还要过现实这一关

行程和工程问题很容易出现分式，因为

建模时至少检查三类条件：

• 分母不能为 $0$；
• 时间、速度、长度通常必须为正；
• 求出的量要符合题目给出的大小关系和单位。

例 5：上坡与下坡

一个人上坡走 $10$ km，下坡走同一段 $10$ km。下坡速度比上坡快 $5$ km/h，总时间为 $3$ h。求上坡速度。

设上坡速度为 $v$ km/h，那么下坡速度是 $v+5$ km/h。先写现实限制：

两段路程各为 $10$ km，所以时间方程是

共同分母是 $v(v+5)$。两边同乘：

展开整理：

因式分解：

候选值是

负速度不符合题意，所以只留下 $v=5$。再用原关系检查总时间：

因此上坡速度是 $5$ km/h，下坡速度是 $10$ km/h。

最后一句要写完整：不是“方程的解是 $5$”，而是“满足原方程和现实限制的上坡速度是 $5$ km/h”。

哪些变形等价，哪些只产生候选值

把几种常见操作放在一起看，会更清楚。

说白了，只要某一步可能把信息压扁或把禁区擦掉，就把结果叫候选值，而不是直接叫答案。

常见错误与自检

下面这些坑很常见，最好逐个对照。

1. 把 $\sqrt{9}$ 写成 $\pm3$。主平方根只有 $3$。
2. 把 $\sqrt{x^2}$ 写成 。正确结果是 。

交卷前，用五个问题扫一遍：

1. 原式什么时候有意义？
2. 我做过平方、清分母或约去含变量因子吗？
3. 候选值有没有触碰原来的限制？
4. 每个候选值代回最初方程后，等号成立吗？
5. 如果有实际语境，数值、正负和单位合理吗？

练习

1. 求 $f(x)=\sqrt{2x-6}$ 的定义域和值域

2. 求 $g(x)=-3\sqrt{x+4}+2$ 的定义域和值域，并写出端点

3. 求 $h(x)=2\sqrt[3]{x-1}-5$ 的定义域和值域，并写出中心锚点

4. 求 $p(x)=\dfrac{\sqrt{3-x}}{x+1}$ 的定义域

5. 化简 $\sqrt{(x-4)^2}$

6. 解方程 $\sqrt{x+10}=x+2$

7. 解方程 $\sqrt{x+2}=x$

8. 解方程 $\sqrt{x+7}-\sqrt{x-2}=1$

9. 解方程 $\dfrac3{x-1}=1+\dfrac2{x-1}$

10. 解方程 $\dfrac2{x+1}+\dfrac1{x-2}=1$

11. 解方程 $\dfrac{x}{x-2}=\dfrac2{x-2}$

12. 一台机器单独完成任务需要 $6$ 小时，另一台需要 $8$ 小时。两台一起工作需要多少小时？

整理得

候选值为

其中 $\frac{-3-\sqrt{33}}2<-2$，不满足右边非负。令

$\alpha>-2$，而且它满足平方后的等式 $\alpha+10=(\alpha+2)^2$。因为 $\alpha+2>0$，所以

代回原方程成立。因此

候选值为 $2$ 和 $-1$。$-1$ 不满足 $x\ge0$，代回也不成立；$2$ 代回得 $\sqrt4=2$。所以解为 $x=2$。

两边平方：

整理得

再次平方，得到 $x-2=16$，所以候选值为 $x=18$。代回：

因此 $x=18$。

展开：

整理得

所以

两个候选值都不等于 $-1$ 或 $2$。再逐个代回。记 $r=\sqrt3$，则 $r^2=3$。

当 $x=2+r$ 时：

当 $x=2-r$ 时：

因此两个候选值都是原方程的解。

两边同乘 $24$：

$\frac{24}{7}>0$，符合时间语境。代回时两台完成的份额为 $\frac47$ 与 $\frac37$，相加正好是 $1$。因此需要 $\frac{24}{7}$ 小时，约为 $3.43$ 小时。