多项式运算、因式分解与余式定理

上一章把多项式函数看成一种图像和模型：次数决定端行为，零点决定与 $x$ 轴的关系，重数会影响穿过或弹回。本章换一个角度，把多项式看成可以运算、拆解和检测的代数对象。

多项式的计算并不是越展开越好。熟练的做法通常是先看结构：哪些项可以合并，哪里适合乘法公式，除式是否是一次式，某个数是不是可能的零点。看清这些结构后，很多计算会从“铺开一整页”变成“抓住一个关键值”。

多项式运算不是孤立技巧：合并、展开、相除、因式分解和代入求值都围绕同一个表达式结构展开。

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多项式运算的共同语言

一个一元多项式可以写成

$$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$$

其中 $a_n\neq 0$，$n$ 是次数，$a_n$ 是首项系数，$a_0$ 是常数项。多项式运算的第一条秩序，是按次数排列并保留每一项的“位置”。缺少某个次数的项时，它的系数是 ，不是不存在。

例如

$$3x^4-2x+5$$

在除法或综合除法中最好看成

$$3x^4+0x^3+0x^2-2x+5$$

这样每个系数都站在自己的次数位置上，计算时不容易错位。

加减法：只合并同类项

多项式加减法的核心是同类项。同类项必须有相同的变量部分，也就是相同的字母和相同的指数。$x^2$ 项只能和 $x^2$ 项合并，$x$ 项只能和 $x$ 项合并，常数只能和常数合并。

加减法先按次数分组，再合并同一列的系数；不同次数的项不能混在一起。

设

$$P(x)=4x^3-2x^2+7x-5$$ $$Q(x)=-x^3+6x^2-3x+8$$

则

$$P(x)+Q(x)=3x^3+4x^2+4x+3$$

如果做减法，要先把减号分配到每一项：

$$P(x)-Q(x)=4x^3-2x^2+7x-5-(-x^3+6x^2-3x+8)$$

所以

$$P(x)-Q(x)=5x^3-8x^2+10x-13$$

乘法：分配律与结构识别

多项式乘法本质上是分配律。每一项都要与另一多项式的每一项相乘，再合并同类项。

例如

$$(x+3)(x+2)=x^2+2x+3x+6=x^2+5x+6$$

面积模型把乘法拆成四块：每一块都是一项乘一项，最后把同类项合并。

面积模型不只是低年级的图形方法。它提醒我们：展开得到的每一项都来自两个因式中的一项相乘。反过来，因式分解就是把一个展开后的面积重新拼回长和宽。

常见乘法公式也来自同一个结构：

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$ $$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$ $$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$

当你看到 $x^2-16$，不要急着展开或试除。它已经有“平方减平方”的结构：

$$x^2-16=(x+4)(x-4)$$

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除法原理：商与余式的位置

整数除法有这样的形式：

$$17=5\cdot 3+2$$

多项式除法也有同样的结构。若 $D(x)\neq 0$，则存在唯一的商式 $Q(x)$ 和余式 $R(x)$，使得

$$P(x)=D(x)Q(x)+R(x)$$

并且 $R(x)=0$，或 $R(x)$ 的次数低于 $D(x)$ 的次数。

这里的“次数低于除式”很关键。若除式是一次式，余式只能是常数；若除式是二次式，余式最多是一次式。

长除法：每次消掉当前首项

长除法适用于一般多项式除法。它每一步都做同一件事：用当前被除部分的首项除以除式的首项，得到商式的下一项；再乘回去、相减、继续。

以

$$(2x^3+3x^2-8x+3)\div(x+3)$$

为例。

因此

$$2x^3+3x^2-8x+3=(x+3)(2x^2-3x+1)$$

长除法的循环是“看首项、乘回去、相减、降下一项”。每一步都在消掉当前最高次项。

长除法中的两个检查

第一，检查次数。若三次多项式除以一次多项式，商式应该是二次多项式，除非高次项被特殊抵消。若最后得到的商式次数不对，通常说明某一步漏项或错位。

第二，检查恒等式。除完以后，把除式乘商式再加余式，必须回到原来的被除式：

$$P(x)=D(x)Q(x)+R(x)$$

这个检查比只看最后余数更可靠，因为有些中间错误会碰巧给出看似合理的余数。

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综合除法：一次除式的压缩算法

当除式是 $x-k$ 时，长除法可以压缩成综合除法。它只记录系数，不反复写变量幂。

例如要把

$$x^3-3x^2-4x+12$$

除以 $x-2$，我们取 $k=2$，系数是

$$1,\ -3,\ -4,\ 12$$

综合除法的过程是：首系数落下，乘以 $k$，加到下一列；再乘以 $k$，再加到下一列；直到最后一列。

综合除法把长除法的“乘回去再相减”压缩成系数表里的“乘以 $k$ 再相加”。

计算得到商式系数 $1,-1,-6$，余数 $0$，所以

$$x^3-3x^2-4x+12=(x-2)(x^2-x-6)$$

继续分解二次因式：

$$x^2-x-6=(x-3)(x+2)$$

于是

$$x^3-3x^2-4x+12=(x-2)(x-3)(x+2)$$

综合除法的适用边界

综合除法最稳妥的形式是除以 $x-k$。如果除式是 $x+5$，要看成 $x-(-5)$，所以 $k=-5$。

如果除式是 $2x-1$，不能直接把 $k=\frac{1}{2}$ 填进普通综合除法后就把商式照抄。因为 $2x-1=2(x-\frac{1}{2})$，除式的首项系数不是 ，商式和余式的表达需要额外处理。遇到这种情况，用长除法更稳，或先把除式的常数倍关系写清楚。

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余式定理：不用除完也能知道余数

如果用 $x-k$ 去除 $P(x)$，根据除法原理，

$$P(x)=(x-k)Q(x)+R$$

因为除式是一次式，余式 $R$ 是常数。把 $x=k$ 代入：

$$P(k)=(k-k)Q(k)+R$$

所以

$$P(k)=R$$

这就是余式定理：$P(x)$ 除以 $x-k$ 的余式等于 $P(k)$。

从图像上看，余式就是在 $x=k$ 处的函数值 $P(k)$；从代数上看，是因为 $(k-k)Q(k)$ 消失了。

例如求

$$P(x)=2x^4-3x^3+x-7$$

除以 $x-2$ 的余式，不必做长除法，只需计算

$$P(2)=2\cdot 2^4-3\cdot 2^3+2-7$$ $$P(2)=32-24+2-7=3$$

所以余式是 $3$。

推广到 $ax+b$

若除式是 $ax+b$，可以先找到让除式为 $0$ 的数：

$$ax+b=0$$ $$x=-\frac{b}{a}$$

因此 $P(x)$ 除以 $ax+b$ 的余式是

$$P\left(-\frac{b}{a}\right)$$

注意，这里说的是余式这个常数，不是商式。商式会受除式首项系数影响。

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因式定理：余数为零时出现因式

余式定理马上给出因式定理：

$$P(k)=0 \quad \Longleftrightarrow \quad x-k \text{ 是 } P(x) \text{ 的因式}$$

这是一个双向结论。

如果 $x-k$ 是 $P(x)$ 的因式，那么 $P(x)=(x-k)Q(x)$，代入 $x=k$ 得 。

如果 $P(k)=0$，那么 $P(x)$ 除以 $x-k$ 的余式为 $0$，所以 $P(x)=(x-k)Q(x)$， 是因式。

代数中的线性因式 $x-k$，在图像上对应零点 $x=k$。

用已知因式分解三次多项式

设

$$P(x)=x^3-2x^2-5x+6$$

我们想判断 $x-1$ 是否为因式。计算

$$P(1)=1-2-5+6=0$$

所以 $x-1$ 是因式。用综合除法除去它：

$$x^3-2x^2-5x+6=(x-1)(x^2-x-6)$$

再分解

$$x^2-x-6=(x-3)(x+2)$$

得到

$$P(x)=(x-1)(x-3)(x+2)$$

于是方程

$$x^3-2x^2-5x+6=0$$

的解是

$$x=1,\quad x=3,\quad x=-2$$

从因式到零点

如果一个多项式已经写成

$$P(x)=a(x-r_1)(x-r_2)\cdots(x-r_n)$$

那么每一个 $r_i$ 都是零点。因为当 $x=r_i$ 时，至少有一个因式变成 $0$，整个乘积就变成 $0$。

反过来，如果知道 $r$ 是零点，就知道 $x-r$ 是因式。这个来回转换，是多项式方程、图像和因式分解之间最重要的桥。

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因式分解的策略顺序

因式分解是展开的逆过程，但实际解题时不能只靠试。一个稳定的策略顺序是：

1. 先提公因式。
2. 再看乘法公式。
3. 再尝试分组。
4. 对高次多项式，寻找可能零点并用因式定理降次。
5. 最后判断是否已经在当前数系内分解完全。

提公因式

例如

$$6x^3-9x^2=3x^2(2x-3)$$

提公因式通常应该放在第一步。若一开始就套公式或试零点，容易把整体结构弄复杂。

乘法公式

例如

$$9x^2-25=(3x+5)(3x-5)$$

又如

$$x^2+10x+25=(x+5)^2$$

公式法的关键不是背式子，而是看见结构：两个平方、两倍乘积、平方差。

分组

有些四项式可以先分组：

$$x^3+2x^2-3x-6$$

把前两项和后两项分组：

$$x^2(x+2)-3(x+2)$$

再提公共因式：

$$(x+2)(x^2-3)$$

如果只盯着最高次项和常数项，可能很难看出这个分解。分组的目的，是制造共同结构。

用因式定理降次

对于

$$P(x)=2x^3-x^2-13x-6$$

若猜测 $x=3$ 是零点，先代入：

$$P(3)=54-9-39-6=0$$

所以 $x-3$ 是因式。除去它后，得到

$$P(x)=(x-3)(2x^2+5x+2)$$

再分解二次式：

$$P(x)=(x-3)(2x+1)(x+2)$$

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用结构减少计算

很多多项式题的难点不在计算量，而在是否选对入口。下面这些问题可以作为动笔前的检查清单。

先识别结构，再选择运算。合适的结构能把大计算压缩成几步。

先看整体公因式

看到

$$4x^4-12x^3+8x^2$$

先提

$$4x^2$$

得到

$$4x^2(x^2-3x+2)$$

再分解括号内的二次式：

$$4x^2(x-1)(x-2)$$

如果一开始直接尝试四次多项式的零点，会多做很多无用检查。

先看特殊值

若题目问“$P(x)$ 除以 $x-4$ 的余式”，不要做长除法。直接算 $P(4)$。

若题目问“$x+2$ 是否为因式”，不要先分解整式。直接算 $P(-2)$。

先看缺项

缺项常常带来结构。例如

$$x^4-16$$

先看成平方差：

$$x^4-16=(x^2)^2-4^2$$

所以

$$x^4-16=(x^2-4)(x^2+4)$$

继续在实数范围内分解：

$$x^4-16=(x-2)(x+2)(x^2+4)$$

如果只在实数范围讨论，$x^2+4$ 不能继续分解为一次实因式；如果进入复数范围，它还可以继续分解。

先看对称或成对结构

例如

$$(x^2+3x)^2-4(x^2+3x)+4$$

可以把 $u=x^2+3x$，原式变成

$$u^2-4u+4=(u-2)^2$$

所以

$$(x^2+3x)^2-4(x^2+3x)+4=(x^2+3x-2)^2$$

这里真正的结构是“把复杂表达式看成一个整体”。若直接完全展开，再从四次式倒推，会困难得多。

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常见误区与修正

把不同次数的项合并

错误：

$$3x^2+5x=8x^2$$

修正：$x^2$ 项和 $x$ 项不是同类项，不能合并。表达式应保持为

$$3x^2+5x$$

多项式相减时漏掉括号

错误：

$$(2x^2+3x-1)-(x^2-4x+6)=x^2+7x+5$$

这个答案来自没有正确处理最后的 $+6$。

正确做法是

$$2x^2+3x-1-x^2+4x-6=x^2+7x-7$$

综合除法忘记补零

若

$$P(x)=x^4+3x-2$$

系数应写成

$$1,\ 0,\ 0,\ 3,\ -2$$

而不是

$$1,\ 3,\ -2$$

漏掉 $0$ 会让每个系数对应的次数全部错位。

把余式定理和因式定理混成一句话

余式定理说的是：

$$P(x)\div(x-k)\text{ 的余式}=P(k)$$

因式定理说的是：

$$P(k)=0 \Longleftrightarrow x-k\text{ 是 }P(x)\text{ 的因式}$$

二者有关，但用途不同。余式定理可以求任意余数；因式定理只在余数为 $0$ 时判断因式。

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典型例题

例题：用余式定理求参数

已知

$$P(x)=x^3+ax^2-4x+6$$

除以 $x-2$ 的余式为 $10$，求 $a$。

这个题不需要先做除法。题目只问余式，代入对应的 $x$ 值即可。

例题：已知一个零点后分解

分解

$$P(x)=x^3+4x^2-x-4$$

并求零点。

例题：选择长除法还是综合除法

求

$$(3x^3-2x^2+5)\div(x^2+1)$$

的商式和余式。

这里除式是二次式，不适合普通综合除法。使用长除法，并先补上缺少的 $x$ 项：

$$3x^3-2x^2+0x+5$$

首项相除：

$$3x^3\div x^2=3x$$

乘回去：

$$3x(x^2+1)=3x^3+3x$$

相减后剩下

$$-2x^2-3x+5$$

继续：

$$-2x^2\div x^2=-2$$

乘回去：

$$-2(x^2+1)=-2x^2-2$$

相减后余式为

$$-3x+7$$

所以商式是

$$3x-2$$

余式是

$$-3x+7$$

写成除法原理的形式：

$$3x^3-2x^2+5=(x^2+1)(3x-2)+(-3x+7)$$

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练习

基础计算

1. 化简：

$$(5x^3-2x+7)+(-3x^3+4x^2+x-9)$$

显示答案

答案是 $2x^3+4x^2-x-2$。按次数排列后合并同类项即可。

2. 展开并合并：

$$(2x-3)(x^2+4x-1)$$

显示答案

逐项相乘得 $2x^3+8x^2-2x-3x^2-12x+3$，所以结果是 。

3. 求

$$x^3+2x^2-5x-6$$

除以 $x+2$ 的余式。

显示答案

除式 $x+2=x-(-2)$，所以余式是 $P(-2)$。计算 $-8+8+10-6=4$，余式为 。

因式与零点

4. 判断 $x-3$ 是否为

$$P(x)=x^3-6x^2+11x-6$$

的因式。

显示答案

计算 $P(3)=27-54+33-6=0$，所以 $x-3$ 是因式。

5. 已知 $x+1$ 是

$$P(x)=x^3+2x^2-5x-6$$

的因式，求其完全分解式。

显示答案

用综合除法除以 $x+1$，也就是取 $k=-1$，得到商式 $x^2+x-6$。继续分解为 $(x+3)(x-2)$，所以 。

6. 求参数 $m$，使 $x-2$ 是

$$P(x)=x^3+mx^2-7x+2$$

的因式。

显示答案

由因式定理，$P(2)=0$。所以 $8+4m-14+2=0$，即 $4m-4=0$，得到 。

结构判断

7. 分解：

$$x^4-81$$

显示答案

先看成平方差：$x^4-81=(x^2-9)(x^2+9)$。在实数范围内，继续分解 $$，所以结果为 。

8. 不做长除法，求

$$2x^4-x^3+5x-8$$

除以 $x+1$ 的余式。

显示答案

除式 $x+1=x-(-1)$，余式是 $P(-1)$。计算 $2+1-5-8=-10$，余式为 。

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小结

多项式运算的主线可以浓缩成三句话。

第一，加减乘法依靠同类项、分配律和乘法公式。整理表达式时，次数位置不能乱。

第二，除法的核心是

$$P(x)=D(x)Q(x)+R(x)$$

长除法每次消掉当前首项；综合除法是在除以 $x-k$ 时对长除法的压缩。

第三，余式定理和因式定理把“除法”“函数值”“零点”连在一起：

$$P(x)\div(x-k)\text{ 的余式}=P(k)$$ $$P(k)=0 \Longleftrightarrow x-k\text{ 是 }P(x)\text{ 的因式}$$

从这一章开始，解多项式题时要养成一个习惯：先看结构，再算。能代入求余式时不要长除，能提公因式时不要乱试，能用因式定理降次时就把高次问题降成低次问题。