多项式运算、因式分解与余式定理

上一章里，多项式更像一幅图：次数管着两端往哪儿走，零点管着图像在哪里碰到 $x$ 轴，重数又决定曲线是穿过去，还是碰一下再折回来。

这一章，我们把镜头拉近，看看式子内部到底是怎么运转的。

拿到一个多项式，真正熟练的人通常不会立刻展开。先停一下，问几个很实际的问题：同类项排好了吗？括号前有没有负号？这里是不是平方差？除式能不能写成 $x-k$？题目只问余数，真的有必要把除法做到底吗？

这些问题看起来零散，其实都围着同一件事转：先看结构，再选算法。

加、减、乘、除、分解和代入并不是互不相干的技巧。它们都在整理同一个多项式，只是整理的方向不同。

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先把多项式“排整齐”

一个一元多项式通常写成

$$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0,$$

其中 $a_n\neq 0$。最高次幂 $n$ 叫作多项式的次数，$a_n$ 是首项系数，$a_0$ 是常数项。

这串符号先别急着背。你可以把它想成一排带编号的抽屉：$x^n$ 放在第 $n$ 格，$x^{n-1}$ 放在第 $n-1$ 格，一直排到常数格。做加减法时，我们只整理同一格里的系数；做除法时，这些格子还必须上下对齐。

比如

$$3x^4-2x+5$$

没有写出 $x^3$ 项和 $x^2$ 项，但那两个位置并没有消失。它的完整系数队列是

$$3,\ 0,\ 0,\ -2,\ 5,$$

也就是

$$3x^4+0x^3+0x^2-2x+5.$$

平时化简时，零项当然不用写；一旦进入长除法或综合除法，零就得回来占位。很多错并不是不会算，而是队伍站歪了。

什么才算同类项

同类项的变量部分必须完全一样：字母一样，指数也一样。

因此，$3x^2$ 与 $-x^2$ 是同类项，$4x$ 与 $-2x$ 是同类项；但 $x^2$ 与 不是， 与 也不是。

判断能不能合并，不看它们离得近不近，只看变量部分是否完全相同。

设

$$P(x)=4x^3-2x^2+7x-5,$$ $$Q(x)=-x^3+6x^2-3x+8.$$

相加时，对应次数的系数分别相加：

$$\begin{aligned} P(x)+Q(x) &=(4-1)x^3+(-2+6)x^2+(7-3)x+(-5+8)\\ &=3x^3+4x^2+4x+3. \end{aligned}$$

你也可以把两个多项式竖着写。只要 $x^3$ 对 $x^3$、$x^2$ 对 $x^2$、常数对常数，逻辑和多位数加法很像。

相减先处理括号

减法最容易出错的地方不在同类项，而在括号前的负号。

$$\begin{aligned} P(x)-Q(x) &=4x^3-2x^2+7x-5-(-x^3+6x^2-3x+8)\\ &=4x^3-2x^2+7x-5+x^3-6x^2+3x-8\\ &=5x^3-8x^2+10x-13. \end{aligned}$$

第二行很重要。我们没有只改括号里第一项的符号，而是让负号乘进括号里的每一项。

一个随手可做的检查

如果怀疑两个化简结果是否相等，可以挑一个简单值代进去，比如 $x=1$ 或 $x=-1$。

这不能代替完整推导，却很适合抓低级错误。原式和结果在同一个 $x$ 下算出不同的数，说明化简一定有问题。

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乘法：每一块都不能漏

多项式乘法的底层规则只有一个：分配律。

比如

$$(x+3)(x+2).$$

第一个括号里的 $x$ 要乘第二个括号里的两项，$3$ 也要乘两项：

$$\begin{aligned} (x+3)(x+2) &=x\cdot x+x\cdot 2+3\cdot x+3\cdot 2\\ &=x^2+2x+3x+6\\ &=x^2+5x+6. \end{aligned}$$

面积图把“每一项乘每一项”画了出来。漏掉一块，就等于漏乘了一项。

再看一个稍长的：

$$(2x-3)(x^2+4x-1).$$

可以分成两排写：

$$\begin{aligned} (2x-3)(x^2+4x-1) &=2x(x^2+4x-1)-3(x^2+4x-1)\\ &=(2x^3+8x^2-2x)+(-3x^2-12x+3)\\ &=2x^3+5x^2-14x+3. \end{aligned}$$

最后一行只做了一件事：把 $8x^2$ 和 $-3x^2$ 合并，把 $-2x$ 和 $-12x$ 合并。

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特殊乘法：公式不是突然冒出来的

有些乘法结构反复出现，值得把结果记住。不过，最好知道它们从哪里来。这样即使一时忘了，也能靠分配律重新推出来。

和的平方与差的平方

$$\begin{aligned} (a+b)^2 &=(a+b)(a+b)\\ &=a^2+ab+ab+b^2\\ &=a^2+2ab+b^2. \end{aligned}$$

所以

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.$$

把第二个量换成 $-b$，就得到

$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2.$$

这里有个常见坑：

$$(a-b)^2\neq a^2-b^2.$$

中间的 $-2ab$ 不能凭空消失。你只要把平方写成两个相同括号相乘，就很难再漏掉它。

平方差

现在乘一对“只差一个符号”的括号：

$$\begin{aligned} (a+b)(a-b) &=a^2-ab+ab-b^2\\ &=a^2-b^2. \end{aligned}$$

两个中间项正好抵消，于是有

$$a^2-b^2=(a+b)(a-b).$$

这个等式可以从左往右读，也可以从右往左读：从右往左是乘法，从左往右就是因式分解。

比如

$$x^2-16=x^2-4^2=(x+4)(x-4).$$

又如，不必真的做 $101\times 99$ 的竖式：

$$101\times 99=(100+1)(100-1)=100^2-1=9999.$$

立方公式也能顺着乘出来

先用平方公式，再乘一个括号：

$$\begin{aligned} (a+b)^3 &=(a^2+2ab+b^2)(a+b)\\ &=a^3+a^2b+2a^2b+2ab^2+ab^2+b^3\\ &=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3. \end{aligned}$$

同理，

$$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3.$$

配套的和、差立方分解是

$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2),$$ $$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2).$$

记符号时可以这样想：第一个一次因式直接照着原式的正负号写；后面的二次因式里，中间项取相反号，平方项始终为正。

当然，口诀只是帮助记忆。拿不准就乘回去，几十秒就能验明白。

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因式分解：把展开后的式子重新拼回去

展开是“拆开乘”，因式分解是“从和差里找回乘法”。

它们看起来方向相反，检查方法却很统一：分解完以后乘回去。如果能准确回到原式，分解才算过关。

第一个动作：先提公因式

看到

$$6x^3-9x^2,$$

两项都含有 $3x^2$，所以

$$6x^3-9x^2=3x^2(2x-3).$$

为什么通常先提公因式？因为它会立刻降低括号内的次数和系数，让后面的结构更显眼。

例如

$$4x^4-12x^3+8x^2$$

先提 $4x^2$：

$$4x^2(x^2-3x+2).$$

括号内再分解：

$$x^2-3x+2=(x-1)(x-2),$$

于是

$$4x^4-12x^3+8x^2=4x^2(x-1)(x-2).$$

看见乘法公式的“背影”

$$9x^2-25=(3x)^2-5^2=(3x+5)(3x-5).$$ $$x^2+10x+25=x^2+2\cdot x\cdot 5+5^2=(x+5)^2.$$

真正要识别的不是某个固定字母，而是结构：两平方之差，或者“首平方、两倍积、尾平方”。

分组：主动制造共同因式

四项式

$$x^3+2x^2-3x-6$$

一眼看不出整体公因式，但前两项能提 $x^2$，后两项能提 $-3$：

$$\begin{aligned} x^3+2x^2-3x-6 &=x^2(x+2)-3(x+2)\\ &=(x+2)(x^2-3). \end{aligned}$$

分组的目的不是机械地“前两项一组、后两项一组”，而是让两组里出现同一个括号。如果没有出现，就要重新考虑分法，或者换一种策略。

有时要把一项拆成两项

比如

$$x^2+5x+6.$$

我们要找两个数，乘积是 $6$，和是 $5$。这两个数是 $2$ 和 $3$，于是把 $5x$ 拆开：

$$\begin{aligned} x^2+5x+6 &=x^2+2x+3x+6\\ &=x(x+2)+3(x+2)\\ &=(x+2)(x+3). \end{aligned}$$

这也解释了为什么二次三项式分解时总在找“和”与“积”：中间项本来就是两个交叉乘积合并后的结果。

把复杂的一块暂时当成一个字母

看这个式子：

$$(x^2+3x)^2-4(x^2+3x)+4.$$

如果把 $x^2+3x$ 暂时记成 $u$，原式立刻变成

$$u^2-4u+4=(u-2)^2.$$

换回来就是

$$(x^2+3x-2)^2.$$

这里最值钱的不是代换符号 $u$，而是“把重复出现的复杂表达式看成整体”的眼光。

式子越长，越值得先找重复结构。少算几步，也就少给符号错误机会。

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多项式除法到底在找什么

整数除法里，$17$ 除以 $5$ 可以写成

$$17=5\cdot 3+2.$$

多项式除法完全照着这个结构来。给定被除式 $P(x)$ 和非零除式 $D(x)$，我们要找商式 $Q(x)$ 与余式 $R(x)$，使

$$P(x)=D(x)Q(x)+R(x),$$

并且 $R(x)=0$，或者

$$\deg R<\deg D.$$

“余式的次数低于除式”不是附带要求，它决定了什么时候该停。

• 除式是一次式，余式只能是常数。
• 除式是二次式，余式最多是一次式。
• 如果被除式次数本来就低于除式，那么商是 $0$，余式就是被除式本身。

商与余式为什么不会有两套答案

假设同一次除法竟然得到两组结果：

$$P=DQ_1+R_1,$$ $$P=DQ_2+R_2,$$

其中 $R_1$、$R_2$ 的次数都低于 $D$。两式相减：

$$D(Q_1-Q_2)=R_2-R_1.$$

左边如果不是零，就是 $D$ 的倍数，次数至少不低于 $D$；右边的次数却低于 $D$。两边不可能同时成立，除非它们都为零。

因此

$$Q_1=Q_2,\qquad R_1=R_2.$$

也就是说，符合次数要求的商和余式是唯一的。

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长除法：反复消掉当前最高次项

长除法不靠猜。每轮都做四个动作：

$$\text{看首项}\longrightarrow\text{乘回去}\longrightarrow\text{相减}\longrightarrow\text{降下一项}.$$

我们完整计算

$$(2x^3+3x^2-8x+3)\div(x+3).$$

所以商式是 $2x^2-3x+1$，余式是 $0$：

$$2x^3+3x^2-8x+3=(x+3)(2x^2-3x+1).$$

每一轮先把最高次项消掉。只要次数对齐、括号符号处理正确，长除法就会稳稳往低次走。

再看一个余式不为零的例子

求

$$(3x^3-2x^2+5)\div(x^2+1)$$

的商式和余式。

除式是二次式，所以用长除法。被除式少了 $x$ 项，先写成

$$3x^3-2x^2+0x+5.$$

第一轮：

$$3x^3\div x^2=3x,$$ $$3x(x^2+1)=3x^3+3x.$$

相减：

$$(3x^3-2x^2+0x+5)-(3x^3+0x^2+3x+0) =-2x^2-3x+5.$$

第二轮：

$$-2x^2\div x^2=-2,$$ $$-2(x^2+1)=-2x^2-2.$$

相减得到

$$-3x+7.$$

余式的次数是 $1$，已经低于二次除式，可以停了。因此

$$Q(x)=3x-2,$$ $$R(x)=-3x+7.$$

用恒等式检查：

$$\begin{aligned} (x^2+1)(3x-2)+(-3x+7) &=3x^3-2x^2+3x-2-3x+7\\ &=3x^3-2x^2+5. \end{aligned}$$

完全回到被除式，计算通过。

长除法的三重检查

1. 看次数。 $m$ 次式除以 $n$ 次式且 $m\ge n$，商通常从 $m-n$ 次开始。
2. 看余式。 余式次数必须低于除式；否则还没除完。
3. 乘回去。 检查 $D(x)Q(x)+R(x)$ 是否等于原来的 。

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综合除法：把一次除法压缩成系数运算

当除式恰好是

$$x-k$$

时，长除法里的字母幂可以省略，只留下系数。这就是综合除法。

以

$$x^3-3x^2-4x+12$$

除以 $x-2$ 为例。因为除式是 $x-k$，这里 $k=2$。被除式系数依次为

$$1,\ -3,\ -4,\ 12.$$

流程很短，但每一步都有来源：

底行是

$$1,\ -1,\ -6,\ 0.$$

前三个数是二次商式的系数，最后一个数是余数：

$$Q(x)=x^2-x-6,\qquad R=0.$$

所以

$$x^3-3x^2-4x+12=(x-2)(x^2-x-6).$$

再分解二次式：

$$x^2-x-6=(x-3)(x+2),$$

最终得到

$$x^3-3x^2-4x+12=(x-2)(x-3)(x+2).$$

综合除法看起来像一条系数流水线。最底下一行的最后一个数是余数，前面的数按次数依次组成商式。

符号先看清：$x+5$ 对应哪个数

综合除法表里放的是 $k$，而除式必须写成 $x-k$。

$$x+5=x-(-5),$$

所以除以 $x+5$ 时，表里放的是 $-5$，不是 $5$。

再强调一次：看的是“让除式变成零的那个数”。

缺项照样要补零

如果

$$P(x)=x^4+3x-2,$$

系数队列必须写成

$$1,\ 0,\ 0,\ 3,\ -2.$$

漏掉两个 $0$，后面的 $3$ 就会被误当成 $x^3$ 的系数，整个次数对应都会错位。

普通综合除法的边界

普通综合除法最直接适用于首项系数为 $1$ 的一次除式 $x-k$。

如果除式是 $2x-1$，虽然它的零点是 $\frac12$，但

$$2x-1=2\left(x-\frac12\right).$$

除以 $x-\frac12$ 和除以 $2x-1$，商式会差一个常数倍。没有把这层关系处理清楚时，直接照抄普通综合除法的商，结果就会错。

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余式定理：只问余数，就别把整场除法做完

设 $P(x)$ 除以 $x-k$，根据除法原理可写成

$$P(x)=(x-k)Q(x)+R.$$

除式是一次式，所以余式 $R$ 只能是常数。

现在把 $x=k$ 代进去：

$$P(k)=(k-k)Q(k)+R=R.$$

于是得到余式定理：

$$\boxed{P(x)\text{ 除以 }x-k\text{ 的余式}=P(k)}.$$

这一步很漂亮。我们没有求出商式 $Q(x)$，只是把一个恰好能让除式变成 $0$ 的值代进去，整个商式项就消失了。

图像上的纵坐标 $P(k)$，正好就是除以 $x-k$ 的余数。它不一定为零；只有点落在 $x$ 轴上时，余数才为零。

例：直接代入求余数

求

$$P(x)=2x^4-3x^3+x-7$$

除以 $x-2$ 的余式。

因为 $k=2$，直接算

$$\begin{aligned} P(2) &=2\cdot 2^4-3\cdot 2^3+2-7\\ &=32-24+2-7\\ &=3. \end{aligned}$$

所以余式是 $3$。

这个题如果做长除法，也会得到同样答案，只是绕远了。

除式是 $ax+b$ 怎么办

让除式等于零：

$$ax+b=0$$

得到

$$x=-\frac ba.$$

若

$$P(x)=(ax+b)Q(x)+R,$$

代入 $x=-\frac ba$，同样会让含 $Q(x)$ 的那一项消失。因此余式是

$$P\left(-\frac ba\right).$$

注意，这个结论只直接告诉我们余式。商式仍然受除式首项系数 $a$ 的影响。

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因式定理：余数恰好为零时

余式定理说，$P(x)$ 除以 $x-k$ 的余式是 $P(k)$。如果这个数刚好等于 $0$，除法就整除了。

因此

$$\boxed{P(k)=0\quad\Longleftrightarrow\quad x-k\text{ 是 }P(x)\text{ 的因式}}.$$

这个结论是双向的：

• 已知 $P(k)=0$，就能确定 $x-k$ 是因式。
• 已知 $x-k$ 是因式，就能确定 $k$ 是零点。

代数里的因式 $x-k$，对应图像上的零点 $x=k$。同一件事，只是换了两种说法。

用一个零点把三次问题降成二次

设

$$P(x)=x^3-2x^2-5x+6.$$

先检查 $x=1$：

$$P(1)=1-2-5+6=0.$$

所以 $x-1$ 是因式。用综合除法除去它，系数

$$1,\ -2,\ -5,\ 6$$

在 $k=1$ 下得到

$$1,\ -1,\ -6,\ 0.$$

于是

$$P(x)=(x-1)(x^2-x-6).$$

继续分解二次因式：

$$x^2-x-6=(x-3)(x+2).$$

最终

$$P(x)=(x-1)(x-3)(x+2).$$

零点就是

$$x=1,\quad x=3,\quad x=-2.$$

这条路线值得养成习惯：找到一个零点，拿掉一个一次因式，次数就降一层。

不同零点会带来不同的一次因式

如果 $r_1,r_2,\ldots,r_m$ 是 $P(x)$ 的互不相同的零点，那么可以逐个除去

$$x-r_1,\ x-r_2,\ \ldots,\ x-r_m,$$

从而得到

$$(x-r_1)(x-r_2)\cdots(x-r_m)$$

是 $P(x)$ 的因式。

一个 $n$ 次非零多项式最多只有 $n$ 个互不相同的零点。理由很直接：如果有 $n+1$ 个不同零点，$P(x)$ 就必须含有 $n+1$ 个一次因式，它的次数至少是 $n+1$，这与原来的 次矛盾。

重复零点要单独看

例如

$$x^2-2x+1=(x-1)^2.$$

它只有一个不同的零点 $x=1$，但因式 $x-1$ 出现了两次。我们说 $x=1$ 是二重零点。

“至多 $n$ 个不同零点”说的是零点有多少个不同取值；“某个零点是几重”说的是同一个一次因式重复了几次。两件事别混在一起。

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一套实用的因式分解顺序

因式分解没有一张万能表，但可以按下面的顺序扫描。每一步都很具体。

1. 所有项有没有公因式？
2. 能不能认出平方差、完全平方、立方和或立方差？
3. 四项式能不能分组，制造相同括号？
4. 有没有重复出现的复杂整体，可以先代换？
5. 对高次一元多项式，能不能试出一个零点，再用因式定理降次？
6. 当前数系里是否已经分解完全？

最后一点容易忽略。比如

$$x^4-16=(x^2-4)(x^2+4)=(x-2)(x+2)(x^2+4).$$

在实数范围内，$x^2+4$ 没有实零点，不能再分成两个一次实因式；若进入复数范围，情况才会改变。

例：用因式定理降次

分解

$$P(x)=2x^3-x^2-13x-6.$$

试 $x=3$：

$$P(3)=2\cdot 27-9-39-6=54-9-39-6=0.$$

所以 $x-3$ 是因式。综合除法得到商式

$$2x^2+5x+2.$$

再分解：

$$2x^2+5x+2=(2x+1)(x+2).$$

因此

$$P(x)=(x-3)(2x+1)(x+2).$$

乘回去检查：

$$(2x+1)(x+2)=2x^2+5x+2,$$ $$(x-3)(2x^2+5x+2)=2x^3-x^2-13x-6.$$

每一项都回来了。

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几个特别容易踩的坑

坑一：不同次数硬合并

错误：

$$3x^2+5x=8x^2.$$

这里 $x^2$ 和 $x$ 不同类，正确结果只能保持为

$$3x^2+5x.$$

坑二：减号只改了括号里的第一项

错误写法常常长这样：

$$(2x^2+3x-1)-(x^2-4x+6)=x^2+7x+5.$$

最后的 $+6$ 也要变号。正确计算是

$$\begin{aligned} 2x^2+3x-1-x^2+4x-6 &=x^2+7x-7. \end{aligned}$$

坑三：平方公式丢了中间项

$$(x-4)^2=x^2-8x+16,$$

不是 $x^2+16$，也不是 $x^2-16$。

坑四：长除法上下没有对齐

若某一轮乘回去得到 $-3x^2-9x$，就必须把 $-3x^2$ 写在 $x^2$ 列，把 $-9x$ 写在 列。写歪一列，相减的对象就变了。

坑五：综合除法忘记补零

$$x^4+3x-2$$

的系数是

$$1,\ 0,\ 0,\ 3,\ -2,$$

不是 $1,3,-2$。

坑六：把 $x+2$ 对应成 $k=2$

$$x+2=x-(-2),$$

所以应该代入或放入综合除法表的是 $-2$。

坑七：把余式定理和因式定理混成一句

余式定理适用于任意余数：

$$P(x)\div(x-k)\text{ 的余式}=P(k).$$

因式定理只在余数为零时判断因式：

$$P(k)=0\Longleftrightarrow x-k\text{ 是因式}.$$

两个定理紧挨着，但问题类型不一样。

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典型例题：把方法选对

例题一：已知余式，求参数

已知

$$P(x)=x^3+ax^2-4x+6$$

除以 $x-2$ 的余式为 $10$，求 $a$。

检查一下：当 $a=1$ 时，

$$P(2)=8+4-8+6=10,$$

和题设一致。

例题二：分组比分别试根更快

分解

$$P(x)=x^3+4x^2-x-4$$

并求零点。

这个题当然也能先试零点，但分组结构已经摆在眼前，没必要绕路。

例题三：只判断因式，不分解整个多项式

判断 $x+2$ 是否为

$$P(x)=3x^4+x^3-8x+4$$

的因式。

因为

$$x+2=x-(-2),$$

只需计算

$$\begin{aligned} P(-2) &=3(-2)^4+(-2)^3-8(-2)+4\\ &=48-8+16+4\\ &=60. \end{aligned}$$

结果不为 $0$，所以 $x+2$ 不是因式。这里最值得注意的是：即便不是因式，我们仍然顺手知道了除以 $x+2$ 的余式是 $60$。

例题四：已知多个零点，拼出多项式

一个三次多项式的零点是 $-2,1,3$，首项系数为 $2$。求它的因式形式，并展开。

三个零点分别对应

$$x+2,\quad x-1,\quad x-3.$$

首项系数是 $2$，所以

$$P(x)=2(x+2)(x-1)(x-3).$$

先乘后两个因式：

$$(x-1)(x-3)=x^2-4x+3.$$

再乘 $x+2$：

$$\begin{aligned} (x+2)(x^2-4x+3) &=x^3-4x^2+3x+2x^2-8x+6\\ &=x^3-2x^2-5x+6. \end{aligned}$$

最后乘首项系数 $2$：

$$P(x)=2x^3-4x^2-10x+12.$$

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练习

基础运算

1. 化简：

$$(5x^3-2x+7)+(-3x^3+4x^2+x-9).$$

显示答案

按次数合并：$(5-3)x^3+4x^2+(-2+1)x+(7-9)$，答案是 。

2. 化简：

$$(4x^2-3x+5)-(x^2+2x-7).$$

显示答案

先把减号分配进去：$4x^2-3x+5-x^2-2x+7$，所以答案是 $3x^2-5x+12$。

3. 展开并合并：

$$(2x-3)(x^2+4x-1).$$

显示答案

$2x$ 乘三项得到 $2x^3+8x^2-2x$，$-3$ 乘三项得到 $-3x^2-12x+3$。合并后为 。

4. 不做普通竖式，计算 $102\times 98$。

显示答案

$102\times 98=(100+2)(100-2)=100^2-2^2=9996$。

因式分解

5. 分解：

$$12x^3-18x^2.$$

显示答案

先提最大公因式 $6x^2$，得到 $6x^2(2x-3)$。

6. 分解：

$$x^4-81.$$

显示答案

$x^4-81=(x^2)^2-9^2=(x^2-9)(x^2+9)=(x-3)(x+3)(x^2+9)$。这是实数范围内的完全分解。

7. 分解：

$$x^3+5x^2-4x-20.$$

显示答案

分组：$x^2(x+5)-4(x+5)=(x+5)(x^2-4)=(x+5)(x-2)(x+2)$。

8. 分解：

$$x^3-8.$$

显示答案

这是立方差：$x^3-2^3=(x-2)(x^2+2x+4)$。乘回去时中间的 与 、 与 会抵消。

除法、余式与因式

9. 求

$$x^3+2x^2-5x-6$$

除以 $x+2$ 的余式。

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$x+2=x-(-2)$，余式是 $P(-2)$。计算 $-8+8+10-6=4$，所以余式为 。

10. 判断 $x-3$ 是否为

$$P(x)=x^3-6x^2+11x-6$$

的因式。

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$P(3)=27-54+33-6=0$，所以 $x-3$ 是因式。

11. 已知 $x+1$ 是

$$P(x)=x^3+2x^2-5x-6$$

的因式，求完全分解式。

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除以 $x+1$ 时取 $k=-1$。综合除法得到商式 $x^2+x-6=(x+3)(x-2)$，所以 。

12. 求参数 $m$，使 $x-2$ 是

$$P(x)=x^3+mx^2-7x+2$$

的因式。

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由因式定理，$P(2)=0$。所以 $8+4m-14+2=0$，即 $4m-4=0$，得到 。

13. 不做长除法，求

$$2x^4-x^3+5x-8$$

除以 $x+1$ 的余式。

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余式是 $P(-1)=2+1-5-8=-10$。

14. 求

$$x^4-5x^2+4$$

除以 $x^2-1$ 的商和余式。

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先补出缺项再做长除法，得到商 $x^2-4$、余式 $0$。检查：$(x^2-1)(x^2-4)=x^4-5x^2+4$。

15. 用综合除法把

$$2x^3-3x^2-11x+6$$

除以 $x-3$，再完全分解。

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系数 $2,-3,-11,6$ 在 $k=3$ 下得到底行 $2,3,-2,0$，所以商为 $2x^2+3x-2=(2x-1)(x+2)$。原式为 。

结构判断

16. 化简并分解：

$$(x^2+3x)^2-5(x^2+3x)+6.$$

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令 $u=x^2+3x$，原式为 $u^2-5u+6=(u-2)(u-3)$。换回得到 。

17. 一个四次非零多项式已经找到五个互不相同的实数零点。这可能吗？

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不可能。四次非零多项式最多有四个互不相同的零点。若有五个，就必须含有五个不同的一次因式，次数至少为五。

18. 已知 $P(x)$ 除以 $x-1$ 的余式是 $4$。能否据此断定 $x-1$ 是 $P(x)$ 的因式？

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不能。余式为 $4$ 表示 $P(1)=4\neq 0$，反而说明 $x-1$ 不是因式。只有余式为 $0$ 时才能使用因式定理。

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小结：把一章内容收成一条主线

多项式加减法是在整理相同次数的系数。乘法靠分配律，特殊乘法公式只是把反复出现的展开结果提前记住。因式分解则反过来寻找乘法结构，做完后随时可以乘回去检查。

除法的核心恒等式是

$$P(x)=D(x)Q(x)+R(x),\qquad R=0\text{ 或 }\deg R<\deg D.$$

长除法每轮消掉当前最高次项；综合除法是在除式为 $x-k$ 时，把同一过程压缩到系数表中。

最后，余式定理和因式定理把代入、除法、因式、零点连成了一条线：

$$P(x)\div(x-k)\text{ 的余式}=P(k),$$ $$P(k)=0\Longleftrightarrow x-k\text{ 是 }P(x)\text{ 的因式}.$$

以后再碰到多项式题，别急着把式子铺满一页。先看看它长什么样：能不能提，能不能配，能不能代，能不能降次。计算当然重要，但选对入口，往往才是真正省力的地方。