指数方程与对数方程

有些方程的未知量站在“普通位置”，比如 $3x+5=11$；有些却把未知量藏到了指数上：

$$2^x=7$$

这时你不能把 $x$ 像系数那样直接挪下来。真正的问题是：2 要乘自己多少次，结果才会变成 7？ 对数就是用来回答这句话的。

对数方程看起来走的是反方向。比如：

$$\log_2(x-1)=5$$

它其实在说：“$x-1$ 是 $2$ 的几次方？”只要把这层意思翻回来，方程就会变成 $x-1=2^5$。

本章不打算让你背一串彼此孤立的招式。我们会反复练同一个判断顺序：未知量在哪里？能不能同底？取对数之前有没有把指数项单独留下？对数的真数是否都为正？候选答案回到原方程以后还能不能成立？

---

先把地基踩稳：幂、对数和一对一

指数函数为什么能“比较指数”

设 $b>0$ 且 $b\ne1$。函数 $y=b^x$ 在整个实数范围内要么一直增加，要么一直减少：

• 当 $b>1$ 时，$x$ 越大，$b^x$ 越大；
• 当 $0<b<1$ 时，$x$ 越大， 反而越小。

方向虽然相反，却有一个共同点：不同的 $x$ 不会得到同一个函数值。因此：

$$b^m=b^n\quad\Longleftrightarrow\quad m=n$$

这里有个容易忽略的细节。底数小于 $1$ 时，指数函数是递减的，但它仍然是一对一函数。所以：

$$\left(\frac13\right)^{2x-1}=\left(\frac13\right)^5$$

照样可以直接得到 $2x-1=5$，不需要把不等号方向之类的规则硬搬过来——这是方程，不是不等式。

对数是指数运算的反向追问

只要 $b>0$、$b\ne1$ 且 $M>0$，下面两句话完全等价：

$$b^y=M$$ $$y=\log_b M$$

例如 $2^5=32$，反过来就是 $\log_2 32=5$。这里的 $32$ 必须为正，因为任何合法底数的实数次幂都只能得到正数。于是，对数一出现，就自带一道门槛：

$$\log_b M\text{ 有实数意义}\quad\Longleftrightarrow\quad M>0$$

零不能进去，负数也不能进去。“真数不等于零”还不够，必须是严格大于零。

幂的规则为什么重要

同底化常常要用到：

$$a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n},\qquad (a^m)^n=a^{mn}$$

在本章使用的正底数条件 $a>0$ 下，这些规则不只对正整数指数有用。负指数、零指数和分数指数也按同一套结构工作。例如：

$$8^{2x-3}=(2^3)^{2x-3}=2^{6x-9}$$

你会发现，同底化并不是“猜一个相同的数”，而是在守住幂运算的结构。

---

先给方程分型，再动笔

下面几类外观值得一眼认出来：

顺序很重要。很多错题不是不会算，而是第一步选错了工具。

---

同底化：最短的路通常先藏在底数里

已经同底，直接比较指数

求解：

$$3^{2x-1}=81$$

先认出 $81=3^4$：

$$3^{2x-1}=3^4$$

底数 $3$ 合法，而且指数函数是一对一的，所以：

$$2x-1=4$$ $$x=\frac52$$

回代时，左边指数是 $2\times\frac52-1=4$，确实得到 $3^4=81$。

底数不同，但能拆到同一个基本底数

求解：

$$4^{x+1}=8^{2x-3}$$

看到 $4$ 和 $8$，先别急着按计算器。它们都是 $2$ 的幂：

$$(2^2)^{x+1}=(2^3)^{2x-3}$$

把“幂的幂”展开：

$$2^{2x+2}=2^{6x-9}$$

于是：

$$2x+2=6x-9$$ $$x=\frac{11}{4}$$

这类题的关键判断是“底数之间有没有明显的幂关系”。常见组合有 $4,8,16$，$9,27,81$，以及 $\frac14,2,8$。如果底数是 和 ，通常就没有必要硬凑。

相同指数块出现多次，先提取公因式

求解：

$$5^x+5^{x+1}=150$$

第二项里藏着同一个 $5^x$：

$$5^{x+1}=5\cdot5^x$$

所以：

$$5^x+5\cdot5^x=150$$ $$6\cdot5^x=150$$ $$5^x=25=5^2$$

因此 $x=2$。

这里如果一上来就取对数，会碰到 $\ln(5^x+5^{x+1})$。对数不能拆加法，路反而绕远了。

把 $b^x$ 当作一个整体

求解：

$$3^{2x}-10\cdot3^x+9=0$$

注意 $3^{2x}=(3^x)^2$。令：

$$u=3^x$$

而且 $u>0$。原方程变成：

$$u^2-10u+9=0$$ $$(u-1)(u-9)=0$$

于是 $u=1$ 或 $u=9$。换回去：

$$3^x=1=3^0\quad\Rightarrow\quad x=0$$ $$3^x=9=3^2\quad\Rightarrow\quad x=2$$

所以解集是：

$$\{0,2\}$$

---

取对数：把指数从上标位置请下来

同底化做不到时，对数才真正上场。设 $A\ne0$、$b>0$ 且 $b\ne1$，最稳的模板是：

$$A\cdot b^{u(x)}=C$$

先把指数项单独留下：

$$b^{u(x)}=\frac CA$$

只有当 $\frac CA>0$ 时，实数解才可能存在。随后两边取同一种对数：

$$u(x)\ln b=\ln\frac CA$$

一步一步解一个不能同底化的方程

求解：

$$3\cdot2^{0.4t}=27$$

把近似值放回去做数量级检查：$0.4t\approx3.17$，而 $2^{3.17}$ 接近 $9$；再乘 $3$，确实接近 $27$。

取常用对数还是自然对数

都可以。若用常用对数：

$$0.4t\log2=\log9$$ $$t=\frac{\log9}{0.4\log2}$$

若用自然对数：

$$t=\frac{\ln9}{0.4\ln2}$$

两种写法给出同一个数。实际计算时，整道题保持同一种对数就行。

先判断有没有实数解

看方程：

$$2^x=-3$$

任何实数 $x$ 都有 $2^x>0$，所以这个方程没有实数解。不能对右边取 $\ln(-3)$，也没必要继续变形。

再看：

$$5-2^x=8$$

整理后是 $2^x=-3$，仍然无解。这个小检查越早做，越省时间。

对数不能拆开加法

从：

$$2+3^x=11$$

直接写成：

$$\ln2+x\ln3=\ln11$$

是错的，因为不存在 $\ln(M+N)=\ln M+\ln N$ 这条规则。正确做法是先移项：

$$3^x=9$$

所以 $x=2$。

---

换底公式：把陌生底数翻成计算器认识的语言

计算器通常直接提供 $\log$ 和 $\ln$，却未必有 $\log_3$ 按键。换底公式解决的就是这件事：

$$\log_a b=\frac{\ln b}{\ln a}$$

也可以写成：

$$\log_a b=\frac{\log b}{\log a}$$

其中必须满足：

$$a>0,\qquad a\ne1,\qquad b>0$$

公式从哪里来

设：

$$y=\log_a b$$

按对数定义，这等价于：

$$a^y=b$$

两边取自然对数：

$$\ln(a^y)=\ln b$$ $$y\ln a=\ln b$$

因为 $a\ne1$，所以 $\ln a\ne0$，可以相除：

$$y=\frac{\ln b}{\ln a}$$

换回 $y=\log_a b$，公式就得到了。

用换底公式保留精确结构

求解：

$$7\cdot3^{2x-1}=50$$

先孤立指数项：

$$3^{2x-1}=\frac{50}{7}$$

转成对数形式：

$$2x-1=\log_3\frac{50}{7}$$

所以精确解是：

$$x=\frac{1+\log_3(50/7)}{2}$$

计算近似值时再换底：

$$x=\frac{1+\frac{\ln(50/7)}{\ln3}}{2}\approx1.395$$

不要在中间步骤过早把对数截成两三位小数。保留精确式到最后，累计误差会小很多。

---

对数方程：第一行先写定义域

解对数方程时，定义域不是最后补的一句，它是整个变形过程的护栏。

例如：

$$\log(x-1)+\log(x+2)=1$$

原方程同时要求：

$$x-1>0,\qquad x+2>0$$

取交集得到：

$$x>1$$

这行条件应该在合并对数之前写下来。

单个对数：直接转成指数式

求解：

$$\log_2(x-1)=5$$

定义域：

$$x-1>0\quad\Rightarrow\quad x>1$$

转成指数式：

$$x-1=2^5=32$$ $$x=33$$

$33$ 在定义域内，因此它是原方程的解。

同底对数相等：比较真数

求解：

$$\ln(2x+1)=\ln(7-x)$$

先写两个真数的条件：

$$2x+1>0,\qquad 7-x>0$$

因此：

$$-\frac12<x<7$$

两边是同底对数，可以比较真数：

$$2x+1=7-x$$ $$x=2$$

$2$ 落在 $(-\frac12,7)$ 中，所以保留。

多个对数：先保留原条件，再合并

继续解：

$$\log(x-1)+\log(x+2)=1$$

我们已经得到原定义域 $x>1$。现在才合并：

$$\log((x-1)(x+2))=1$$

这里的 $\log$ 是常用对数，所以：

$$(x-1)(x+2)=10$$

展开并整理：

$$x^2+x-12=0$$ $$(x-3)(x+4)=0$$

候选答案是 $x=3$ 和 $x=-4$。原方程要求 $x>1$，所以只保留：

$$x=3$$

为什么不能只检查 $(x-1)(x+2)>0$？因为乘积为正时，两个因式也可能同时为负；可原式里的两个对数要求每个真数分别为正。合并后的式子比原式“宽”了，这正是增根可能出现的地方。

---

三类稍复杂的对数方程

对数作差：合并成商

求解：

$$\log_2(x+6)-\log_2x=3$$

定义域要求：

$$x+6>0,\qquad x>0$$

所以 $x>0$。合并左边：

$$\log_2\frac{x+6}{x}=3$$

转成指数式：

$$\frac{x+6}{x}=2^3=8$$ $$x+6=8x$$ $$x=\frac67$$

它大于 $0$，因此成立。

底数不同：先统一对数语言

求解：

$$\log_2x=\log_4(x+6)$$

先写定义域：

$$x>0,\qquad x+6>0$$

交集是 $x>0$。因为 $4=2^2$：

$$\log_4(x+6)=\frac{\log_2(x+6)}{\log_24}=\frac12\log_2(x+6)$$

原方程变成：

$$2\log_2x=\log_2(x+6)$$

左边可以写成 $\log_2(x^2)$：

$$\log_2(x^2)=\log_2(x+6)$$

于是：

$$x^2=x+6$$ $$(x-3)(x+2)=0$$

候选根为 $3$ 和 $-2$。定义域要求 $x>0$，所以解只有：

$$x=3$$

这里若忘记第一行定义域，$-2$ 很容易混进最终答案。

把整个对数看成未知量

求解：

$$(\log_2x)^2-3\log_2x-4=0$$

定义域只有一条：$x>0$。令：

$$u=\log_2x$$

得到：

$$u^2-3u-4=0$$ $$(u-4)(u+1)=0$$

所以 $u=4$ 或 $u=-1$。换回去：

$$\log_2x=4\quad\Rightarrow\quad x=16$$ $$\log_2x=-1\quad\Rightarrow\quad x=\frac12$$

两个数都为正，因此解集是：

$$\left\{\frac12,16\right\}$$

---

增根到底是怎么来的

增根并不神秘。它通常表示：某一步变形把原方程不允许的输入也放进来了。

看方程：

$$\log x+\log(x+3)=1$$

原定义域是：

$$x>0$$

合并并转成指数式：

$$\log(x(x+3))=1$$ $$x(x+3)=10$$ $$x^2+3x-10=0$$ $$(x-2)(x+5)=0$$

代数方程给出 $x=2$ 和 $x=-5$。但 $x=-5$ 会让 $\log x$、$\log(x+3)$ 都失去实数意义，所以它不是原方程的解。最终只有：

$$x=2$$

最稳的检查方式不是只看“合并后的真数乘积是否为正”，而是回到原方程，逐个检查每个对数真数。

---

代数解不漂亮时：用图像和数值判断

有些方程有明确的实数解，却不能靠本章的初等变形写出整洁公式。例如：

$$\ln x=3-x$$

先别乱试公式。把它改写成两条曲线：

$$y=\ln x,\qquad y=3-x$$

定义域要求 $x>0$。在这个范围内，$\ln x$ 严格增加，$3-x$ 严格减少，所以两条曲线至多相交一次。再试两个数：

$$x=2:\quad \ln2<1=3-2$$ $$x=3:\quad \ln3>0=3-3$$

交点一定在 $2$ 和 $3$ 之间，而且只有一个。继续二分或用计算器求交点，可得：

$$x\approx2.208$$

图像在这里承担两项任务：先判断解有几个，再给出解的大致区间。数值工具负责把区间缩小。最后仍要代回比较两边数值，确认近似精度。

---

应用题：先认清模型，再解释时间单位

应用题最常问的不是“最后有多少”，而是“什么时候达到某个量”。这正好把未知量放到了指数上。

离散复利：每个计息周期结算一次

本金为 $P$，名义年利率为 $r$，每年计息 $n$ 次，经过 $t$ 年后的金额是：

$$A(t)=P\left(1+\frac rn\right)^{nt}$$

一笔 $5000$ 元的本金，名义年利率为 $4\%$，按季度复利。问多久达到 $8000$ 元。

这里 $n=4$，所以：

$$8000=5000\left(1+\frac{0.04}{4}\right)^{4t}$$ $$1.6=1.01^{4t}$$

两边取自然对数：

$$\ln1.6=4t\ln1.01$$ $$t=\frac{\ln1.6}{4\ln1.01}\approx11.81$$

所以约 $11.81$ 年达到 $8000$ 元。若银行只在每个季度末入账，实际首次达到目标的时点还要按完整计息周期向上取整：$4t\approx47.24$ 个季度，因此要到第 $48$ 个季度，也就是 $12$ 年时才确认达到。

连续复利：增长在模型中连续发生

连续复利模型是：

$$A(t)=Pe^{rt}$$

同样是 $5000$ 元、年增长参数 $0.04$，达到 $8000$ 元时：

$$8000=5000e^{0.04t}$$ $$1.6=e^{0.04t}$$ $$t=\frac{\ln1.6}{0.04}\approx11.75$$

这两个结果接近，却不是同一个模型。按季度复利用的是 $1.01^{4t}$，连续复利用的是 $e^{0.04t}$。不要只看“利率都是 $4\%$”就混用公式。

半衰期：先把剩余量除以初始量

某物质的半衰期为 $6$ 小时。现在只剩初始量的 $20\%$，问经过了多久。

模型写成：

$$A(t)=A_0\left(\frac12\right)^{t/6}$$

“剩下 $20\%$”的意思是：

$$\frac{A(t)}{A_0}=0.2$$

于是：

$$0.2=\left(\frac12\right)^{t/6}$$

两边取自然对数：

$$\ln0.2=\frac t6\ln\frac12$$ $$t=6\cdot\frac{\ln0.2}{\ln(1/2)}\approx13.93$$

两个对数都是负数，所以比值为正，这和“经过时间应为正”一致。答案是约 $13.93$ 小时，不是“$13.93$ 个半衰期”。单位来自式子中的 $6$ 小时。

连续增长参数不等于普通百分比

一种细菌数量从 $200$ 增长到 $900$ 用了 $5$ 小时，模型为：

$$N(t)=N_0e^{kt}$$

代入数据：

$$900=200e^{5k}$$ $$4.5=e^{5k}$$ $$k=\frac{\ln4.5}{5}\approx0.301\ \text{小时}^{-1}$$

$k$ 是连续增长参数，单位是“每小时”。如果想换成一个完整小时后的实际倍数，要算：

$$e^k\approx1.351$$

所以该模型对应每小时约增长 $35.1\%$，不能把 $k=0.301$ 直接说成“每小时增长 $30.1\%$”。

对数尺度：数值差对应倍数差

在只讨论浓度倍数的简化模型中，pH 可用常用对数写为：

$$\mathrm{pH}=-\log[H^+]$$

若 pH 从 $8.1$ 降到 $8.0$，氢离子浓度之比为：

$$\frac{10^{-8.0}}{10^{-8.1}}=10^{0.1}\approx1.259$$

所以氢离子浓度约增加 $25.9\%$。pH 只变化 $0.1$，不表示浓度只变化 $0.1$ 个单位；对数尺度要用倍数解释。

---

综合例题：把判断顺序说出来

例一：两个不同底数都含未知指数

求解：

$$2^{x+1}=5^x$$

$2$ 和 $5$ 不能改成方便的同底。两边都为正，可以取自然对数：

$$(x+1)\ln2=x\ln5$$

展开并收集含 $x$ 的项：

$$x\ln2+\ln2=x\ln5$$ $$\ln2=x(\ln5-\ln2)$$

所以：

$$x=\frac{\ln2}{\ln5-\ln2}=\frac{\ln2}{\ln(5/2)}\approx0.756$$

合理性检查：$x=0$ 时左边为 $2$、右边为 $1$；$x=1$ 时左边为 $4$、右边为 $5$。交点落在 $0$ 与 之间，和近似值吻合。

例二：合并对数后出现二次方程

求解：

$$\log_2(x+4)+\log_2(x-1)=3$$

定义域：

$$x+4>0,\qquad x-1>0$$

所以 $x>1$。合并并转成指数式：

$$\log_2((x+4)(x-1))=3$$ $$(x+4)(x-1)=8$$ $$x^2+3x-12=0$$

求根公式给出：

$$x=\frac{-3\pm\sqrt{57}}2$$

定义域要求 $x>1$，因此只保留：

$$x=\frac{-3+\sqrt{57}}2\approx2.275$$

例三：底数小于 1 也能同底比较

求解：

$$\left(\frac14\right)^{x-2}=8^{1-2x}$$

两边都写成 $2$ 的幂：

$$(2^{-2})^{x-2}=(2^3)^{1-2x}$$ $$2^{-2x+4}=2^{3-6x}$$

比较指数：

$$-2x+4=3-6x$$ $$4x=-1$$ $$x=-\frac14$$

负指数不是问题。只要底数合法且同底，一对一性质照常使用。

例四：先换元，再排除不可能的指数值

求解：

$$4^x-3\cdot2^x-4=0$$

因为 $4^x=(2^x)^2$，令 $u=2^x$，并记住 $$：

$$u^2-3u-4=0$$ $$(u-4)(u+1)=0$$

得到 $u=4$ 或 $u=-1$。后者与 $u>0$ 冲突，排除。于是：

$$2^x=4=2^2$$ $$x=2$$

---

常见误区：知道错在哪里，才容易改掉

误区一：看见指数就立刻取对数

像 $5^x+5^{x+1}=150$ 这样的题，先提取 $5^x$ 会更短。取对数不是指数方程的唯一入口。

误区二：没有孤立指数项

对 $3+2^x=10$，应该先写 $2^x=7$，再取对数。不要尝试拆 $\ln(3+2^x)$。

误区三：把 $\log(M+N)$ 错拆

正确的是：

$$\log(MN)=\log M+\log N$$

不存在：

$$\log(M+N)=\log M+\log N$$

用一个数就能看出问题：$\log(100+10)=\log110$，而 $\log100+\log10=3$，两者显然不同。

误区四：把合并后的定义域当成原定义域

$\log M+\log N$ 要求 $M>0$ 且 $N>0$；$\log(MN)$ 只要求 。后一个范围可能更大，所以原条件必须保留。

误区五：中途过早取近似值

如果连续几步都把计算器结果截成三位小数，最终答案可能偏离要求。把 $\ln$ 式或根式保留到最后一步，再统一近似。

误区六：有单位，却没说明单位从哪里来

对 $0.2=(1/2)^{t/6}$，数字 $6$ 若表示小时，$t$ 才是小时。公式本身不会自动产生单位，单位来自变量和参数的定义。

误区七：应用题随手四舍五入

“约多少年”可以按精度四舍五入；“至少第几年”通常要向上取整；按季度结算时还要向上取到完整季度。文字条件决定取整方式。

---

一张可执行的解题清单

遇到指数方程，可以按下面顺序问：

1. 能不能先整理，把指数项孤立？
2. 两边能不能改写为同一个底数？
3. 是否反复出现同一个指数块，可以提取或换元？
4. 若不能同底，两边是否都为正，可以取对数？
5. 得到的近似值是否符合原式的数量级？

遇到对数方程，则换成另一套顺序：

1. 每一个真数分别要求什么？先写定义域并取交集。
2. 能否转成指数式、比较真数、合并对数或换元？
3. 变形有没有扩大允许的输入范围？
4. 候选根是否逐个通过原定义域？
5. 需要近似时，是否最后才按题意取位数？

---

练习与核对

A 组：结构判断

判断下列说法是否正确，并说明一句理由。

1. 若 $2^m=2^n$，则 $m=n$。
2. 若 $(1/3)^m=(1/3)^n$，因为底数小于 ，所以不能比较指数。

显示答案

1 正确，底数 $2$ 合法，指数函数是一对一的。2 错误，底数在 $0$ 与 $1$ 之间时函数虽递减，仍然是一对一的，所以仍有 $m=n$。3 错误，原式要求 $x-2>0$ 且 $x+5>0$，交集为 。4 正确，两边取自然对数即可。5 错误，对数没有拆加法的规则。6 错误，候选根还必须回到原方程检查每个真数和等式本身。

B 组：指数方程

1. 求解 $16^{x-1}=8^{x+2}$。

显示答案

写成以 $2$ 为底：$2^{4x-4}=2^{3x+6}$。所以 $4x-4=3x+6$，得到 。

2. 求解 $7^{x+1}=49^{2-x}$。

显示答案

$49=7^2$，所以 $7^{x+1}=7^{4-2x}$。比较指数：$x+1=4-2x$，因此 。

3. 求解 $4\cdot7^{2x}=25$。

显示答案

先孤立指数项：$7^{2x}=25/4$。取自然对数：$2x\ln7=\ln(25/4)$，所以 $x=\frac{\ln(25/4)}{2\ln7}\approx0.471$。

4. 求解 $2^{2x}-5\cdot2^x+4=0$。

显示答案

令 $u=2^x>0$，得到 $u^2-5u+4=0$，即 $$。于是 或 ，得到 或 。

5. 求解 $3^{x-1}+3^x=108$。

显示答案

$3^x=3\cdot3^{x-1}$，所以 $4\cdot3^{x-1}=108$，得到 ，因此 。

C 组：对数方程

1. 求解 $\log_3(x+5)=\log_3(2x-1)$。

显示答案

定义域要求 $x>-5$ 且 $x>1/2$，所以 $x>1/2$。比较真数：$x+5=2x-1$，得到 ，满足定义域。

2. 求解 $\log(x-3)+\log x=1$。

显示答案

定义域是 $x>3$。合并后有 $\log(x(x-3))=1$，所以 $x(x-3)=10$。解 ，候选根是 和 ；只有 满足定义域。

3. 求解 $\log_5(x+4)-\log_5(x-2)=1$。

显示答案

定义域是 $x>2$。合并为 $\log_5\frac{x+4}{x-2}=1$，所以 。解得 ，即 ，它满足 。

4. 求解 $(\ln x)^2-\ln x-2=0$。

显示答案

定义域是 $x>0$。令 $u=\ln x$，得 $(u-2)(u+1)=0$，所以 $$ 或 。因此 或 ，两者都合法。

5. 求解 $\log_3(x-1)+\log_3(x-3)=2$。

显示答案

定义域是 $x>3$。合并后 $(x-1)(x-3)=9$，即 $x^2-4x-6=0$。候选根为 ；只有 ，所以解为 。

D 组：应用题

1. 某城市人口按 $P(t)=P_0e^{0.018t}$ 增长。大约多少年后变为现在的 $1.5$ 倍？

显示答案

令 $P(t)/P_0=1.5$，得到 $1.5=e^{0.018t}$。所以 $t=\frac{\ln1.5}{0.018}\approx22.53$，约 年。

2. 某物质每 $12$ 天衰减一半。剩下原来的 $30\%$ 时，大约经过多少天？

显示答案

$0.3=(1/2)^{t/12}$。取自然对数得 $t=12\frac{\ln0.3}{\ln(1/2)}\approx20.84$，约 天。

3. 一笔 $10000$ 元的本金按年利率 $3.6\%$ 连续复利。多久后达到 $12000$ 元？

显示答案

$12000=10000e^{0.036t}$，所以 $t=\frac{\ln1.2}{0.036}\approx5.06$。约 年；若题目问至少整几年，则答第 年。

4. 某种药物按 $M(t)=80e^{-0.12t}$ 衰减，其中 $t$ 以小时计。药量降到 $30$ 毫克需要多久？

显示答案

$30=80e^{-0.12t}$，所以 $0.375=e^{-0.12t}$。取自然对数：$\ln0.375=-0.12t$，得到 小时。

E 组：策略挑战

1. 方程 $2^x=x+1$ 有哪两个容易看出的实数解？图像上还可能有更多吗？

显示答案

$x=0$ 时两边都是 $1$，$x=1$ 时两边都是 $2$。观察 $y=2^x$ 与 ，可以看到交点正是 与 。更严谨地说， 是严格凸函数，已经有两个零点后不可能再出现第三个零点，所以没有更多实数解。

2. 方程 $\log_2(x-1)=5-x$ 的解位于哪两个相邻整数之间？

显示答案

定义域是 $x>1$。令 $h(x)=\log_2(x-1)+x-5$，它在定义域内严格增加。，而 ，所以唯一解位于 与 之间。

---

本章小结

指数方程和对数方程其实在处理同一组关系：底数、指数和幂的结果。能同底时，比较指数最直接；重复出现同一个指数块时，提取或换元往往比取对数更短；底数无法统一时，先孤立指数项，再用对数把未知指数移到普通代数位置。

对数方程的重心则是定义域。每个真数都必须分别大于零，合并对数之前要保留原条件，求出候选根之后还要回到原式逐个筛选。实际问题再多一步：把数字翻译回情境，说明时间单位、增长参数的含义，以及为什么要四舍五入或向上取整。

如果你只记一条习惯，就记这个：先判断这一步是否合法，再问它算得快不快。 速度会随着练习自然提高，合法性却决定答案是不是原方程真正要的答案。