函数变换：平移、伸缩、翻折与组合

一条函数图像很少只以“原始样子”出现。测量数据可能整体偏高，声音波形可能被放大，抛物线的顶点可能从原点移到别处，有理函数的渐近线也可能离开坐标轴。函数变换讨论的就是这些变化：图像上的点怎样移动，表达式中的符号怎样记录这种移动。

这一章不把变换当成一张需要硬背的表。我们从点开始：如果原图上有点 $(u,f(u))$，变换后的图像会把这个点送到哪里？只要能追踪点，平移、伸缩、翻折和组合都会变得有迹可循。

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变换的共同语言：追踪点

函数图像是所有点 $(x,f(x))$ 的集合。做图像变换时，不必一次盯住整条曲线，可以先盯住一个可识别的点：顶点、端点、截距、拐点、渐近线旁的参考点，或者某个容易计算的点。

设原图上有一点

$$(u,v)=(u,f(u))$$

如果新函数是 $g$，我们关心的是这个点在 $g$ 的图像上变成什么。竖直方向的变化通常直接改 $v$；水平方向的变化通常通过“让括号里的输入重新等于 $u$”来决定新的 $x$。

例如，$f(x)+3$ 是把输出加 $3$，所以 $(u,v)$ 变成 $(u,v+3)$。而 $f$ 不是把点向左移 ，因为要让函数内部仍收到原来的 ，必须有 ，于是新的横坐标是 。

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输出变换：上下移动与纵向伸缩

输出变换发生在 $f(x)$ 的外面。它们对每个输入 $x$ 都做同样的输出处理，所以比较直观。

竖直平移

新函数

$$g(x)=f(x)+k$$

把原图上每个点 $(u,v)$ 变成

$$(u,v+k)$$

当 $k>0$ 时，图像整体上移 $k$ 个单位；当 $k<0$ 时，图像整体下移 $|k|$ 个单位。图像的形状、宽度、左右位置都没有改变。

输出加上同一个常数时，每个点的高度改变相同的量。

竖直平移会直接影响值域。例如 $f(x)=\sqrt{x}$ 的值域是 $[0,\infty)$，那么

$$g(x)=\sqrt{x}-4$$

的值域就是 $[-4,\infty)$。定义域仍然是 $[0,\infty)$，因为输入没有被改变。

纵向伸缩

新函数

$$g(x)=a f(x)$$

把原图上每个点 $(u,v)$ 变成

$$(u,av)$$

如果 $a>1$，点到 $x$ 轴的竖直距离变为原来的 $a$ 倍，图像看起来被拉高；如果 $0<a<1$，图像向 $x$ 轴压近；如果 $a<0$，除了伸缩以外，还会关于 轴翻折。

伸缩不是“图像变胖或变瘦”的口头感觉，而是坐标按固定倍数变化。

看一个具体例子。设

$$f(x)=x^2-2$$

则

$$g(x)=3f(x)-1=3(x^2-2)-1=3x^2-7$$

这里不能把 $-1$ 和原来括号里的 $-2$ 混成一次平移。正确理解是：先把原图每个输出乘以 $3$，再整体下移 $1$。原点处的输出从 $f(0)=-2$ 变成

$$g(0)=3\cdot(-2)-1=-7$$

这正是点 $(0,-2)$ 变为 $(0,-7)$。

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输入变换：左右移动与横向伸缩

输入变换发生在 $f$ 的括号里面。它们最容易让人误判方向，因为表达式不是直接告诉你“点的 $x$ 坐标加多少”，而是告诉你“函数收到的输入被怎样改写”。

水平平移

新函数

$$g(x)=f(x-h)$$

要让 $g$ 收到原函数的输入 $u$，必须满足

$$x-h=u$$

因此新横坐标是

$$x=u+h$$

所以原图上的 $(u,v)$ 会变成

$$(u+h,v)$$

当 $h>0$ 时，图像向右平移 $h$ 个单位；当 $h<0$ 时，图像向左平移 $|h|$ 个单位。

水平平移要从“哪个新的 x 能制造原来的输入”来判断方向。

例如 $f(x)=|x|$ 的顶点在 $(0,0)$。函数

$$g(x)=|x-5|$$

的顶点在哪里？顶点对应原函数输入 $0$，所以要让 $x-5=0$，得到 $x=5$。顶点变为 $(5,0)$，图像向右移动 $5$ 个单位。

横向伸缩

新函数

$$g(x)=f(bx)$$

要让函数内部收到原来的输入 $u$，必须满足

$$bx=u$$

所以新的横坐标是

$$x=\frac{u}{b}$$

原图上的点 $(u,v)$ 变成

$$\left(\frac{u}{b},v\right)$$

如果 $b>1$，横坐标变为原来的 $\frac{1}{b}$，图像向 $y$ 轴压缩；如果 $0<b<1$，横坐标变大，图像水平拉伸。若 ，还包含关于 轴的翻折。

在这个交互中拖动 $a,b,h,k$ 时，注意观察同一个参考点怎样移动。只看曲线的外观容易猜错，跟踪点更稳。

横向变化为什么常常“反着来”

很多错误来自一句口头规则：“括号里减就向右，加就向左。”这句话可以作为结果，但不适合作为理由。更可靠的理由是等式。

如果原函数的某个特征出现在输入 $u=4$ 处，那么在

$$g(x)=f(x-2)$$

中，这个特征会出现在满足 $x-2=4$ 的地方，也就是 $x=6$。图像向右移动，是因为同一个内部输入需要更大的外部 $x$ 才能得到。

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翻折：符号放在哪里，镜子就在哪里

翻折本质上是某个坐标取相反数。输出取相反数，就是关于 $x$ 轴翻折；输入取相反数，就是关于 $y$ 轴翻折。

关于 x 轴翻折

新函数

$$g(x)=-f(x)$$

把原图上每个点 $(u,v)$ 变成

$$(u,-v)$$

横坐标不变，纵坐标变成相反数，所以图像关于 $x$ 轴翻折。

关于 y 轴翻折

新函数

$$g(x)=f(-x)$$

要让内部输入等于 $u$，需要 $-x=u$，即 $x=-u$。原图上的点 $(u,v)$ 变成

$$(-u,v)$$

纵坐标不变，横坐标变成相反数，所以图像关于 $y$ 轴翻折。

符号在函数外面，改输出；符号在函数里面，改输入。

有些函数本身对称，翻折后看起来可能没有变化。例如 $f(x)=x^2$ 满足 $f(-x)=f(x)$，所以关于 $y$ 轴翻折后仍是原图。用这类函数练习翻折容易误以为自己判断对了，因此学习初期最好用不对称曲线检验理解。

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组合变换：先后关系不是口诀

组合变换常写成

$$g(x)=a f(b(x-h))+k$$

其中 $a$ 和 $k$ 改输出，$b$ 和 $h$ 改输入。追踪点时，设原图上一点为 $(u,v)$。要让新函数内部收到 $u$，需要

$$b(x-h)=u$$

解得

$$x=h+\frac{u}{b}$$

输出则变成

$$y=av+k$$

所以点映射为

$$(u,v)\to\left(h+\frac{u}{b},av+k\right)$$

组合变换可以拆成两个坐标问题：新的 x 从内部输入条件解出，新的 y 由输出表达式给出。

例题：从点映射画出组合变换

设一条基准函数 $f$ 经过三个点

$$(-2,1),\quad (0,-1),\quad (3,2)$$

现在定义

$$g(x)=-2f(3(x-1))+4$$

求这三个点在新图像上的对应点。

顺序什么时候会影响结果

如果一个变换改输入，另一个改输出，它们通常互不干扰。例如先右移再纵向拉伸，与先纵向拉伸再右移，会得到同一条最终图像。

但两个变换都作用在同一个方向时，顺序往往会改变结果。以 $f(x)=x^2$ 为例，先上移 $2$ 再纵向放大 $3$，得到

$$3(f(x)+2)=3x^2+6$$

先纵向放大 $3$ 再上移 $2$，得到

$$3f(x)+2=3x^2+2$$

这两条图像相差 $4$ 个单位，不可能是同一条。

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从图像读出变换

从图像反推变换时，不要一开始就盯着整条曲线。先找“能跟踪的特征”，再比较这些特征从原图到新图发生了什么。

常用特征包括：绝对值函数的顶点，二次函数的顶点和对称轴，平方根函数的端点，对数函数的竖直渐近线，有理函数的竖直和水平渐近线，指数函数的水平渐近线，以及明显的截距或经过点。

读图的核心不是猜公式，而是比较可追踪特征的位置和比例。

例题：由绝对值图像写式子

一条 V 形图像的顶点是 $(2,-3)$，开口向下，并且从顶点向右走 $1$ 个单位时，图像下降 $4$ 个单位。把它看作 $f(x)=|x|$ 的变换，写出函数式。

读图时的检查顺序

先找母函数。图像像 V 形、抛物线、根式曲线、指数曲线、对数曲线还是有理函数？母函数选错，后面的变换会全部偏掉。

再找位置特征。顶点、端点、渐近线和对称轴通常比随机点更稳定。它们能直接告诉你 $h$ 和 $k$。

接着看方向。开口向下、左右交换、分支换边，通常提示 $a<0$ 或 $b<0$。

最后看比例。比较从关键点出发的水平距离和竖直距离，判断是纵向伸缩还是横向伸缩。不要只凭“看起来变窄”就下结论，因为横向压缩和纵向拉伸在某些曲线上会显得相似。

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实际模型中的变换

函数变换不只用于画图题。现实模型常常先有一个基本形状，再根据单位、起点、基线和强度做调整。

例如，一个设备记录的温度变化形状可以用 $T(t)$ 描述。如果传感器延迟了 $2$ 分钟，读数还整体偏高 $0.6$ 摄氏度，校正后的模型可能写成

$$C(t)=T(t+2)-0.6$$

这里 $t+2$ 表示在当前时刻 $t$，我们使用原模型中更晚的输入来抵消延迟；$-0.6$ 表示把输出整体下调。

再看一个振动或声音的简化模型。若 $f(t)$ 表示标准波形，那么

$$g(t)=1.8f(4(t-0.5))+0.2$$

可以描述振幅变大、周期变短、整体延迟和基线抬高。虽然这里的母函数可能是三角函数，但变换语言仍然是同一套：输入控制时间位置和横向比例，输出控制高度和基线。

在后面的指数函数、对数函数、多项式函数和有理函数中，我们会反复用这套语言。例如指数模型的水平渐近线被 $+k$ 改变，有理函数的竖直渐近线被 $x-h$ 改变，多项式图像的端行为会被 $a$ 的正负和大小影响。

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常见误区与自检

自检题

给定 $f$ 的图像，描述下列函数相对于 $f$ 的变换。

1. $g(x)=f(x)+5$
2. $g(x)=f(x-4)$
3. $g(x)=2f(x)$

显示答案

1. 整体上移 $5$。
2. 整体右移 $4$。
3. 先纵向放大 $2$ 倍，再下移 $1$。
4. 横向压缩为原来的 $\frac{1}{3}$。
5. 先左移 $2$，再关于 轴翻折；这两个变换一个改输入、一个改输出，顺序不影响最终图像。

小结

函数变换的核心是坐标关系。$f(x)+k$ 改输出高度，$f(x-h)$ 改输入位置，$af(x)$ 改点到 $x$ 轴的竖直距离，$f(bx)$ 改点到 轴的水平距离；负号放在外面是关于 轴翻折，负号放在里面是关于 轴翻折。

当多个变换组合在一起时，别急着背顺序。把内部整理成 $b(x-h)$，把外部整理成 $af(\cdots)+k$，再追踪原图上的点：

$$(u,v)\to\left(h+\frac{u}{b},av+k\right)$$

这个式子既能帮你画图，也能帮你从图像反推表达式。