函数图像变换：别背方向，追踪一个点就够了

你大概见过这样的题：已知 $y=f(x)$ 的图像，要求你画出

很多人一看到四个参数就开始背口诀：括号外看上下，括号内看左右，里面的正负还要“反着来”……背到最后，最容易反的偏偏还是方向。

换一种办法。先别管整条曲线，只在原图上抓住一个点

然后问两句：新图上的哪个横坐标，会让函数括号里重新得到 $u$？原来的高度 $v$，在函数外面又被改成了多少？只要这两问答对，平移、伸缩、翻折，甚至几种变换叠在一起，都不会乱。

这一章就围绕这件事展开。你会看到，所谓“图像变换”，说到底就是坐标怎样变。

先把总框架摆在桌面上

最常见的组合形式是

其中先约定 $b\ne 0$。设 $P(u,v)$ 在 $y=f(x)$ 上，也就是 $v=f(u)$。为了在新函数中重新得到原来的输入 ，新横坐标 必须满足

解这个一次方程：

函数外面的部分直接处理输出。原来的 $v=f(u)$ 会变成

于是，整章最有用的一条坐标关系出现了：

别把四个参数挤在一起记：先解输入得到新横坐标，再处理输出得到新纵坐标。

你可以先记住它的“人话版”：

• 横坐标先除以 $b$，再加 $h$；
• 纵坐标先乘 $a$，再加 $k$。

这里的“先”说的是坐标计算顺序，不是在要求你机械地按某个顺序画四遍图。真正稳妥的做法始终是：让括号里的输入等于 $u$，再解出新的 $x$。

还有两个特殊情况值得先说清：

• 若 $a=0$，在原来允许的输入范围内，新函数的输出都等于 $k$，图像压到水平直线 $y=k$ 上；
• 若 $b=0$，括号里的输入永远是 $0$。当 $f(0)$ 有定义时，新函数只剩常数 ；若 没有定义，新式就没有有效输入。这已经不是把原图完整地伸缩或平移，所以讨论一般图像变换时会要求 。

改输出：图像上下走，高度成倍变

输出变化写在 $f(x)$ 的外面。对同一个 $x$，原函数先算出 $f(x)$，随后新函数再加工这个结果。所以这一类变化比较直观。

上下平移：$g(x)=f(x)+k$

原图上的点 $(u,v)$ 满足 $v=f(u)$。在新图上，同一个横坐标 $u$ 对应

因此

$k>0$ 时，每个点都上移 $k$ 个单位；$k<0$ 时，每个点都下移 $|k|$ 个单位。横坐标没动，图像的宽窄、左右位置、定义域也不会改变。

拿平方根函数试一下：

原图从 $(0,0)$ 开始，新图从 $(0,-4)$ 开始。定义域仍是 $[0,+\infty)$，因为输入条件 $x\ge0$ 没变；值域则从 $[0,+\mathrm{\infty })$ 变为 。

这个例子顺手提醒你：竖直平移通常改值域，不改定义域。

纵向伸缩：$g(x)=af(x)$

这一次横坐标仍然不动，但高度要乘以 $a$：

别只说“图像变窄”或“变宽”，那种说法在不同母函数上容易混淆。更准确的描述是看点到 $x$ 轴的有向距离：

• $a>1$：纵坐标的绝对值放大为原来的 $a$ 倍；
• $0<a<1$：纵坐标的绝对值缩小为原来的 $a$ 倍；
• $a<0$：先按 伸缩，再关于 轴翻折；

例如，原函数 $f(x)=x^2-2$ 上有点 $(0,-2)$。若

那么这个点的高度先乘 $3$，再减 $1$：

所以 $(0,-2)$ 变成 $(0,-7)$。直接展开也能复核：

代入 $x=0$，确实得到 $-7$。

同在输出方向，顺序可能会留下痕迹

以 $f(x)=x^2$ 为例。

先上移 $2$，再把所有高度放大 $3$ 倍：

先放大 $3$ 倍，再上移 $2$：

两条抛物线的顶点分别是 $(0,6)$ 和 $(0,2)$，显然不是同一条图。这里的坑在于：第一次做法里，上移产生的 $2$ 也被后面的“乘 $3$”一起放大了。

改输入：别看减号，去问“谁能制造原来的输入”

输入变化写在 $f$ 的括号里面。它最容易让人犯错，因为表达式描述的是函数“收到什么”，而不是点“往哪儿走”。

左右平移：$g(x)=f(x-h)$

假设原图的特征点出现在输入 $u$。在新函数里，要让括号内仍等于 $u$，就得有

于是

也就是

所以 $h>0$ 时向右移 $h$ 个单位，$h<0$ 时向左移 $|h|$ 个单位。

拿绝对值函数做一次不靠口诀的判断：

母函数 $|x|$ 的顶点来自“内部输入等于 $0$”。现在令

得到 $x=5$，所以顶点从 $(0,0)$ 移到 $(5,0)$。方向自然就是向右，不需要额外背“内减右移”。

定义域也可以这样追踪。若原函数的定义域是集合 $D$，那么 $f(x-h)$ 要有意义，就必须让 $x-h\in D$。因此新定义域是

例如 $f(x)=\sqrt{x}$ 的定义域是 $x\ge0$，而 $\sqrt{x-5}$ 要求 ，所以定义域变为 。端点也正好移到 。

横向伸缩：$g(x)=f(bx)$

还是从原图输入 $u$ 出发。新横坐标要满足

所以

点映射是

这就解释了为什么横向倍率看起来会“反着来”：

• $|b|>1$：横坐标绝对值变小，图像向 $y$ 轴压缩为原来的 $\frac1{|b|}$；
• $0<|b|<1$：横坐标绝对值变大，图像横向拉伸为原来的 ；

比如 $g(x)=f(3x)$。原图上横坐标为 $6$ 的点，会跑到新图的横坐标 $2$，因为 $3\times2=6$。不是拉伸 $3$ 倍，而是压缩到原来的 。

括号里有两项，先整理再判断

看到

时，直接把 $-6$ 当成“右移 $6$”会出错。先提出 $2$：

现在才看得清：横向压缩到原来的 $\frac12$，再把压缩后的坐标整体右移 $3$。用点来验算更干脆。若原点横坐标是 $u$，那么

给出

右移量确实是 $3$，不是 $6$。

翻折：负号在哪一层，镜子就管哪个坐标

函数外面有负号：关于 $x$ 轴翻折

原图点 $(u,v)$ 变为

横坐标不变，纵坐标取相反数，所以镜面是 $x$ 轴。原图在 $x$ 轴上方的部分会翻到下方，原来在下方的部分会翻到上方。位于 $x$ 轴上的点满足 $v=0$，翻折后仍在原位，因此零点不会改变。

函数里面有负号：关于 $y$ 轴翻折

要让内部输入得到 $u$，需要 $-x=u$，所以 $x=-u$。点映射是

纵坐标不变，横坐标取相反数，镜面就是 $y$ 轴。位于 $y$ 轴上的点不动。

有些函数本来就对称，翻折后看起来完全没变化。比如

如果你只用这种函数练习，很容易“看起来对了”，其实并没有真正判断。检查翻折时，最好选一条不对称曲线，或者跟踪一个横坐标不为 $0$ 的点。

再多走一步：在一般式 $f\bigl(b(x-h)\bigr)$ 中，如果 $b<0$，翻折的中心线不是总在 $y$ 轴。点的横坐标变为

以 $x=h$ 为参照，原来的有向距离 $u$ 先除以负数，方向会反过来。因此它可以理解为横向伸缩后，再关于直线 $x=h$ 翻折。

组合变换：把横坐标和纵坐标分开算

回到总形式

你不必在脑中同时播放四个动作。拿出原图点 $(u,v)$，横纵坐标分两条线处理：

最后合起来：

例题：三个点怎样搬到新图上

已知 $y=f(x)$ 经过

定义

求这三个点在新图上的对应点。

再做一次代数复核。以原图点 $(3,2)$ 为例，新横坐标是 $2$。代进新函数的内部：

正好回到原输入 $3$；输出则是

所以新点 $(2,0)$ 没有算错。

从新图倒着找原图点

点映射也可以逆着用。若新图上有点 $(X,Y)$，那么

例如

经过新图点 $(0,5)$。对应的原输入是

原输出是

所以原图一定经过 $(2,4)$。

哪些操作可以换序，哪些不行

一个只改横坐标的操作，和一个只改纵坐标的操作，彼此通常不干扰。比如“右移 $2$”与“纵向放大 $3$ 倍”，无论先做哪个，最终点坐标都是

但两个都改横坐标，或两个都改纵坐标，就要警惕。

表里不是在玩符号游戏。你可以盯住原点 $(0,0)$：前两种横向顺序会把它分别送到 $(1,0)$ 与 $(2,0)$；后两种纵向顺序会把它分别送到 $(0,6)$ 与 $(0,2)$。一个点就足以证明结果不同。

定义域和值域也会跟着坐标走

只画曲线还不够。变换后的定义域、值域，经常就是题目真正想问的东西。

设 $f$ 的定义域为 $D_f$，值域为 $R_f$，且 $b\ne0$。对

新定义域满足

等价地说，原定义域里的每个 $u$ 会变成

因此

若 $a\ne0$，值域则是

例如

先看定义域：

所以新图从 $x=4$ 开始。再看值域。原函数输出 $v\ge0$，经过 $y=-3v+1$ 后，一定有

端点 $(0,0)$ 根据点映射变成

正好同时说明定义域的左端点和值域的最高点。

若 $b<0$，处理区间端点时别忘了不等号方向会在除以负数时翻转。比如

要求

所以 $x\le1$，不是 $x\ge1$。

从图像反推函数式：先找“不会认错的特征”

给出表达式画图，是顺着做；给出图像写式子，是倒着做。倒推时最怕一开始盯着整条曲线凭感觉猜。更好的顺序是先找能稳定追踪的特征。

顶点、端点、渐近线和截距，比“看起来变胖还是变瘦”可靠得多。下面把这些线索逐类拆开。

第一步：认母函数

先看大轮廓：

母函数认错，后面参数即使算得再漂亮也没用。

第二步：用位置特征确定 $h$ 和 $k$

对

来说，顶点就是 $(h,k)$。

对

来说，端点也是 $(h,k)$。

对

来说，竖直渐近线是 $x=h$，水平渐近线是 $y=k$。

这些特征几乎是在图上直接把 $h,k$ 写给你。先拿下它们，式子就只剩倍率 $a$ 需要确定。

第三步：看方向，判断 $a$ 的正负

• V 形向上开口，$a>0$；向下开口，$a<0$；
• 抛物线向上开口，$a>0$；向下开口，$a<0$；
• 平方根分支从端点向右上走，$a>0$；向右下走，；

第四步：再取一个点，算出 $a$

位置和方向只能告诉你大致形状。要得到准确倍率，必须再找一个清楚的点代入。

例 1：由 V 形图像写式子

一条 V 形图像的顶点是 $(2,-3)$，开口向下；从顶点向右走 $1$ 个单位，图像下降 $4$ 个单位。求函数式。

先写顶点式：

向右走 $1$ 到达 $x=3$，此时纵坐标是 $-7$。代入：

所以

最终得到

例 2：由平方根图像写式子

一条根式曲线的端点是 $(-2,1)$，分支向右上方延伸，并经过 $(2,7)$。写出函数式。

端点给出

把 $(2,7)$ 代入：

因此 $a=3$，函数是

检查端点：代入 $x=-2$ 得 $y=1$；检查已知点：代入 $x=2$ 得 $y=7$。两处都对。

例 3：由渐近线和截距写有理函数

一条双曲线的竖直渐近线是 $x=2$，水平渐近线是 $y=-1$，并且经过 $x$ 轴上的点 $(6,0)$。把它看成 $\frac1x$ 的变换。

由两条渐近线先写成

代入 $(6,0)$：

所以 $a=4$，得到

别漏掉定义域：$x\ne2$。竖直渐近线不是图像的一部分。

例 4：由抛物线顶点和一点写式子

一条抛物线的顶点是 $(-1,2)$，并经过 $(1,10)$。设它由 $y=x^2$ 变换而来。

先写顶点式：

代入 $(1,10)$：

所以 $a=2$。函数式是

这里还有一个容易忽略的事实：参数未必唯一

如果母函数是幂函数，横向伸缩和纵向伸缩有时会给出同一条曲线。例如 $f(x)=x^2$ 时，

所以只看最终图像 $y=4x^2$，你既可以说它是 $y=x^2$ 纵向放大 $4$ 倍，也可以说它是横向压缩到原来的 $\frac12$。两种描述都对。

更一般地，若 $f(x)=x^n$，那么

因此从图反推时，最好把答案整理到题目指定的形式。若题目要求 $a f(x-h)+k$，就用纵向倍率；若要求 $f(b(x-h))+k$，再用横向倍率。没有指定时，说明一种正确变换即可，但要承认它可能不是唯一说法。

把二次式整理成“看得见顶点”的形式

图像变换不只帮助你画图，还能把一般二次函数的顶点直接读出来。

设

先把 $a$ 提出来：

括号里配方。因为

所以

现在它已经是顶点式。与

比较，得到

于是顶点坐标是

例如

配方：

所以它由 $y=x^2$ 经过纵向放大 $2$ 倍、右移 $3$、下移 $3$ 得到，顶点是 $(3,-3)$。展开复核：

这个复核很值得做。配方里一旦漏乘外面的 $a$，顶点纵坐标就会错。

实际模型里，参数分别在说什么

函数变换也可以看成对测量过程的校准。假设 $R(t)$ 是一个传感器记录到的曲线，但它把所有事件都晚记了 $2$ 分钟，而且读数整体偏高 $0.6$ 个单位。

若要把记录曲线向左挪回 $2$ 分钟，并把高度下调 $0.6$，可以写成

为什么是 $t+2$？假设记录曲线中的峰值出现在输入 $u=2$。校正后要让这个峰值回到 $t=0$，就需要 $t+2=2$。这仍然是“让内部重新得到原输入”的同一套逻辑。

再看一个简化波形：

它可以读成：

• 时间方向压缩到原来的 $\frac14$；
• 整体向右延后 $0.5$；
• 振幅放大 $1.8$ 倍；
• 基线抬高 $0.2$。

若原波形上的点是 $(u,v)$，校正后的点就是

现实题里的单位、延迟、基线和强度，看起来换了说法，背后仍然是横坐标与纵坐标的变化。

一套不容易翻车的检查流程

拿到一个变换式，可以按下面的顺序检查：

1. 先认清母函数 $f$，标出顶点、端点、截距、对称轴或渐近线。

2. 把函数整理成 $a f(b(x-h))+k$，尤其不要把 $f(2x-6)$ 中的 $6$ 直接当平移量。

练习：先自己追点，再展开答案

A. 描述变换

给定 $y=f(x)$ 的图像，描述下列新函数。

1. $g(x)=f(x)+5$
2. $g(x)=f(x-4)$
3. $g(x)=2f(x)$

B. 点映射与逆向追踪

已知 $f$ 经过 $(-2,1)$、$(0,-1)$、$(3,2)$，且

1. 写出三个对应点。
2. 若另一个函数 $q(x)=\frac12f(-2(x-1))+3$ 经过点 $(0,5)$，原图 上对应的点是什么？

C. 由图像信息写函数式

1. 一条绝对值图像顶点为 $(3,-2)$，开口向上，并经过 $(5,4)$。
2. 一条平方根曲线端点为 $(-1,2)$，向右下方延伸，并经过 $(3,-4)$。
3. 一条双曲线的渐近线为 $x=-2$ 和 ，并经过 。

D. 综合挑战

原函数 $f$ 上的三个点

在新函数

上依次变成

求 $a,b,h,k$。

小结：真正要记的是坐标，不是口令

竖直变化直接改输出：

水平变化要解内部输入：

负号在外面，纵坐标取反，关于 $x$ 轴翻折；负号在里面，横坐标取反，关于 $y$ 轴翻折。

几种变换合在一起时，最稳的一步仍然是

以后再遇到“括号里为什么反着来”，别急着回忆口诀。拿一个原图点，令内部输入重新等于 $u$，把新的横坐标解出来。你会发现，方向从来没有反着来；只是输入和点的位置，说的是同一件事的两面。

2. 由新点 $(X,Y)=(0,5)$ 倒推：

所以原图对应点是 $(2,4)$。

所以 $g(x)=3|x-3|-2$。

2. 设 $g(x)=a\sqrt{x+1}+2$。代入 $(3,-4)$：

所以 $g(x)=-3\sqrt{x+1}+2$，定义域为 $x\ge-1$，值域为 $y\le2$。

3. 设 $g(x)=\frac{a}{x+2}+3$。代入 $(-1,1)$：

所以 $g(x)=-\frac2{x+2}+3$，定义域中要排除 $x=-2$。

4. 设 $g(x)=a(x-2)^2+5$。代入 $(0,-3)$：

所以 $g(x)=-2(x-2)^2+5$。