幂、根式与有理指数

你已经会算 $2^3=8$。可要是指数变成 $0$、$-2$，甚至 $\frac{3}{5}$ 呢？

先别急着背新公式。真正值得追问的是：我们能不能让原来的指数规则一直保持一致？如果答案是“能”，那么零指数、负指数和分数指数就不是突然冒出来的三个补丁，而是同一条路自然延伸出去的结果。

这一章会沿着这条路慢慢走。你会看到：

• 正整数指数为什么是重复乘法；
• 为什么 $a^0$ 必须等于 $1$，而 $a^{-n}$ 必须表示倒数；
• 根号为什么只表示一个主值，解方程时却可能出现两个根；
• 有理指数怎样把幂和根式接成一种语言；
• 实数范围里的定义域为什么要先于化简；
• $y=x^r$ 的图像怎样被指数的正负、分子奇偶和分母奇偶共同决定。

整数指数沿着固定规律向左延伸；半指数则从“平方后回到底数”这件事单独长出来。

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从重复乘法开始

当 $n$ 是正整数时，$a^n$ 的意思很朴素：把 $n$ 个 $a$ 连乘。

$$a^n=\underbrace{a\cdot a\cdots a}_{n\text{ 个 }a}$$

这里 $a$ 叫底数，$n$ 叫指数。例如：

$$3^4=3\cdot3\cdot3\cdot3=81$$

这个定义一落地，几条指数法则就不需要死记了。你把乘法真的展开，它们自己会出现。

同底数相乘：指数相加

比如：

$$a^3\cdot a^4 =(a\cdot a\cdot a)(a\cdot a\cdot a\cdot a) =a^7$$

前面有 $3$ 个 $a$，后面有 $4$ 个 $a$，合起来就是 $7$ 个。因此：

$$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$$

这里有个小坑：必须是同底数，才能直接把指数相加。

$$2^3\cdot2^4=2^7$$

但 $2^3\cdot3^4$ 没有理由写成 $6^7$，也不能套“指数相加”。

同底数相除：指数相减

拿 $a^7\div a^3$ 来看。只要 $a\ne0$，分子分母可以约去三个 $a$：

$$\frac{a^7}{a^3} =\frac{a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a} {a\cdot a\cdot a} =a^4$$

所以：

$$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n} \quad(a\ne0)$$

条件 $a\ne0$ 不是装饰。原式有除法，底数为 $0$ 时分母可能直接变成 $0$。

幂再乘方：指数相乘

再看：

$$(a^3)^4 =a^3\cdot a^3\cdot a^3\cdot a^3 =a^{3+3+3+3} =a^{12}$$

于是：

$$(a^m)^n=a^{mn}$$

别把这条和同底数相乘混在一起：外面是乘方，指数相乘；外面是乘法，同底数的指数才相加。

积与商的乘方

把括号展开，也能得到：

$$(ab)^n=a^n b^n$$ $$\left(\frac{a}{b}\right)^n =\frac{a^n}{b^n} \quad(b\ne0)$$

例如：

$$(2x^3y)^2=4x^6y^2$$

括号里的系数、每一个因子都要平方。漏掉那个 $2$，是很常见的失误。

例题：把规则用完整

化简：

$$\frac{(2a^3b^2)^2\cdot a^4}{4a^5b} \quad(a\ne0,\ b\ne0)$$

算这类题时，顺序比速度重要：先看括号，再看乘除，最后再整理指数。

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零指数和负整数指数不是补丁

现在让指数沿着整数一步一步往左走。

$$2^4=16,\quad 2^3=8,\quad 2^2=4,\quad 2^1=2$$

指数每减少 $1$，数值就除以 $2$。如果这个规律不停下来，那么下一项只能是：

$$2^0=1$$

再往左：

$$2^{-1}=\frac12,\quad 2^{-2}=\frac14,\quad 2^{-3}=\frac18$$

这不是凭图猜出来之后就算完了。我们还要看它为什么被指数法则“逼”成这样。

为什么 $a^0=1$

只要 $a\ne0$，同一个非零数除以自己一定是 $1$：

$$\frac{a^k}{a^k}=1$$

而商的指数规则又希望它等于：

$$\frac{a^k}{a^k}=a^{k-k}=a^0$$

两边对上，只能定义：

$$a^0=1 \quad(a\ne0)$$

为什么负指数表示倒数

我们希望：

$$a^n\cdot a^{-n}=a^{n+(-n)}=a^0=1$$

那么 $a^{-n}$ 就必须是 $a^n$ 的乘法逆元：

$$a^{-n}=\frac{1}{a^n} \quad(a\ne0)$$

例如：

$$5^{-3}=\frac{1}{5^3}=\frac{1}{125}$$ $$(-2)^{-3} =\frac{1}{(-2)^3} =-\frac18$$

负号要看底数和指数的奇偶。负指数本身只负责“取倒数”，它不负责把答案变成负数。

把负指数移过分数线

常见的整理方式是：

$$\frac{a^{-2}b^3}{c^{-1}} =\frac{b^3c}{a^2}$$

你可以把它理解成：负指数因子移过分数线后，指数变正。但最好知道背后的原因仍然是倒数：

$$a^{-2}=\frac1{a^2},\qquad \frac1{c^{-1}}=\frac1{1/c}=c$$

例题：带负指数的化简

化简，并把答案写成只含正指数的形式：

$$\frac{6x^{-2}y^3}{3xy^{-1}} \quad(x\ne0, y\ne0)$$

系数先算，指数再减：

$$\frac{6}{3}x^{-2-1}y^{3-(-1)} =2x^{-3}y^4$$

把 $x^{-3}$ 写成倒数：

$$2x^{-3}y^4=\frac{2y^4}{x^3}$$

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根：把乘方倒着问

如果 $3^2=9$，那么从 $9$ 出发，能不能把底数 $3$ 找回来？这就是“开平方”在问的问题。

更一般地，给定整数 $n\ge2$，如果：

$$x^n=a$$

那么 $x$ 是 $a$ 的一个 $n$ 次方根。

不过这里马上会遇到一个分叉：方程的解，和根号符号表示的那个数，不完全是一回事。

方程在找所有可能的输入；根号作为函数记号，必须只交出一个确定的值。

偶次根：先看非负

任何实数的偶次幂都不小于 $0$。因此，当 $n$ 是偶数时：

• $a<0$：方程 $x^n=a$ 没有实数解；
• $a=0$：只有一个实数解 $x=0$；
• ：有两个实数解，互为相反数。

例如 $x^2=25$ 的两个解是：

$$x=5\quad\text{或}\quad x=-5$$

但根号 $\sqrt{25}$ 只表示非负的那个值：

$$\sqrt{25}=5$$

这个非负值叫主平方根。更一般地，对 $a\ge0$，$\sqrt[n]{a}$ 表示满足下面两个条件的唯一实数 $u$：

$$u\ge0,\qquad u^n=a$$

奇次根：负数也能开

奇次幂保留底数的正负，而且在实数轴上一直增加。因此每个实数 $a$ 都有唯一的奇次实根。

$$\sqrt[3]{-8}=-2$$

因为 $(-2)^3=-8$。同样：

$$\sqrt[5]{-32}=-2$$

这里没有“正负两个根”。奇次方程 $x^n=a$ 在实数范围内只有一个解。

两个方向别混在一起

根号和乘方互相抵消时，顺序不同，结果也可能不同。

先开根再乘方：

$$\left(\sqrt[n]{a}\right)^n=a$$

只要根式在实数范围内有意义，这条式子就成立。

反过来，先乘方再开根：

$$\sqrt[n]{a^n} = \begin{cases} |a|, & n\text{ 为偶数},\\ a, & n\text{ 为奇数}. \end{cases}$$

最熟悉的一条就是：

$$\sqrt{a^2}=|a|$$

为什么不是 $a$？取 $a=-4$ 试一下：

$$\sqrt{(-4)^2}=\sqrt{16}=4$$

而原来的 $a$ 是 $-4$。根号必须给出非负主值，所以绝对值不能丢。

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根式法则：每条公式都带着条件

根式能乘、能除，也能把完整的 $n$ 次幂提出去。但这些操作不是“看着像就拆”，它们依赖根式确实有实数值。

根式的乘法

当 $n$ 为偶数时要求 $a\ge0$、$b\ge0$；当 $n$ 为奇数时，只要两边都按实数奇次根解释即可。此时：

$$\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$$

以偶次根为例，右边两个根都是非负数，而且：

$$\left(\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}\right)^n =\left(\sqrt[n]{a}\right)^n \left(\sqrt[n]{b}\right)^n =ab$$

它正好满足 $ab$ 的主 $n$ 次根定义。

根式的除法

只要相关根式有意义，并且 $b\ne0$：

$$\sqrt[n]{\frac{a}{b}} =\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$$

分母为 $0$ 时不能继续，这个限制不会因为外面套了根号就消失。

根式不能拆加减

乘积能拆，不代表和也能拆。

$$\sqrt{a+b}\ne\sqrt a+\sqrt b$$

拿 $a=9$、$b=16$ 检验：

$$\sqrt{9+16}=5$$

但：

$$\sqrt9+\sqrt{16}=3+4=7$$

一个反例就足够说明，这不是合法恒等式。

提取完整的平方因子

化简根式时，先问一句：被开方数里藏着哪些完整平方？

先把完整平方与剩余部分拆开，再开根；不要跳过变量取值条件。

化简：

$$\sqrt{72x^5} \quad(x\ge0)$$

把数字和变量一起拆：

$$72x^5=36x^4\cdot2x$$

所以：

$$\sqrt{72x^5} =\sqrt{36x^4}\sqrt{2x} =6x^2\sqrt{2x}$$

这里 $x^2$ 本来就非负，因此不用再加绝对值。

偶次根提出去时为什么常有绝对值

化简：

$$\sqrt[4]{81x^{12}}$$

注意 $81x^{12}=(3x^3)^4$，于是：

$$\sqrt[4]{81x^{12}} =|3x^3| =3|x|^3$$

如果没有 $x\ge0$ 这样的条件，就不能擅自写成 $3x^3$。

嵌套根式

对 $a\ge0$ 和正整数 $m,n$：

$$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}$$

例如：

$$\sqrt{\sqrt[3]{64}}=\sqrt[6]{64}=2$$

分母有理化

如果分母只有一个平方根，可以分子分母同乘这个根式：

$$\frac{5}{\sqrt3} \cdot\frac{\sqrt3}{\sqrt3} =\frac{5\sqrt3}{3}$$

分母有两项时，常常要找共轭式。例如：

$$\frac{1}{2-\sqrt5} \cdot\frac{2+\sqrt5}{2+\sqrt5} =\frac{2+\sqrt5}{4-5} =-2-\sqrt5$$

共轭式好用，是因为中间项会在平方差中消失：

$$(u-v)(u+v)=u^2-v^2$$

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分数指数：让幂和根说同一种语言

现在问最关键的一步：$a^{1/2}$ 应该是什么？

如果乘方规则继续成立，那么：

$$\left(a^{1/2}\right)^2=a^{(1/2)\cdot2}=a$$

所以 $a^{1/2}$ 应该是“平方后得到 $a$”的那个主值：

$$a^{1/2}=\sqrt a$$

同理：

$$a^{1/3}=\sqrt[3]{a},\qquad a^{1/n}=\sqrt[n]{a}$$

这就是分数指数分母的来历：分母 $n$ 告诉你开 $n$ 次根。

一般的有理指数

设 $m$ 是整数，$n$ 是正整数，并且先把 $\frac mn$ 约成最简分数。只要相关运算在实数范围内有意义，就定义：

$$a^{m/n} =\left(\sqrt[n]{a}\right)^m$$

在定义域允许时，也可以写成：

$$a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}$$

一句好用的口令是：分母管开根，分子管乘方，负号管倒数。

先约分，再看最简分母的奇偶；这一步比按计算器更重要。

为什么一定先约成最简分数

同一个有理数可以写成不同分数：

$$\frac{2}{6}=\frac13$$

指数表示的是有理数本身，不该因为写法不同而改变含义。因此我们规定：处理负底数前，先把指数约到最简。

例如：

$$(-8)^{2/6}=(-8)^{1/3}=-2$$

如果你盯着没有约分的分母 $6$，会误以为要对负数开偶次根。这正是为什么“先约分”必须放在定义域判断前面。

正底数最省心

当 $a>0$ 时，任意正整数次的实数根都存在，倒数也不会遇到 $0$。于是所有有理指数都可以稳定计算，指数法则也能完整延续。

例如：

$$16^{3/4} =\left(\sqrt[4]{16}\right)^3 =2^3 =8$$ $$27^{-2/3} =\frac{1}{27^{2/3}} =\frac{1}{\left(\sqrt[3]{27}\right)^2} =\frac19$$

负底数看最简分母

若 $a<0$，最简分母 $n$ 为奇数时，$n$ 次根仍是实数；最简分母为偶数时，没有实数值。

例如：

$$(-32)^{4/5} =\left(\sqrt[5]{-32}\right)^4 =(-2)^4 =16$$

再看负指数：

$$(-32)^{-3/5} =\frac{1}{\left(\sqrt[5]{-32}\right)^3} =\frac{1}{(-2)^3} =-\frac18$$

但 $(-16)^{1/2}$ 在实数范围内没有意义。

零底数要单独看

对 $m/n>0$：

$$0^{m/n}=0$$

只要这个指数按实数定义能够解释即可。但指数为 $0$ 时会碰到 $0^0$，指数为负时会要求除以 $0$，这两种都不在本章的普通实数幂定义中。

有理指数法则为什么还能用

对正底数 $a>0$，设 $p=\frac{r}{s}$、$q=\frac{u}{v}$，把它们通分到同一个正分母 ：

$$p=\frac{R}{L},\qquad q=\frac{U}{L}$$

于是：

$$a^p a^q =\left(\sqrt[L]{a}\right)^R \left(\sqrt[L]{a}\right)^U =\left(\sqrt[L]{a}\right)^{R+U} =a^{p+q}$$

所以对正底数，熟悉的规则继续成立：

$$a^p a^q=a^{p+q},\qquad \frac{a^p}{a^q}=a^{p-q},\qquad (a^p)^q=a^{pq}$$

对负底数就不能一句话全包。每个中间式都必须先有实数意义，否则形式上的指数运算可能把你带到不同答案。

例如：

$$\left((-8)^2\right)^{1/6}=64^{1/6}=2$$

但如果不检查条件，直接把指数相乘，会写成：

$$(-8)^{2/6}=(-8)^{1/3}=-2$$

结果不同，说明 $\left(a^p\right)^q=a^{pq}$ 在负底数与有理指数混合时不能无条件套用。

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定义域先于化简

函数题里，最危险的不是算慢，而是把一个本来没有实数值的式子硬算下去。

面对 $f(x)=[g(x)]^{m/n}$，先把 $m/n$ 约到最简，令 $n>0$。然后按下面的顺序检查。

定义域检查清单

1. $n$ 为偶数，$m>0$：要求 $g(x)\ge0$。
2. $n$ 为偶数，$m<0$：要求 $$，因为根式还在分母里。

先看根的奇偶，再看指数正负。两道门都过了，才开始化简。

例题：偶次根从边界开始

求 $f(x)=\sqrt{x-2}$ 的定义域。

被开方数不能为负：

$$x-2\ge0$$

解得 $x\ge2$，所以定义域是：

$$[2,\infty)$$

曲线从 $(2,0)$ 出发；边界左侧不是“图像没画出来”，而是函数在实数范围内没有值。

例题：不等号方向会反过来

求定义域：

$$g(x)=\sqrt[4]{5-2x}$$

四次根要求：

$$5-2x\ge0$$

移项后 $-2x\ge-5$。两边除以负数 $-2$，不等号方向反转：

$$x\le\frac52$$

所以定义域为 $(-\infty,\frac52]$。偶次根并不总是“向右取”，真正决定方向的是被开方数不等式。

例题：负指数把边界挖掉

求定义域：

$$h(x)=(x-1)^{-1/2}$$

先翻译：

$$h(x)=\frac{1}{\sqrt{x-1}}$$

被开方数要非负，但分母还不能为 $0$，所以条件不是 $x-1\ge0$，而是：

$$x-1>0$$

定义域为 $(1,\infty)$。

例题：根号里还有分式

求定义域：

$$p(x)=\sqrt[4]{\frac{x-1}{x+2}}$$

要求：

$$\frac{x-1}{x+2}\ge0,\qquad x\ne-2$$

分界点是 $-2$ 和 $1$。分区间检查符号：

• $x<-2$：分子、分母都负，商为正；
• $-2<x<1$：分子负、分母正，商为负；
• $x\ge1$：分子、分母都非负，商为非负。

因此定义域是：

$$(-\infty,-2)\cup[1,\infty)$$

注意 $x=-2$ 永远不能放回去；$x=1$ 可以，因为此处被开方数为 $0$，而根式没有出现在分母。

例题：奇分母也要防负指数

求定义域：

$$q(x)=(x^2-4)^{-2/3}$$

最简分母 $3$ 是奇数，负的底数也能取立方根。但指数为负，底数不能为 $0$：

$$x^2-4\ne0$$

所以 $x\ne-2$ 且 $x\ne2$，定义域是：

$$(-\infty,-2)\cup(-2,2)\cup(2,\infty)$$

到这里，可以用一句话把定义域检查收住：先约指数，再检查开根，最后检查分母。

例如把根号里的式子换成 $4-x$，边界是 $x=4$。边界左侧应取一个真正小于 $4$ 的数，比如 $x=2$；边界右侧应取一个大于 $4$ 的数，比如 $x=6$。代入后：

$$4-2=2>0,qquad 4-6=-2<0$$

因此，偶次根要求 $4-xge0$ 时取边界左侧，即 $xle4$；奇次根允许根号内为负，若指数又是正数，就不需要因为这个边界删掉任何实数。画数轴时别只写“左侧”“右侧”，一定顺手代一个具体数，标签写反的问题马上就会暴露。

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幂函数图像：指数在决定形状

幂函数的基本形式是：

$$f(x)=x^r$$

同样只换一个指数 $r$，图像就可能是一条直线、一只开口向上的“碗”、穿过原点的弯曲曲线，或者两支永远碰不到坐标轴的曲线。

看幂函数图像时，不要只盯着指数大小；正负、最简分母和分子奇偶都在起作用。

正整数指数：先看奇偶

当 $n$ 是正偶数：

$$f(-x)=(-x)^n=x^n=f(x)$$

所以 $y=x^n$ 是偶函数，图像关于 $y$ 轴对称。典型例子是 $y=x^2$、$y=x^4$。

当 $n$ 是正奇数：

$$f(-x)=(-x)^n=-x^n=-f(x)$$

所以 $y=x^n$ 是奇函数，图像关于原点中心对称。典型例子是 $y=x^3$、$y=x^5$。

为什么高次幂有时更小，有时更大

比较 $x^2$ 和 $x^3$，不要只说“三次方长得快”。先看 $x$ 在哪里。

当 $0<x<1$ 时，再乘一个 $x$ 会让数变小：

$$x^3=x^2\cdot x<x^2$$

所以在 $(0,1)$ 内，$y=x^3$ 位于 $y=x^2$ 下方，也更贴近 $x$ 轴。

当 $x>1$ 时，再乘一个 $x$ 会让数变大：

$$x^3=x^2\cdot x>x^2$$

所以过了共同点 $(1,1)$，三次幂反而冲得更快。

一般地，对 $x>1$，正整数指数越大，$x^n$ 增长越快；对 $0<x<1$，指数越大，$x^n$ 越接近 。这就是高次幂图像在原点附近贴着横轴、过了 后又迅速抬头的原因。

正分数指数：根式决定左右范围

$$y=x^{1/2}=\sqrt x$$

定义域是 $[0,\infty)$，图像只在右半平面出现。

$$y=x^{1/3}=\sqrt[3]{x}$$

定义域是全体实数，图像穿过原点，并关于原点对称。

再看：

$$y=x^{2/3}=\left(\sqrt[3]{x}\right)^2$$

立方根允许负输入，外面的平方又把输出变成非负，所以定义域是全体实数，值域是 $[0,\infty)$，图像关于 $y$ 轴对称，并在原点形成尖点。

负指数：原点被挖掉

$$y=x^{-1}=\frac1x$$

当 $x$ 靠近 $0$ 时，分母越来越小，函数值的绝对值越来越大；当 $|x|$ 越来越大时，函数值越来越接近 $0$。因此有两条渐近线：

$$x=0,\qquad y=0$$

再看：

$$y=x^{-1/2}=\frac1{\sqrt x}$$

偶次根要求 $x\ge0$，分母又要求 $x\ne0$，所以 $x>0$。图像只有第一象限的一支，同样以 $x=0$、$$ 为渐近线。

用最简分数快速分类

把 $r=\frac mn$ 约到最简，$n>0$。下面这张表可以当作图像检查单。

指数 $r=0$ 要单独看。本章中：

$$y=x^0=1 \quad(x\ne0)$$

图像是直线 $y=1$，但在 $x=0$ 处挖去一个点。

例题：只看指数判断图像骨架

不画精确图，说明 $y=x^{-2/3}$ 的定义域、值域、对称性和渐近线。

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应用题里，根式常在“倒着求尺度”

平方和立方常常描述面积、体积或随时间累积的量。根式做的事，就是从结果倒推原来的长度或时间。

面积反求半径

圆的面积是：

$$A=\pi r^2$$

如果已知面积 $A$，那么 $r^2=A/\pi$。解方程本来会得到正负两个代数值，但半径不能为负，因此：

$$r=\sqrt{\frac{A}{\pi}}$$

这里取主平方根，不只是符号约定，也符合实际意义。

体积反求边长

正方体体积为 $V=s^3$，所以边长：

$$s=\sqrt[3]{V}=V^{1/3}$$

若体积扩大到原来的 $27$ 倍，边长只扩大到原来的 $27^{1/3}=3$ 倍。这提醒你：体积倍数和边长倍数不是同一个东西。

自由落体时间

在一个简化模型中，下落距离 $d$ 米与时间 $t$ 秒满足：

$$d=4.9t^2$$

已知距离求时间，代数方程有两个形式上的根：

$$t=\pm\sqrt{\frac{d}{4.9}}$$

但时间取非负值，所以实际答案是：

$$t=\sqrt{\frac{d}{4.9}}$$

比例缩放

如果两个相似物体的体积比是 $V_2/V_1=k$，那么对应长度比是：

$$\frac{s_2}{s_1}=k^{1/3}$$

例如体积增加到 $125$ 倍，长度只增加到 $125^{1/3}=5$ 倍。

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把最容易混淆的边界放在一起

根号前的 $\pm$ 从哪里来

$$\sqrt{36}=6$$

根号本身不带 $\pm$。解方程 $x^2=36$ 时，才写：

$$x=\pm6$$

因为方程要找两个输入，而根号只表示非负主值。

负指数不是负数

$$4^{-2}=\frac1{4^2}=\frac1{16}$$

它不是 $-16$。先取倒数，再判断底数正负和指数奇偶。

约分不能忘记原定义域

如果一个表达式经过代数化简，某个因子被约掉，原式中被排除的点仍不能自动回来。

例如在 $x\ne0$ 的前提下：

$$\frac{x\sqrt{x}}{x}=\sqrt{x}$$

右边单独看在 $x=0$ 有意义，但原式分母在 $x=0$ 为 $0$，所以原函数的定义域仍不包含 $0$。

乘方再乘方不能无条件合并

对 $x<0$：

$$(x^2)^{1/2}=|x|=-x$$

如果机械地把指数相乘成 $x^1=x$，就错了。问题不在算术，而在中间的主平方根改变了符号信息。

根号不能穿过加减号

$$\sqrt{x^2+9}$$

一般不能化成 $|x|+3$。取 $x=4$，左边是 $5$，右边是 $7$。检查一个具体数，往往能立刻拦住一个“看起来很顺”的错误变形。

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本章练习

A. 指数规则

化简或求值，答案尽量只保留正指数。

1. $2^3\cdot2^{-5}$
2. $(3^{-2})^3$
3. $($

查看 A 组答案

1. 同底数相乘，指数相加：

$$2^3\cdot2^{-5}=2^{-2}=\frac14$$

B. 根式与主值

1. 计算 $\sqrt{196}$。
2. 解方程 $x^4=81$。
3. 计算 $\sqrt[3]{-125}$。

查看 B 组答案

1. 根号取非负主值：$\sqrt{196}=14$。

2. 四次方为 $81$ 的实数有两个：

$$x=3\quad\text{或}\quad x=-3$$

C. 有理指数与根式互译

1. $32^{3/5}$
2. $16^{-3/4}$
3. $(-32)^{4/5}$
4. $($

查看 C 组答案

1. 分母 $5$ 管五次根，分子 $3$ 管三次方：

$$32^{3/5} =\left(\sqrt[5]{32}\right)^3 =2^3 =8$$

D. 定义域

求下列函数的实数定义域。

1. $f(x)=\sqrt{3x+6}$
2. $g(x)=\sqrt[3]{2-x}$

查看 D 组答案

1. 要求 $3x+6\ge0$，所以定义域为 $[-2,\infty)$。

2. 立方根允许被开方数为任意实数，所以定义域为 $\mathbb R$。

3. 负二分之一次方表示分母中的平方根，要有 $x+4>0$，定义域为 。

E. 图像与性质

1. 判断下列函数是偶函数、奇函数，还是在实数定义域上两者都不是：

$$y=x^4,\quad y=x^5,\quad y=x^{2/3},\quad y=x^{1/3},\quad y=x^{-2},\quad y=x^{-1}$$

2. 比较 $(\frac12)^6$ 与 $(\frac12)^3$，再比较 与 。

查看 E 组答案

1. $x^4$、$x^{2/3}$、$x^{-2}$ 是偶函数；$x^5$、、 是奇函数。两个负指数函数的定义域都排除 。

F. 辨错与综合

判断下列说法是否正确；若不正确，写出正确结论。

1. $\sqrt{x^2}=x$
2. $\sqrt{x^2+16}=|x|+4$

查看 F 组答案

1. 不完全正确。正确的是 $\sqrt{x^2}=|x|$，只有 $x\ge0$ 时才等于 。

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最后把整章压成五句话

1. 正整数指数来自重复乘法；指数法则来自因子个数的合并。
2. 为了让指数法则继续成立，必须定义 $a^0=1$、$a^{-n}=1/a^n$，并排除相应的零底数。
3. 根号表示主值：偶次根取非负值，奇次根可以保留负号。
4. 有理指数先约分，再按“分母开根、分子乘方、负号取倒数”计算。
5. 函数题先查定义域，再化简；画 $y=x^r$ 时同时看指数正负、最简分母奇偶和分子奇偶。

真正熟练之后，你不会把这些当成几十条零散规则。你看到一个指数，就会先问：底数能不能取？分母是奇是偶？指数是不是负的？每一步有没有把主值和方程解混在一起？

这几句自问，能拦住本章绝大多数错误。