幂、根式与有理指数

这一章把“幂”和“根”放在同一套语言里看。整数指数最初来自重复乘法，根式来自反向寻找底数；有理指数把两者接起来，使指数规则在更大的范围里继续可用。

学完本章，你应该能看出三件事：为什么 $a^{1/n}$ 要定义成 $n$ 次根，什么时候 $a^{m/n}$ 可以在实数范围内计算，以及幂函数 $y=x^r$ 的图像为什么会因为 $r$ 的分子、分母和正负发生明显变化。

指数不是一串孤立记号，而是一套希望保持一致的运算规则。

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从整数指数出发

当 $n$ 是正整数时，$a^n$ 表示 $n$ 个 $a$ 相乘。这个定义直接给出几条指数规则：

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$ $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \quad (a \ne 0)$$ $$\left(a^m\right)^n = a^{mn}$$

这些规则的力量在于它们不只适合算具体数，还能解释新指数应该怎样定义。比如同一个底数 $2$ 的幂按指数每减少 $1$，数值就除以 $2$：

$$2^3=8,\quad 2^2=4,\quad 2^1=2$$

继续保持这个规律，就必须有：

$$2^0=1,\quad 2^{-1}=\frac{1}{2},\quad 2^{-2}=\frac{1}{4}$$

所以零指数和负指数不是额外背诵的补丁，而是为了让商的指数规则继续成立：

$$a^0=1\quad (a\ne0)$$ $$a^{-n}=\frac{1}{a^n}\quad (a\ne0)$$

分数指数从哪里来

现在问一个更细的问题：如果指数可以走“半步”，$a^{1/2}$ 应该是什么？

我们希望幂的乘方规则继续成立。于是：

$$\left(a^{1/2}\right)^2=a^{(1/2)\cdot2}=a$$

这说明 $a^{1/2}$ 应该是一个平方后得到 $a$ 的数，也就是 $a$ 的平方根。在实数范围内，为了让它成为单值函数，约定：

$$a^{1/2}=\sqrt{a} \quad (a\ge0)$$

同理，$a^{1/3}$ 应该满足三次方后得到 $a$：

$$\left(a^{1/3}\right)^3=a$$

因此：

$$a^{1/3}=\sqrt[3]{a}$$

一般地，若 $n$ 是大于 $1$ 的整数，分数指数的分母 $n$ 对应 $n$ 次根：

$$a^{1/n}=\sqrt[n]{a}$$

不过这句话必须带着实数定义域一起读：当 $n$ 是偶数时，$a$ 不能为负；当 $n$ 是奇数时，$a$ 可以是任意实数。

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根式与主值

如果 $x^n=a$，那么 $x$ 叫做 $a$ 的一个 $n$ 次方根。这里有一个容易被忽略的分界：方程 $x^n=a$ 的解，和根号 表示的值，不总是同一件事。

方程的解可以有两个，根号表达式在函数语境中必须给出一个确定值。

奇次根

当 $n$ 是奇数时，函数 $x^n$ 在整个实数轴上单调增加，所以 $x^n=a$ 对每个实数 $a$ 都有唯一实根。例如：

$$\sqrt[3]{-8}=-2$$

因为：

$$(-2)^3=-8$$

奇次根保留正负号，这一点会影响后面幂函数图像的左右两侧。

偶次根

当 $n$ 是偶数时，$x^n$ 的结果总是非负。因此 $a<0$ 时，方程 $x^n=a$ 没有实数解；$a>0$ 时，方程通常有两个实数解，互为相反数。

例如 $x^2=9$ 的解是：

$$x=-3\quad \text{或}\quad x=3$$

但根号 $\sqrt{9}$ 表示主平方根，也就是非负的那个：

$$\sqrt{9}=3$$

因此：

$$\sqrt{x^2}=|x|$$

而不是在任何情况下都等于 $x$。

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有理指数与根式互译

设 $m$ 是整数，$n$ 是正整数，且分数 $\frac{m}{n}$ 已经约到最简。只要相关根式在实数范围内有意义，就定义：

$$a^{m/n}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m$$

也可以写成：

$$a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}$$

分母看作根指数，分子看作幂指数；但每一次转换都要先检查实数定义域。

这两个写法在 $a>0$ 时最稳定，因为正数的所有实数根都存在，指数规则不会因为符号而出意外。若 $a<0$，只有当最简分母 $n$ 是奇数时，$a^{m/n}$ 才能作为实数幂来解释。

例题：把有理指数化成根式

把下列表达式改写成根式，并计算能直接算出的值。

$$8^{2/3},\quad 16^{3/4},\quad 27^{-2/3}$$

例题：负底数要看最简分母

计算：

$$(-27)^{2/3}$$

因为分数 $\frac{2}{3}$ 的分母是奇数，负底数可以取立方根：

$$(-27)^{2/3}=\left(\sqrt[3]{-27}\right)^2=(-3)^2=9$$

但下面这个式子在实数范围内没有意义：

$$(-16)^{1/2}$$

因为它要求取负数的平方根。

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定义域先于化简

根式和有理指数最容易出错的地方，不在计算，而在“这个式子是否有意义”。尤其是偶次根，只要被开方数小于 $0$，实数范围内就不能取值。

偶次根的图像从定义域边界开始，边界由被开方数不小于零决定。

偶次根的定义域

对函数：

$$f(x)=\sqrt{x-2}$$

必须先要求：

$$x-2\ge0$$

所以定义域是：

$$[2,\infty)$$

对函数：

$$g(x)=\sqrt[4]{5-2x}$$

要求：

$$5-2x\ge0$$

解得：

$$x\le\frac{5}{2}$$

偶次根不一定都是“向右开始”，要看被开方数里的不等式方向。

奇次根的定义域

奇次根允许被开方数为负。比如：

$$h(x)=\sqrt[3]{x-2}$$

对所有实数 $x$ 都有意义，所以定义域是：

$$(-\infty,\infty)$$

负指数的额外限制

如果指数是负数，还要排除让分母为 $0$ 的点。例如：

$$f(x)=(x-1)^{-1/2}$$

先把它看成：

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x-1}}$$

分母不仅要有意义，还不能等于 $0$。所以：

$$x-1>0$$

定义域是：

$$(1,\infty)$$

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根式化简

根式化简的目标不是把式子变得“看起来短”，而是把可以确定提出根号外的完全幂提出去，让剩下的被开方数不再含有可继续提出的因子。

先分解出完全幂，再使用根式乘法性质。

基本性质

在实数范围内，根式乘除性质要带着条件使用。若相关根式都有意义，且分母不为 $0$，则：

$$\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$$ $$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$$

但根式不能随意拆加减：

$$\sqrt{a+b}\ne\sqrt{a}+\sqrt{b}$$

一个反例已经足够说明：

$$\sqrt{9+16}=5$$

而：

$$\sqrt9+\sqrt{16}=3+4=7$$

例题：提取完全平方因子

化简：

$$\sqrt{72x^5} \quad (x\ge0)$$

例题：偶次根下的绝对值

化简：

$$\sqrt[4]{81x^{12}}$$

因为：

$$81x^{12}=(3x^3)^4$$

所以：

$$\sqrt[4]{81x^{12}}=|3x^3|=3|x|^3$$

如果题目额外说明 $x\ge0$，才可以写成：

$$3x^3$$

分母有根式时

有时需要把分母中的根式消去，叫作分母有理化。例如：

$$\frac{5}{\sqrt3}$$

分子分母同乘 $\sqrt3$：

$$\frac{5}{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3}{\sqrt3} =\frac{5\sqrt3}{3}$$

若分母是两项，如 $2-\sqrt5$，常用共轭式：

$$\frac{1}{2-\sqrt5}\cdot\frac{2+\sqrt5}{2+\sqrt5} =\frac{2+\sqrt5}{4-5}=-(2+\sqrt5)$$

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幂函数图像

幂函数通常写成：

$$f(x)=kx^r$$

本章先看 $k=1$ 的基本形态，也就是 $y=x^r$。指数 $r$ 的大小、符号，以及写成最简分数后分母的奇偶，会共同决定图像。

同样叫幂函数，图像可能是抛物线形、S 形、半条根式曲线，也可能带渐近线。

正整数指数

$y=x^2$ 关于 $y$ 轴对称，左右两侧都向上。$y=x^3$ 关于原点对称，穿过原点后继续增加。

更一般地，正整数指数为偶数时，图像有偶函数特征；正整数指数为奇数时，图像有奇函数特征。

分数指数

对：

$$y=x^{1/2}=\sqrt{x}$$

定义域是 $[0,\infty)$，图像只在右半边出现。

对：

$$y=x^{1/3}=\sqrt[3]{x}$$

定义域是全体实数，图像穿过原点，负数输入也有实数输出。

如果：

$$y=x^{2/3}$$

那么：

$$x^{2/3}=\left(\sqrt[3]{x}\right)^2$$

立方根允许负数，平方后输出非负，所以图像关于 $y$ 轴对称，并且在 $x=0$ 处形成尖点。

负指数

负指数会把幂放到分母里。例如：

$$y=x^{-1}=\frac{1}{x}$$

它在 $x=0$ 处无意义，并且有两条渐近线：

$$x=0,\quad y=0$$

再看：

$$y=x^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{x}}$$

这里既有偶次根限制，又有分母不能为 $0$ 的限制，所以定义域是：

$$(0,\infty)$$

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错误边界

这一节把容易踩到的边界集中放在一起。它们看起来像“小符号问题”，实际会改变定义域、值域和答案。

边界一：根号不是方程解集合

方程：

$$x^2=25$$

有两个解：

$$x=\pm5$$

但：

$$\sqrt{25}=5$$

如果题目写的是 $\sqrt{25}$，不要把它写成 $\pm5$。如果题目写的是解方程 $x^2=25$，就不能只写 。

边界二：加减不能拆根号

错误写法：

$$\sqrt{x^2+9}=\sqrt{x^2}+\sqrt9$$

这个等式一般不成立。取 $x=4$ 时，左边是：

$$\sqrt{25}=5$$

右边是：

$$4+3=7$$

边界三：负底数不能随意套指数规则

对于正底数，下面的规则很稳定：

$$\left(a^p\right)^q=a^{pq}$$

但负底数和有理指数混在一起时，要先检查每一步是否有实数意义。例如：

$$\left((-8)^2\right)^{1/6}=64^{1/6}=2$$

而如果先把指数相乘：

$$(-8)^{2/6}=(-8)^{1/3}=-2$$

两条路线得到不同结果，说明不能在负底数下不加条件地使用乘方规则。处理负底数时，先把有理指数写成最简分数，再按根式定义判断。

边界四：负指数不是负数

错误直觉常把 $a^{-2}$ 看成“负的 $a^2$”。实际上：

$$a^{-2}=\frac{1}{a^2}$$

例如：

$$3^{-2}=\frac{1}{9}$$

而不是 $-9$。

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应用中的根式与分数指数

有理指数经常出现在“反过来求尺度”的问题里。平方、立方表达增长或面积、体积；根式则把面积、体积、距离等结果反解回原来的长度或时间。

面积反求半径

球的表面积为：

$$S=4\pi r^2$$

若已知表面积 $S$，半径应满足：

$$r=\sqrt{\frac{S}{4\pi}}$$

也可以写成：

$$r=\left(\frac{S}{4\pi}\right)^{1/2}$$

这里 $r$ 表示长度，所以取非负值。

体积反求边长

正方体体积为：

$$V=s^3$$

边长为：

$$s=\sqrt[3]{V}=V^{1/3}$$

如果体积扩大到原来的 $8$ 倍，边长只扩大到原来的 $2$ 倍，因为：

$$8^{1/3}=2$$

自由落体的时间

近似模型：

$$d=4.9t^2$$

表示物体自由下落 $t$ 秒经过的距离 $d$ 米。已知距离求时间：

$$t=\sqrt{\frac{d}{4.9}}$$

因为时间不能为负，所以这里只取主平方根。

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练习

基础互译

把下列各式在根式形式和有理指数形式之间互译，并在能计算时给出数值。

1. $32^{3/5}$
2. $\sqrt[4]{x^3}$

查看参考答案

1. $32^{3/5}=(\sqrt[5]{32})^3=2^3=8$。

定义域判断

求下列函数的定义域。

1. $f(x)=\sqrt{3x+6}$
2. $g(x)=\sqrt[3]{2-x}$

查看参考答案

1. $3x+6\ge0$，所以定义域为 $[-2,\infty)$。

2. 立方根对所有实数有意义，所以定义域为 $(-\infty,\infty)$。

3. $(x+4{)}^{-1\mathrm{/}2}=\frac{1}{\sqrt{x}}$，所以 ，定义域为 。

化简与辨错

判断下列变形是否正确；若不正确，说明原因并改正。

1. $\sqrt{x^2+16}=x+4$
2. $\sqrt[3]{-64}=-4$

查看参考答案

1. 不正确。根号不能拆加法，$\sqrt{x^2+16}$ 一般不能化成 $x+4$。

2. 正确。因为 $$。