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函数综合建模：选择合适的函数描述现实问题 | 高级代数与函数：指数、对数、多项式与有理函数 | 自在学

函数综合建模：先看现实怎样变化，再决定写什么公式

桌上放着一杯刚倒好的热水。你每隔五分钟量一次温度，记下一串逐渐变小的数。现在要选一个函数描述它，第一反应也许是：把散点画出来，看哪条曲线最像。

先别急。

真正该问的是：水为什么会冷却？温差大时，散热通常更快；温差小了，每五分钟降下来的度数也会变少。这个机制已经在提醒你，温度不太可能永远按固定数量下降。就算一条直线能贴住前几个点，往后延伸也可能预测出低于室温很多的结果。

这就是本章要练的本事：不是在函数名单里盲猜，而是从现实机制、数据变化、定义域、单位和使用目标出发，选出一个说得通、算得准、也知道什么时候该停用的模型。

一个模型不需要复制现实的每个细节。它要抓住当前问题里最重要的关系，并把没有考虑的条件说清楚。

建模到底在做什么

函数模型把一个输入量和一个输出量连起来。输入可能是时间、速度、产量、价格或面积；输出可能是温度、距离、成本、销量或半径。

但只写一个公式还不够。完整的模型至少包含四样东西：

变量分别代表什么，单位是什么；
哪些输入在现实中允许，输出又有哪些边界；
参数在情境里表达什么；
模型只准备在哪个范围内使用。

比如打印店的收费可以写成

C(n)=0.42n+3.50

其中 $n$ 是打印页数，单位是页； $C(n)$ 是总费用，单位是元。斜率 $0.42$ 的单位是元/页，表示每多打一页增加 $0.42$ 元；截距 $3.50$ 元是固定服务费。

代数上，这个式子对所有实数都能计算。现实里却不能打印 $-6$ 页，也通常不会打印 $2.7$ 页。所以真正的定义域应写成

n\in\{0,1,2,\ldots\}.

这里有个很容易被忽略的区别：公式的自然定义域回答“算不算得出来”，现实定义域回答“这个输入有没有意义”。建模时，两道门都要过。

先明确你要回答的问题

同一组数据，因为目标不同，模型选择也会不同。

如果只想估计明天的销量，一个局部线性模型也许已经够用。如果要预测五年后的市场规模，就必须认真检查长期趋势和容量上限。如果要找收益最大值，模型还要能可靠描述最高点附近的形状。

所以拿到题目后，先用一句完整的话写下目标。比如：

在室温保持稳定的前 30 分钟内，根据已经测得的数据估计第 25 分钟的水温。

这句话同时交代了输出、时间范围和用途。比“求函数”清楚得多。

一套可以反复使用的流程

先把问题说清楚。是要解释、预测、比较、求临界值，还是找最大值或最小值？

定义变量和单位。写明 $x$ 、 $y$ 分别是什么， $x=0$ 代表哪个时刻，输入是连续量还是整数。

建模不是一条只往前走的流水线。第六步发现残差成弧形，就回到第四步；预测出现负质量或负费用，就回到第二步检查定义域，也可能回到第三步重想机制。

定义域和单位：公式还没选，这两件事要先定

现实定义域会截掉一部分图像

物体竖直运动的高度常用二次式近似：

h(t)=-4.9t^2+v_0t+h_0.

如果 $t$ 以秒计、 $h$ 以米计，这个式子描述的是物体离开手以后、落地以前的飞行段。解出 $h(t)=0$ 的正根后，模型的使用区间就到那里为止。再往后代入得到 $h(t)\lt 0$ ，不代表物体真的钻进地面，而是你已经把公式用出了有效范围。

再看根式函数

r(S)=\sqrt{\frac{S}{\pi}}.

它把圆的面积 $S$ 换算成半径 $r$ 。因为面积不能为负，所以 $S\geq0$ 。这个限制不是为了照顾根号，而是现实和运算同时要求如此。

有理函数的限制常藏在分母里。若

A(x)=6+\frac{1200}{x},

那么 $x=0$ 时平均成本没有定义。若 $x$ 表示当天产量，现实定义域通常还是正整数：

x\in\{1,2,3,\ldots\}.

单位是很诚实的“查错器”

线性模型

y=mx+b

中，若 $x$ 的单位是小时， $y$ 的单位是千米，那么 $m$ 的单位必须是千米/小时， $b$ 的单位必须是千米。把“每小时增加多少”和“原来有多少”混在一起，单位立刻会报警。

指数模型写成

y=ab^t

时， $a$ 与 $y$ 同单位， $b$ 是每一个固定时间单位对应的倍数，因此没有单位。如果把时间单位从小时改成分钟，底数也必须跟着改变。每小时乘 $1.12$ ，不等于每分钟也乘 $1.12$ 。

对数里面不能直接塞一个带单位的量。比较稳妥的写法是先除以基准量。例如 $h$ 是练习时长，先定义

u=\frac{h}{1\text{ 小时}},

这样 $u$ 是“以一小时为单位的数值”，没有单位。模型可以写成

S(h)=40+12\log_2(u+1).

这里的 $+1$ 也不是随手补上的。它让 $h=0$ 时对数仍有意义，并明确表示我们在比较“练习时长加一个基准单位”后的倍数变化。

参数不是为了把曲线调漂亮才出现的。参数的符号、单位和数量级如果解释不通，模型通常还没有想清楚。

先问“怎样变化”，再辨认函数族

函数图像当然重要，不过只凭“看起来像”很容易误判。对数据来说，更可靠的线索是变化方式；对情境来说，更可靠的线索是形成这个变化的机制。

七类常见函数的中文手绘图像卡，展示线性、二次、指数、对数、多项式、有理和根式函数的典型形状、公式、定义域与渐近线

图：曲线轮廓只能帮助你提出候选；真正的选择还要结合变化规律、定义域和现实机制。

线性：每单位输入带来近似固定的改变量

线性函数的典型形式是

f(x)=mx+b.

当输入每次增加相同的 $h$ ，输出的改变量为

f(x+h)-f(x)=mh,

它与当前的 $x$ 无关。这就是线性最核心的特征。

固定服务费加固定单价、匀速运动、短时间内近似稳定的产量，常把问题推向线性模型。

不过“差分接近常数”要和噪声一起看。现实数据不会每次都整齐地增加 $2.10$ 。如果相邻增量在 $2.0,2.2,1.9,2.1$ 附近波动，线性仍可能合理；如果增量一路从 $2$ 涨到 $5,9,14$ ，就该换思路了。

二次：变化率本身近似按固定速度改变

二次函数写成

f(x)=ax^2+bx+c.

输入等距时，一阶差分通常不是常数，但二阶差分是常数。若步长为 $h$ ，二阶差分恰好为

\Delta^2 f=2ah^2.

看一组刹车距离的简化数据：

速度 $v$ （m/s）	$10$	$15$	$20$	$25$
距离 $d$ （m）	$15.0$

一阶差分每次都增加 $4.0$ 米，所以二阶差分为 $4.0$ 米。步长 $h=5$ ，于是

2a(5)^2=4,

得到 $a=0.08$ 。继续利用数据可得到

d(v)=0.08v^2+0.5v+2.

先别把这个式子无限外推。它只是在给定车辆、路面和速度范围内的近似，不是所有速度下的物理定律。

二次模型还有一个非常实用的信号：现实里存在一个最高点或最低点。

假设票价为 $p$ 元时，预计售票数为

q(p)=240-10p.

收入是“单价乘数量”：

R(p)=p(240-10p)=-10p^2+240p.

现实要求 $p\geq0$ 且 $q(p)\geq0$ ，所以 $0\leq p\leq24$ 。抛物线开口向下，顶点在

p=-\frac{240}{2(-10)}=12.

此时

R(12)=1440\text{ 元}.

注意，顶点算对只是代数完成了一半。最后还要说：在这个简化的需求关系和允许票价区间内，票价 $12$ 元给出最大预计收入 $1440$ 元。

指数：固定的是比例，不是差值

指数模型可以写成

f(t)=ab^t.

当 $t$ 每增加 $1$ ，输出都乘以 $b$ 。如果 $b>1$ ，是增长；如果 $0\lt b\lt 1$ ，是衰减。

所以判断指数要看相邻比值：

\frac{f(t+1)}{f(t)}=b.

“每年增加 300 人”偏向线性，“每年增加 $6\%$ ”才偏向指数。增长这两个字本身，远远不够。

指数衰减也常带着一条水平边界。热水冷却时，真正适合做指数模型的量通常不是温度 $T$ ，而是它与室温 $T_{\mathrm{room}}$ 的差：

D(t)=T(t)-T_{\mathrm{room}}.

若 $D(t)=D_0b^t$ ，那么 $D(t)$ 趋近 $0$ ，也就是 $T (t)$ 趋近室温。这样写，渐近线才有正确的现实含义。

对数：输入按倍数放大，输出近似等量增加

对数是指数关系的反方向。若

y=a+b\log_2 x,

那么输入从 $x$ 变成 $2x$ 时，输出增加

a+b\log_2(2x)-(a+b\log_2x)=b.

输入翻倍，输出加同样多——这才是识别对数的强线索。

对数图像也会“先快后慢”，但不要只靠这四个字。练习收益、感知尺度、信息量等情境可能出现对数关系；一个由面积反求长度的问题即使同样先快后慢，也更应该用根式。

多项式：零点、转折和端行为给出形状

高次多项式能表达多个转折、多个零点和指定的端行为。若问题明确告诉你曲线要经过哪些点、在哪些位置与横轴相交、两端朝哪里走，多项式是很有力的形状工具。

这里有个坑：只要 $n+1$ 个点的横坐标互不相同，就能找到唯一一个次数不超过 $n$ 的多项式穿过它们。于是，五个数据点总能被某个四次多项式“完美拟合”。训练误差可以变成零，但这不表示真实过程就是四次函数。

点与点之间，高次曲线可能突然摆动；数据范围之外，它还可能快速冲向完全荒唐的数值。多项式次数越高，越要追问：这些转折有机制支持吗？还是曲线只是在追着噪声跑？

有理：分母、平均量和渐近线往往是关键

有理函数的典型形式是

f(x)=\frac{p(x)}{q(x)},\qquad q(x)\neq0.

“总量除以数量”“固定路程除以速度”“反比”“逐渐靠近某个基线”，都可能带来有理模型。

工厂每天固定成本 $1200$ 元，每件可变成本 $6$ 元。产量为 $x$ 件时，总成本为

C(x)=1200+6x.

平均成本不是再拟合一条曲线，而是直接按定义相除：

A(x)=\frac{C(x)}{x}=6+\frac{1200}{x}.

这里 $x$ 是正整数。随着产量增大，固定成本被更多产品分摊， $A(x)$ 逐渐接近 $6$ 元/件。水平渐近线 $y=6$ 不是画图技巧，它就是长期单件可变成本。

根式：常来自平方关系的反解

根式模型常见于“已知面积求长度”“已知能量求速度”“已知平方量反求原量”。

圆形油膜的面积与半径满足

S=\pi r^2.

要从面积估计半径，就解出

r(S)=\sqrt{\frac{S}{\pi}},\qquad S\geq0.

半径随面积增加而增加，但越往后，同样增加一平方米带来的半径增量越小。这个“越来越慢”来自平方的反解，不是对数机制。

用表格把变化看清楚

当输入值等距时，变化表非常好用。设相邻输入间隔相同，记

\Delta y_i=y_{i+1}-y_i,

\Delta^2y_i=\Delta y_{i+1}-\Delta y_i.

若所有 $y_i>0$ ，还可以看相邻比值

q_i=\frac{y_{i+1}}{y_i}.

六张中文手绘数据卡，分别用一阶差分、二阶差分、相邻比值、输入翻倍、分母限制和平方反解识别线性、二次、指数、对数、有理与根式模型

图：差分与比值是候选线索，不是无需思考的自动判定器。

步长不相等时，不能硬算普通差分

如果 $x$ 的间隔不一样，直接比较 $y_{i+1}-y_i$ 会把“走了多远”和“变化得多快”混在一起。应该先看区间平均变化率：

\frac{y_{i+1}-y_i}{x_{i+1}-x_i}.

例如两段销量都增加 $100$ 件，一段用了两天，另一段用了十天，它们的变化速度显然不同。

二阶差分接近常数也只适用于等距输入。先检查横坐标间隔，再检查纵坐标规律，这个顺序别反。

数据有噪声时，看“近似稳定”

测量值很少整整齐齐。你不需要期待所有比值都等于 $1.2400$ ，而是看它们是否围绕某个数小幅摆动，以及这种稳定是否明显优于差分的稳定。

还有一个提醒：相邻比值只有在分母不为 $0$ 、数据符号合适时才好解释。数据在正负之间穿过时，硬算比值通常没有多少建模意义。

完整例题：给热水冷却建模

一杯热水放在室温稳定的房间里。我们记录“水温减去室温”的温差 $D$ ：

时间 $t$ （分钟）	$0$	$5$	$10$	$15$	$20$
温差 $D$ （°C）

现在要在相同条件下估计第 $25$ 分钟的温差。

第一步：先听现实怎么说

温差越大，散热越快；温差变小，单位时间内下降的度数也会变少。温差应保持非负，并逐渐接近 $0$ 。

这三个条件都支持指数衰减。线性模型可以作为比较对象，但不该是首选。

第二步：比较差值和比值

每五分钟的差值约为

-15.5,\ -11.5,\ -8.5,\ -6.3.

差值明显不固定。相邻比值约为

0.742,\ 0.742,\ 0.742,\ 0.743.

比值稳定得多。于是设每五分钟保留的比例为 $q$ ：

D(t)=60q^{t/5}.

利用 $t=20$ 时 $D=18.2$ ，得到

60q^4=18.2,

所以

q=\left(\frac{18.2}{60}\right)^{1/4}\approx0.74213.

模型为

D(t)=60(0.74213)^{t/5}.

如果一定要写成“每分钟乘一次”的形式，每分钟保留因子为

b=q^{1/5}\approx0.94210,

因此也可以写成

D(t)=60(0.94210)^t.

两个式子是同一个模型，只是时间步长不同。

第三步：计算并解释预测

第 $25$ 分钟比第 $20$ 分钟又过了一个五分钟区间，所以

D(25)=18.2(0.74213)\approx13.51\ ^\circ\mathrm C.

若室温是 $22\ ^\circ\mathrm C$ ，那么预计水温为

T(25)=22+13.51=35.51\ ^\circ\mathrm C.

答案要带回原问题：在室温稳定、杯子和水量不变、没有继续加热的条件下，第 $25$ 分钟水温约为 $35.5\ ^\circ\mathrm C$ 。

第四步：用残差比较指数和线性

若只连接首尾两点，线性模型为

\widehat D_L(t)=60-2.09t.

指数模型记作 $\widehat D_E(t)$ 。残差统一定义为

e_i=D_i-\widehat D_i.

残差为正，表示模型预测偏低；残差为负，表示模型预测偏高。

$t$	实测 $D$	指数预测 $\widehat D_E$	指数残差	线性预测 $\widehat D_L$

线性残差在中间连续为负，而且形成清楚的弯曲模式。这不是随机误差，而是在提醒你：直线漏掉了衰减变慢的结构。

两个常用误差指标是

\mathrm{MAE}=\frac1n\sum_{i=1}^n|e_i|

和

\mathrm{RMSE}=\sqrt{\frac1n\sum_{i=1}^ne_i^2}.

这组数据中，指数模型的

\mathrm{MAE}\approx0.02\ ^\circ\mathrm C,\qquad \mathrm{RMSE}\approx0.03\ ^\circ\mathrm C;

线性模型的

\mathrm{MAE}\approx3.06\ ^\circ\mathrm C,\qquad \mathrm{RMSE}\approx4.00\ ^\circ\mathrm C.

更关键的是长期行为。线性模型在

t=\frac{60}{2.09}\approx28.7

分钟时会让温差变成 $0$ ，之后继续变成负数；指数模型则让温差逐渐接近 $0$ 。误差和机制在这里指向了同一个选择。

残差会告诉你模型漏掉了什么

拟合后，把每个残差画在横轴 $x_i$ 上，就得到残差图。读残差图时，不要只问“点离零远不远”，还要看它们怎样排列。

理想情况：围绕零线上下散开

如果残差有正有负，没有清楚的弧线、斜线或分段，说明模型已经抓住主要趋势。真实测量有噪声，残差不可能全为零，也没有必要全为零。

弧形：函数族太简单

残差先正、后负、再正，常说明直线漏掉了弯曲；二次或其他非线性模型值得尝试。反过来，如果二次残差仍有两次以上转折，也许还缺了更复杂的结构。

喇叭形：误差大小随输入改变

残差在左侧很紧、右侧越来越散，说明大输入处的波动更大。此时一个统一的绝对误差指标可能掩盖问题，百分比误差或变量变换有时更合适。

单个异常点：先查数据来源

一个残差特别大，不要立刻删掉。先问：抄错了吗？仪器失灵了吗？那天发生了特殊事件吗？异常点也可能在告诉你，模型漏了一个重要变量。

RMSE 更小，不自动等于模型更好。还要看残差模式、参数含义、模型复杂度、定义域和问题目标。

为什么“所有点都穿过”反而要警惕

假设有五个测量点：

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y$

线性模型 $\hat y=2+2x$ 的残差为

0.1,\ -0.1,\ 0.2,\ -0.2,\ 0.1,

所以

\mathrm{MAE}=0.14,

\mathrm{RMSE}=\sqrt{0.022}\approx0.15.

当然也能找到一个次数不超过 $4$ 的多项式穿过全部五个点，让训练残差全为零。可如果现实机制是“每单位输入大约增加 $2$ ”，那条直线更简洁，也更容易解释。

这就是过拟合的典型样子：记住了已有点，未必学会了关系。

拟合、验证和外推要分开

拟合范围内的估计叫插值

数据在 $0$ 到 $20$ 分钟之间，用模型估计第 $12$ 分钟，属于插值。它仍可能有误差，但至少没有离开观察区间。

超出数据范围的预测叫外推

用同一组数据估计第 $100$ 分钟，就是外推。你必须额外相信：形成规律的机制没有改变。

外推最怕三类事：

高次多项式在区间外突然转向或快速发散；
线性模型跨过现实下限，给出负数量；
指数增长忘记容量限制，长期预测大得离谱。

所以报告外推结果时，要把它降级成带条件的估计。比如“若未来十天仍保持相同增长比例”，而不是“十天后一定达到”。

留一些数据做验证

数据足够时，不要让所有点都参加参数拟合。可以先用一部分数据确定模型，再用没有参与拟合的点检查预测误差。

这像做完练习后换一道新题。只会复述原题的模型，在新点上很快就会露馅。

模型选择不是一次性判决

一个线性模型可能在 $20$ 到 $40$ 件的局部范围里很好用，扩大到 $0$ 到 $10000$ 件就失效。模型的好坏总要连着使用范围说。

你可以把结论写成：

在已观察的 $20\leq x\leq40$ 区间内，线性模型残差没有明显模式，适合做局部估计；区间外是否仍线性，现有数据无法保证。

这样的答案比单独报一个公式负责任得多。

七类模型怎么选：一张决策表

现实或数据线索	优先候选	还要补查什么
相同输入间隔，输出差值近似固定	线性	是否有上限、折扣或分段收费
一阶差分近似等差，存在一个峰或谷	二次	现实区间是否只覆盖抛物线的一段
同样时间内按近似固定比例变化	指数	是否存在容量上限或非零基线
输入翻倍，输出增加量近似固定	对数	输入必须为正且应先无量纲化
多个零点、转折或指定端行为	多项式	次数是否过高，外推是否摆动
总量除以数量、反比、分母限制、渐近线	有理	分母为零的位置与各分支含义
从平方或其他幂关系反解	根式	根号内非负条件与单位换算

表格只能帮你提出候选，不能替你做最终判断。最后还得让模型接受五项检查：

定义域和值域没有违反现实；
参数的单位和符号能解释；
残差没有明显模式；
复杂度与数据量相称；
外推方向符合机制。

容易踩的坑

“一直上升”不等于指数增长

直线、根式、对数、许多多项式都能在某个区间上升。指数真正要求的是比例规律。

“弯曲”不等于二次

二次曲线没有渐近线，只有一个顶点。若数据逐渐贴近水平线，优先想指数衰减或有理模型；若一直增长但越来越慢，还要区分对数和根式的来源。

把总温度直接做指数衰减

热水不会趋近 $0\ ^\circ\mathrm C$ ，它会趋近室温。应该建模的是温差，或者在模型中加入室温基线。

对数里直接放有单位的量

$\log(5\text{ 小时})$ 的写法不完整。先除以一个基准时间，得到无单位比值，再取对数。

看到误差小就选最高次数

高次多项式参数多，当然更容易追上数据。要比较验证误差，也要看每个转折有没有现实理由。

忘记离散变量

人数、件数、页数通常取非负整数。连续模型可以帮助画图、求趋势，但最后的可行方案要回到整数上检查。

残差符号前后用反

本章统一使用

e=\text{实测值}-\text{预测值}.

$e>0$ 是模型低估， $e\lt 0$ 是模型高估。只要先写清定义，使用另一种约定也可以；最怕的是算到一半悄悄换方向。

综合练习

做下面的题时，别只写函数名称。至少写出变量、定义域或使用区间、选择理由和一句现实解释。

练习一：差值还是比值

某植物在实验早期的高度如下：

天数 $t$	$0$	$2$	$4$	$6$	$8$
高度 $H$ （cm）

在线性、二次、指数三种模型中，哪一个值得先尝试？写出一个近似模型，并说明不能怎样外推。

练习二：从二阶差分找二次项

某物体在等时间间隔内的位移记录为

$t$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$s$	$2$

判断函数族，并求一个恰好符合数据的模型。

练习三：固定路程与速度

一辆车行驶固定距离 $120$ 千米，平均速度为 $v$ 千米/小时。写出所需时间 $T$ 的模型，说明函数类型、定义域和单位。

练习四：平均成本的边界

某工作室每天固定成本 $900$ 元，每件产品还需 $15$ 元。若当天生产 $x$ 件，写出平均成本模型，并求生产 $100$ 件时的平均成本。

练习五：对数还是根式

一个圆形区域的面积从 $9\pi$ 平方米增大到 $36\pi$ 平方米。用面积估计半径时，应该优先选对数还是根式？半径增加了多少？

练习六：RMSE 小一点就一定更好吗

同一组数据上，线性模型的 RMSE 为 $3.1$ ，二次模型的 RMSE 为 $2.8$ 。能否只凭这两个数断定二次更好？

练习七：识别不合理外推

某水池放水时，水量越少，流出速度越慢。一个线性模型在前十分钟拟合尚可，却预测第 $40$ 分钟剩余水量为 $-12$ 升。怎样评价？

练习八：价格、销量和最大收入

某活动的预计销量与票价关系为

q(p)=180-6p,

其中 $p$ 的单位是元， $q$ 的单位是张。求收入模型、现实定义域和最大预计收入。

收束：一个好模型要会解释，也要会停

遇到真实问题时，先别急着问“这像哪条曲线”。先问：输入每增加一点，现实过程究竟发生了什么？是多出固定数量，乘上固定比例，逐渐靠近边界，还是从一个平方关系反解回来？

机制帮你缩小函数族，数据变化帮你检验候选，定义域和单位帮你排除不可能，残差告诉你还漏了什么。最后，使用范围替模型画出边界。

能写出公式，只算完成了一半。能说明为什么选它、参数是什么意思、误差怎样、在哪儿必须停用，这才是真正完成了一次建模。

27.5

T(t)

60.0

2.1

5.0

5.0

2

v

v

$0$	$60.0$	$60.00$	$0.00$	$60.00$	$0.00$
$5$	$44.5$	$44.53$	$-0.03$	$49.55$	$-5.05$
$10$	$33.0$	$33.05$	$-0.05$	$39.10$	$-6.10$
$15$	$24.5$	$24.52$	$-0.02$	$28.65$	$-4.15$
$20$	$18.2$	$18.20$	$0.00$	$18.20$	$0.00$