认识平面直角坐标系

和朋友约在商场见面，对方只说“我在你右边”，你大概知道方向，却还是找不到人。因为“右边”是一整片地方：他可能就在隔壁，也可能已经走到了街对面。如果他再补一句“从中庭向右走 60 米，再向上看二楼”，位置就清楚多了。

平面里的定位也有同样的麻烦。只给一个方向，往往只能把位置缩小到一条线；要锁定一个点，需要两条彼此独立的线索。一条管左右，一条管上下。平面直角坐标系就是把这两条线索整理成一套人人都能照着执行的“地址规则”。

这一章的目标很具体：看到一对坐标，你能准确把点放到图上；看到图里的点，你也能把它的坐标读回来。等这两件事都做稳，再去谈点怎样移动、许多点怎样连成图像，思路就不会被符号打断。

先别急着把它看成一张满是刻度的数学图。你可以把它当成一张画了参照线的街区地图：先约定从哪里出发，再约定哪个方向算正，最后约定每一步有多长。等这些规则说清楚，一个地点就能压缩成两个数。

先把平面装上一套尺子

我们在平面上画两条互相垂直的数轴。一条横着，一条竖着。它们不是普通的十字线，而是带有起点、方向和刻度的尺子。

横轴、纵轴和原点

横着的数轴叫 $x$ 轴，也叫横轴；竖着的数轴叫 $y$ 轴，也叫纵轴。两条轴交会的地方叫原点，通常用字母 $O$ 表示。原点的坐标是：

把原点想成商场地图上的“你在这里”。所有位置都从它开始量：在它右边，横向读数是正数；在它左边，横向读数是负数；在它上方，纵向读数是正数；在它下方，纵向读数是负数。

“向左就是负、向下就是负”当然可以记，但更稳的理解是：沿着数轴的正方向走，数会增大；反着走，数会减小。这样即使图画得很宽、刻度很多，你也不会只靠左上右下的位置感猜符号。

箭头告诉我们平面没有画完

课本里的坐标图总有边框，坐标轴却常在端点画箭头。箭头的意思不是让我们继续描一小截，而是说这两条数轴还会向外无限延伸。纸面只截取了其中一个观察窗口。

比如图上只画到 $x=4$，并不代表 $x=5$ 的点不存在；就像手机地图当前只显示附近三条街，不代表屏幕外的街区消失了。以后读任何坐标图，都要把“图上看见的范围”和“坐标系本身的范围”分开。

单位长度决定“一步”到底多大

原点只解决“从哪里量”，方向只解决“往哪边量”，还差一件事：每一步有多长。相邻刻度之间代表的数量，就是我们读图时使用的单位长度或刻度间隔。

在最常见的练习图里，相邻刻度相差 1，于是从 0 走到 3 要跨过三个单位。不过“一格等于 1”不是坐标系的铁律。一格也可以代表 2、5、10、$0.5$，甚至一万元。真正不能乱的是：同一条轴上的相邻等距刻度，所代表的数值变化必须保持一致。

两个数怎样变成一个地址

坐标平面上的点通常写成：

括号里的两个数叫有序数对。第一个数是横坐标，也就是 $x$ 坐标；第二个数是纵坐标，也就是 $y$ 坐标。“有序”两个字不是装饰，它是在提醒我们：这两个位置各有分工，不能随手交换。

横坐标先回答左右，纵坐标再回答上下

看点 $(3,2)$。第一个数 3 让我们从原点向右移动 3 个单位；第二个数 2 让我们再向上移动 2 个单位。两次移动的终点，就是这个点。

为什么一定先写横坐标？这是一条统一约定，就像地址通常先写城市再写街道。数学上并不是“横向天生比纵向更重要”，而是所有人必须使用同一顺序，地址才不会被误读。

于是 $(3,2)$ 和 $(2,3)$ 是两个不同的点：前者横向走 3、纵向走 2；后者横向走 2、纵向走 3。只有当两个位置上的数分别相等时，两个有序数对才相同。

负号说方向，数字大小说多少

点 $(-4,3)$ 的横坐标是 $-4$，所以要向左走 4 个单位；纵坐标是 3，所以再向上走 3 个单位。点 $(3,-4)$ 恰好换成右下方向。它们都用了 3 和 4，却因为数字所在的位置与符号不同，落到了平面中完全不同的地方。

这里有个容易说含糊的地方。横坐标 $-4$ 不是说“距离是负 4”。真实的长度不会是负数；负号记录的是方向，4 才表示离开参照轴的单位数。坐标同时带着“方向”和“位置”，所以它比单纯的距离信息更丰富。

坐标不只可以是整数

格点练习常让人误以为点只能落在整数刻度上。其实 $(-1.5,0.5)$、$(\frac{3}{2},-2)$ 都是正常的坐标。描这类点时，先确认两个整数刻度之间被分成几份，再找到相应的小数或分数位置。

例如 $(-1.5,0.5)$ 位于 $x=-1$ 与 $x=-2$ 的正中间，同时位于 $y=0$ 与 $y=1$ 的正中间。坐标轴是一条连续的数轴，点不必非要压在印得最粗的刻度线上。

描点：把地址翻译成位置

描点的任务是：已经知道坐标，去图上找到对应位置。最稳的动作顺序只有一句话——从原点出发，先横后竖。

完整例子：一次描出三类点

在同一个坐标系中描出 $A=(-4,3)$、$B=(2,-1)$ 和 $C=(0,-3)$。

这个“回到原点”很重要。描多个点时，不要把上一个点误当成下一个点的起点。坐标写的是每个点相对于同一个原点的位置，不是一串接力式的行走口令。

为什么横着走再竖着走一定能找到同一点

对于 $(a,b)$，横坐标 $a$ 确定了一条竖直的参照线，纵坐标 $b$ 确定了一条水平的参照线。两条线只会交在一个地方，那个交点就是 $(a,b)$。

所以实际描点时，你也可以先竖后横，最后仍会到同一处。但在读写和讲解中坚持“先横后竖”，能让移动顺序和坐标书写顺序对上，出错更少。这里要分清：坐标的书写顺序不能换，实际移动路径可以换。

读点：把位置翻译回地址

读点和描点正好反过来。描点是拿着地址找地点；读点是站在地点上查地址。

不要凭“左上角”猜坐标

一个点在左上方，我们最多只能判断横坐标为负、纵坐标为正，还不能知道具体数字。要读出准确坐标，可以想象从点向 $x$ 轴和 $y$ 轴分别作垂线：它在横轴上对准的读数是 $x$，在纵轴上对准的读数是 $y$。最后仍按先 $x$ 后 $y$ 写进括号。

完整例子：从街区图反读三个地点

一张街区坐标图规定每小格表示 1 个街区。书店位于原点左边 3 格、上面 2 格；公交站位于原点右边 4 格、下面 1 格；服务台正好在原点上方 3 格。写出它们的坐标。

读完可以做一个很快的合理性检查：左侧点的第一个数应当为负，右侧点的第一个数应当为正；上方点的第二个数应当为正，下方点的第二个数应当为负。符号对不上，通常说明读轴或抄写时出了问题。

刻度不从 1 递增时，先读轴再数格

假设横轴标出的相邻刻度是 $-10,-5,0,5,10$，那么一大格代表 5。一个点在原点右边第二大格，它的横坐标是 10，不是 2。格子只告诉你跨过了几个间隔，轴上的数字才告诉你每个间隔值多少。

如果一个大格又被均分成五小格，那么每小格代表 1。点落在 5 右边第三小格，对应的横坐标就是 8。遇到小数坐标也一样：先算清一小格的数值，再定位。

坐标里还藏着“对齐”关系

一个点的坐标不只告诉我们它单独在哪里。把几个点放在一起比较，哪一部分相同，还能告诉我们这些点怎样对齐。

横坐标相同，点排在同一条竖线上

看 $A=(-2,4)$ 和 $B=(-2,-1)$。两个点的第一个坐标都是 $-2$，说明它们横向走到了同一个位置。$A$ 在上面，$B$ 在下面，但它们都贴着 $x=-2$ 这条竖直参照线。

这和写字楼里的房间很像。两个房间都在同一列，只是楼层不同。它们的“左右位置”相同，因此横坐标相同；纵坐标不同，记录的就是上下差别。

纵坐标相同，点排在同一条横线上

再看 $A=(-2,4)$ 和 $C=(3,4)$。它们的第二个坐标都是 4，说明两点处在同一高度，也就是同一条水平线上。一个在原点左边，一个在右边，只是横坐标不同。

判断时不要被“横线”“横坐标”绕晕：一条水平线上的点，上下高度没有变化，因此固定的是纵坐标 $y$；一条竖直线上的点，左右位置没有变化，因此固定的是横坐标 $x$。

完整例子：补出广场的第四个角

一块长方形广场有三个角分别是 $P=(-3,2)$、$Q=(4,2)$、$R=(4,-1)$。边都沿着水平或竖直方向，求第四个角 $S$ 的坐标。

这个办法没有计算边长，只是在读坐标里的结构。以后看到一串点，不妨先比较第一个数和第二个数：相同的坐标分量，常常比孤立地看每个点更快暴露图形的排列方式。

象限：先用符号判断大方向

两条坐标轴把平面分成四块区域，这四块区域叫象限。编号从右上方开始，按逆时针方向依次为第一、第二、第三、第四象限。

象限编号本身没有从正负号里“算出来”的公式，它是一套固定命名。最好先记住第一象限在右上，再沿逆时针转一圈。符号规律则不用死背：点在左右哪一边决定 $x$ 的正负，在上下哪一边决定 $y$ 的正负。

完整例子：先分类，再检查边界

判断下列各点的位置：$P=(-5,2)$、$Q=(-2,-4)$、$R=(3,-1)$、$S=(4,6)$、$T=(0,-7)$、$U=(-3,0)$。

这一题真正容易漏的是最后两个点。判断象限前先扫一眼有没有 0，比看完正负号再补救更稳。

坐标轴上的点是边界，不属于象限

象限是被两条轴分出来的四块区域，坐标轴本身是区域之间的边界。边界上的点没有进入任何一个象限。

如果点在 $x$ 轴上，它既没有向上也没有向下，纵坐标必定是 0，可以写成：

如果点在 $y$ 轴上，它既没有向左也没有向右，横坐标必定是 0，可以写成：

原点 $(0,0)$ 更特殊：它既在 $x$ 轴上，也在 $y$ 轴上，是两条轴共同拥有的点。它同样不属于任何象限。

从“哪个坐标为零”反推哪条轴

这里最容易把逻辑说反。点在 $x$ 轴上，保留下来的是横向位置，所以 $x$ 可以变化，归零的是 $y$；点在 $y$ 轴上，保留下来的是纵向位置，所以 $y$ 可以变化，归零的是 $x$。

你可以用一个现场检查来避免死记：拿 $(5,0)$ 试一下。横向走 5 后，纵向一步不走，点当然停在横轴上。再拿 $(0,-2)$ 试一下。横向不走、直接向下 2，点当然停在纵轴上。

刻度会改变画面，也会改变现实含义

坐标纸上的格子看起来一样大，背后代表的数量却可以不同。读图时，眼睛看到的是纸面距离，坐标告诉我们的才是数值大小。

同一条轴上要等距等值，两条轴可以分别定刻度

假设横轴相邻刻度依次是 0、10、20、30，那么每一格代表 10；中间不能突然把下一格标成 50。纵轴也要遵守自己的固定间隔。

不过，$x$ 轴和 $y$ 轴不必使用同一种单位，也不必每格代表同一个数。横轴可以记录时间，每格 1 小时；纵轴可以记录路程，每格 20 千米。因为它们本来就在描述两种不同的量。

这会带来一个重要提醒：如果横纵轴比例不同，图形在纸面上看起来会被拉长或压扁。此时可以比较坐标值，却不能单凭视觉断言“两点的水平距离和竖直距离一样长”。只有横纵方向使用相同的实际尺度时，纸面上的角度和长度感觉才比较可信。

完整例子：坐标是数据，不是走了几格

一张骑行记录图中，横轴表示时间，单位是分钟，每一大格代表 10 分钟；纵轴表示路程，单位是千米，每一大格代表 2 千米。某个记录点在原点右边第 3 大格、上方第 4 大格。这个点应该怎样解释？

点的坐标离不开轴的标签与单位。同样的 $(30,8)$，在另一张图里可能表示“第 30 天气温 8 摄氏度”，也可能表示“购买 30 件商品花费 8 百元”。括号里的数字负责定位，坐标轴上的文字负责解释数字在现实中是什么。

给现实地点搭一套坐标规则

前面的练习都把坐标轴画好了。现实里却经常反过来：先有一张校园图、一块展厅或一片街区，我们要自己决定原点、方向和单位。只要这些约定前后一致，就能把模糊的方位描述变成准确坐标。

原点最好选在人人都找得到的地方

校园地图可以把正门、钟楼或中心广场设为原点。选哪个并没有唯一答案，但最好让使用地图的人容易辨认，也尽量让关心的地点落在图上方便观察的范围内。

如果所有建筑都在校门北面，把校门放在图的下方并没有错；如果要比较校门四周的设施，把中心广场放在中间可能更顺手。原点是一种参照选择，不是现实世界里天然钉死的“零号地点”。

方向必须写出来，不能靠读者猜

普通地图常把东画在右边、北画在上边，于是可以约定向东为 $x$ 轴正方向，向北为 $y$ 轴正方向。但展厅平面图也可能顺着入口方向旋转，屏幕坐标甚至常把向下设为纵向正方向。

数学练习通常采用向右为 $x$ 正方向、向上为 $y$ 正方向。遇到实际图纸时，仍要先看箭头或文字说明。方向约定一旦改变，正负号也会跟着改变，不能拿熟悉的图形习惯替代题目条件。

完整例子：把校园导航写成坐标

学校以中心广场为原点，规定向东为 $x$ 轴正方向，向北为 $y$ 轴正方向，每个坐标单位代表 50 米。图书馆在广场向西 100 米、向北 150 米处；体育馆在广场向东 200 米、向南 50 米处。求两个地点的坐标，并说出怎样从图书馆走回广场。

这道题同时用了三层语言：东南西北是现实方向，正负坐标是数学方向，一个坐标单位与 50 米是尺度换算。真正容易错的通常不是加减，而是把这三层混在一起。先把约定逐句翻译，再写坐标，过程会清楚很多。

地下、过去和亏损为什么常出现负坐标

负坐标不表示数据“不合理”。如果把地面层记作 $y=0$，地下二层可以记作 $y=-2$；如果把今天记作 $x=0$，三天前可以放在 $x=-3$；如果把收支平衡记作 $y=0$，亏损 200 元可以记录为负值。

这些例子虽然不是在真实街道上向左或向下走，逻辑却相同：先选一个零点，再用正负号区分零点两侧的状态。坐标系真正厉害的地方正在这里——横轴和纵轴可以承载任何有明确顺序与单位的数量，而不只是一张方格地图。

常见误区，最好当场拆开

把坐标顺序写反

看见点在左边 4 格、上面 3 格，却写成 $(3,-4)$，通常是把“看到哪些数字”当成了“坐标是什么”。修正方法很简单：每次落笔前默念“横坐标在前，纵坐标在后”。左边 4 格给的是 $x=-4$，上面 3 格给的是 $y=3$，答案应是 $(-4,3)$。

负号出现了，就往两个方向都走负数

在 $(-2,5)$ 中，只有第一个数带负号，因此只在横向向左；第二个数是正数，纵向仍然向上。两个坐标要分开读，不能让一个负号“传染”给另一个数。

一看到 0 就说是原点

$(0,6)$ 的确有一个 0，但另一个坐标不是 0，所以它在 $y$ 轴上方，不是原点。只有两个坐标同时为 0，才是原点 $(0,0)$。

把轴上的点塞进相邻象限

点 $(4,0)$ 画在第一、第四象限的分界线上，但它不属于其中任何一个。判断位置时可以固定用这个顺序：先查是否有坐标为 0；没有 0，再看符号判断象限。

只数格，不看刻度数字

一个点离原点两格，不代表坐标一定是 2。如果每格代表 5，向右两格就是 $x=10$。坐标图越接近真实数据，这种错误越常见，因为轴上经常不是以 1 为间隔。

把坐标当成点的永久名字

现实地点没有移动，换一个原点或换一个单位，它的坐标也可能改变。坐标是点在某一套参照规则下的地址。我们现在默认整张图共用同一个原点、方向和刻度；到了后面讨论坐标变化时，这句话会派上用场。

自练：能画，也要能说清理由

练习一：基本定位

不画图，判断下面各点的位置。

1. $A=(4,3)$
2. $B=(-2,5)$
3. $C=(-6,-1)$
4. $D=(3,-4)$
5. $E=(0,7)$
6. $F=(-5,0)$
7. $G=(0,0)$

练习二：从语言写坐标

以广场中心为原点，每一格代表 20 米，向东为 $x$ 轴正方向，向北为 $y$ 轴正方向。便利店在广场中心向西 60 米、向北 40 米处；地铁口在向东 80 米、向南 20 米处。写出两个地点的坐标，并说明坐标中的单位。

练习三：读特殊刻度

一张图的 $x$ 轴每一大格代表 5，$y$ 轴每一大格代表 10。点 $P$ 位于原点左边 2 大格、上方 3 大格；点 $Q$ 位于 $y$ 轴下方 4 大格。求 $P$、$Q$ 的坐标。

练习四：辨认错误说法

判断下列说法是否正确，并解释原因。

1. 点 $(-3,2)$ 和点 $(2,-3)$ 是同一个点，因为它们用到相同的两个数字。
2. 任何不在四个象限内的点都在原点。
3. 点在 $x$ 轴上时，它的纵坐标等于 0。
4. 坐标图上相邻两格之间永远相差 1。

练习五：利用对齐关系补点

点 $A=(-4,5)$ 与点 $B=(2,5)$ 在同一条水平线上，点 $B$ 与点 $C=(2,-3)$ 在同一条竖线上。现在要补出一个点 $D$，使 $A$、$B$、$C$、$D$ 依次围成长方形。求 $D$ 的坐标，并说明理由。

从“点在哪里”走向“点怎样变”

到这里，我们已经能把平面里的位置在两种语言之间来回翻译：看到 $(x,y)$，能把点描出来；看到图上的点，也能按先横后竖读出坐标。原点给出参照位置，轴的方向决定正负，刻度与单位决定数字的现实含义。

不过，真实问题很少只停在一个点上。骑行记录会有前后两个时刻，商场导航会有起点和终点，一组数据会在图上留下许多点。下一步自然要问：如果一个点从 $A$ 移到 $B$，横坐标改变了多少，纵坐标又改变了多少？

这个问题已经不是“地址是什么”，而是“地址发生了怎样的变化”。带着这套先横后竖、先看方向再看刻度的习惯，我们就可以进入下一章的坐标变化与图像直觉。