变量与变化关系

上一节里，我们把坐标看成一张地图：点告诉我们位置，$\Delta x$ 和 $\Delta y$ 告诉我们从一个位置走到另一个位置时，横向和纵向各变了多少。现在要把这份“变化感”带回生活里。

放学时，校门口的果汁摊写着“2 元/杯”。你买 1 杯付 2 元，买 3 杯付 6 元，买 5 杯付 10 元。杯数在变，总价也在变；“每杯 2 元”暂时没有变。数学里的变量、常量和关系，说的就是这些很具体的东西。

我们这一节先不急着给函数下严格定义。眼下更重要的是练会三件事：从情境里挑出要研究的量，说明这些量怎样一起变化，再选一种合适的方式把关系记录下来。等这三件事做稳，后面的表格、图像和函数符号就都有地方可落。

先分清什么在变，什么暂时不变

变量是可以取不同值的量

果汁杯数可以是 0、1、2、3，甚至更多；总价也会出现 0 元、2 元、4 元、6 元。像这样，在我们研究的范围里可能取不同数值的量，叫作变量。

这里有个容易忽略的细节：变量不是某一个具体数。$x=3$ 时，3 是变量 $x$ 的一个取值；$x$ 本身代表“可以变化的杯数”。就像“气温”不是 26 摄氏度这个数，而是一个今天可能为 26、明天可能为 31 的量。

写变量时，最好把单位一并放在心里。时间可以用秒、分钟或小时来量，同一个数字 5，可能是 5 秒，也可能是 5 小时。脱离单位谈变化，常常会把一个本来正确的计算讲错。

常量只是在当前问题里先固定住

每杯 2 元，在这个果汁摊、这次购买和当前价目表下没有变化，所以它是这个模型里的常量。可到了促销日，单价可能变成每杯 1.5 元；换到另一家店，也可能是每杯 4 元。

所以“常量”并不等于“宇宙中永远不变”。它更像拍摄一段短视频时固定住的背景：为了看清杯数和总价怎样联动，我们暂时把单价按住不动。

再看几个情境：

• 一辆车保持每小时 60 千米行驶时，行驶时间和路程是变量，60 千米/时是当前模型里的常量。
• 一个长方形的长固定为 8 厘米，只改变宽时，宽和面积是变量，8 厘米是常量。
• 记录一天气温时，时间和气温都在变；这时未必有一个简单的“每小时固定变化量”。

最后一个例子很重要。两个量一起变化，不代表它们一定按固定节奏变化，更不代表它们之间一定能写成一次式子。线性关系只是变化关系中的一种。

自变量和因变量是情境中的角色

先给谁，通常就把谁当输入

仍然看果汁摊。我们先说买几杯，再由单价算总价。此时杯数更像输入，常叫自变量；总价跟着杯数得出，更像输出，常叫因变量。

可以把它想成旋钮和仪表盘：你先把旋钮拧到某个位置，仪表盘再显示相应读数。不过这个比喻只是在帮助我们分角色，不是在说所有自变量都能被人随意控制。研究一天里的气温时，时间常被当作自变量，气温是因变量；我们当然不能用手拨动时间来控制天气，只是沿着时间顺序记录气温。

角色由问题决定，不由字母决定

$x$ 常被用来表示自变量，$y$ 常被用来表示因变量，但这只是书写习惯。研究“水龙头打开后桶里的水量”时，用 $t$ 表示时间、用 $W$ 表示水量，反而更容易读。$W(t)$ 一眼就能提醒我们：这里输入的是时间，输出的是水量。

同一对量，换一个问题，角色也可能交换。比如已知骑行速度，问“骑了 2 小时能走多远”，时间是输入，路程是输出；如果改问“要走 30 千米需要多久”，路程成了先给出的量，时间成了要找的量。交换后还能不能得到确定答案，要看我们有没有补足速度、路线、停留等条件，不能只把横纵轴名称颠倒一下就算完成。

“随着……变化”不等于“由它单独造成”

一天中，影子长度随着时间变化；一家商店的客流量也随着时间变化。把时间放在横轴，是因为它提供了自然的观察顺序，不代表时间是影子或客流变化的唯一原因。太阳位置、天气、营业活动都可能参与其中。

数学模型先负责把共同变化记录清楚。至于一个量是不是另一个量的原因，需要更多背景和证据。不要把“能画在同一张图上”直接翻译成“前者造成后者”。

判断角色时问这三句

1. 题目先给出、主动选择或按顺序记录的是哪个量？
2. 哪个量要靠另一个量和一条规则来算出或观察？
3. 如果交换输入与输出，原来的规则还够不够用？

这三句比“左边是 $x$，右边是 $y$”可靠得多。

一个关系可以有四种说法

关系不是公式的别名。文字、表格、图像和式子都能表示关系，只是它们把注意力放在不同地方。

文字先交代量的意义

“每杯果汁 2 元，总价等于杯数乘 2。”这句话告诉我们变量是谁、单位是什么，也说明了计算规则。生活问题最好先能用一句完整的话讲通，再去写字母。否则式子算得再快，也可能不知道答案究竟是杯、元还是分钟。

表格把一组组对应摆出来

把几种购买数量列出来，可以得到：

每一列都是一组配对：$(0,0)$、$(1,2)$、$(2,4)$。表格很适合查某个输入对应的输出，也适合比较相邻数值怎样变化。它的局限是，表中通常只放了少数输入。没有看到的输入该怎样处理，还得看文字规则或其他信息。

图像把整体走势摊开

把每组配对当成坐标点，杯数放在横轴，总价放在纵轴，就能把表格送进上一节学过的坐标系。点向右上方排列，说明杯数增加时总价也增加；相邻点有一致的横向和纵向步伐，说明变化节奏稳定。

不过在这个情境里，杯数只能取非负整数。可以买 2 杯或 3 杯，却不能按通常售卖方式买 2.4 杯。图上真正属于这个模型的是一个个离散的点。为了看趋势画出的辅助虚线，不会凭空让“2.4 杯”变成可购买的数量。

式子把规则压缩起来

如果用 $x$ 表示杯数，用 $P$ 表示总价，那么关系可以写成：

这个式子适合快速计算。给出 $x=17$，马上能得到 $P=34$ 元。可是式子本身不会主动告诉你 $x$ 是杯数、只能取非负整数，或者某天可能限购。那些信息仍然来自情境。

四种表示之间怎样互相检查

假设文字说“每杯 2 元”，式子却写成 $P=x+2$，代入 $x=3$ 会得到 5 元，而文字规则应得到 6 元，这就对不上。再比如表格中写着 $(3,6)$，图像却把点画在 $(6,3)$，说明描点时把输入和输出交换了。

遇到一道综合题，可以用一组简单输入做“对账”。$x=0$ 常用来检查初始值，$x=1$ 常用来检查每一步的规则，再挑一个较大的值检查这种规则有没有持续成立。

变化量告诉我们动了多少

上一节已经见过 $\Delta$。把它放进生活情境，意思仍然是“后来的值减去原来的值”。

如果输入从 $x_1$ 变到 $x_2$，输出从 $y_1$ 变到 $y_2$，那么：

正号表示增加，负号表示减少，0 表示没有变化。计算时必须保持同一个方向：如果输出用“后减前”，输入也要用“后减前”。两边同时反过来，变化率不变；只反一边，正负号就会被弄错。

初始值是我们选定的起点

一个桶在开始计时时已有 6 升水，之后水龙头稳定地每分钟注入 1.5 升。设 $t$ 是从开始计时起经过的分钟数，$W$ 是桶里的水量，可以写成：

这里的 6 升是 $t=0$ 时的水量，所以叫初始值。它不是说桶“诞生时”有 6 升水，只表示我们把计时起点选在此刻。若改成打开水龙头 4 分钟后才开始计时，新模型的初始值会变成 12 升。

对象没换，计时起点换了，初始值就跟着换了。

变化率把“动了多少”换成“每一份输入动多少”

从 $t=0$ 到 $t=4$，水量从 6 升增加到 12 升，所以：

平均每分钟增加的水量是：

“升/分钟”不是可有可无的装饰。变化率的单位总是“输出单位/输入单位”。60 千米/时、3 元/件、2 摄氏度/分钟，都在说输出相对于输入的变化节奏。

总变化相同，节奏可能完全不同

假设一杯热水在第 2 分钟是 58 摄氏度，第 9 分钟是 43 摄氏度。这 7 分钟里温度共变化：

平均变化率是：

这个结果只说“从头到尾平均下来，每分钟约下降 2.14 摄氏度”。它没有保证每一分钟都恰好降这么多。热水刚放下时可能降得快，接近室温时可能降得慢。

如果每一段相同时间都带来相同的温度变化，才可以说变化率恒定。恒定变化率会留下直线的脚印；变化率忽快忽慢，图像通常会弯曲或转折。

从一句生活话建成一个模型

建模不是看见数字就往 $y=mx+b$ 里塞。先选量、定单位、说清规则和范围，式子才有意义。

一套稳妥的建模顺序

例题：皮划艇租用费

湖边租船点收 30 元登记费，之后每使用一个半小时计费时段加收 12 元，每次最多租用 4 小时。用 $n$ 表示已经使用的半小时计费时段数，用 $C$ 表示总费用。

用表格抽查几项：

表格、式子和文字规则相互吻合。这里变化率若用 $n$ 作输入，是 12 元/时段；若改用小时作输入，则是 24 元/小时。数值变了，是因为输入单位变了，但计费规则没有变。

例题：水箱排水

水箱开始时有 120 升水，以每分钟 8 升的稳定速度排水。设经过 $t$ 分钟后剩余水量为 $V$ 升。

这个例子把一件很重要的事摆在眼前：公式的代数世界往往比模型的现实世界大。建模不仅要写公式，还要说明公式在哪一段有效。

现实会给输入划边界

变量可以变化，不表示它什么值都能取。所有允许输入的集合，后面会用一个专门术语来描述。现在先建立直觉：每次写出关系，都问一句“这个输入在现实里说得通吗？”

数量通常是离散的

杯数、人数、书本数、计费时段数通常只能取整数。若班级人数 $s$ 是 32，就不能顺手把 $s=32.7$ 也画进模型。把离散点连成线可以帮助眼睛看趋势，但线段上的每个位置未必都是允许数据。

测量量常常可以连续变化

时间、长度、温度和水量通常允许小数。水箱排水问题中，$t=2.5$ 分钟有现实意义，对应：

因此那段图像可以连成连续线段。不过“通常”不是“永远”。如果设备只在整分钟记录一次，表格里的观测数据仍可能是离散的。

负数和大数要回到语境检查

温度可以是负数，账户余额在允许透支时也可能为负；杯数、年龄和排空后的剩余水量通常不能为负。一个剧场只有 500 个座位，售票数即使按公式能算到 620，模型也必须在容量处停下来。

有时边界来自设备或规则，不来自算术：电梯只到 20 层，商店只营业 10 小时，优惠只适用于前 100 件。这些限制不能从一个短公式里自动读出来，必须保留在文字说明中。

关系不一定能给出唯一结果

我们一直在说“输入—规则—输出”，但生活中还有很多关系只是把两个量放在一起观察，并没有承诺一个输入能锁定一个结果。

一组学生数据就可能说明问题

如果输入是“学生编号”，输出是“今天测得的身高”，每个编号在这次记录里应有一个读数。若把输入改成“年龄”，同样是 12 岁的学生可能有不同身高。年龄和身高当然有关系，却不能只凭“12 岁”就推出唯一身高。

再看一个几何关系：

当 $x=0$ 时，$y$ 可以是 5，也可以是 $-5$。这个式子描述了一条圆，它确实是一个关系，但若坚持把 $x$ 当输入、$y$ 当输出，一次输入还不能把输出定下来。

这里先记一个直觉检查：给定一个输入后，规则能不能安心地指向一个结果？如果不能，我们面对的仍然可以是有价值的关系，只是暂时不能把它当作那种“按一次按钮就得到一个确定读数”的关系。后面的章节会把函数的条件说得更严格。

反过来读，结果可能改变

一家餐馆的每个菜品都有一个标价，所以从“菜品”查“价格”通常很顺；若从“价格”反查“菜品”，18 元可能同时对应凉面和馄饨。关系方向一换，原本确定的输出就可能不再唯一。

因此“因变量和自变量可以交换”不是一条无条件的操作口令。我们可以换问题，但换完后必须重新检查规则是否足够确定、现实范围是否改变。

几个常见误区

误区一：会变化的字母一定是自变量

自变量和因变量都可能变化，差别在它们在当前问题中的角色。桶里的水量一直在变，但当我们根据时间计算水量时，水量是输出。

误区二：图像向上就表示变化率是 1

向上只说明输入增加时输出也增加。每向右 1 格可能向上 0.5 格，也可能向上 20 格；还要看刻度和单位。上一节说过，视觉角度也会受坐标轴缩放影响。

误区三：表格里的点都应该连起来

是否连线由输入的实际类型决定。时间连续变化时常能连线，杯数和人数通常只能画点。图像好不好看不重要，是否忠于情境才重要。

误区四：第一条数据就是初始值

初始值通常指输入为 0 时的输出。如果一张表从 $t=3$ 开始记录，表中第一项只是“目前最早看到的数据”，不一定是 $t=0$ 的值。除非规则已知，否则不能随意把图像延长回 0 去猜。

误区五：平均变化率就是每一步的真实变化率

从起点到终点的平均值会抹平中途快慢。骑车 2 小时走了 30 千米，平均速度是 15 千米/时，不表示每一分钟速度都恰好是 15 千米/时。

误区六：几个点排得整齐，就证明永远照这个规律

有限数据只能说明已经观察到的配对。$2,4,6,8$ 后面可能是 10，也可能因规则改变出现别的数。只有题目给出完整规则，或我们有足够理由接受某个模型时，才能用它预测未出现的数据。

综合读表：手机电量怎样变化

一部手机从充满电开始播放视频，记录如下：

我们来完整读一遍，不急着猜公式。

注意“百分比”和“百分点”的区别：从 84% 降到 35%，电量读数下降 49 个百分点。这里用百分点/小时，单位更准确。

如果只凭这四列数据去预测第 20 小时电量，就要非常谨慎。手机可能早已关机，播放亮度和后台任务也可能变化。表格提供了观察结果，模型还需要现实边界。

练习与答案

练习一：挑出变量和常量

一家复印店按每页 0.3 元收费，这段时间内单价不变。小安复印的页数不同，总费用也不同。指出变量、常量，并说明哪个量更适合作输入。

练习二：角色会不会交换

一辆车以固定速度行驶。问题 A 是“给出时间，求路程”；问题 B 是“给出路程，求所需时间”。分别说明输入和输出。

练习三：从文字到表格和式子

水桶开始时有 9 升水，水龙头每分钟稳定注入 2.5 升。设时间为 $t$ 分钟，水量为 $W$ 升。写出式子，并求 $t=0,2,4$ 时的水量。

练习四：给模型划边界

一个水箱有 80 升水，以每分钟 4 升的速度排空，关系式为 $V=80-4t$。这个模型里 $t$ 和 $V$ 的现实范围是什么？

练习五：平均变化率

某地上午 8 时气温为 12 摄氏度，下午 2 时气温为 21 摄氏度。求这段时间的平均变化率，并说明它不能保证什么。

练习六：关系是否给出确定结果

一份记录把“年龄”当输入、“身高”当输出，其中两位 13 岁学生的身高分别是 154 厘米和 161 厘米。只知道输入“13 岁”时，能不能推出唯一身高？

收束：把变化送进表格

这一节从上一节的坐标变化出发，把目光放到现实中的量：变量是在研究范围里会取不同值的量，常量是在当前模型中暂时固定的量；自变量和因变量是输入与输出的角色，角色要由问题决定，不能被 $x$、$y$ 两个字母绑死。

一个关系可以写成故事、排成表格、画成图像，也可以压缩成式子。初始值告诉我们从哪里开始，变化量告诉我们前后差了多少，变化率再把差值换算成“每一份输入对应多少输出变化”。遇到真实情境，还要检查单位、离散或连续、现实边界，以及一个输入是否真能把输出确定下来。

下一节会把注意力集中到表格上。我们会逐列读取输入和输出，比较相邻数据的差，并分清“表格已经告诉我们的事实”和“我们根据有限数据猜出的规律”。这样，表格就不只是抄数字的框，而会成为看见关系的一双眼睛。

从 0 到 4 分钟，水量增加 $19-9=10$ 升，平均变化率为 $10\div4=2.5$ 升/分钟，与文字规则一致。