斜率：变化有多快

上一章里，我们学会了从左往右读函数图像：线往上走，输出在增加；线往下走，输出在减少；线横着走，输出没有变。可光知道“增、减、不变”还不够。

来看一个很现实的问题。你骑车遇到两段上坡路，一段向前骑了 100 米，升高 5 米；另一段只向前骑了 20 米，升高 4 米。第一段总共升得更高，但真正让腿发酸的，多半是第二段。原因很简单：第二段把将近同样的高度变化，挤在了短得多的水平距离里。

数学需要一个数，把这种“每往前一点，会升高多少”的感觉说准确。这个数就是斜率。它不只属于坡道。在骑车图里，它可以是每小时走多少千米；在水箱图里，它可以是每分钟增加多少升水；在收费图里，它可以是每多用一个单位，要多付多少钱。

这一章，我们要把“变化有多快”从一种直觉，变成一个能从图像、坐标、表格和公式中稳定算出来的数。

为什么要用比率，而不是只看变化了多少

先别急着套公式。我们先解决一个更根本的问题：为什么斜率一定要做除法？

假设甲坡向前延伸 10 米，升高 2 米；乙坡向前延伸 20 米，升高 3 米。只看升高量，乙坡升了 3 米，似乎更陡。可乙坡也多给了你一倍的水平距离，直接拿 2 和 3 比并不公平。

我们把两段坡都折算成“水平前进 1 米时升高多少”就清楚了：

甲坡每向前 1 米升高 0.2 米，乙坡每向前 1 米只升高 0.15 米。所以甲坡更陡。刚才那次除法，做的就是一次“统一标准”：横向距离不同没关系，全部换算成每 1 个横向单位的竖向变化，再比较。

同样的道理也出现在速度里

小林 2 小时骑了 36 千米，小周 3 小时骑了 48 千米。只看总路程，小周更远；但要问谁平均骑得更快，就得把路程除以时间：

路程是输出的变化，时间是输入的变化。把输出变化除以输入变化，得到的就是每 1 个输入单位带来的输出变化。坡度、速度、流量、单价，看起来来自不同生活场景，骨子里算的是同一件事。

路牌上的百分比坡度也是同一个比率

山路旁有时会看到“坡度 8%”的标牌。这个 8% 不是说路面与地面的夹角是 8 度，也不是说向前 1 米就升高 8 米。它表示纵向变化与水平变化的比值是 0.08：

如果水平前进 100 米，海拔升高 8 米，那么斜率为：

这里分母用的是水平距离，不是沿着斜坡实际骑过的路面长度。坡面本身比水平投影略长，若拿坡面长度作分母，算到的是另一个比率。

同样，斜率 1 对应的是纵向变化与横向变化相等，也就是向右 1、向上 1。在横纵轴单位和缩放相同的坐标纸上，它看起来像 45 度；可一般函数图像的两根轴可能使用不同单位，所以仍应靠变化量求斜率，不能拿量角器代替计算。

从变化量写出斜率公式

数学里常用希腊字母 $\Delta$ 表示“变化量”。它读作“德尔塔”，你也可以先把它当成“后来的值减去原来的值”的缩写。

如果输入从 $x_1$ 变到 $x_2$，输入的变化量是：

如果对应的输出从 $y_1$ 变到 $y_2$，输出的变化量是：

斜率用字母 $m$ 表示，定义为：

把它读成人话就是：

输入每变化 1 个单位，输出平均变化多少。

这里要求 $x_2\ne x_1$，因为输入必须真的发生变化，分母才不是 0。竖直线正好会碰到这个问题，我们后面专门说。

“后来减原来”的顺序必须成对

计算斜率时，两个点谁叫“点 1”、谁叫“点 2”都行。真正不能乱的是配对顺序。

以点 $A(1,3)$ 和点 $B(5,11)$ 为例。如果从 $A$ 走到 $B$，那么：

所以：

如果反过来从 $B$ 走到 $A$，两个变化量都会变成负数：

答案还是 2。方向反过来以后，纵向变化和横向变化一起反号，它们的比值没有变。这说明同一条直线的斜率不会因为你先写哪个点就改变。

一个很典型的错法

有人会这样写：

算式本身能算，但配对坏了。分子在走 $A\to B$，分母却在走 $B\to A$，像是上楼时用“向上的高度”配了一段“向后的路程”，正负号当然会被扭曲。

斜率一定要带着单位读

若 $x$ 的单位是小时，$y$ 的单位是千米，那么：

若 $x$ 的单位是商品件数，$y$ 的单位是元，那么斜率单位就是“元/件”。若 $x$ 是分钟，$y$ 是水量，那么单位就是“升/分钟”。

单位不是答案末尾的装饰。它告诉你分子和分母有没有放反，也告诉你算出的数在现实里到底是什么意思。例如，收费模型的斜率是 $2.5$ 元/千米，完整解释应是“每多行驶 1 千米，费用增加 2.5 元”，而不是只写“斜率是 2.5”。

从图像求斜率：先横着走，再竖着走

图像上的斜率可以借助一个直角三角形来读。先在直线上挑两个看得清坐标的点，再从左边的点水平走到右边点的正下方，最后竖直走到右边的点。

这两段路分别给出：

• 横向变化 $\Delta x$；
• 纵向变化 $\Delta y$。

然后用 $\Delta y\div\Delta x$。顺序不能倒，因为我们问的是“每 1 个输入单位带来多少输出变化”。

例题：从上升的图像读斜率

一条直线经过 $(1,1)$ 和 $(4,3)$，求斜率。

例题：从下降的图像读斜率

另一条直线经过 $(-2,5)$ 和 $(4,-1)$。从左到右，线往下走，所以在动笔前我们就应该预判答案是负数。

完整解释是：$x$ 每增加 1，$y$ 减少 1。负号管方向，绝对值 1 管每一步变化的大小。

图上挑点，不要挑“看着差不多”的地方

一条线经过很多点，但图像像素和线条粗细会带来误差。求斜率时，优先挑落在清晰网格交点上的两点，而且两点尽量隔得远一些。若你只凭眼睛猜一个模糊点是 $(2,3)$，它实际也许是 $(2,3.2)$，算出的斜率就会偏。

从表格求斜率：别默认每一列只走一步

表格把图像上的点写成了数字。只要选两列，把同一列里的输入和输出配成一个点，就能使用两点公式。

等步长表格：可以看相邻差

一辆骑行车在匀速路段上的记录如下：

时间每次增加 1 小时，距离每次增加 14 千米：

用后面任意一对相邻数据也一样：

每一段变化率相同，所以这张表符合线性关系。表里的 6 表示计时开始时已经离出发点 6 千米；它不是斜率。本章先把注意力放在 14 这个恒定变化率上，初始值的角色会在下一章接着讲。

不等步长表格：必须算比率

再看一个注水记录：

这一次，时间间隔分别是 2 分钟、3 分钟、4 分钟。水量分别增加 8 升、12 升、16 升。只看“增加了多少”，三个数并不相同；可把它们除以对应的时间变化：

每一段都是 4 升/分钟，所以注水速度恒定，仍然是线性关系。

这张表很能说明问题：线性不要求相邻输出差相同，除非相邻输入差也相同。真正该保持不变的是 $\Delta y/\Delta x$，不是孤零零的 $\Delta y$。

反例：输出差相同，也未必是线性关系

$y$ 每次都增加 4，看起来很整齐。但 $x$ 分别增加 1、2、3，所以各段变化率是：

变化率不相同，这不是一条直线的恒定节奏。

从公式求斜率：找每增加一个 x 会多出多少

一次函数常写成：

这里的 $m$ 就是斜率。因为当 $x$ 增加 $\Delta x$ 时，$mx$ 会增加 $m\Delta x$，常数 $b$ 前后相减会消掉：

所以：

这也解释了为什么一条直线上的任意两点都会算出同一个斜率。无论你挑哪一段，$b$ 只负责把整条线放到某个高度，不会改变每一步的变化量。

例题：公式已经整理好

某水箱的剩余水量为：

把它按 $W(t)=-3.5t+72$ 的顺序看，$t$ 的系数是 $-3.5$，所以斜率为 $-3.5$ 升/分钟。它表示每过 1 分钟，水量减少 3.5 升。

注意，不要把 72 当成斜率。72 是计时开始时的水量；$-3.5$ 才控制后续每分钟怎样变化。

例题：公式还没整理成 y 等于什么

已知：

先把 $y$ 单独放在等号一边：

所以斜率是 $-3/2$。从左往右看，直线下降；$x$ 每增加 2，$y$ 减少 3。

若直接把原式里 $x$ 前面的 3 当成斜率，就会错。只有先看清输出 $y$ 随输入 $x$ 怎样变化，才能读出真正的 $m$。

比例关系和一般线性关系不是同一个起点

比例关系写成：

它表示 $y/x=k$，而且图像一定经过原点 $(0,0)$。买 1 千克苹果 8 元、买 2 千克 16 元，如果没有包装费或起步费，总价与重量就是这种关系，$k=8$ 元/千克。

一般线性关系写成：

它仍然有恒定变化率 $m$，但 $x=0$ 时可能已经有一个初始量 $b$。例如出租车费用“起步价 12 元，之后每千米 2.4 元”可以写成 $C(x)=2.4x+12$。每千米多 2.4 元的节奏是恒定的，但费用与路程不成比例，因为 $C(x)/x$ 不会始终等于同一个数，图像也不经过原点。

从生活语言里把斜率捞出来

很多题目不会把两个点整齐地摆在你面前，也不会直接说“请计算斜率”。它可能只给一段话：某种量每小时增加多少、每做一件要多花多少钱、每下降一米温度怎样变化。看到“每”字，我们就应该想到单位变化率。

但别一见“每”就抄后面的数。先找清楚谁是输入、谁是输出，再判断这个数是不是“输出单位/输入单位”。

收费问题：固定部分不是斜率

某共享设备的费用是“开机服务费 6 元，使用期间每 15 分钟再收 2 元”。若用分钟作输入、总费用作输出，真正的变化率要统一到每 1 分钟：

6 元在使用时间还没增加时就已经存在，不是斜率。斜率只看“使用时间再增加时，费用跟着怎样变”。若题目改用“15 分钟”为一个输入单位，那么斜率可以写成 2 元/计费段。数字变了，是因为输入单位变了；实际收费速度没有变。

这也提醒我们，比较两个斜率前要先统一单位。一个方案写 0.2 元/分钟，另一个方案写 10 元/小时，不能直接比较 0.2 和 10。把前者换成小时：

于是前者的按时收费更快。

骑行问题：“离家距离”不一定等于“实际速度”

小夏从家出发去公园。10 分钟时离家 1.5 千米，20 分钟时离家 2.1 千米。离家距离关于时间的平均变化率是：

它表示这 10 分钟里，离家距离平均每分钟增加 0.06 千米。可这不一定等于自行车速度。若小夏绕弯、掉头或者走了一段与家的距离几乎不变的环路，实际骑过的路程会更长。

同一个数放在不同纵轴上，含义会变。“路程—时间”图的斜率可以表示行驶速度；“离家直线距离—时间”图的斜率只表示离家距离变化得多快。做应用题时，先念出两根轴，比急着计算更重要。

海拔问题：输入和输出都可能带负数

一名潜水员从海拔 $-6$ 米下潜到海拔 $-18$ 米，用了 4 分钟。若时间为输入、海拔为输出：

负号表示海拔在降低。这里不能因为“下潜了 12 米”就把分子写成正 12；“下潜深度增加”与“海拔降低”是两个不同输出。题目把纵轴定义成海拔时，向下就应是负变化；若纵轴改成水下深度，变化率才会是正 3 米/分钟。

根据变化率反推一段总变化

斜率公式还能反过来用。由：

可得：

一辆车以 72 千米/小时匀速行驶 2.5 小时，路程变化为：

一个水箱以 $-4$ 升/分钟的变化率排水 7 分钟，水量变化为：

这里的 -28 表示“比原来少了 28 升”，不是说水箱里一定剩下 -28 升。变化量和最终存量是两件事；要知道最后剩多少，还需要知道开始时有多少。

斜率的符号和绝对值各管一件事

斜率的正负号告诉我们方向，绝对值告诉我们变化的猛烈程度。

正斜率：输入增加，输出也增加

若 $m>0$，从左往右看，直线上升。比如 $m=2$ 表示 $x$ 每增加 1，$y$ 增加 2；$m=1/4$ 表示 $x$ 每增加 4， 才增加 1。

负斜率：输入增加，输出反而减少

若 $m<0$，从左往右看，直线下降。水箱排水、电池电量下降、距离终点越来越近，都可能出现负斜率。

$m=-5$ 的意思不是“变化比 0 小所以很慢”，而是“方向向下，而且每 1 个输入单位减少 5”。负号说明方向，5 才是变化幅度。

零斜率：输入在走，输出没动

若 $m=0$，$x$ 可以一直增加，$y$ 却保持同一个值。图像是一条水平线，函数处于常量状态。

比较陡缓要比较绝对值

比较 $m=4$ 和 $m=-7$ 时，不能说 4 大于 -7，所以第一条更陡。陡缓不管向上还是向下，要比较 $|m|$：

第二条线的斜率绝对值更大，所以更陡，只不过它是向下陡。

再比较 $m=-0.2$ 和 $m=-3$。两条都下降，但 $|-3|>|-0.2|$，所以 $m=-3$ 的线下降得更快。

水平线和竖直线：一个是 0，一个是无定义

这两个结论很容易被背成一句顺口溜，又很容易在真正计算时混掉。我们直接回到斜率公式看原因。

水平线的斜率为什么是 0

水平线 $y=2$ 上任取两点，例如 $(-2,2)$ 和 $(1,2)$：

分子为 0，说明纵向没有变化；分母不为 0，除法可以正常进行。所以水平线的斜率是 0，不是“没有斜率”。

竖直线的斜率为什么无定义

竖直线 $x=2$ 上任取两点，例如 $(2,-1)$ 和 $(2,2)$：

分母是 0。我们不能用 0 作除数，因此这个比值没有定义。不要把它写成 0，也不要把它当成一个“特别大的数”。“无定义”的意思就是没有任何实数能充当它的斜率。

为什么竖直线不是 y 关于 x 的函数

竖直线 $x=2$ 上有 $(2,-1)$、$(2,0)$、$(2,2)$ 等无数个点。同一个输入 $x=2$ 对应了很多不同的输出 ，破坏了函数“一个输入只能有一个输出”的规则。

所以竖直线同时出现两个结论：

• 它的斜率无定义，因为 $\Delta x=0$；
• 它不是 $y$ 关于 $x$ 的函数，因为同一个 $x$ 对应多个 $y$。

这两个结论都来自“横坐标始终不变”，但回答的是不同问题，别把它们混成同一句定义。

直线的斜率与曲线的平均变化率

前面算直线斜率时，选哪两个点都得到同一个数。这是线性关系最重要的特征之一：变化率恒定。

可现实里的变化不总是匀速。骑车会加速和减速，水龙头的流量会变化，气温也不会每小时稳定升高同一个数。这时，两个时刻之间仍然可以用同一个公式计算，但这个数应叫作这段区间上的平均变化率。

例题：同一条曲线，不同区间有不同平均变化率

考虑函数：

在区间 $[0,2]$ 上：

在区间 $[2,4]$ 上：

两个区间长度都是 2，平均变化率却分别是 2 和 6。这说明 $y=x^2$ 越往后增长得越快，不是恒定变化率，因此它不是线性函数。

平均变化率只概括起点和终点

假设一名骑手在 0 分钟时离家 0 千米，30 分钟时离家 9 千米。平均变化率是：

这个数表示整段路平均每分钟把离家距离增加 0.3 千米。它不保证骑手每一分钟都恰好走 0.3 千米：中间可能等过红灯，也可能有一段下坡骑得特别快。

图像上，曲线两端点连成的直线叫割线，平均变化率就是这条割线的斜率。它概括整个区间，却不会把区间内部每一刻的快慢都告诉你。

怎样判断一张表更像线性关系

从表格里选多个不同区间，分别计算 $\Delta y/\Delta x$。如果所有区间都得到同一个比率，数据符合恒定变化率，可以用直线描述；如果不同比率明显不同，就不能把其中某一段的平均变化率冒充整条关系的固定斜率。

用函数记号计算端点

有时题目不给表格，而是给出函数公式和区间。例如：

求它在 $[1,4]$ 上的平均变化率。先分别计算两个端点的输出：

再把“输出之差”除以“输入之差”：

这个 7 只表示 $t=1$ 到 $t=4$ 之间的平均变化率。验证一下边界：在 $[1,2]$ 上，$g(2)=7$，平均变化率为 $(7-2)\mathrm{/}$；换区间后答案变成 5，再次说明这不是一条恒定斜率的直线。

用函数记号时最常见的错误，是把 $g(4)-g(1)$ 错写成 $g(4-1)$。前者是两个输出的差，后者是先把输入变成 3 再求一个输出，它们通常不相等：

平均变化率公式必须保留两个端点各自的函数值：

已知斜率和一个点，怎样接到直线公式

斜率告诉我们变化节奏，却还不能单独确定是哪一条直线。城市里有很多坡度相同的平行坡道，它们一样陡，却不在同一个位置。数学里也一样：$y=2x+1$ 和 $y=2x-5$ 的斜率都为 2，但它们是两条不同的线。

若还知道直线经过一个点 $(x_1,y_1)$，就可以把“从这个点出发，按斜率变化”写成点斜式：

这个式子其实是斜率公式的变形：

两边乘以 $x-x_1$，就得到点斜式。

例题：斜率为 -3，经过点 (2,7)

把 $m=-3$、$(x_1,y_1)=(2,7)$ 放进去：

这行式子已经准确描述了直线。检查一下：当 $x=2$ 时，右边为 0，于是 $y=7$，点 $(2,7)$ 确实在线上；当 $x$ 从 2 增加到 3 时，右边减少 3，于是 $y$ 从 7 变成 4，变化率也确实是 -3。

我们也可以把点和斜率代入 $y=mx+b$，用一个方程求出 $b$：

下一章会专门解释 $b$ 在图像和现实情境中的意义，这里只要知道：斜率加上一个点，足以锁定整条直线。再下一步，无论用点斜式还是代入法，都是在把这条线的完整公式写出来。

综合例题：把图、表、公式和生活语言接起来

例题：水箱排水

某水箱在开始计时 2 分钟后有 51 升水，8 分钟后有 33 升水。假设排水速度恒定。

例题：分段收费表是不是线性的

某停车场给出的累计费用如下：

检查每一段：

前两段每小时增加 4 元，最后一段每小时增加 6 元。整个表的变化率不恒定，所以不能用一条直线描述全部收费过程。若只问 1 到 6 小时的平均变化率，则可以算：

这个 4.8 是整段的平均数，不是停车场每小时固定加收 4.8 元。

例题：比较两条线谁更陡

甲直线经过 $(0,4)$ 和 $(5,-1)$，乙直线的公式是 $y=\frac32x-7$。

甲的斜率为：

乙的斜率为：

甲向下，乙向上。比较陡缓时看绝对值：

所以乙更陡。不能因为甲的斜率是负数就说它“没有乙陡”，也不能只按普通数轴比较 $-1$ 和 $3/2$；这里比较的是每一步变化幅度。

常见错误诊所

错误一：把横向变化除以纵向变化

斜率问的是“每 1 个输入单位，输出变多少”，所以输出变化在分子，输入变化在分母。写成 $\Delta x/\Delta y$，单位也会倒过来。例如速度本应是千米/小时，倒过来会变成小时/千米，回答了另一个问题。

错误二：只换一个减法的顺序

这种写法把正负号翻转了。分子分母必须沿同一方向走。

错误三：见到负斜率就说“变化更慢”

负号只说明输出随输入增加而减少。$m=-10$ 比 $m=-0.5$ 下降得更快，因为 $|-10|>|-0.5|$。

错误四：把竖直线的斜率写成 0

竖直线的分母是 0，斜率无定义；水平线的分子是 0，斜率才是 0。一个是不能除，一个是 0 除以非零数，完全不同。

错误五：表格里只比较输出差

只有输入等步长时，输出差相同才说明变化率相同。输入步长不等时，必须逐段算比率。

错误六：把曲线一段的平均变化率当成处处固定

曲线在两个端点之间可以算平均变化率，但中间可能时快时慢。换一段区间后，答案往往会变。

练习

下面的题目尽量先写出“输入变化”和“输出变化”，再做除法。每道题算完后，都用一句话解释斜率的方向、大小和单位。

练习一：两点与顺序配对

直线经过 $(-3,7)$ 和 $(2,-8)$。求斜率，并说明函数是增加还是减少。

练习二：从不等步长表格判断

这张表是否表示恒定变化率？若是，斜率是多少？

练习三：斜率的单位

某蓄水池在 4 分钟时有 120 升水，10 分钟时有 165 升水。求这段时间的平均变化率，并解释单位。

练习四：从公式读斜率

求直线 $4x-5y=20$ 的斜率。

练习五：水平还是竖直

分别求经过 $(1,-4)$、$(7,-4)$ 的直线，以及经过 $(3,-2)$、$(3,6)$ 的直线的斜率。

练习六：比较陡缓

三条直线的斜率分别是 $-5/2$、$2$、$-0.4$。哪条最陡？哪条最平缓？哪些线从左往右下降？

练习七：线性还是只有平均数

函数 $f(x)=x^2+1$ 在区间 $[1,3]$ 和 $[3,5]$ 上的平均变化率分别是多少？它是否有恒定斜率？

练习八：为直线公式搭桥

一条直线斜率为 $3/2$，并经过点 $(4,-1)$。先写出点斜式，再检查点 $(6,2)$ 是否在这条直线上。

练习九：从文字中识别斜率

某打印店收取 5 元文件处理费，每打印 20 页再收 3 元。若输入是页数，输出是总费用，斜率是多少？5 元又表示什么？

练习十：单位换算后再比较

甲水管每分钟注水 1.8 升，乙水管每小时注水 96 升。哪根水管的斜率绝对值更大？

练习十一：别把两个函数值合并

函数 $h(x)=x^2-3x$ 在区间 $[-1,2]$ 上的平均变化率是多少？

练习十二：变化量不等于最终量

某冷藏箱内有 86 升液体，之后以 $-2.5$ 升/分钟的恒定变化率排出液体。12 分钟内水量改变多少？12 分钟后还剩多少？

收住这一章的主线

斜率解决的是一个很朴素的问题：输入往前走时，输出以什么方向、什么速度变化。

真正的核心不是背下 $m=\Delta y/\Delta x$，而是知道为什么要这样比：输出总变化必须除以对应的输入总变化，才能换算成“每 1 个输入单位”的公平尺度。两点的减法顺序要成对，单位要写成输出单位/输入单位，表格输入步长不等时必须比较比率。

对于直线，这个比率处处相同，所以我们可以从图像、任意两点、表格或公式中得到同一个斜率。正负号告诉方向，绝对值告诉陡缓；水平线斜率为 0，竖直线斜率无定义。对于曲线，同一个公式只给出选定区间上的平均变化率，不能冒充处处不变的斜率。

现在，我们已经拿到了直线“怎样变化”的信息。下一步要问的是：这条线从哪里开始，或者说，当输入为 0 时，输出站在什么位置。那就是下一章要接住的截距。

斜率是 -3。$x$ 每增加 1，$y$ 减少 3，所以函数从左往右下降，是减少的线性函数。反过来计算会得到 $15/(-5)=-3$，答案相同。

所有区间的变化率都等于 2，所以数据符合线性关系，斜率为 2。

平均变化率是 7.5 升/分钟，表示从第 4 分钟到第 10 分钟，水量平均每分钟增加 7.5 升。若题目没有说明流量恒定，不能进一步断言每一分钟都恰好增加 7.5 升。

所以斜率是 $4/5$，直线从左往右上升。$x$ 每增加 5，$y$ 增加 4。

它是一条水平线，斜率为 0。

第二组点的横坐标相同：

分母为 0，斜率无定义；它是一条竖直线，也不是 $y$ 关于 $x$ 的函数。

两个等长区间的平均变化率不同，所以它没有恒定斜率，不是线性函数。4 和 8 分别只描述各自区间的平均变化快慢。

代入 $(6,2)$ 检查，左边为 $2+1=3$，右边为 $\frac32(6-4)=3$，两边相等，所以点 $(6,2)$ 在这条直线上。

所以：

平均变化率是 -2。它描述 $x=-1$ 到 $x=2$ 这整个区间的平均下降速度，不代表曲线上每一点的变化率都等于 -2。

所以水量变化是 -30 升，也可以说减少 30 升；12 分钟后剩 56 升。不能把 -30 升直接当成剩余水量。