用表格表示关系

上一章里，我们把现实中的量分成了“先给出的量”和“跟着变化的量”。可真要把一串观察结果记下来，只靠一句“它们有关系”还不够。你得说清楚：给出哪个值时，另一个量到底是多少；数值用什么单位；这是全部情况，还是只记录了其中几次。

表格正好适合做这件事。它像一本整理得很干净的账本，把一次次输入和输出并排放好。你不必先猜公式，也不用马上画图，顺着一行一行读，就能看见两个量怎样配对、往哪个方向变、变化的节奏是不是稳定。

我们继续用一个小摊的故事。明信片每张 2 元，打包时还要固定收 3 元包装费。买 0 张时也要不要付钱？在这个模型里，“0 张”表示只做包装准备，因此总价是 3 元。买 1 张是 5 元，买 2 张是 7 元。把这些话排进表里，关系就不再含糊了。

一张好表，先把名字和单位写完整

先看这张横向表：

表头不是装饰。“明信片张数”和“总价”告诉我们两个变量分别代表什么，$x$ 和 $y$ 是它们的简写，“张”和“元”则说明数字的单位。只写一排 $0,1,2,3,4$ 和一排 $3,5,7,9,11$，计算也许还能做，可一旦离开上下文，没人知道 2 表示 2 张、2 元，还是 2 分钟。

同一列里的两个数才是一对

横向表要竖着读。$x=0$ 和 $y=3$ 在同一列，所以它们配成一对；$x=3$ 和 $y=9$ 在同一列，所以它们也配成一对。整张表记录的是：

这里的括号不是把两个数随便捆在一起。前一个位置固定留给输入，后一个位置固定留给输出。把 $(3,9)$ 写成 $(9,3)$，意思就从“3 张明信片共 9 元”变成了“输入 9 时输出 3”，关系已经换了。

表格也可以竖着排：

横排还是竖排不影响数学内容。横向表中，每一列是一组配对；竖向表中，每一行是一组配对。读之前先看表头和排布，别凭习惯猜。

读表，就是沿着一组配对查过去

表格最直接的用途是查值。问“买 3 张多少钱”，我们先在输入一行找到 3，再沿着同一列读到输出 9。不要把表格里的所有数都算一遍，也不用先写出公式。

已知输入查输出

某自助洗衣房记录了洗衣时长和机器显示的剩余分钟数：

如果问“已洗 23 分钟时还剩多少分钟”，就在 $t$ 那一行找到 23，再读同列的 $R$，答案是 7 分钟。

如果问“还剩 15 分钟时已经洗了多久”，方向反了：先在输出一行找到 15，再回到同列输入，得到 15 分钟。查表可以双向查，但两种问题并不完全对称。已知一个输入，通常只期待一个明确输出；已知一个输出，有时可能找到不止一个输入。

比如一张气温表中，上午 8 点和晚上 8 点都可能是 $18\,^{\circ}\mathrm{C}$。问“晚上 8 点气温是多少”只有一个答案；问“什么时候是 $18\,^{\circ}\mathrm{C}$”却可能有两个甚至更多答案。输出重复并不奇怪。

示例：从一张纵向表回答三种问题

一家烘焙店记录烤箱预热过程：

问题一：4 分钟时温度是多少？问题二：温度达到 $139\,^{\circ}\mathrm{C}$ 时，表中对应的时间是多少？问题三：这张表能不能告诉我们 5 分钟时的准确温度？

这个区别很实用：表格只对它明确给出的配对负责。缺少的一行，也许能靠公式补出来，也许只能重新测量；关键看题目还给了什么条件。

先检查配对有没有“打架”

上一章已经提过，确定的输入不能一会儿得到这个结果，一会儿又得到另一个结果。表格把这种冲突摆得很显眼：只要在输入一侧寻找重复值，再比较它们对应的输出就行。

不同输入得到同一个输出，没有问题

看下面这张表：

输入 1 和 2 都得到 5，输入 3 和 4 都得到 7。输出虽然重复了，每个输入自己却只有一个结果，所以配对没有冲突。生活里这种情况随处可见：不同月份可能有相同天数，不同商品可能标同样的价格，不同学生也可能得到同样的分数。

同一个输入出现两个不同输出，才是真的冲突

再看一张竖向表：

输入 1 一次对应 3，另一次对应 5。如果这张表声称记录的是同一条确定规则，那么它就“打架”了：给出输入 1 时，到底应该得到哪个输出？

还有一种容易误判的情况：

输入 2 虽然写了两遍，但两次都对应 7。这只是重复记录，没有产生两个不同答案。整理表格时可以合并掉一行，关系本身没有变。

现实记录为什么有时会出现“同龄不同身高”

一张表如果写着“年龄 10 岁—身高 138 厘米”和“年龄 10 岁—身高 145 厘米”，并不说明现实出错了，很可能是记录了两个不同孩子。问题在于，我们把“年龄”当作唯一输入时，信息不够分辨这两个人。

要研究某一个孩子的成长，可以把输入改成“这个孩子的年龄”；要记录全班情况，可以增加“学生编号”这一列。数学判别从来不是说生活只能有一个结果，而是在问：你现在选的输入，够不够把输出确定下来。

看变化节奏，不能只盯着相邻差

表格还像一串脚印。输入往前走了多少，输出跟着走了多少，决定了这段关系的变化节奏。

当输入每次都增加 1 时，观察输出的相邻差很方便。比如：

时间每增加 1 分钟，水量都增加 4 升。我们可以说水量按每分钟 4 升的节奏增加。

可一旦输入不是等步长，相邻输出差就不能直接拿来比较。看这张表：

相邻水量分别增加 8、12、16 升，看上去“不一样”；但对应的时间也分别增加 2、3、4 分钟。把输出变化除以输入变化：

三个结果都是每分钟 4 升。水量差变大，只是因为观察间隔变长了，真正的单位变化节奏并没有变。

固定步长时，“看差”只是一个快捷方式

如果输入一律每次增加 2，那么输出每次增加 10，也表示每 1 个输入单位增加 5；如果输入一律每次增加 0.5，而输出每次减少 3，那么每 1 个输入单位会减少 6。相邻差只有和输入步长放在一起才有意义。

变化率可以写成：

单位也要跟着读成“输出单位每输入单位”。水量除以时间，得到“升每分钟”；费用除以路程，得到“元每千米”。一个没有单位的 4，可能是每分钟 4 升，也可能是每千米 4 元，含义完全不同。

示例：不等时间间隔下判断变化是否稳定

某辆接驳车离总站的距离如下：

这里说的是表中各段的平均变化节奏。现实车辆可能在某一分钟加速、下一分钟减速；表格没有记录到这么细，就不能擅自说每个瞬间都完全相同。

从表里读出起点、方向和公式线索

拿到一张数值表，我们通常先问三件事：起点在哪里？输出总体往上还是往下？单位变化是不是稳定？这三问会给出关系式的线索。

输入为 0 的那一格，常常藏着初始值

回到明信片表。当 $x=0$ 时，$y=3$。这 3 元不是“买了 0 张还收明信片钱”，而是题目里一直存在的固定包装费。它表示变化开始之前，输出已经有多少。

对一个形如“固定部分 + 每单位增加量”的关系，可以先写成：

明信片每多 1 张，总价加 2 元；0 张时总价是 3 元，所以：

表里没有 0，也能找公式线索

看下面的数据：

输入每增加 3，输出增加 9，所以每 1 个输入单位，输出增加 $9\div3=3$。先暂时写成“$y=3x+$ 一个固定数”。再用表中任意一对数，比如 $(2,11)$ 检查：$3\times2=6$，要到 11 还差 5，于是关系式的线索是：

代入 $(8,29)$ 复查，$3\times8+5=29$，与表格相符。

这还不是说“只凭四行数据就证明了所有输入都遵守这个公式”。如果题目已经说明关系是线性的，或者生活规则明确说单位变化恒定，那么这个式子就能用来表示完整规则；如果题目只给孤零零四个点，它最多是一个很合理的候选。

上升、下降和不变，先用语言说清楚

当输入从小到大排列时：

• 输出总体变大，我们说表中呈上升趋势；
• 输出总体变小，我们说表中呈下降趋势；
• 输出一直相同，我们说表中保持不变；
• 输出一会儿升一会儿降，就要分段描述，不能硬贴一个标签。

趋势只告诉方向，不等于变化率恒定。$1,2,4,8$ 一直上升，但相邻增加量是 $1,2,4$，节奏并不相同；$20,17,14,11$ 一直下降，而且每次都减少 3，才同时具有稳定变化的线索。

表格中的一组数，到了坐标系就是一个点

为什么表格很容易转成图像？因为表中每一组 $(x,y)$，正好就是坐标平面上的一个点：输入放在横坐标，输出放在纵坐标。

描点前先做四次核对

点要不要连起来，得回到故事里

若 $x$ 是明信片张数，实际输入只能取 $0,1,2,3,\ldots$ 这样的整数。你不能买 2.4 张完整明信片，所以图上通常保留一个个分开的点。把它们连成连续实线，会暗示 2 和 3 之间的每个小数张数都允许，这和情境不符。

若 $x$ 是水箱注水时间，1.2 分钟、1.25 分钟都有意义。在题目说明水持续流入、规则在中间时刻也成立时，点之间才有理由用连续线段连接。

有限几行数据，不是完整规则的指纹

假设一张表只有三组数据：

最顺手的猜法是 $y=2x+1$，于是猜 $x=3$ 时 $y=7$。这个猜法简单、自然，也完全符合已知三点。但它不是唯一可能。

我们完全可以设计另一条规则，让它在 $x=0,1,2$ 时也分别得到 1、3、5，却在 $x=3$ 时转弯得到别的结果。只要没有更多条件，有限个点总可能被不同的直线或曲线穿过。

两类表格要分开看

第一类表格列出了全部允许情况。例如“不考虑闰年时，月份编号对应这个月的天数”，只要 12 个月都列全，表本身就完整描述了这项关系。这里不需要再找一条统一代数公式。

第二类表格只摘取了若干样本。例如每隔两小时测一次气温、每隔一周量一次树高。它告诉我们采样时刻发生了什么，却没有把中间时刻和未来情况全部交代出来。

还有一类题目会额外声明“这是线性关系”“每小时稳定增加 4 升”或直接给出收费规则。此时，表格是完整规则的几个展开值，我们才可以放心用同一规则补表和预测。

示例：什么时候能补下一格

两张表都给出 $x=0,1,2$ 时，$y=1,3,5$。

• 情况 A 只说“某实验记录如下”。那么 $x=3$ 的输出未知，7 只是根据已有趋势做的猜测。
• 情况 B 说“输出从 1 开始，输入每增加 1，输出恒定增加 2”。那么 $x=3$ 时必定是 7，因为完整规则已经写在题目里。

多看一句条件，结论就从“也许”变成“确定”。这也是读应用题时不能只抄数字、不读故事的原因。

在故事、表格、图像和式子之间来回翻译

同一个关系可以有四种常见说法。故事交代现实含义，表格展开具体配对，图像展示整体走势，式子压缩计算规则。它们不是四道互不相干的题，而是在说同一件事。

综合示例：共享充电宝的费用

某充电宝按“基础服务费 2 元，加上每小时 3 元”收费。暂时按整小时计算，使用时间记作 $h$ 小时，费用记作 $C$ 元。

故事变表格

基础服务费一直在，所以 $h=0$ 时 $C=2$。每多 1 小时，再加 3 元：

表格变式子

表中输入每增加 1，输出都增加 3，说明单位变化量是 3 元每小时；$h=0$ 时费用是 2 元，说明初始值是 2。合起来就是：

表格变图像

表中五列对应五个点：

横轴标“使用时间（小时）”，纵轴标“费用（元）”。如果收费只按整小时档位结算，这些输入是离散的，图上画点更诚实；如果题目明确说费用按实际使用时长连续计费，才可以让 $h$ 取小数，并用线表示中间时刻。

再从式子说回故事

式子里的 3 不是一笔固定的 3 元，而是“每使用 1 小时增加 3 元”；末尾的 2 才是与时长无关的基础服务费。把单位和角色说回来，才算真正读懂公式。

示例：从不等步长表恢复故事

相邻费用差是 5、7.5、10 元，相邻路程差是 2、3、4 千米。三个比值分别为：

所以表中呈现的是每千米增加 2.5 元；$d=0$ 时已有 12 元。一个与表格相符的故事是：“起步固定 12 元，之后在这个简化模型里每千米加 2.5 元。”相应的式子是：

这次如果只看费用差，就会误以为每段收费越来越快；把路程间隔一起算进去，才看出单位价格一直没变。

常见错法，往往不是算术问题

错法一：跳过表头，看到数就配

把“3 小时对应 11 元”读成“11 小时对应 3 元”，通常不是不会算，而是忘了输入和输出的位置。处理方法很简单：先用一句话读表头——“时间是输入，费用是输出”——再查具体数。

错法二：把输出重复当成冲突

不同输入可以得到同一个输出。判断时应该寻找重复输入，并核对它对应的输出是否一致。盯错了那一列，结论会整个翻转。

错法三：只看输出差，不看输入走了多远

输入步长不同时，输出多增加一些可能只是因为观察区间更长。要比较节奏，算的是 $\Delta y/\Delta x$，不是单独比较 $\Delta y$。

错法四：减法顺序前后不一致

如果分子写 $y_2-y_1$，分母也必须写 $x_2-x_1$。例如从 到 ：

也可以两边都反过来：

但不能写成 $(20-11)/(2-5)$，那会平白多出一个负号。

错法五：表里没有 0，却把第一列当初始值

若表从 $x=2$ 开始，第一格输出是 $11$，只能说“输入为 2 时输出 11”，不能说初始值是 11。初始值通常指输入为 0 时的输出，要么表中直接给出，要么依据明确规则算出来。

错法六：三个点像直线，就宣布永远是直线

画一条直线穿过已知点可以用来表达一种可能模型，但有限点并不能单独排除别的规则。题目有没有说“线性”、单位变化是否被声明恒定、生活情境能不能支持外推，这些条件都要一起看。

练习：把一张表读透

练习一：表头、单位和查值

回答：输入和输出分别是什么？当 $t=10$ 时输出是多少？这段记录中的单位变化率是多少？

练习二：配对有没有冲突

判断下面三张表中的配对是否出现“同一输入对应不同输出”的冲突。

练习三：不等步长下比较变化率

判断每一段的单位变化率是否相同，并用一句生活化的话解释结果。

练习四：从表格找公式线索

题目说明下表来自一个单位变化恒定的关系。写出 $y$ 关于 $x$ 的式子。

练习五：哪些点应该描出来

把练习四的表格转成坐标点。若 $x$ 表示完整箱子的箱数，这些点应该直接连成连续直线吗？

练习六：有限数据能告诉你多少

只知道 $(0,2)$、$(1,5)$、$(2,8)$ 三组配对，能否断定 $x=10$ 时 $y=32$？

练习七：从故事完成四种表示

一项打印服务收 5 元文件处理费，每打印 1 页再收 0.4 元。设页数为 $p$，总费用为 $C$。列出 $p=0,10,25,50$ 的表格，写出关系式，并说出图像上的对应点。

把表格带到下一章

学会看表之后，关系就不再是一团散乱数字。你知道每一行或每一列是在配对，知道怎样查输入和输出，知道比较变化时必须连同输入步长与单位一起看，也知道一张有限表格不一定有资格替整个世界发言。

接下来，我们会把注意力收紧到一个问题：什么样的对应足够确定，可以让我们放心地把输入交给它？表格已经把答案露出了一半——每个允许的输入，都得找到一个明确而唯一的输出。下一章，我们就正式给这种关系命名，并学习怎样用函数记号来表达它。

所以这段记录呈现的单位变化率是 0.16 千米每分钟，也就是 160 米每分钟。

三段都相同，单位是“件每小时”。负号表示库存随着时间减少。可以说：这段记录中，库存平均每小时减少 4 件。

先写成 $y=2x+b$，再代入 $(1,7)$：$7=2\times1+b$，得到 $b=5$。因此：

代入 $x=10$ 复查，$2\times10+5=25$，与表格一致。