画出一次函数图像

上一章我们一直在找截距：图像碰到 $y$ 轴时，输入是 $0$；碰到 $x$ 轴时，输出是 $0$。现在把镜头拉远一点。截距只是直线沿途经过的两个特殊位置，我们真正要画的是整条线。

先想一张按固定规则计费的清单。起步价是 10 元，路程每增加 2 千米，费用就增加 10 元。把“路程—费用”配成点，会得到 $(0,10)$、$(2,20)$、$(4,30)$、$(6,40)$……这些点没有忽高忽低，而是整齐地排在同一条直线上。

这一章要做的，就是把公式里的固定变化翻译成坐标纸上的直线。我们会从最稳的描点法开始，再学习更快的斜率截距法；画得出来以后，还要反过来从图像找回解析式。

开始之前，先把“画图”这件事放回数学里。它不是照着答案临摹一条看起来差不多的斜线，而是在坐标系中准确表达一整组输入输出关系。线穿过哪里、朝哪个方向走、走得多陡、在哪些输入范围内存在，都要能从公式中找到依据。也正因为如此，作图和解方程不是两门分开的手艺：代入给我们点，斜率给我们方向，截距给我们位置，定义域决定保留哪一段。

学习时不必急着只记最快的口诀。描点法看起来多算了几步，却能让你亲眼看到输入和输出怎样配对；斜率截距法看起来只走两步，背后依靠的是变化率始终不变；两截距法很短，却有拿不到两个不同交点的时候。把这些方法之间的关系想通，遇到公式变形、分数斜率或受限定义域时，才不会因为题目换了外表就无从下手。

这一章的目标也很具体：每画下一条线，你都能说清第一个点从哪里来，第二个点为什么在那里，直线为什么要延伸到那些位置，并且能用另一条计算路线把它检查回来。

为什么 $y=mx+b$ 的图像一定是直线

一次函数通常写成：

有些中文教材把斜率写成 $k$，于是公式变成 $y=kx+b$。字母换了，意思没有变：$m$ 或 $k$ 管“每走一步升降多少”，$b$ 管“横坐标为 0 时站在哪里”。下面统一使用 $m$。

横着走同样远，竖着永远走同样多

假设横坐标从 $x$ 变成 $x+h$，也就是向右移动了 $h$ 个单位。原来的输出是 $mx+b$，新输出是 $m(x+h)+b$。两次输出相减：

结果里没有 $x$。这说明无论从直线上的哪个位置出发，只要横向都走 $h$，纵向就总是改变 $mh$。例如 $m=2$ 时，向右走 1 就向上走 2；向右走 3 就向上走 6。步子可以放大或缩小，方向和比例始终没变。

一条路线如果每一小段都保持同一个方向，就不会在半路突然拐弯。坐标点因此排成直线。反过来说，只要变化率中途变了，图像就会换坡度，可能出现折点或曲线，那便不是由同一个 $y=mx+b$ 在整个范围内描述的图像。

两点为什么能锁定整条直线

在纸上钉下两个不同的点，再拿直尺贴住它们，直尺的位置只有一个。只要两个点的横坐标不同，它们就给出了唯一的斜率，也就确定了唯一一条非竖直直线。

因此，画一次函数图像时，两个正确的点已经够用。那为什么我们还经常算第三个点？不是因为直线需要三个点才能确定，而是因为人会算错。若三个点没有排成一线，至少有一个代入、描点或刻度出了问题。

$m$ 和 $b$ 分别怎样改变直线

把几条公式放在一起看，会更容易明白两个参数的分工。

先看 $y=2x+1$ 和 $y=2x-3$。它们的斜率都是 2，所以每向右走 1，都向上走 2。两条线的坡度一模一样，不会越走越近，也不会在远处相交。不同的是第一条线经过 $(0,1)$，第二条线经过 $(0,-3)$，于是整条线像被平平地向下搬了 4 个单位。

再看 $y=2x+1$ 和 $y=\frac12x+1$。这次两条线都经过 $$，但从这个共同点出发，一条“右 1、上 2”，另一条“右 2、上 1”。前者更陡，后者更平。它们会在共同的 截距处分开。

所以，$b$ 改变的是直线穿过 $y$ 轴的位置，$m$ 改变的是直线从左到右的方向与陡缓。画图前先在脑中做这个预判，等于提前有了一张模糊的答案：截距应该在哪一侧，线应该上升还是下降，大致有多陡。真正描点时，如果结果与预判完全相反，就该停下来找错。

“直线”说的是全部实数点，不只是整数格点

表格里常选整数，是为了算得轻松，并不表示函数只在整数处有值。以 $y=2x+1$ 为例，$x=\frac12$ 时，$y=2$； 时，。这些点同样在图像上。

当我们把两个整数格点连成一条连续的线，线段之间的每一个位置都对应某个实数输入。作图时只算几个代表点，却是在借助“一次函数变化率恒定”这个事实，恢复无穷多个点组成的完整图像。

描点表法：先算出坐标，再让点自己排队

描点表法最不依赖眼力。给几个 $x$，按照公式算出对应的 $y$，写成坐标对，描到坐标系里，最后用直尺连线。第一次画某种函数时，这也是最适合用来验证直觉的方法。

怎样挑省事的 $x$

理论上任何允许的 $x$ 都可以选，实际作图却没必要给自己添麻烦。可以优先考虑三件事：

1. 先试 $x=0$，这样会直接得到 $y$ 截距。
2. 再选一正一负两个数，方便检查直线两边的走向。
3. 如果斜率含分母，就选分母的倍数，让算出的 $y$ 尽量是整数。

例如斜率是 $-\frac{2}{3}$，选 $x=0,3,6$，乘法会很干净；若硬选 $x=1,2$，当然也能算，只是要在网格上估分数位置，更容易画偏。

例题：用表格画 $f(x)=-x+3$

取 $x=-1,0,1,2$，逐个代入：

于是得到 $(-1,4)$、$(0,3)$、$(1,2)$、$(2,1)$。每当 $x$ 增加 1， 都减少 1，所以这些点应该从左向右整齐下降。

例题：有分数时先照顾分母

画出：

选 $x=0,3,6$：

三个点是 $(0,5)$、$(3,3)$、$(6,1)$。从第一个点到第二个点，向右 3、向下 2；从第二个点到第三个点，还是向右 3、向下 2。两段的步伐完全相同，这正是在检查斜率 $-\frac23$。

例题：公式没有单独写出 $y$ 怎么办

有时题目给的是：

描点前可以直接挑 $x$ 解 $y$，也可以先把式子整理成更好读的形式。把 $2x$ 留在右边，得到：

现在选 $x=0,1,2,3$，对应的 $y$ 是 $-4,-2,0,2$。表格如下：

从表里能同时看见三件事：$(0,-4)$ 是 $y$ 截距，$(2,0)$ 是 $x$ 截距，每向右 1、向上 2 的步伐说明斜率是 2。用表格作图并不只是机械地产生坐标，它也在把截距和斜率悄悄验一遍。

三个点不共线时，怎样找到错的那个

假设给 $y=-2x+5$ 算出 $(0,5)$、$(1,3)$、$(2,3)$。后两个点的纵坐标一样，看起来像要画水平线，但公式明明有斜率 。

不要凭感觉删一个点。把三个点逐个代回公式：$(0,5)$ 成立，$(1,3)$ 成立，而 $x=2$ 时应该有 $y=-4+5=1$，所以 是算错的点，正确点是 。第三点检查真正有用的地方就在这里：它不只告诉你“有错”，还配合代回原式帮助定位错误。

斜率截距法：从 $(0,b)$ 出发，再照着坡度走

如果公式已经写成 $y=mx+b$，逐点代入当然可以，但有一条更快的路。先在 $y$ 轴上标出 $(0,b)$，然后把斜率写成“竖直变化除以水平变化”，从这个点走出第二个点。

这里有一个小习惯很管用：分母管横着走，分子管竖着走。我们通常让分母对应向右的正方向，于是分子的正负就直接决定向上还是向下。

整数斜率：悄悄补一个分母 1

画 $y=2x+1$。先看 $b=1$，第一个点是 $(0,1)$。再把斜率 $2$ 写成：

这句话翻译到坐标纸上，就是向右 1、向上 2，从 $(0,1)$ 到 $(1,3)$。再走一次会到 $(2,5)$，它可以当检查点。

分数斜率：分母不是装饰

画 $y=\frac34x-2$。第一个点是 $(0,-2)$。斜率 $\frac34$ 表示向右 4、向上 3，所以第二个点是 。

如果图纸左边空间更大，也可以把两步同时反向：向左 4、向下 3，得到 $(-4,-5)$。因为“下 3、左 4”对应 $\frac{-3}{-4}=\frac34$，斜率仍然是正的。

不能只把其中一步反向。向左 4 却向上 3，会得到 $\frac3{-4}=-\frac34$，整条线会画成相反的方向。

负斜率：让负号只负责一个方向

再看：

从 $(0,4)$ 出发，可以向右 3、向下 2，得到 $(3,2)$；也可以向左 3、向上 2，得到 $(-3,6)$。两种走法都让横纵变化一正一负，所以斜率为负。

一个简单的方向检查是：负斜率的线从左往右必须下降。若算式前面明明有负号，图像却向右上方抬起，先检查走步方向，不要急着重算整题。

$b=0$：这一次真的从原点出发

当 $b=0$ 时，公式变成 $y=mx$。此时 $x=0$ 会给出 $y=0$，图像经过原点 $(0,0)$。例如 从原点出发，向右 1、向下 3，就到 。

这不是说所有直线都从原点出发。恰恰相反，只有常数项为 0 的这类直线经过原点。看到 $b=5$ 却从 $(0,0)$ 开始数斜率，是最常见的错法之一。

从任意已知点都能数斜率

斜率截距法把 $(0,b)$ 当第一点，是因为这个点最好找，不是因为斜率只能从 $y$ 轴开始数。直线上的任何一个准确点都可以当出发点。

例如 $y=-\frac23x+4$ 已经找到了 $(3,2)$。从 $(3,2)$ 再向右 3、向下 2，会到 ；从 向左 3、向上 2，又回到 。步伐在哪一段都一样，这正是斜率恒定。

这个事实在图纸空间不够时很有用。假如 $y$ 截距在网格边缘，从那里继续往上就要出框，可以先按相反方向走到图内，再从新点继续。只要每次横纵变化保持同一比例，路线不会变。

两个容易混淆的错误走法

第一种是把斜率取倒数。$m=\frac23$ 表示“右 3、上 2”，若画成“右 2、上 3”，得到的是斜率 $\frac32$。两条线都向上，却有明显不同的陡度。检查时不要只看正负，还要用两点斜率重新算比例。

第二种是把 $b$ 当成横轴截距。公式 $y=2x+4$ 里的 4 告诉我们点 $(0,4)$，不是 $(4,0)$。真正的 $x$ 截距要令 ：

解得 $x=-2$，所以交点是 $(-2,0)$。把两个截距的位置弄反，直线的高度和方向都会跟着错。

例题：斜率大于 1 不等于“每次只能右走 1”

画 $y=\frac52x-1$ 时，最自然的步伐是右 2、上 5，从 $(0,-1)$ 到 $(2,4)$。如果网格不够高，也可以把分子、分母同时缩放，例如右 、上 1；但手工作图时分数格不易描准，通常更愿意反向走：左 2、下 5，得到 。

“斜率 2.5”描述的是纵向变化与横向变化的比值，不是命令你必须先向右走固定的一格。只要比例是 $\frac52$，放大几倍或缩小几倍都在同一条线上。

两截距作图法：让直线与两条轴各给一个点

上一章已经会算截距，现在可以直接拿它们作图。对于一条同时穿过两条坐标轴、而且两个交点不同的直线，$x$ 截距和 $y$ 截距正好提供两个点。

例题：画 $2x+3y=6$

这个式子还没有整理成 $y=mx+b$，用两截距反而很顺手。

哪些时候不能只靠两个截距

两截距法的名字很整齐，但并非每条线都能给出两个不同的截距。

• 若 $b=0$ 且 $m\ne0$，$x$ 截距和 $y$ 截距都是原点，实际只得到一个点。还要再用斜率或代入法找第二点。
• 水平线 $y=5$ 不碰 轴，只有 截距 ，不能凑出第二个截距。

两种特殊的直线：水平线能当函数，竖直线不能

直线不一定倾斜。横着躺平和竖着站直，是画图时必须单独看清的两种边界情况。

水平线 $y=c$：输出一直不动

把 $m=0$ 放进 $y=mx+b$：

无论 $x$ 取多少，$y$ 都是同一个数。比如 $y=3$ 包含 $(-2,3)$、$(0,3)$、$(5,$，把这些点连起来就是一条穿过纵轴 的水平线。它的斜率是 0，因为纵向变化量一直为 0。

在一些中文课程里，“一次函数”会严格要求 $m\ne0$，于是 $y=3$ 被单列为常值函数；在讨论直线图像时，我们仍把它当作 $y=mx+b$ 的零斜率特例。这个名称差别不会改变画法。

竖直线 $x=a$：一条直线，但不是 $y$ 关于 $x$ 的函数

$x=2$ 表示所有横坐标为 2 的点，例如 $(2,-3)$、$(2,0)$、$(2,5)$。这些点连成竖直线。

它不能写成 $y=mx+b$。原因并不神秘：同一个输入 $x=2$ 对应了许多个不同的 $y$，违反了函数“一个输入只能有一个输出”的要求。用竖线检验来看，检验线与它不是交一次，而是整段重合。

竖直线的斜率也没有定义。任取上面两个不同点，它们的横坐标变化量都是 0，斜率公式会出现除以 0：

所以不要把竖直线的斜率说成“无穷大”，也不要说成 0。斜率 0 对应的是水平线；竖直线的斜率是不存在或未定义。

用坐标表一眼分清两种线

水平线 $y=2$ 可以列出：

输入一直换，输出始终是 2。每个 $x$ 只配一个 $y$，所以它是函数。

竖直线 $x=2$ 则会出现：

同一个输入 2 被配给了多个输出。把这两张表与图像对照，就不会靠“横还是竖”的口诀硬记：横线是输出固定，仍满足函数规则；竖线是输入固定，却让同一个输入对应多个输出。

原点附近的两个特殊情况

$y=0$ 是水平线，也是 $x$ 轴本身。它的斜率是 0，对每一个实数输入，输出都等于 0。$x=0$ 是竖直线，也是 $y$ 轴本身。它不是 $y$ 关于 $x$ 的函数，因为输入 0 对应了整条轴上的许多输出。

两者都经过原点，却不能因此混为一类。判断时始终回到“输入能不能唯一确定输出”，比只看交点更可靠。

从图像写回解析式

画图是把公式翻译成线；读图是沿原路把线翻译回公式。要找的仍然只有两样东西：斜率 $m$ 和纵轴截距 $b$。

图上看得到 $y$ 截距

假设一条直线经过格点 $(0,4)$ 和 $(3,-2)$。先算斜率：

图像在 $y$ 轴上经过 $(0,4)$，所以 $b=4$。解析式是：

代回另一个点检查：当 $x=3$ 时，$y=-2\times3+4=-2$，与图上的 $(3,-2)$ 一致。

图上看不到 $y$ 截距：用一个点把 $b$ 逼出来

如果截距跑到画面外，别凭线条延长后估一个数。假设能准确读出的两个格点是 $(2,5)$ 和 $(6,3)$，先算：

把 $(2,5)$ 放进 $y=mx+b$：

所以 $b=6$，解析式为：

也可以先写点斜式：

点斜式的好处是，斜率和一个已知点拿到手就能写，不必先找到 $y$ 轴。若题目最后要求斜率截距式，再把括号展开整理。

读图时，点要选在线上“确定的位置”

粗线有宽度，箭头也只是表示延伸方向。算斜率时应优先选标明坐标的点、直线与网格的准确交点或截距，不要把箭头尖端、线条边缘当成精确坐标。

还要先读坐标轴刻度。若横轴每一大格代表 2，纵轴每一大格代表 5，那么“向右 3 格、向上 2 格”对应的不是 $\frac23$，而是：

斜率比较的是坐标变化量，不是纸面上数了几格。两条轴的单位和比例可以不同。

两点的先后顺序可以换，但上下必须成套

用 $(2,5)$ 和 $(6,3)$ 算斜率时，也可以把第二点放在前面：

结果没有变化，因为分子、分母同时换了减法顺序，两个符号一起改变。真正危险的是分子用“第二点减第一点”，分母却用“第一点减第二点”。例如写成 $\frac{3-5}{2-6}=\frac12$，就会把下降直线误判成上升直线。

可以在草稿上把两个点竖着写齐：

然后始终用“2 减 1”。这样不是为了把步骤写得繁琐，而是让横坐标和纵坐标不会串队。

例题：只给斜率和一个点，直接用点斜式

一条直线斜率为 3，经过 $(-2,4)$。没有 $y$ 截距，也没有第二个点，但点斜式已经够用：

整理括号：

于是 $b=10$。这个截距可能远离题目给出的点，但代入检查没有问题：$3\times(-2)+10=4$。作图时若纵轴 10 超出窗口，可以从已知点 $(-2,4)$ 直接按斜率右 1、上 3 得到 $(-1,7)$，不必为了使用截距法强行把画面拉得很大。

图像只能给近似位置时，答案也应诚实

有的图只是一张示意图，没有网格或明确坐标。这时可以判断斜率正负、比较陡缓、估计截距所在区间，却不能凭一张粗略线条声称斜率“恰好等于 $\frac37$”。

要写精确解析式，至少需要两个可准确读取的点，或一个准确点加斜率。信息不足时应写“无法唯一确定”，而不是从像素位置硬猜出漂亮分数。数学图像的精度来自标注和刻度，不来自我们盯得够久。

把线画完整：刻度、箭头与定义域

代数算对了，图仍可能表达错。坐标系不是空白画框，它还要告诉读者每格多大、哪些输入允许、图像会不会继续。

先让重要的点装得下

画图前先看准备使用的点。若点是 $(0,120)$、$(50,170)$、$(100,220)$，纵轴每格标 1 会把图挤到纸外。可以让横轴每格表示 10 或 20，纵轴每格表示 20 或 50。

横轴和纵轴不必采用同一个比例，但同一条轴上的刻度必须均匀。不能为了让某个点“刚好落格”，在 0 到 10 之间画一格、10 到 100 之间也只画一格，却不做断轴说明。

公式的自然定义域与情境定义域不同

单看 $y=mx+b$，任何实数 $x$ 都能代入，所以自然定义域通常是全体实数。图像应画成两端带箭头的完整直线，表示往左、往右都能继续。

实际问题会把它截成一段。若 $x$ 表示行驶路程，就通常有 $x\ge0$，图像从 $x=0$ 开始向右延伸，是一条射线；若题目只研究 0 到 8 小时，就只画相应线段。端点包含在范围里用实心点，不包含则用空心点。

同一个公式因为定义域不同，可以画成直线、射线或线段。线的坡度没有变，变的是我们允许观察的那部分。

箭头各自说什么

坐标轴末端的箭头表示数轴方向还在延伸；函数图像末端的箭头表示图像还会按当前方向继续。两者不要混为一谈。

如果题目有有限定义域，函数线段的端点应使用实心点或空心点，不要再加延伸箭头。实际量还应给坐标轴写上名称和单位，例如“时间（分）”“费用（元）”，否则读者只看到数字，不知道它们在量什么。

例题：同一个水箱公式为什么不能画成无限直线

水箱原有 18 升水，每分钟流出 3 升。若 $t$ 表示分钟，水量是：

单看代数式，它在所有实数 $t$ 上都算得出数。但情境要求时间不能为负，水量也不能低于 0。令 $W(t)=0$，得到 $t=6$，所以合理定义域是 $0\le t\le6$。

作图时横轴标“时间（分）”，纵轴标“水量（升）”，从 $(0,18)$ 画到 $(6,0)$，两个端点都用实心点。若继续把线延到 $t=8$，会得到 $W(8)=-6$ 升。纸上的负数可以算，真实水箱却不会装着负 6 升水；那一段不属于这个模型能解释的范围。

这也解释了为什么下一章做实际建模时，定义域不是最后随手补的一句话。它直接决定图像该画到哪里，也决定哪些截距有现实意义。

综合例题：把一条线用三种方法画出来

现在画：

这道题故意没有直接写成 $y=mx+b$。我们分别走描点法、两截距法和斜率截距法，看看三条路怎样汇合。

方法一：描点表法

先解出 $y$：

分母是 2，所以选偶数 $x$ 比较省事：

得到 $(-2,-6)$、$(0,-3)$、$(2,0)$、$(4,3)$。任意相邻两点之间都是右 2、上 3，和斜率 $\frac32$ 一致。可用 与 定线，再拿 检查。

方法二：两截距法

回到原式 $3x-2y=6$。令 $y=0$，得到 $3x=6$，所以 $x$ 截距是 $(2,0)$。令 ，得到 ，所以 截距是 。

这两个点已经出现在刚才的表里。把它们连接，画出的必然是同一条直线。两截距法在这里最短，因为原式让 $x=0$ 或 $y=0$ 后都只剩一个简单乘法。

方法三：斜率截距法

由整理后的式子 $y=\frac32x-3$，先标 $(0,-3)$。斜率 $\frac32$ 表示向右 2、向上 3，于是走到 ；再走一次到 。

你会发现，三种方法没有制造三条不同的线。它们只是从同一组信息里挑了不同入口：描点法一次算多个输入输出；两截距法专挑坐标为 0 的点；斜率截距法专挑起点和固定步伐。

画完后做一次交叉核对

先看方向：$m=\frac32>0$，直线应从左下走向右上。再看截距：它应经过 $(0,-3)$ 和 $(2,0)$。最后代入第三点 ：

三个检查都通过。若图像向右下降，说明斜率符号画反；若经过 $(0,3)$，说明整理 $-2y=6-3x$ 时漏掉了除以负数；若第三点不在线上，则要检查刻度或数格。把可能的错误和对应症状联系起来，比一句“再检查一下”更能解决问题。

该选哪种方法

没有一种方法永远最快。公式已经是 $y=mx+b$，斜率截距法通常省时；含分数且可以巧选输入，描点表法很稳；一般式令一个变量为 0 后很整齐，两截距法最直接；只知道两个图上点，则从两点求斜率，再用点斜式。

选择方法时先看题目已经把什么信息送到你手上。这样作图会像顺着门进去，而不是每次都翻同一堵墙。

画完后的系统自检

不要把检查理解成重做一遍。好的检查是从不同角度追问同一张图，让一个环节的错误在另一个环节露出来。

先看大方向

• $m>0$ 时，图像从左往右上升；$m<0$ 时下降；$m=0$ 时水平。
• $|m|$ 大，直线更陡；$|m|$ 接近 0，直线更平。这里比较的是同一坐标比例下的样子。
• 图像必须经过 。若 才经过原点；若 ，从原点起步通常就是错的。

再查点和步伐

1. 把定线用的两个点分别代回原式，等式都应成立。
2. 重新计算两点斜率，看它是否等于公式里的 $m$。
3. 另选一个没有参与画线的 $x$，算出第三点，检查它是否在线上。
4. 有分数斜率时，确认分子对应纵向变化、分母对应横向变化，负号没有同时丢掉或多用一次。

最后查图的表达范围

检查轴名、单位、刻度是否清楚且均匀；定义域是全体实数时，直线两端是否有箭头；定义域受限时，端点是否画成正确的实心或空心；直线有没有只停在两个点之间，让人误以为函数只在那一小段存在。

看错误长什么样

有些错误从图的样子就能猜到来源。

若直线方向对、陡度也对，却整体高了或低了，常见原因是 $b$ 找错，或在纵轴上数错刻度。若直线经过正确的 $(0,b)$，但越走越偏，通常是斜率的分子分母颠倒，或坐标轴每格并不代表 1。若三个计算正确的点中只有中间点看起来不在线上，可能是直尺没有贴稳；若某个点代回公式都不成立，那是计算或抄写错误，不能靠把线画粗来掩盖。

还有一种图“看起来差不多”，但没有轴名、单位和箭头。纯代数练习里它可能勉强表达了直线位置，到了实际问题中却无法回答“横轴是什么”“一格代表多少”“负输入是否允许”。完整作图既要算对，也要把读图所需的信息交代清楚。

一分钟检查顺序

如果时间很紧，可以按下面顺序扫一遍：

1. 看 $m$ 的正负，确认上升、下降或水平。
2. 看 $(0,b)$ 是否在线上，确认起点高度。
3. 从一个准确点按斜率再走一次，确认步伐。
4. 代入一个第三点，确认代数和图像一致。
5. 看刻度、箭头、端点与定义域，确认表达没有越界。

这个顺序先抓大错，再抓细节。即使没有时间重画，也能迅速判断错在公式翻译、坐标描点还是图像范围。

练习：把三种方法连起来

练习一：描点并检查

用描点表法画出 $y=\frac12x-2$。至少选三个点，并说明为什么这些 $x$ 值好算。

练习二：负斜率怎么走

只用斜率和 $y$ 截距，画出：

写出从 $y$ 截距出发得到的两个新点。

练习三：判断能否用两截距

分别判断 $y=2x$、$y=4$、$2x+y=6$ 是否适合只用两个截距作图。

练习四：从图中读回公式

一条非竖直直线经过 $(-2,5)$ 与 $(4,-1)$。求斜率，并写出斜率截距式和点斜式。

练习五：定义域会怎样改变图像

同一个公式 $C(t)=3t+8$，分别在 $t\in\mathbb{R}$、$t\ge0$、$0\le t\le5$ 时作图，图像形状有什么不同？

练习六：找出错误的点

小林为 $y=-2x+7$ 列出三个点：$(0,7)$、$(2,3)$、$(4,1)$。这些点能否连成函数图像？如果有错，改正它。

练习七：刻度不是每格 1

一张图的横轴每格表示 5 秒，纵轴每格表示 20 米。直线从一个格点向右 3 格、向上 2 格到达另一个格点。求斜率，并写出单位。

练习八：水平还是竖直

分别画出经过 $(3,-2)$ 且斜率为 0 的直线，以及经过 $(3,-2)$ 且没有定义斜率的直线，并写出方程。

练习九：一般式怎样选方法

画出 $4x+2y=8$，分别用两截距法和斜率截距法说明关键点，再用一个第三点检查。

到这里，公式、表格和图像已经能互相翻译了：$b$ 把线放到正确高度，$m$ 决定每一步怎么走，定义域决定我们究竟画整条线还是只画其中一段。下一章进入实际问题时，路程、费用、时间、库存都会落到同一张坐标图里。那时画图不只是为了“看见一条直线”，而是为了读出起始量、变化速度、交点和可用范围。

把 $(4,-1)$ 代入 $y=-x+b$，得到 $-1=-4+b$，所以 $b=3$。斜率截距式是 $y=-x+3$。使用点 $(-2,5)$ 写出的点斜式可以是 $y-5=-(x+2)$。展开后仍会得到 $y=-x+3$。

斜率单位是米/秒。不能只用纸面格数写成 $\frac23$，因为两条轴每格代表的实际数量不同。

斜率截距法：整理为 $y=-2x+4$，从 $(0,4)$ 出发，向右 1、向下 2，到 $(1,2)$，再到 $(2,0)$。第三点可取 $(1,2)$，代回原式有 $4\times1+2\times2=8$，检查通过。