用一次函数解决实际问题

前面十章里，我们一步一步认识了坐标、变量、函数、表格、图像、斜率、截距，还学会了把 $y=mx+b$ 画成一条直线。现在轮到这些知识一起上场了。

现实问题很少把公式直接递到你手里。它更可能说：“先收一笔服务费，之后每用一次再加钱”“水箱里原来有一些水，每分钟稳定流出”“两家店的收费规则不同，买多少件才该换一家”。我们的任务，是把这些生活话翻译成变量、单位和函数，再把算出的结果翻译回生活。

这一步叫建模。模型不是现实本身，它更像一张删去枝节的地图：只保留眼下最有用的关系。地图画对了，预测、反推和比较都会顺起来；地图选错了，算式再漂亮也只是答非所问。

先判断：这个情境真的能画成直线吗

一次函数适合描述一种很有规律的变化：输入每增加同样多，输出也增加或减少同样多。说得直接一点，就是“原来有多少”加上“每单位改变多少”。

设输入是 $x$，输出是 $y$，可以写成：

$b$ 是输入为 $0$ 时已经存在的量，$m$ 是输入每增加 $1$ 个单位时，输出改变的量。它们不是脱离情境的两个字母，而是整段故事里最值得先找的两条信息。

从一句话里听出固定量和变化率

“开户费 20 元，每月再收 8 元”，固定量是 $20$ 元，变化率是 $8$ 元/月。“水箱原有 600 升水，每分钟流出 15 升”，固定量是 $600$ 升，变化率是 $-15$ 升/分钟。负号不能漏，因为水量正在减少。

也有些问题的固定量是 $0$。例如一件商品 7 元，不收包装费，买 $n$ 件共花 $7n$ 元。这里并不是“没有截距”，而是纵轴截距刚好为 $0$。

用表格先试一下差值

如果题目给的是一张表，不妨先比较相邻数据。输入每次都增加 $2$，输出每次都增加 $6$，那么每增加 $1$ 个输入，输出就增加 $3$，变化率是 $3$。如果相邻变化一会儿是 $6$、一会儿是 $11$，就不能立刻宣布它是一次函数。

要小心一个细节：必须比较“单位输入对应的输出变化”。输入间隔不一样时，只看输出差值没有意义，应该算：

“大致排成直线”和“严格在直线上”不是一回事

按明确规则计费时，$y=mx+b$ 往往是精确关系。真实测量数据却会受天气、操作和测量误差影响，点不一定整整齐齐落在一条线上。只要散点大致沿着同一方向排列，我们可以用直线概括趋势，但这时模型给的是近似值。

一套能反复使用的建模流程

应用题最容易丢分的地方，通常不在最后那次计算，而在前面三步：变量定错、单位漏掉、固定量和变化率认反。我们把完整流程走一遍。

贯穿案例：两种出行方案该怎么选

某平台给出两种简化计费方案。A 方案起步价 12 元，之后每公里 2.4 元；B 方案起步价 4 元，之后每公里 3.2 元。先假设平台按实际里程连续计费，不考虑拥堵费、最低消费和里程进位。

我们想回答四个问题：走指定里程各要多少钱？两种方案何时一样贵？不同里程区间该选哪一种？预算有限时最多能走多远？

先把文字翻译成两个函数

让 $d$ 表示行驶里程，单位是公里。让 $A(d)$ 和 $B(d)$ 分别表示两种方案的费用，单位是元。里程不能是负数，所以至少有 $d\geq0$。

A 方案“先有 12 元，之后每公里加 2.4 元”，因此：

B 方案同理：

这里 $2.4$ 和 $3.2$ 的单位都是元/公里。$A(0)=12$、$B(0)=4$ 是两种规则在零里程时给出的起步费用。

用表格核对变化节奏

每多走 5 公里，A 都增加 $2.4\times5=12$ 元，B 都增加 $3.2\times5=16$ 元。表格、原话和函数式给出同一个变化节奏，第一轮核对通过。

比如走 8 公里时：

所以在这个简化规则下，8 公里选 B 方案少花 $1.6$ 元。

交点为什么是选择改变的分界

两种方案一样贵，意思是同一个里程对应的两个函数值相等：

把同类项放到两边：

所以：

代回任意一个函数，费用都是：

交点是 $(10,36)$：横坐标表示 10 公里，纵坐标表示 36 元。这个有序数对同时满足两条费用规则，所以它既是两条直线的公共点，也是“两种方案一样贵”这句话的数学版本。

但找到交点还没回答“该选谁”。在 $d=10$ 左边，可以试一个简单值 $d=0$：B 的费用 4 元低于 A 的 12 元，所以 $0\leq d<10$ 时 B 更省。在交点右边试 $d=15$：A 是 48 元，B 是 52 元，所以 $$ 时 A 更省。

完整结论应该写成：

• 当 $0\leq d<10$ 时，B 方案费用较低；
• 当 $d=10$ 时，两种方案都是 36 元；
• 当 $d>10$ 时，A 方案费用较低。

为什么会反超？A 多收的 8 元起步价，正被它每公里少收的 $3.2-2.4=0.8$ 元慢慢抵消。需要 $8\div0.8=10$ 公里，A 才把开头的劣势追平。

有预算时，要把等式改成约束

假设只有 50 元，并准备选 A 方案。题目问“最多能走多远”，费用不能超过预算，所以真正的条件是：

先扣掉起步价，再看剩余的钱能买多少公里：

如果里程可以连续记录，模型给出的上限约为 15.83 公里。若平台按 0.1 公里向上计费，为保证不超预算，只能报 15.8 公里，不能四舍五入成 15.9 公里。因为“最多且不能超”时，舍入方向要服从限制，而不是机械地看下一位数字。

贯穿案例：义卖帆布袋的成本、收入和预算

再换一个不以时间或路程为输入的情境。美术社准备义卖自己设计的帆布袋。印版制作要一次性付 180 元，每制作一个袋子再花 12.5 元。每个袋子的售价是 25 元，假设做出的袋子都能卖出。社团手头最多有 800 元制作预算。

这里输入是袋子数量，不是连续的路程。让 $n$ 表示制作并卖出的袋子数，$n$ 只能取非负整数。让 $C(n)$ 表示总成本，$R(n)$ 表示总收入，单位都是元。

三条信息对应三个模型

成本由固定印版费和单个制作费组成：

收入没有起步收入，每卖一个得到 25 元：

如果想直接看赚或亏多少，可以用收入减成本：

$P(n)$ 表示盈亏。它为负时还没有收回成本，为正时才有结余。这里的斜率 12.5 元/个表示：在“每个都能卖出”的假设下，多做并卖出一个，结余增加 12.5 元。

用一个表同时查式子和意义

每一行都应该满足“收入减成本等于盈亏”。例如制作并卖出 32 个时，成本是 $180+12.5\times32=580$ 元，收入是 $25\times32=800$ 元，结余是 $800-580=220$ 元。三列对得上，说明计算没有在中途走偏。

连续直线的交点，不一定是现实中能选的数量

成本和收入相等时，数学上有：

解得：

若只看两条连续直线，它们会在 $n=14.4$ 处相交。可是帆布袋不能做 0.4 个，$14.4$ 不是现实定义域里的可选输入。我们要检查交点两侧的整数：

所以卖 14 个还亏 5 元，卖到 15 个才开始不亏。正确说法是“至少制作并卖出 15 个，收入才会覆盖总成本”，而不是“卖 14.4 个回本”。

预算上限为什么必须向下取整

制作费用不能超过 800 元：

解得：

因为 $n$ 是整数，最多只能做 49 个。这里不能把 49.6 四舍五入成 50，因为：

而：

这两次回代就是预算题最后必须做的检查。它们比一句“向下取整”更可靠，因为你亲眼看见 49 个没有超，50 个已经超。

只给两个记录，也能把模型找出来

题目不一定直接告诉你固定量和变化率。有时它只给两个时刻的记录，让我们从两个点还原整条直线。

例如，一个活动账户的余额按固定速度减少。活动开始 2 周后余 960 元，7 周后余 760 元。假设这段时间每周支出相同，余额何时会降到 0？

让 $t$ 表示活动开始后的周数，$S(t)$ 表示余额，单位是元。两个记录变成点 $(2,960)$ 和 $(7,760)$。

先求变化率：

单位是元/周。负号符合“余额在减少”。再把点 $(2,960)$ 代入 $S(t)=-40t+b$：

所以 $b=1040$，模型是：

$1040$ 表示活动开始时的余额，不是凭空多出的一笔钱。用另一个记录核对：$S(7)=1040-40\times7=760$，与题目一致。

余额为 0 时：

得到 $t=26$。如果账户不允许透支，合理定义域是 $0\leq t\leq26$。代数公式当然还能算 $S(30)=-160$，但这已经超出了“余额尚未花完”的原情境。

重新选择时间原点，式子会更好读

如果数据写的是“2024 年有 6200 人，2029 年有 8100 人”，直接把年份 2024 当作 $x$ 会让截距变成一个很难解释的大数。更自然的做法，是令 $t$ 表示“从 2024 年起经过的年数”。于是 2024 年对应 $t=0$，初始值会直接落在纵轴上。

改变时间原点不会改变真实变化率，只是让式子更容易计算和解释。选变量不只是给未知数换个字母，它也在决定模型讲故事的方式。

用表、图、式做三次对账

一次函数有三种常用表示：表格列出具体配对，图像展示整体走势，函数式给出精确规则。前面学过的三种表示法，在应用题里正好可以互相查错。

表格检查局部数据

选 $x=0$ 可以查固定量，再选一个容易算的正数查变化率。若 $y=3x+5$，表里从 $x=2$ 到 $x=4$，输出应该增加 $$。表格适合发现代入错误，也适合确认离散输入有没有漏掉整数限制。

图像检查整体方向和交点

$m>0$ 时图像应从左向右上升，$m<0$ 时应下降。截距应该落在 $(0,b)$。比较费用时，较低的线更省；比较收入时，较高的线更多。两条线的交点只说明“此处相等”，交点左右谁更合适，还要看线的位置或代入测试值。

图像读出的交点常是近似值。若分界必须精确，应该令两个函数值相等，用代数求解，再把结果代回两式检查。

函数式检查单位和增量

对 $y=mx+b$ 来说，$mx$ 和 $b$ 必须能相加，也就必须有相同单位。还可以检查：

这句话表示输入增加 1 时，输出确实改变 $m$。如果原话说每周减少 40 元，函数却算出每周增加 40 元，通常是斜率符号写反了。

直线会失效：定义域、阶梯收费和近似数据

写出公式并不等于获得了一条可以无限延伸的真理。应用题的最后一步，是说清模型在哪些输入上可信。

现实定义域通常比代数定义域小

公式 $y=2.4x+12$ 在代数上允许任何实数输入，可里程不能是负数。水箱模型不能在水量降到 0 后继续预测“负水量”。教室最多有 48 个座位，购票人数就不应超过 48。

因此，定义域要同时考虑：输入是否非负、是否必须为整数、有没有容量或时间上限、规则会不会在某个点改变。

离散量可以沿着直线排，但不能取线上的所有点

帆布袋数量、学生人数、车辆数都只能取整数。它们对应的图像更准确地说是一串落在直线上的点，而不是毫无间断的整条线。我们仍能用一次函数计算，但最终答案必须回到整数。

“最多多少个”通常向下取整；“至少多少个才够”通常向上取整。不过不要只背这两句话，最好把相邻两个整数代回限制检查。

阶梯收费不能硬拉成一条直线

快递按“1 千克以内 10 元，之后每增加不足 1 千克也按 1 千克收费”，费用会在重量跨过整数千克时跳一下，中间保持不变，图像像台阶。停车场“前 2 小时统一 8 元，之后每小时 3 元”则会先保持不变，再按另一种速度增加。

这两种都不是一条 $y=mx+b$ 从头管到底。可以分段写规则，或保留阶梯模型，但不能为了熟悉一次函数就把规则改掉。

测量数据只是在直线附近怎么办

假设某组观测大致符合模型 $\widehat y=1.5x+20$。当 $x=8$ 时，模型预测 $32$，实际观测是 $31$。实际值减预测值：

这个差可以理解成这一点的残差。残差为负，表示实际点在模型直线下方，模型高估了 1 个单位；残差为正，则表示模型低估。数据不严格在线上并不自动否定直线趋势，但残差如果越来越大或呈明显弯曲规律，就该怀疑变化率并不恒定。

在已有数据范围内做预测，通常比把直线向很远处延伸更稳。用一周数据预测下一天，和用一周数据预测三年后，不是同一种把握。越过观察范围越远，现实规则改变的机会越大。

数字算完后，怎样写成一个合格答案

应用题的答案至少要回答三件事：数值是多少、单位是什么、在情境中代表什么。如果有近似、范围或整数限制，也要一起说出来。

中间保留精度，最后再舍入

预算例里 $\frac{95}{6}$ 是精确上限，太早把它写成 15.8 再参与后续计算，会积累误差。更稳的做法是保留分数或足够多的小数位，到最后一步再按题目要求处理。

钱通常写到分，长度和时间按题目给出的精度处理。若题目问“最多”且不能越过上限，可能要向下取；若问“至少需要多少整箱”，可能要向上取。舍入是一项现实判断，不只是小数规则。

截距要解释，但不能强行编故事

$b$ 是模型在输入为 0 时的输出。如果 $x=0$ 在定义域里，它常有清楚含义，例如起步费、初始水量、初始余额。如果数据只覆盖成年人身高与某项指标，$x=0$ 可能完全不在研究范围，这时可以说“它是直线延长后的代数截距”，不要硬解释成现实中的初始值。

结论要带条件

“A 方案更便宜”太含糊；“在本题给出的连续计费规则下，里程超过 10 公里时 A 更便宜”才完整。条件写清楚，读者才知道结论能用到哪里。

练习：把整条建模链走一遍

练习一：余额还能用多久

小林的活动卡里原有 900 元，每周固定支出 75 元。设经过 $w$ 周后的余额为 $M(w)$。

1. 写出模型并解释斜率与截距。
2. 8 周后还剩多少元？
3. 不透支时，合理定义域是什么？

练习二：会员方案的分界

某运动馆 A 方案收 40 元基础费，每次入场 8 元；B 方案收 16 元基础费，每次入场 12 元。设入场次数为 $n$。

1. 多少次时两种方案一样贵？
2. 去 4 次和去 10 次分别选哪一种？

练习三：整数预算与最低销量

制作纪念徽章要先付 120 元制版费，每枚成本 7 元，售价 10 元。制作预算不超过 500 元，并假设做出的徽章都能卖掉。

1. 最多能制作多少枚？
2. 至少卖出多少枚才不亏？

练习四：模型和实测值没有重合

某次实验用 $\widehat y=1.5x+20$ 近似一组数据。当 $x=8$ 时，实际测得 $y=31$。

1. 模型预测值是多少？
2. 按“实际值减预测值”计算残差，并说明正负号的意思。

练习五：它是不是一条直线

停车场规定：2 小时以内统一收 8 元；超过 2 小时后，每多停 1 小时加 3 元，不足 1 小时按 1 小时算。能否用同一个一次函数准确描述所有停车时长？

把整门课收在一句判断里

拿到真实情境时，先别急着写 $y=mx+b$。先问：谁随谁变化？输入为 0 时有什么？每增加一个单位会稳定改变多少？然后再用表格看配对，用图像看方向和分界，用函数式做预测、反推和比较。

最后别忘了回到现实：数量能不能取小数，预算能不能超，直线在哪个范围内可信，答案该向上还是向下取。坐标、变量、函数、斜率、截距和图像，到这里不再是分开的知识点。它们合在一起，做的是同一件事——把一个变化中的问题说清楚，并让结论经得起核对。

令余额为 0，得 $900-75w=0$，所以 $w=12$。若时间允许连续记录且不透支，合理定义域是 $0\leq w\leq12$；若只在每周结束记录，则 $w$ 取 0 到 12 的整数。

解得 $n=6$，此时两种方案都是 88 元。去 4 次时，A 是 72 元，B 是 64 元，应选 B；去 10 次时，A 是 120 元，B 是 136 元，应选 A。因为次数是非负整数，所以 $n=0,1,2,\ldots$。完整区间是：少于 6 次选 B，6 次一样，超过 6 次选 A。

收入是 $R(n)=10n$。不亏要求 $R(n)\geq C(n)$：

所以 $n\geq40$。至少卖出 40 枚才不亏，此时收入和成本都是 400 元。