读懂函数图像

上一章里，我们把同一个函数写成了表格、解析式，也画成了图像。表格像一张逐项登记的清单，解析式像一条压缩过的规则，图像则更像一段被按下暂停键的小电影：输入不断往前走，输出经历过的变化，全留在一条线的高低起伏里。

想象一个透明水箱。开始注水时，水面一点点升高；水龙头关掉以后，水面停在原处；打开排水口，水面又开始下降。如果把每一分钟的水量写进表格，我们当然能查到某一分钟有多少水。可把这些数据画成图像以后，哪一段在注水、哪一段暂停、哪一段在排水，几乎一眼就能看出来。

这一章要练的，正是这种“把图像翻译成人话”的能力。我们不只读一个点，还要读出整段变化：图像从哪里开始，经过了什么，允许哪些输入，可能出现哪些输出，哪里变快、哪里停住，又在哪里到达最高或最低。

先读画框，再读图像

拿到一张函数图像，很多人会立刻盯着曲线，猜它是在上升还是下降。先别急。图像外面的两根轴、刻度和单位，才是这段故事的“片名”和“字幕”。这些信息没有读清楚，同一条线可以被解释成完全不同的事情。

轴名告诉你在比较什么

横轴通常表示输入，也就是自变量；纵轴通常表示输出，也就是因变量。但“通常”不是“永远”，所以不能只凭横竖位置猜。我们要把轴旁边写的量名完整读出来。

如果横轴写“时间”，纵轴写“水量”，图像就在回答：时间过去以后，水箱里有多少水。如果横轴写“购买数量”，纵轴写“总价”，它回答的就是：买这么多件，一共花多少钱。哪怕两张图的线条长得一模一样，它们的单位、现实含义和结论也可能完全不同。

读轴时，可以在心里补成一句话：

横轴每给出一个________，纵轴就告诉我对应的________。

比如“横轴每给出一个时间，纵轴就告诉我对应的水量”。只要这句话能说顺，输入和输出一般就不会认反。

单位决定答案怎么说

同样读到横坐标 5、纵坐标 12，如果横轴单位是分钟、纵轴单位是升，它表示“5 分钟时有 12 升水”；如果横轴单位是小时、纵轴单位是摄氏度，它就表示“5 小时后温度是 12 摄氏度”。数字没有变，整句话却变了。

单位还会跟着进入变化率。水量除以时间得到“升/分钟”，路程除以时间得到“千米/小时”，费用除以数量得到“元/件”。所以一道读图题做到最后没有单位，往往说明故事只翻译了一半。

范围和刻度不能靠想当然

看轴名以后，再看图上展示的范围。横轴可能只画了 $0$ 到 $10$，也可能画了 $-5$ 到 $5$；纵轴可能从 $0$ 开始，也可能只截取 $80$ 到 $100$ 的一小段。图窗没有从 0 开始，并不表示数据有问题，它只是在放大某一段变化。

接着看相邻刻度相差多少。不要见到相邻小格就自动当作 1 格。有的轴每格代表 1，有的每格代表 5，还有的横轴每格是 2、纵轴每格却是 10。读点前先用两个已经标数的刻度做减法，再数它们之间有几格，就能知道每小格代表多少。

例如，纵轴上从 20 到 50 之间分成 3 个相等小格，那么每格代表：

从 20 往上第二小格不是 22，而是 40。

一个点是一句有主语的话

图上的点 $(4,10)$ 表示横坐标是 4，纵坐标是 10。若函数记作 $f$，可以写成：

只说“4 对应 10”在纯数学题里勉强够用，放进情境却还不完整。假设横轴是骑行时间，单位是分钟；纵轴是离家的距离，单位是千米，那么这句话应该说成：“骑行 4 分钟时，离家 10 千米。”主语、量名和单位都在，点才真正被读懂。

这里还有一个顺序不能颠倒：$(4,10)$ 的第一个数永远来自横轴，第二个数来自纵轴。它不会因为纵轴的名字更显眼就变成 $(10,4)$。

读一个值，也要会反着找

函数图像经常出现两类问题。第一类给输入找输出，第二类给输出找输入。两种题都在同一张图上完成，但走的方向正好相反。

给输入找函数值

题目问“$f(4)$ 是多少”，就是已经给了横坐标 4，要找图像在这个位置的高度。可以这样走：

在实际图像里，点不一定恰好落在刻度线上。若只能看出它在 9 和 10 之间，就应该写“约为 9.5”或“介于 9 和 10 之间”，不要装作读到了图上根本没有提供的精度。

给输出找输入

题目问“什么时候 $f(x)=10$”，现在给的是输出 10，要找哪些输入会产生它。路线变成：先在纵轴找到 10，水平走向图像；每碰到一次图像，就从交点竖直落到横轴，读出一个输入。

注意，这种题可能有一个答案，也可能有好几个答案。山峰形图像上，同一个高度常常在上山时经过一次、下山时又经过一次。函数只要求“一个输入不能给两个输出”，并没有规定“一个输出只能来自一个输入”。

比如一辆车先驶离家、后来又返回，离家 3 千米这个输出可能分别出现在第 8 分钟和第 26 分钟。两个时间对应同一个距离完全可以，函数仍然没有坏。

定义域和值域：图像到底占了多大范围

上一章里，我们从表格看哪些输入和输出被列出来。到了图像上，同一个问题可以用“投影”来想。

把图像朝横轴方向压扁，它在横轴上盖住的所有位置，就是定义域；把图像朝纵轴方向压扁，它在纵轴上盖住的所有高度，就是值域。

定义域看左右，值域看高低

定义域回答：“哪些输入能在图上找到对应点？”所以要从最左端看到最右端。值域回答：“图上实际出现过哪些输出？”所以要从最低处看到最高处。

例如，一段图像从实心点 $(-2,1)$ 开始，到实心点 $(5,7)$ 结束，并且中间没有断开。只看横向覆盖，定义域是 $-2$ 到 $5$；只看纵向覆盖，值域是 $1$ 到 $7$。用区间写就是：

这里不要求图像从左端一路上升。它中间可以弯来弯去，只要最低高度是 1、最高高度是 7，并且连续经过中间高度，值域仍然是 $[1,7]$。

实心点和空心点像门的开关

图像端点常画成实心圆点或空心圆点。可以把它们理解成门口的两种牌子：

• 实心点表示“这个位置算在里面”，区间用方括号。
• 空心点表示“图像靠近这里，但这个位置本身不算”，区间用圆括号。

假设图像左端是实心点 $(-3,2)$，右端是空心点 $(4,6)$，并且横向中间都有图像，那么定义域是：

它表示 $x=-3$ 可以输入，$x=4$ 不可以输入。若最低值 2 出现在实心点处，而最高只无限靠近 6、没有任何实心点真正到达 6，那么值域就是：

判断值域端点开闭时，不能只照抄定义域的括号。要单独检查那个最低或最高输出到底有没有被图像取到。

箭头表示还在继续

图像末端如果画着箭头，表示线条不是在画框边缘突然停止，而是还按那个方向继续。向右的箭头说明定义域可能继续增大；向上的箭头说明值域可能继续增大。画框只展示了一部分，不能把屏幕边框误当作函数端点。

反过来，如果一段现实图像明确在实心点结束，比如水箱在第 9 分钟排空，那么第 9 分钟就是模型的一部分，定义域右端应包含 9。是否继续，必须由端点符号和情境一起判断。

有洞和分散的点时要逐块看

如果连续曲线上挖掉了一个空心点，而同一个横坐标没有别的实心点补上，那么这个输入要从定义域中去掉。如果空心点旁边又在同一横坐标画了一个实心点，说明函数在这里改用了另一个输出，这个输入仍在定义域里。

若图像只有几个分散的点，例如只在 $x=0,1,2,3$ 处有点，就不能把点之间的空白自动连起来。它的定义域是集合 $\{0,1,2,3\}$，不是整个区间 $[0,3]$。买电影票的张数、班级人数、星期编号这类输入常常就是离散的。

从左往右，读出上升、下降和不变

图像的定义域告诉我们“故事覆盖了哪些输入”。接下来把输入从小到大排列，故事才真正动起来。

默认从左往右看，是因为横轴上的输入正在增加。眼睛向右移动时，图像高度上升，函数就在增加；高度下降，函数就在减少；高度保持水平，函数在这一段保持不变。

“增加”说的是一整段，不是一个点

函数在某个区间上增加，意思是区间里较大的输入会对应较大的输出。它描述的是一段比较关系，所以最好说“函数在 $0<x<4$ 上增加”，不要说“函数在 $x=2$ 这个点增加”。

同样，常量区间也必须有一段水平图像。只有一个点恰好和旁边某点等高，不能因此宣布函数在那个点“保持不变”。

假设一条折线从 $x=0$ 到 $x=3$ 上升，从 $x=3$ 到 $x=5$ 水平，从 $x=5$ 到 下降。可以写成：

• 增加区间：$(0,3)$；
• 常量区间：$(3,5)$；
• 减少区间：$(5,9)$。

入门阶段把转折点放在开区间外最不容易混乱，因为在转折点处，图像正准备换方向，它不是一小段“正在增加”或“正在减少”的过程。不同教材对端点书写可能有细节约定，做题时跟随题目约定即可，判断方向的方法不变。

正负和增减是两套问题

这是读图里最常见的一次“串台”。

函数值是正还是负，看图像在横轴的哪一边：

• 图像在横轴上方，函数值为正；
• 图像在横轴下方，函数值为负；
• 图像落在横轴上，函数值为 0。

函数在增加还是减少，看图像从左往右的行进方向：

• 越走越高，是增加；
• 越走越低，是减少；
• 高度不变，是常量。

所以，一条线可以在横轴上方一路下降：它的函数值仍为正，只是正数越来越小。它也可以在横轴下方一路上升：函数值仍为负，只是从 $-8$ 升到 $-3$，越来越接近 0。

截距：图像碰到坐标轴时在说什么

图像和两根坐标轴相遇的地方叫截距。这里先学会读出坐标和情境含义，完整的代数计算会在后面的章节继续展开。

纵轴截距常常是初始值

纵轴上的任何点横坐标都等于 0，所以图像与纵轴交于 $(0,b)$，就是在告诉我们：

如果横轴是“经过的分钟数”，$x=0$ 常常表示计时刚开始。于是 $b$ 可能是一开始的水量、刚出发时离家的距离、尚未生产时已经要付的固定费用。

不过，不要把“纵截距”机械翻译成“一开始”。如果横轴表示公元年份，$x=0$ 未必处在研究范围内；如果定义域根本不包含 0，图像就没有纵轴截距。先看轴的含义和定义域，再讲现实故事。

横轴截距是输出归零的位置

横轴上的点纵坐标都等于 0。图像经过 $(a,0)$，就表示：

在水箱图里，它可能是水量变成 0 的排空时刻；在库存图里，它可能是商品售罄；在“离目的地距离”图里，它可能表示到达。一个图像可以没有横截距，也可以有一个或多个横截距。

读横截距时要回答两个问题：零出现在哪个输入处？这个“零”在情境里是什么意思？只报一个坐标，往往还没有完成应用题的解释。

山顶和谷底：最大值、最小值与极值

有些图像不是一路上升或一路下降。它会爬到一个高点，再掉进低谷，之后又重新上升。读这种图时，我们需要区分“附近最高”和“全程最高”。

局部极值只和邻居比较

图像从增加转为减少时，转折处像附近的一座山顶，叫局部最大值。图像从减少转为增加时，转折处像附近的一处谷底，叫局部最小值。

“局部”两个字很关键。小区旁边的一座小山，在周围几百米内可能最高，却不一定比远处的大山更高。同样，图像上的局部最大值只需要高过它附近的点，不需要赢过整张图。

假设图像在点 $(3,12)$ 处由升转降，那么更准确的说法是：函数在 $x=3$ 处取得局部最大值 12。这里 $3$ 是取得最大值的输入位置，$12$ 才是最大值本身。题目问“最大值是多少”时答 12，问“在哪里取得”时答 $x=3$，不要把两者交换。

全局极值要检查整个定义域

全局最大值是整个定义域里真正最高的输出，全局最小值是整个定义域里真正最低的输出。一个局部山顶可能不是全局最高点；一个端点虽然没有“左右两个邻居”，却完全可能是全局最高或最低点。

例如，在一段封闭行程里，气温图像先升到 26 摄氏度、降到 20 摄氏度、又升到 29 摄氏度。26 可能是局部最大值，29 才是全局最大值。如果开始时是 18 摄氏度，而且全程再没有更低温度，那么 18 是全局最小值。

有时最高处是一段水平平台。这时最大值只有一个——平台的高度；但函数在平台上的每一个输入处都取得这个最大值。有时图像带着向上的箭头一直延伸，输出可以越来越大，就不存在全局最大值。不要为了“每张图都该有答案”而硬找一个最高点。

极值和截距不是一回事

横截距关心输出何时等于 0；极值关心输出在附近或全程是不是最高、最低。最低值可以是 5，图像完全不碰横轴；局部最大值也可以是 $-2$，虽然它仍在横轴下方，却比附近的 $-5$、$-7$ 更高。

平均变化率：把一整段变化折算成“每一份”

现在，我们已经会说一段图像在增加还是减少。可“增加”只能告诉方向，还没有告诉我们增加得多快。同样过 5 分钟，水量增加 2 升和增加 20 升，显然不是同一种节奏。

平均变化率就是把一段里的总输出变化，平均分到每 1 个输入单位上。若区间两端是 $(x_1,y_1)$ 和 $(x_2,y_2)$，那么：

用函数记号写成：

分子是输出总共变了多少，分母是输入总共走了多少。两点之间的图像即使弯弯曲曲，平均变化率也只拿起点和终点结账。它像一趟路结束后用“总路程除以总时间”算平均速度，不代表每一分钟都保持这个速度。

例题：水箱正在排水

一个水箱开始时有 18 升水，6 分钟后剩 6 升。图像经过 $(0,18)$ 和 $(6,6)$。求前 6 分钟水量的平均变化率，并解释答案。

平均变化率是 $-2$ 升/分钟。完整的人话是：“前 6 分钟里，水箱水量平均每分钟减少 2 升。”负号已经在表达“减少”，不能说成“每分钟减少 $-2$ 升”，那会绕成相反意思。

图中水量按直线继续降到 $(9,0)$，说明这个模型下水箱在第 9 分钟排空。从 6 分钟到 9 分钟的平均变化率也是：

两段结果相同，说明这条直线在整个有效范围内保持同一种变化节奏。下一章要学习的“斜率”，就是把这种变化节奏变成直线的核心特征。

顺序可以换，但上下必须配套

也可以先用 $(6,6)$ 再用 $(0,18)$：

结果仍然相同。真正危险的是分子用“后减前”，分母却用“前减后”，这样会把正负号算反。选定第一个点以后，分子和分母都从同一对坐标开始。

平均为零不代表中间没动

如果函数从 $(0,5)$ 上升到 $(2,11)$，又在 $(4,5)$ 回到原高度，那么从 $x=0$ 到 $x=4$ 的平均变化率是：

这只表示终点输出和起点输出相同，不表示中间一直保持不变。要知道过程里发生了什么，仍然得看整条图像，而不能只看两个端点算出的平均数。

连续、离散和分段：先问现实是不是允许连线

图像上的线条怎样连接，也在传递信息。最常见的有连续图像、离散图像和分段图像。

连续图像像一支不抬笔的线

水温随时间变化、行驶距离随时间变化、水箱水量随时间变化，通常可以在两个时刻之间继续细分。1 分钟和 2 分钟之间还有 1.5 分钟、1.25 分钟，因此图像常画成连续线。沿着它移动时，不需要从纸上突然跳到另一个位置。

连续不等于光滑。折线在转折处有尖角，仍然可以连续；它只要没有断口、空洞或突然跳跃，就没有漏掉中间的函数值。

离散图像只认一个个允许的输入

商品件数、学生人数、投篮命中次数通常只能取整数。买 2 件和买 3 件之间的“2.4 件”往往没有意义，所以图上应画一个个分开的点，而不是擅自连成实线。

例如，门票每张 30 元，购买张数 $n$ 可以是 $0,1,2,3,\ldots$。总价 $C(n)=30n$ 的点虽然排在同一直线上，现实图像仍应是离散点，因为 $n=1.6$ 不是允许的购票数量。

分段图像表示规则途中换过

现实过程经常不是一条规则管到底。出租车起步阶段收固定费用，超过一定里程后再按公里计费；停车前半小时免费，之后每小时收费；水箱先注水、暂停、再排水。图像会被分成几段，每一段有自己的行为。

分段交界处尤其要看实心点和空心点。假设 $x=3$ 时，旧规则的端点画空心点 $(3,5)$，新规则画实心点 $(3,8)$，那么函数真正取的是 $f(3)=8$。空心点只是告诉你旧规则靠近 3 时走向 5，却没有在 3 这里接收 5。

数学能延伸，现实未必允许

一条直线在纸上可以向左、向右无限延伸，可情境常常把它截成一段。排水模型得到负水量，说明模型已经越过有效时间；商品数量出现负数，说明输入失去现实含义；电池电量超过 100%，也说明公式不能再照原路延伸。

图中的蓝色线段表示真实水量从 20 升降到 0 升。灰色和红色虚线展示的是同一条直线在数学上可以怎样继续，但负时间和负水量不属于这个水箱过程。定义域和值域应由真实过程来收口，而不是由尺子能画多长来决定。

把整张图读成一段完整故事

前面把轴、点、区间、截距、极值和变化率拆开练了。真正遇到应用图像时，要把它们重新合在一起。下面用一段水箱过程走完整遍。

例题：水箱的一次工作记录

某水箱的水量 $W(t)$ 随时间 $t$ 变化。横轴单位是分钟，纵轴单位是升。图像由下面几段连续折线组成：

• 从 $(0,6)$ 上升到 $(4,18)$；
• 从 $(4,18)$ 水平延伸到 $(7,18)$；
• 从 $(7,18)$ 下降到 ；

请读出定义域和值域、增减与常量区间、最大值、截距，并解释每一段发生了什么。

前 4 分钟的平均变化率为：

第 7 到第 11 分钟的平均变化率为：

第 11 到第 16 分钟的平均变化率为：

现在把这些读数串起来，就得到一段自然的话：计时开始时，水箱里有 6 升水。前 4 分钟持续注水，水量以平均每分钟 3 升的速度增加到 18 升。接下来的 3 分钟水量不变。第 7 分钟起开始稳定排水，平均每分钟减少 2 升，直到第 16 分钟排空。这个故事已经同时用到了函数值、区间、极值、截距和变化率。

一张图的通用阅读顺序

以后面对新的函数图像，可以按下面的顺序走：

1. 读横轴、纵轴的量名和单位；
2. 检查图窗范围、刻度间隔和端点符号；
3. 把关键点翻译成完整情境句；
4. 从左到右读增加、减少和常量区间；
5. 从左右覆盖读定义域，从高低覆盖读值域；
6. 找纵截距、横截距、局部与全局极值；
7. 选择关键区间计算平均变化率；
8. 检查图像是连续、离散还是分段，并用现实条件收紧范围；
9. 最后把所有信息按时间或输入顺序串成故事。

这不是要求每道题都写九段话，而是给眼睛一个稳定的检查顺序。题目只问其中一项时，就抽出对应步骤；题目要求“描述图像”时，再把它们合起来。

常见误区

把坐标顺序念反

点 $(3,8)$ 永远是横坐标 3、纵坐标 8。放进情境，要说“输入为 3 时输出为 8”，不能因为纵轴先映入眼帘就颠倒成 $f(8)=3$。

每个小格都当成 1

读点前先查两个已标数刻度的差，再除以中间格数。横轴和纵轴的每格大小还可能不同，必须各算各的。

给输出找输入时只找一个交点

水平线可能与图像相交多次。题目问“所有满足 $f(x)=k$ 的 $x$”时，要从左到右扫完整张图。

把下降说成负值

图像在横轴上方也可以下降，横轴下方也可以上升。正负看相对横轴的位置，增减看从左往右的方向。

把画框边缘当成函数终点

图像末端有箭头时，它还在继续；末端有实心或空心点时，才需要讨论是否包含那个端点。屏幕只画到 $x=10$，不等于定义域自动在 10 结束。

把空心点算进去

空心点表示那个坐标没有被函数取到。除非同一横坐标还有别的实心点，否则这个输入不在定义域里；判断值域时也要检查同一高度是否在别处被取到。

把离散点擅自连线

点排得整齐不代表中间输入有意义。人数、件数、次数通常需要保留为分散的点。

只报变化率的数字，不解释符号和单位

$-2$ 本身不够。要说清楚是“每分钟减少 2 升”还是“每小时下降 2 摄氏度”。符号说明方向，单位说明比较的是哪两个量。

练习

练习一：点和函数值

某图书馆在开馆后 $t$ 小时的在馆人数记作 $N(t)$。图像经过点 $(2,120)$。请用函数记号写出这个信息，再用完整情境句解释。

练习二：定义域、值域和端点

一段连续图像从实心点 $(-1,3)$ 开始，到空心点 $(5,9)$ 结束，并且图像始终上升。写出定义域和值域。

练习三：正负与增减

某函数图像从点 $(-4,-7)$ 上升到 $(-1,-2)$，整段都位于横轴下方。判断这段函数值的正负和增减情况。

练习四：局部最大和全局最大

某温度图像在上午 9 时达到 24 摄氏度，随后下降；下午 2 时又达到 31 摄氏度，而且 31 摄氏度是全天最高温。请说明 24 和 31 分别是什么。

练习五：平均变化率

某电池在使用 1 小时后剩余电量为 88%，使用 5 小时后剩余 52%。求这 4 小时内电量的平均变化率，并解释答案。

练习六：连续还是离散

下面三个关系应该画成连续图像还是离散点？

1. 一天中气温随时间的变化；
2. 购买笔记本的本数与总价；
3. 水箱水量随排水时间的变化。

练习七：整图叙事

一位同学从家出发去图书馆。横轴表示时间，单位为分钟；纵轴表示离家的距离，单位为千米。图像从 $(0,0)$ 上升到 $(10,1.2)$，再水平走到 $(15,1.2)$，最后上升到 $(25,2.2)$。

请回答：哪一段在停留？前后两段移动的平均变化率分别是多少？哪一段离家速度更快？整段图像有没有横轴截距？

从“看方向”走向“量快慢”

现在再看一张函数图像，我们已经不只会说“这条线向上”或“这个点在这里”。轴名和单位告诉我们故事在讲什么；点给出某个输入下的具体输出；定义域和值域划出故事的边界；增减区间、极值和截距交代过程中的转折；平均变化率则开始衡量一段变化究竟有多快。

如果图像是一条直线，还有一个更特别的现象：无论在直线上挑哪两个不同的点，算出的变化率都一样。也就是说，这条线从头到尾保持同一种节奏。下一章，我们就给这个稳定的节奏一个正式名字——斜率，并学会从图像、表格和坐标中把它准确算出来。

平均变化率为每小时 $-9$ 个百分点，也就是从第 1 小时到第 5 小时，电量平均每小时下降 9 个百分点。这里说的是“百分点”，不是原电量的 9%。

因为 $0.12>0.10$，前一段离家的平均速度更快。图像在 $(0,0)$ 与横轴相交，所以有横轴截距 0；在情境里，它表示刚出发时离家的距离为 0。