函数的三种表示法

上一章我们把函数看成一台“输入—输出”机器：只要输入在允许范围内，同一个输入就必须得到同一个输出。可是真正遇到问题时，这台机器不一定把规则直接印在外壳上。它有时给你一张数据表，有时留下一串坐标点，有时只说一句“每过一分钟增加 3 升”。

所以，学会函数定义以后，下一步不是再背一遍定义，而是学会翻译。我们要在列表或表格、图像、解析式之间来回转换，还要知道什么时候哪一种说法更好用。

先看一张骑行账单。页面只显示“25 分钟”和“2.50 元”，但这一小块信息已经是一组完整配对：输入是骑行时间 25 分钟，输出是费用 2.50 元。

只有这一组配对，我们还不知道完整计费规则；如果再拿到更多账单，可以把数据排成表；如果知道平台怎样计费，可以写出解析式；如果把所有配对放进坐标系，就得到图像。三种表示法像三种镜头，拍的是同一个关系，只是各自擅长回答的问题不同。

同一个函数，换一种写法仍是同一回事

无论外面套的是表、图还是式子，里面都还是“输入经过固定规则得到输出”这副骨架。表示法改变的是我们看规则的角度，不是输入和输出的身份。

假设一个透明水箱原来有 12 升水，打开水龙头后，水量以每分钟 3 升的速度增加，只观察前 4 分钟。设经过的时间为 $t$ 分钟，水量为 $W(t)$ 升。

这段话先把关系讲清楚了：输入是时间，输出是水量；水量从 12 升开始，每分钟增加 3 升；时间范围是 $0\le t\le4$。

把几个时刻列出来，就是表格：

把规则压缩成式子，就是解析式：

把表中每一列写成坐标点，就有 $(0,12)$、$(1,15)$、$(2,18)$、$(3,21)$、$(4,24)$。因为这个情境允许 到 分钟之间的任意时刻，点与点之间也有意义，所以图像是一段经过这些点的连续直线，而不是只有五个孤立点。

表格、图像和解析式没有改变函数本身。无论用哪一种表示，$t=2$ 时都必须得到 $W(2)=18$。如果表里写 18，图上却把 $t=2$ 对应到 17，或者公式算出 19，那不是“表示方法不同”，而是至少有一个地方出错了。

列表法和表格法：把配对一组组摊开

列表法最诚实。它不急着概括规律，只把已经知道的输入和输出摆出来。最紧凑的写法是有序数对集合：

每一对数中，前一个数是输入，后一个数是输出。把同样的数据排成两行或两列，就得到表格法。两者表达的信息相同，只是表格更方便比较。

回到开头的骑行账单。如果更多账单显示 0、15、30、45、60 分钟分别对应 0、1.50、3.00、4.50、6.00 元，表格就把五组配对集中摆在了一起。它与开头的 $(25,2.50)$ 也能对上：这些数据都符合“每分钟 0.10 元”的规则。

如果题目进一步说明按实际骑行时长连续计费，这些样本可以用解析式 $C(t)=0.1t$ 概括；若平台按每 15 分钟结算一次，允许的输入和图像画法就会不同。相同的表面数据，仍要靠计费说明确定表格之外发生什么。

表格最适合做什么

想查一个准确值时，表格很好用。比如上面的表能让你直接读出 $W(3)=21$，不用画图，也不用重新计算。记录实验数据、月度销量、每天最高气温时，表格还有一个解析式做不到的优点：它能老老实实保留观测值，不必假装数据一定服从某个漂亮公式。

表格也能帮我们发现线索。输入每增加 1，输出都增加 3，这提示水量可能按固定速度增长。但要留意“提示”两个字：只给有限个数据点时，通常会有不止一条规则能穿过它们。除非题目说明关系是线性的、变化率恒定，或者情境本身给出了固定变化方式，否则不能仅凭四五个点就断言完整公式只有一个。

表格列的是全部，还是抽样

有些表列出了函数的全部信息。比如自动售货机只有 A1、A2、B1 三个按钮，表里如果把三个按钮和商品全部列完，那么没有“按钮 A1.5”需要补上。

另一些表只是从连续变化中挑了几个样本。水箱在第 1.5 分钟当然也有水，只是表格没列这一列。把“没列出”误会成“不允许”，会把连续函数硬生生切成几个点。

看表时可以先问一句：输入本来是一件件数得出的，还是可以连续测量的？人数、书本数、投篮次数通常取整数；时间、距离、温度通常可以在一个区间内连续取值。情境会决定表格之外还有没有输入。

先检查它是不是函数

如果同一个输入重复出现，要比较输出。下面两行

只是重复记录，并没有产生两个不同结果。可如果表里同时出现 $(2,7)$ 和 $(2,9)$，同一个输入 2 对应两个输出，这组关系就不能作为 $y$ 关于 $x$ 的函数。这个检查来自上一章，在三种表示之间转换时仍然要守住。

图像里也是同一条规矩。下面这条侧着弯的曲线，被同一条竖线碰到两次，意思就是同一个横坐标找到了两个纵坐标，因此不能表示 $y$ 是 $x$ 的函数。这里把它保留成翻译前的快速检查，不再重复上一章的完整证明。

图像法：让很多组配对同时出现在眼前

把有序数对 $(x,y)$ 放进坐标系，就是在横轴找到 $x$，再到对应高度 $y$ 标一个点。函数图像是所有允许输入及其输出形成的点的集合。

这句话里最容易漏掉的是“所有允许输入”。如果定义域只有 $\{0,1,2,3\}$，图像就只有四个点；如果定义域是整个区间 $0\le x\le3$，图像还包括四个整数之间的所有点。能不能连线，不由尺子决定，由定义域和情境决定。

图像的强项是看整体

表格让你看清几个具体数，图像让你快速看出关系的大致形状。它能显示输出整体在上升还是下降，哪些区间变化快，哪里出现转折，哪些输入根本没有图像。几十组甚至几百组数据挤在表里很难看，放到图上往往很快就能看出聚集、波动或异常点。

例如把前面骑行计费表的时间放在横轴、费用放在纵轴，五组样本会落在一条从原点向右上方延伸的直线上。图中没有标出详细数值刻度，所以它适合表达“费用随时间稳定上升”，不适合拿来精确读取 37 分钟的费用。

但图像读数常受刻度、线宽和绘图精度影响。一个点看起来在 $y=6.2$ 附近，不代表精确值一定是 6.2。题目若要求精确结果，而且解析式可用，优先计算；若表格给出原始数据，优先查表。图像更像地图，擅长告诉你往哪里走，不一定替你报出每一厘米。

离散数据不能想当然地连线

某电影院售出电影票 $n$ 张，总收入为 $R(n)=35n$ 元。$n$ 只能取 $0,1,2,3,\ldots$，所以图像应该是落在一条直线位置上的一串孤立点。连接 $(1,35)$ 和 的线段会包含 ，可“售出 1.5 张票”在这个售票模型里没有意义。

反过来，一辆车以稳定速度行驶，时间从 1 小时变到 2 小时的过程中不会瞬移。$1.5$ 小时的路程有意义，点之间就应当连续。

解析式法：把整条规则压缩进一个式子

解析式告诉我们，拿到一个允许的输入后，具体要做什么运算。比如

可以读成：“输出从 5 开始，输入每增加 1，输出增加 2。”只要输入在定义域内，公式就能算出对应输出。表格没列 $x=37$ 不要紧，直接代入就有：

解析式强在计算和推广

一个简短公式可能代表无数个输入输出对。它适合精确计算、比较不同输入，也适合把已知规律推广到表格没有列出的地方。编程时，解析式或分段规则还可以直接变成计算步骤。

它的短处也很明显。只写 $f(x)=5+2x$，我们不知道 $x$ 是时间、件数还是路程，不知道 5 和 2 的单位，更不知道实际输入能取到哪里。纯数学题里，线性式通常允许所有实数；实际问题里，情境可能把定义域限制为非负数、整数或某个有限区间。

所以，一个完整的实际模型最好同时写清变量和范围。例如“每盒彩笔 12 元，另收 8 元配送费，购买 $n$ 盒的总价为 $T(n)$ 元”，应写成：

如果商家最多发 20 盒，还要把范围收紧为 $n\in\{1,2,\ldots,20\}$。公式本身能算 $T(-3)$，但“买负 3 盒”不是这个模型允许的问题。

从文字情境出发：先抓住五件事

应用题经常用一大段话包住一个很短的函数。不要见到数字就立刻相乘。先把下面五件事找齐：

1. 输入是谁？
2. 输出是谁？
3. 两个量各用什么单位？
4. 输出从多少开始，怎样随输入变化？
5. 哪些输入在现实里有意义？

完整例题：洗衣卡里的余额

一张洗衣卡原有 80 元，每洗一次衣服扣 6.5 元，不允许透支。设已经洗了 $n$ 次，余额为 $B(n)$ 元。请用表格、解析式和图像描述余额变化。

解析式和范围合起来写为：

图像上的点都落在一条向右下降的直线位置上，但只画 $n=0$ 到 $12$ 的 13 个点，不能连成实线。因为 $n=3.7$ 次没有意义。再往右画到 $n=13$ 会得到负余额，也违反“不允许透支”的条件。

这个例子也说明了，解析式给出运算规则，定义域负责踩刹车。只抄公式、不抄范围，翻译还没完成。

从解析式到表格，再把图像想出来

已知公式时，造表最稳的办法就是选输入、代入、计算、写成有序数对。选值不必越多越好，要选能暴露关键特征的值。

例题：给定公式 $g(x)=-2x+6$

先选 $x=-1,0,1,2,3$。逐个代入：

于是得到：

这些配对对应点 $(-1,8)$、$(0,6)$、$(1,4)$、$(2,2)$、$(3,0)$。每当 增加 1， 减少 2，所以点从左往右整齐下降。若定义域是全体实数，图像是穿过这些点的整条直线；若题目另说 只能取整数，图像就只画离散点。

先看式子，再决定选哪些输入

对 $f(x)=2x+5$，选 $x=0$ 能直接露出初始值 5；对含分数的式子，选择能让计算整齐的输入会更省事；对实际问题，端点和有代表性的中间值往往比随手挑数更有用。

造表后要做一次方向检查。$g(x)=-2x+6$ 中输入变大时输出应当下降。如果表格却一路上升，多半是负号算丢了。这个粗检查很简单，却能抓住不少代入错误。

从表格判断线性，再求出可能的规则

看到输出“每次都加 2”，很容易马上写成 $y=2x+b$。可这只在输入每次也加 1 时才成立。真正要比较的是输出变化与输入变化的比值：

例题：输入步长不相等

第一段中，$x$ 增加 2，$y$ 增加 6，变化率是 $6\div2=3$。第二段中，$x$ 增加 3，$y$ 增加 9，变化率是 $9\div3=3$。第三段中， 增加 4， 增加 12，变化率仍是 。

相邻区间的变化率都相同，所以如果题目说明这是线性关系，式子可以先写成：

把表中的点 $(1,8)$ 代进去：

因此规则是：

用另一点核对：当 $x=10$ 时，$3\times10+5=35$，和表格一致。

一个常见错法

还是这张表，如果只看输出差是 6、9、12，就说“差不相等，所以不是线性关系”，结论是错的。因为输入步长也在变。线性关系要求的是单位输入变化对应的输出变化不变，不要求相邻两列的输出差表面上一模一样。

还有一种相反的错法：表中前几段变化率碰巧相等，就断言宇宙中只有 $y=3x+5$ 这一条规则。有限个点可以被很多更复杂的函数穿过。题目给出“线性”“恒定速度”“每单位增加固定数量”等条件时，我们才能把线性规则当作模型；没有这些条件时，更严谨的说法是“这些数据与 $y=3x+5$ 相符”。

从图像回到表格和解析式

从图像回到表格比较直接：先确认横轴是输入、纵轴是输出，再选图上能准确读出的点。一个点 $(4,10)$ 应写成表格中的 $x=4$、$f(x)=10$，也可以写成 $f(4)=10$。

从直线图像求解析式，要找两类信息：输入为 0 时的输出，以及每增加一个输入单位，输出改变多少。前者是起始值，后者是恒定变化率。

例题：水箱排水图

一幅图的横轴是时间 $t$（分钟），纵轴是水量 $V(t)$（升）。线段经过 $(0,18)$、$(4,10)$ 和 $(9,0)$。

由 $(0,18)$ 可知初始水量是 18 升。再用前两个点求变化率：

这表示每分钟减少 2 升，所以解析式是：

因为水箱从开始排水到排空，实际时间范围是 $0\le t\le9$。完整模型应写成：

把 $t=0,4,9$ 代回公式，分别得到 18、10、0，正好与图上的三个点一致。这个代回过程很重要：图像读错一个刻度，算出的式子就会在核对时露馅。

如果图像只给出普通曲线，没有说明它是哪一类函数，通常不能凭肉眼硬凑解析式。此时可以读出若干近似点、描述变化趋势，却未必能恢复唯一而精确的公式。三种表示法之间可以翻译，但翻译出的精细程度不能超过原始信息。

选择表示法：先看你要解决什么问题

没有哪种表示法永远最好。选择时先问“我现在想知道什么”。

比如两家打印店收费，一家“每页 0.4 元，另收 5 元服务费”，另一家“每页 0.6 元，不收服务费”。想精确求印多少页时两家同价，解析式最省力；想让人快速看出页数少时选哪家、页数多时选哪家，把两条费用图像画在一起会更直观；想核对 10、20、50 页的具体费用，表格最清楚。

真正熟练以后，我们不会执着于只用一种表示。常见做法是用公式算、用表格核、用图像看。

三种表示之间怎样“对账”

互译完成后，别只看版面是否整齐。挑几个信息点对账，能很快发现错位。

核对同一个输入

从定义域里选一个输入 $x=a$。表中对应值、图上对应点的高度、公式算出的 $f(a)$ 应该相同。最好至少检查一个端点和一个中间值。

核对起点和变化方向

若公式是 $f(x)=mx+b$，那么 $x=0$ 时输出应为 $b$；表格若列出 $x=0$，相应值也应为 $b$；图像应经过 。当 时，表中输出随输入增加而增大，图像从左往右上升；当 时，方向相反。

核对单位

如果输入单位是分钟、输出单位是升，那么变化率单位就是升/分钟。把“3 升/分钟”误写成“3 分钟/升”，数值可能没变，意思却倒过来了。表头、坐标轴和文字说明里的单位也应一致。

核对定义域和端点

“买几张票”应画离散点；“前 4 分钟水量”应只画规定区间内的线段；“水箱排空前”不应延伸到负水量。公式能算出来，不代表情境允许。

综合练习

练习一：从故事完成三种表示

一部手机当前有 90% 电量，之后以每小时 12 个百分点的速度稳定下降，只研究接下来的 5 小时。设经过 $t$ 小时后的电量百分数为 $E(t)$。

1. 写出解析式和实际定义域。
2. 列出 $t=0,1,2,3,4,5$ 的表格。
3. 说明图像是离散点还是连续线段。

练习二：表格是否支持线性模型

如果题目说明 $y$ 是 $x$ 的线性函数，求解析式。

练习三：找出错误的连线

某班统计每个小组交回的作业本数量。横轴是“小组编号”1、2、3、4，纵轴分别是 36、39、35、40 本。有同学把四个点用折线连起来，并说折线中间表示“第 2.5 组交了 37 本”。这句话哪里有问题？

练习四：三种表示交叉核验

某函数的解析式为 $h(x)=4-1.5x$，定义域是 $0\le x\le4$。一张表写着 $h(0)=4$、$$、；一幅图却经过点 。判断哪一处有错，并说明怎样修正。

把翻译能力带到下一章

三种表示法说到底是在回答三类问题：表格告诉你“这些输入具体配到什么输出”，解析式告诉你“按什么规则计算”，图像告诉你“所有配对合在一起是什么形状”。

它们之间的翻译也有一条稳定路线：从故事里找输入、输出、单位和范围；用规则造表；把每组配对变成点；再用具体点、变化率和起始值把图或表翻译回公式。一路上始终用同一个输入对账，并由定义域决定画点、画线和画到哪里。

到这里，我们已经会把函数“画出来”了。下一章会把注意力真正放到图像上：怎样从一条线或一段曲线里读出起点、增减、截距、快慢和实际意义。

时间可以在 0 到 5 小时之间连续取值，所以图像是连接 $(0,90)$ 与 $(5,30)$ 的一条下降线段，并经过表中的其余点。不能把直线向右无限延伸，因为题目只研究前 5 小时，实际耗电速度也未必永远不变。

变化率恒为 3。又因为 $x=0$ 时 $y=7$，初始值是 7，所以

代入 $x=9$ 核对，$3\times9+7=34$，与表格一致。