函数

上一章里，我们把输入和输出一列一列排进了表格。表格很像一叠小票：左边记下你做了什么，右边记下结果是什么。可是一张表要满足什么条件，才能叫作函数？这件事不能只凭“看起来有规律”来判断。

想象你站在自动售货机前。按下 A1，机器掉出薯片；按下 B3，机器掉出矿泉水。你敢扫码付款，是因为你相信按钮背后的规则不会临时改主意。同一次使用中，A1 不能一会儿掉薯片、一会儿又掉饼干。同一个输入必须有且只有一个输出，这就是函数最核心的规矩。

不过，函数远不只是一台“数字机器”。它可以藏在课程表、快递柜、计费规则和图像里，也不一定能写成一行漂亮的公式。我们这一章要做的，就是学会从各种外表下面认出同一件事。

关系先负责配对，函数再加一条规矩

数学里的“关系”其实很宽松。只要把一些对象配成对，就有了关系。比如“学生—社团”“城市—当天最高气温”“按钮—商品”，都在说明谁和谁有联系。

如果输入和输出都是数，我们常把一组配对写成有序数对 $(x,y)$。例如：

这里 $(1,3)$ 的意思是输入 $1$ 对应输出 $3$。括号里的顺序不能倒过来，因为 $(1,3)$ 与 $(3,1)$ 讲的是两次不同的配对。

函数是关系中的一种。它给关系加了两项检查：

1. 每一个被列入定义域的输入都要有输出，不能把某个输入晾在一边。
2. 每个输入只能得到一个输出，不能从同一个输入分叉到两个不同结果。

合在一起，就是常说的“每个输入恰好对应一个输出”。“恰好一个”比“最多一个”更严谨：没有输出不行，有两个输出也不行。

多对一完全允许

假设三位同学的鞋码分别是 $38$、$40$、$40$。把“同学”当输入、“鞋码”当输出，这仍然是函数：每位同学都有一个确定鞋码。两位同学碰巧得到同一个输出 $40$，并没有让任何一个输入变得含糊。

所以，多对一允许。画成映射图时，几根箭头可以汇到同一个输出上。

一对多为什么不行

把“同学”对应到“本学期参加的社团”，情况就不同了。如果小林同时参加篮球社和摄影社，那么输入“小林”会给出两个输出。这个关系当然有意义，却不是“社团是同学的函数”。

注意问题的方向。反过来问“某个社团对应它的指导教师”，只要每个社团安排一位确定教师，就可能成为函数。对象没换，只是输入与输出的方向换了，结论就可能改变。

例题：菜单的方向换一下

一家早餐店规定：豆浆 4 元，包子 4 元，饭团 7 元。

• 把餐品当输入、价格当输出，是函数。每种餐品有一个确定价格，豆浆和包子同价只是多对一。
• 把价格当输入、餐品当输出，就不是函数。输入 4 元同时对应豆浆和包子两个输出。

这类题的捷径不是背“商品对应价格可以，价格对应商品不行”，而是每次先圈定输入，再检查这个输入会不会分叉。

函数不是公式的另一个名字

很多人第一次见函数，是从 $y=2x+1$ 开始的，于是很自然地把“函数”和“含 $x$ 的公式”画上等号。这个印象太窄了。

公式只是表达函数的一种办法。函数真正包含的是三件事：允许哪些输入、怎样把输入送到输出、每个输入最后得到什么。规则可以写成公式，也可以写在表格里、画成映射箭头、藏在一段操作说明中，甚至由程序执行。

没有公式，也照样可以是函数

把一本字典想成一张很大的查询表。输入一个汉字，输出它在检字表中指定的起始页码。我们不需要找出“页码关于汉字的代数式”，仍然可以逐字查到唯一结果。

再比如，输入一位报名学生的学号，输出系统分配给他的考场。分配也许来自数据库和排考程序，不会有一条简单的 $ax+b$ 公式，但只要每个已报名学号恰好对应一个考场，它就是函数。

函数甚至不要求输入、输出都是数字。输入可以是月份，输出可以是天数；输入可以是文件名，输出可以是文件类型；输入可以是一张订单，输出可以是当前状态。

有公式或方程，也未必能把 $y$ 看成 $x$ 的函数

看这个方程：

它画出来是一个半径为 $2$ 的圆。把 $x=0$ 代进去，会得到：

因此 $y=2$ 或 $y=-2$。同一个输入 $x=0$ 找到两个不同输出，这个方程描述的是一个关系，却不能把整个圆看成“$y$ 是 $x$ 的函数”。

反过来，$y=x^2$ 是函数，因为每个 $x$ 平方后只有一个结果。这里也能看出：式子看上去复杂还是简单并不重要，关键仍是输入有没有唯一输出。

同一个公式，换了定义域就是另一条函数

有两家影印店都按“每页 0.2 元”收费。甲店只接 1 到 50 页的小订单，乙店可以接任意正整数页数。两家店的费用都能写成 $C(n)=0.2n$，但它们允许的输入不同，因此不能说这是完全相同的函数。

再看一个纯数学例子。规则 $f(x)=x^2$ 若把定义域规定为全体实数，输入可以是负数、0 和正数；若把定义域规定为非负实数，负数就不再归这条函数处理。两个版本使用同一公式，却包含不同的输入—输出配对。

所以，一条完整的函数不能只看等号右边。至少要知道定义域和对应规则；如果题目还明确指定了陪域，也要把它算进函数的说明。公式像做法，定义域像这份做法负责接待的对象，缺一块就可能认错函数。

从表格和映射图判断函数

上一章已经学过怎样读表格，现在我们把判断标准接上去。表格里每一列或每一行都记录一组输入—输出配对。检查时，不必急着找递增、递减或差值，只要先找重复输入。

表格：重复输入要重点核对

看下面两张小表。

这张表是函数。输出 $8$ 重复出现没有问题，因为输入 $2$ 和输入 $3$ 各自仍然只有一个结果。

这张表不是函数。输入 $2$ 既对应 $8$ 又对应 $9$，唯一性被破坏了。

如果同一个输入重复记录，但输出也相同，比如 $(2,8)$ 写了两遍，那只是重复抄了一条信息，不会凭空产生第二个输出。把重复项合并以后，配对仍然是 $2\mapsto8$。

映射图：每个输入查箭头

映射图通常把输入放在左边，输出放在右边。最稳的检查方法是从左边第一项开始，逐项数箭头：

• 没有箭头：这个被宣布为输入的对象没有结果，不是函数。
• 恰好一根箭头：通过这一项。
• 两根或更多箭头指向不同输出：不是函数。

右侧可以有“没人去”的输出。因为右侧常画的是预先准备的输出集合，其中有些值可能暂时没有被取到。真正不能空着的是左侧定义域中的输入。

有序数对：只查第一坐标

关系

是函数。第一坐标 $-2,0,3,4$ 都没有分叉，第二坐标 $5$ 重复不影响结论。

而关系

不是函数，因为第一坐标 $-2$ 分别配到了 $5$ 和 $7$。

例题：先问“谁由谁决定”

下面的表记录一家水果店三种水果的单价。

问“单价是不是水果的函数”时，输入是水果。苹果、梨、橙子各有一个单价，所以答案是函数；两个输出都是 8 元，不构成冲突。

问“水果是不是单价的函数”时，输入换成了单价。输入 8 元能找到苹果和橙子两个输出，因此答案不是函数。

如果题目再加一句“今天同一种水果上午和下午价格可能不同”，我们还要检查输入是否说完整了。只用“水果”当输入不够，因为苹果可能对应两个价格；把输入改成“水果与时段组成的配对”，例如“苹果，上午”，输出才重新变得唯一。

这个细节在现实数据里很常见。记录地点的温度时，只写“地点”通常不够，还要写时刻；记录某人的体重时，只写“姓名”也不够，还要写测量日期。函数是否成立，有时不是关系本身混乱，而是我们漏写了决定输出所需的条件。

函数记号是在给规则取名字

如果一条规则要反复使用，总写“把输入先乘 2 再加 1”会很累。我们可以给这条规则取名叫 $f$：

$f$ 是函数的名字，$x$ 是暂时放输入的位置，$f(x)$ 是输出。$f(x)$ 读作“$f$ 在 $x$ 处的值”或“$f$ 作用在 上的结果”。括号表示把什么送进规则，不表示乘法，所以 绝不是 。

字母可以换。温度关于时间的函数可以叫 $T(t)$，费用关于路程的函数可以叫 $C(d)$，库存关于日期的函数可以叫 $S(r)$。名字的作用是提醒我们在谈哪一条规则；括号里的量才是这一次交给规则的输入。

严格说，$f$ 与 $f(3)$ 也不是同一类东西。$f$ 指整条规则，好比自动售货机内部完整的按钮设置；$f(3)$ 指这条规则接收输入 3 后得到的一个结果，好比按下 3 号按钮掉出的那件商品。把一台机器和它吐出的一件商品混为一谈，后面的符号就很容易读乱。

把函数记号翻译回情境

某仓库每天发出 8 箱饮料，开始时有 100 箱。若 $S(d)=100-8d$ 表示经过 $d$ 天后的库存，那么：

不只是一条算式。它完整地说：经过 6 天，仓库还剩 52 箱。这里 $S$ 是库存规则的名字，6 的单位是天，52 的单位是箱。

反过来，$S(d)=20$ 问的是“经过多少天库存会降到 20 箱”。解 $100-8d=20$，得到 $d=10$。同一条库存规则里，$S(6)$ 是向前查询， 是拿着结果往回找时间。

应用题中的函数记号最好连单位一起读。$C(4)=18$ 可能表示 4 千米收费 18 元，也可能表示 4 小时耗电 18 度；离开输入与输出的含义，数字本身讲不完整故事。

求函数值：把整个输入放进每一个空位

设：

求 $f(-2)$，就是把式子里的每一个 $x$ 都换成 $-2$。负数最好先用括号包住：

括号里也可以放一个式子。求 $f(a+1)$ 时，要把整个 $a+1$ 代替每一个 $x$：

常见错误是只把第一个 $x$ 换掉，或者把 $(a+1)^2$ 写成 $a^2+1$。函数求值本身并不神秘，出错往往只是因为替换得不完整、括号没守住。

从输入求输出，与从输出反查输入

这两类问题长得很像，方向却正好相反。

仍取：

求 $g(5)$，已知输入是 $5$，只需向前计算：

而“求哪些 $x$ 使 $g(x)=8$”给的是输出，要沿着规则往回找输入：

一个合法函数在给定输入后只能算出一个输出；但给定一个输出，反查输入时可能找到零个、一个或多个答案。原因正是函数允许多对一。

定义域、陪域和值域各管一件事

把函数想成快递分拣台会比较清楚。左边是一批允许进站的包裹，中间按规则分拣，右边是可能去往的区域。三个集合看起来都像“一堆对象”，职责却不同。

定义域：哪些输入被允许进来

定义域是函数允许使用的全部输入。它不是“题目碰巧拿来算的几个数”，而是这条函数规则真正负责的范围。

例如定义域为 $\{-2,-1,0,1,2\}$，就表示其他数暂时不属于这条函数。哪怕公式看上去还能计算 $x=10$，在这次定义里也不能擅自把 10 塞进去。

陪域：事先规定输出放在哪个集合里

陪域可以理解成输出的“目标容器”或类型声明。函数承诺每个结果都会落在这个集合中，但不承诺容器里的每个元素都会真的出现。

例如把函数写成“从整数到整数的平方函数”，整数集合既说明输入类型，也说明输出被放在整数这个大容器里。负整数属于这个输出容器，可是平方以后不会真的得到负数。

值域：实际能得到哪些输出

值域是定义域中的所有输入经过规则后，真正出现的输出集合。它一定包含在陪域中，却可能比陪域小。

设定义域是：

规则是 $f(x)=x^2$，并把陪域规定为 $\{0,1,2,3,4,5\}$。逐个计算后，实际出现的只有 $0,1,4$，所以值域是：

陪域里的 $2,3,5$ 没有被任何输入取到，它们仍在容器里，却不属于值域。

初学题有时不单独给陪域，只问“可能的输出”或“函数值能取哪些值”。这通常是在问值域，也就是实际能产生的输出。读题时抓住“实际能否取到”这几个字，会比死记术语更稳。

从表格、映射图和图像读出两个“范围”

从表格读定义域，只收集输入行里的不同值；读值域，只收集输出行里的不同值。重复出现的输出在集合里只写一次。例如：

定义域是 $\{-2,-1,0,1,2\}$，值域是 $\{0,1,4\}$，不是 $\{4,1,0,1,4\}$。集合只关心有哪些元素，不按出现次数重复记账。

从映射图读取时，左侧所有输入组成定义域；右侧真正接到箭头的输出组成值域。右侧画出来却没有箭头到达的元素，可能属于陪域，但不属于值域。

从图像读取时，可以把图像向两条坐标轴投影。图像在水平方向覆盖了哪些 $x$，这些 $x$ 组成定义域；在竖直方向到达了哪些 $y$，这些 $y$ 组成值域。读定义域像从左往右看图有多宽，读值域像从下往上看图有多高。

端点仍然要分清。实心点表示端点能取到，区间用方括号；空心点表示端点不取，区间用圆括号。图像末端若带箭头，说明还会沿那个方向继续，不能把画面边框误当成函数真正的终点。

例题：有限输入会直接限制值域

设 $f(x)=2x+1$，但定义域只规定为 $\{-2,-1,0,1,2\}$。逐个代入得到输出 $-3,-1,1,3,5$，因此值域是：

若把定义域改成全体实数，同一个公式的值域也会改成全体实数。这个例子再次说明，值域不是只盯着公式猜出来的，它由规则和定义域共同决定。

从公式找定义域：先查哪里会卡住

当题目只给一个代数式、没有另行说明时，通常默认在实数范围内寻找所有让式子有意义的输入。最常见的卡点有两个：分母不能为 0，偶次根号里的数不能为负。

例题：分母会在哪个输入上变成 0

设：

分母 $x-2$ 在 $x=2$ 时等于 0，所以必须排除 2。定义域可以写成：

也可以用区间写成：

这里排除 2，不是因为算起来麻烦，而是除以 0 在实数运算中没有定义。

例题：平方根里面不能小于 0

设：

要让平方根在实数范围内有意义，根号里的量必须满足：

解得 $x\le\frac{5}{2}$，所以定义域是：

方括号表示端点 $\frac{5}{2}$ 可以取到，因为此时根号内为 0，而 $\sqrt{0}$ 有意义。

两种限制同时出现，要取共同允许的部分

看这个函数：

根号要求 $x+1\ge0$，也就是 $x\ge-1$；分母又要求 $x\ne3$。两个条件必须同时满足，所以定义域是：

$-1$ 可以取，因为根号内等于 0 且分母不为 0；3 必须挖掉，因为它会让分母为 0。遇到多个限制时，不是随便挑一个条件，而是把所有条件叠在一起找交集。

如果根号出现在分母里，要求还会更严格。例如 $1/\sqrt{x-2}$ 不但要让 $x-2\ge0$，还要防止整个分母等于 0，所以实际需要 $x-2>0$，即 。

普通多项式通常没有这些卡点

像 $r(x)=2x^3-x+7$ 这样的多项式，对每个实数输入都能完成加、减、乘和整数次幂运算，所以定义域是全体实数。

这里说“通常”，是因为现实题还会带来额外限制。代数式能算，不代表现实输入就合理。

现实情境会把定义域收得更窄

假设影印店的费用规则是每页 0.2 元，写成 $C(n)=0.2n$。纯代数上，把 $n=-3$ 或 $n=2.6$ 代进去都能算出一个数；可“打印页数”不能是负数，也不能是 2.6 页。因此现实定义域应是非负整数：

再比如，一个最多坐 40 人的小教室，输入“到场人数”时，定义域还要受容量限制：

现实定义域常从这几处收紧：

• 数量是否只能取整数；
• 长度、时间、质量是否不能为负；
• 场地、库存或测量时间是否有上限；
• 输入单位是否符合题意。

判断顺序可以这样安排：先保证式子在数学上能算，再问这个输入在故事里能不能发生。两道门都通过，才属于现实模型的定义域。

离散输入与连续输入

“班级人数”只能一个一个数，是离散输入；“水箱注水时间”在 2 分钟和 3 分钟之间还可以取 2.4 分钟，是连续输入。两者都能成为函数，不要因为图像是一串分开的点，就误以为它“不完整”。

图像判断：让竖线从左往右扫描

把函数画到坐标平面时，横轴通常放输入 $x$，纵轴放输出 $y$。图上的每个点 $(x,y)$ 都记录一次配对。

现在想象一条竖直的扫描线在图上从左向右移动。扫描线停在某个位置，就等于固定了一个输入 $x$。它碰到图像几次，就表示这个输入找到了几个输出。

竖线检验的结论

如果能找到哪怕一条竖线，与图像相交两次或更多次，那么同一个 $x$ 对应了多个 $y$，这幅图就不能表示 $y$ 是 $x$ 的函数。

如果每一条竖线与图像最多相交一次，图像就通过竖线检验。这里说“最多一次”，是因为某些 $x$ 不在定义域中，竖线一次也碰不到完全正常。

圆不能表示 $y$ 是 $x$ 的函数，因为穿过圆内部的大多数竖线都会碰到上、下两个点。竖直线段也不行，因为这段线上的同一个 $x$ 对应许多 $y$。普通斜线、抛物线 $y=x^2$ 和波浪形但不回折的曲线通常都能通过。

端点处要看实心还是空心

分段图像在边界处常用实心点和空心点。实心点属于图像，空心点只是提示“这一段在这里结束，但这个点不取”。

假设在 $x=2$ 处，一段曲线以空心点 $(2,5)$ 结束，另一段以实心点 $(2,1)$ 开始。竖线虽然看见两个圆圈位置，却只与图像中的实心点相交，所以 $x=2$ 的唯一输出是 1，仍然可以是函数。

如果 $(2,5)$ 和 $(2,1)$ 都是实心点，同一个输入就真的有两个输出，不能通过检验。如果两个都是空心点，那么 $x=2$ 没有输出；只要 2 本来就不在定义域中，这也不构成冲突。

竖线检验有使用前提

它检验的是“纵坐标 $y$ 是否为横坐标 $x$ 的函数”。如果题目把输入画在纵轴、输出画在横轴，就不能机械地照搬竖线。先确认哪条轴表示输入，再沿着固定输入的方向去扫描。

常量函数与分段函数也都是函数

函数不要求输出一定变化。自动售货机里，A1、B2、C3 三个按钮都装了同一种矿泉水，照样可以形成函数；输入不同，输出可以一直相同。

常量函数：机器永远吐出同一个数

常量函数可以写成：

无论输入是 $-100$、0 还是 8，输出都是 5。若定义域是全体实数，它的值域只有一个元素：

图像是一条水平直线 $y=5$。任意竖线只会碰到一次，所以它当然是函数。不要把“输出总不变”误判成“没有关系”；固定结果也是一种明确规则。

分段函数：不同路段使用不同规则

现实中的收费经常分段。某出租车的计费规则是：行程不超过 3 千米时收 12 元；超过 3 千米后，超出的部分每千米加 2.5 元。设路程为 $d$ 千米，费用为 $T(d)$ 元，可以写成：

这不是两个互相打架的函数，而是一条函数在不同输入区间采用不同规则。输入 $d=2$ 落在第一段，所以 $T(2)=12$；输入 $d=5$ 落在第二段：

分段函数是否合格，重点检查交界处。这里 $d=3$ 只归第一段，第二段要求 $d>3$，没有重叠。即使两段公式在边界算出不同数，只要边界只归其中一段，输出仍然唯一。

如果两段都把 $d=3$ 收进去，却给出不同费用，那就不是定义清楚的函数。写分段条件时，小于号和小于等于号不是装饰，它们决定边界到底归谁。

输入不一定是数字

函数的定义从来没有要求输入必须能加减乘除。只要一批输入对象都能找到唯一结果，就可以谈函数。

不考虑闰年时，把月份名称输入“本月天数”这条规则：一月得到 31，二月得到 28，三月又得到 31。不同月份得到相同天数没有问题。

也可以把输入写进函数记号。若 $D$ 表示“月份的天数”，就可以写：

这里括号里的“二月”不是变量相乘，也不是待计算的数字，只是一个合法输入。函数记号表达的是查询动作：把二月交给规则 $D$，得到 28 天。

非数字例子还有很多：固定课表中的教学班编号对应上课教室，地铁站代码对应站名，账号对应当前权限等级。判断方法一点没变，仍然是逐个输入检查有没有唯一输出。这里特意说“教学班编号”，是因为只写课程名称可能不够：同名课程若分成几个班，就可能在不同教室上课。输入说得含糊，输出自然也会含糊。

把最容易混淆的地方一次理顺

遇到一个陌生关系时，可以按固定顺序做一次“配对体检”。第一步把输入说完整，尤其留意时间、地点、单位和对象编号；第二步列出允许输入，排除代数上不能算或现实中不可能发生的值；第三步逐个检查输入是否恰好得到一个输出；最后才去计算函数值、读图或找公式。

比如“手机电量对应使用时间”这句话本身还不够清楚。同样的 60% 电量，可能出现在上午 9 点，也可能出现在下午 4 点，所以把电量当输入、时间当输出时很可能一对多。反过来，在一段连续监测且每个时刻只记录一个电量读数的前提下，把时刻当输入、电量当输出，就能成为函数。函数判断不是看两个量有没有联系，而是看选定方向后，输出是否由输入唯一确定。

还有一种情况是数据本身带着随机波动。例如问“掷一次骰子的点数是不是投掷次数的函数”，如果每次投掷已经发生并被记录，那么第 1 次、第 2 次各有一个确定结果，这份记录可以看成函数；如果讨论的是未来尚未发生的随机试验，就不能预先给每次输入指定唯一点数。先说明对象是“已记录的数据”还是“尚未确定的过程”，结论才不会飘。

误区：输出重复，所以不是函数

错。函数允许不同输入得到同一个输出。$f(x)=x^2$ 中，$f(2)=f(-2)=4$，它仍是函数。

误区：同一个输入在表格里出现两次，所以一定不是函数

不一定。要继续看输出。如果两次都写成 $(2,7)$，只是重复记录；如果是 $(2,7)$ 和 $(2,9)$，才发生冲突。

误区：图像不连续，所以不是函数

错。离散点、跳跃图像和分段图像都可能是函数。函数条件只问唯一输出，不要求图像一笔画完。

误区：定义域就是所有实数

错。定义域由规则和情境共同决定。分母为 0、偶次根号内为负会被代数规则排除；人数必须是整数、时间不能为负会被现实情境排除。

误区：$f(x)$ 就是 $f$ 乘 $x$

错。$f$ 是规则的名字，括号标明输入。只有题目明确把 $f$ 当成一个数时，$fx$ 才可能表示乘法；在函数记号里不要这样读。

误区：给定输出后也只能找到一个输入

错。函数保证的是“输入向前走”时结果唯一，不保证倒着找也唯一。$x^2=9$ 能找到 $x=3$ 和 $x=-3$，这正是多对一在反查时留下的两个入口。

综合练习

练习一：判断四种关系

判断下面各关系是否为函数，并说明输入与输出。

1. 每位学生对应自己的出生日期。
2. 每位学生对应本学期参加的所有社团。
3. 每个实数 $x$ 对应 $|x|$。
4. 每个正实数 $x$ 对应满足 $y^2=x$ 的所有实数 $y$。

练习二：表格求值与反查

函数 $g$ 由下表给出。

求 $g(3)$，并求所有满足 $g(n)=6$ 的输入 $n$。

练习三：函数记号

设：

求 $h(-1)$ 与 $h(a+2)$。

练习四：两道定义域题

在实数范围内，分别求下面两个函数的定义域。

练习五：分段边界

某自助寄存柜前 2 小时收费 5 元，超过 2 小时后，每多 1 小时加 3 元。设使用时间为 $t$ 小时，且 $t>0$。

1. 写出费用函数 $C(t)$。
2. 求 $C(2)$ 与 $C(4.5)$。
3. 说明为什么边界 $t=2$ 不能同时得到两个不同费用。

练习六：把一段现实规则检查完整

某电影院用座位编号查询所在排数。座位编号从 A01 到 A12 在第 1 排，从 B01 到 B12 在第 2 排，从 C01 到 C12 在第 3 排。把座位编号作为输入，排数作为输出。

1. 这是不是函数？
2. 定义域、陪域和值域分别可以怎样描述？
3. 若改成“排数对应座位编号”，还是不是函数？
4. 用函数 $R$ 表示查询规则，$R(\text{B07})=2$ 表达什么？

从“什么是函数”走向“怎样表示函数”

这一章可以压成一条检查路线：先认清输入，再确认每个输入恰好有一个输出；接着看定义域允许什么、值域实际出现什么；最后用函数记号完成向前求值或从输出反查输入。

表格、映射图、公式和图像只是不同外衣。表格让配对容易核对，映射图让箭头是否分叉一眼可见，公式让规则便于计算，图像把大量配对压缩成整体形状。它们表达的仍是同一条输入—输出关系。

下一章会把这些表示法摆在一起，练习怎样从表格走到图像、从生活规则写出解析式，再从一种表示读出另一种表示没有明说的信息。到那时，函数不再只是一句定义，而会变成一套可以来回翻译的语言。

对于 $s(x)$，根号内要满足 $2x-6\ge0$，解得 $x\ge3$，所以定义域为：

因此 $C(2)=5$。因为 $4.5>2$，使用第二段规则：

$t=2$ 只属于第一段；第二段的条件是严格大于 2，所以边界没有重叠，也不会出现两个输出。