坐标变化与图像直觉

上一章里，我们学会了用坐标给一个点定位。看到喷泉在 $(4,3)$，你知道要从原点向右走 4 个单位，再向上走 3 个单位。

可现实里的东西很少永远停在一个点上。人会走动，水位会升降，电池电量会减少，气温也会随着时间改变。于是问题很快就从“它在哪里”变成了“它从哪里走到哪里，又是怎样走过去的”。

这一章不急着研究直线的完整公式。我们先练一件更基础、也更实用的事：把图上的静止位置读成一段有方向、有单位的变化。等这个画面站稳了，后面说变量、变化率和斜率时，你看到的就不只是一串符号。

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两个点之间，藏着一段移动

只看一个点 $A(1,2)$，我们知道它在哪里。再给一个点 $B(5,4)$，图上就多出了一段过程：从 $A$ 到 $B$，横向走了多少，竖向又走了多少？

横向的变化记作 $\Delta x$，纵向的变化记作 $\Delta y$。符号 $\Delta$ 读作“德尔塔”，在这里就是“变化了多少”的意思。

如果起点是 $A(x_1,y_1)$，终点是 $B(x_2,y_2)$，我们用终点减起点：

$$\Delta x=x_2-x_1$$ $$\Delta y=y_2-y_1$$

这两次减法各管一个方向。$\Delta x$ 只看横坐标，$\Delta y$ 只看纵坐标，不能把一个点的横坐标和另一个点的纵坐标拼在一起减。

正负号就是箭头

变化量有大小，也有方向。

如果变化量等于 0，就表示那个方向没有动。比如 $\Delta y=0$，说明起点和终点一样高，但不代表整个点没有移动；它仍可能向左或向右走了很远。

例子：从左上走到右下

一台仓库机器人从 $A(-2,3)$ 移动到 $B(4,1)$。我们来把这段路线翻译出来。

先做减法，再把正负号翻译成方向，往往比盯着图猜更稳。尤其是坐标里带负数时，肉眼很容易在“负负得正”这里打结。

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变化量不是终点坐标

第一次接触 $\Delta x$ 和 $\Delta y$，很容易把它们当成终点的坐标。其实一个回答“最后在哪里”，另一个回答“从起点走了多少”。

比如外卖员从 $P(7,-3)$ 到达 $Q(10,2)$。终点是 $Q(10,2)$，但这段路的变化是：

$$\Delta x=10-7=3$$ $$\Delta y=2-(-3)=5$$

所以他向右走 3 个单位、向上走 5 个单位。$(10,2)$ 是地址，$(3,5)$ 更像移动指令，两者不是一回事。

不同地点可以有同一段变化

再看两次移动：

• 从 $A(1,1)$ 到 $B(4,3)$；
• 从 $C(-5,6)$ 到 $D(-2,8)$。

第一段的横向变化是 $4-1=3$，纵向变化是 $3-1=2$。第二段的横向变化是 $-2-(-5)=3$，纵向变化是 $$。它们起点完全不同，却都是“向右 3、向上 2”。

这就像两个人分别站在城市的不同街区，却都按导航走了“向东三个路口、向北两个路口”。位置不同，不妨碍移动方式相同。

举个最容易误判的例子：从 $(-8,1)$ 到 $(-3,1)$，两个横坐标都是负数，但 $\Delta x=-3-(-8)=5$。点仍在原点左侧，却确实向右走了 5 个单位。

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先后次序一换，整支箭头就反过来

从家去图书馆和从图书馆回家，是同一段路，却不是同一个方向。坐标变化也是这样。

设 $A(5,-1)$，$B(-1,4)$。从 $A$ 到 $B$：

$$\Delta x=-1-5=-6$$ $$\Delta y=4-(-1)=5$$

这表示向左 6、向上 5。

如果改成从 $B$ 回到 $A$，两次减法都要反过来：

$$\Delta x=5-(-1)=6$$ $$\Delta y=-1-4=-5$$

于是方向变成向右 6、向下 5。大小不变，正负号全部翻转，正好符合“原路返回”的画面。

真正危险的是只反一半

有些人算横向时用“终点减起点”，算纵向时却顺手写成“起点减终点”。这样拼出来的路线既不是去程，也不是回程。

更稳的写法，是动笔前先在点旁标清楚谁是 1、谁是 2：

$$A=(x_1,y_1),\qquad B=(x_2,y_2)$$

然后横向和纵向都按 2 减 1。你也可以反过来给点编号，只要两条变化都保持同一个方向，描述就不会自相矛盾。这里先不讨论变化量的比值，记住“成对地保持顺序”就够了。

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换原点：地点没搬家，地址重新写

坐标不是贴在物体身上、永远不变的编号。它依赖一整套约定：从哪里算起，正方向朝哪边，每个单位有多长。只要约定换了，同一个点就会得到新的坐标。

想象商场导览图上的“您在这里”。你站在南门时，书店可能是“向东 5 格、向北 2 格”；走到中庭后，书店没有跟着你跑，但从新起点看，它可能只剩“向东 2 格、向北 1 格”。变的是地址，不是店的位置。

用旧坐标算出新地址

假设旧坐标系里，咖啡店是 $P(5,2)$。我们把旧坐标中的点 $(3,1)$ 选作新原点 $O'$，轴的方向和单位长度都不变。

从新原点 $O'(3,1)$ 走到咖啡店 $P(5,2)$，横向要走：

$$5-3=2$$

纵向要走：

$$2-1=1$$

所以同一家咖啡店在新坐标系里叫作 $P(2,1)$。你可以把这个过程理解成：新坐标，就是“从新原点到旧地点”的变化量。

两种变化要分清

“点从 $(5,2)$ 移动到 $(2,1)$”和“同一个点从旧坐标 $(5,2)$ 改记为新坐标 $(2,1)$”看起来都有两组数字，发生的事情却完全不同。

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换刻度：同一段关系可以长得很不一样

原点会影响坐标的名字，刻度会影响图像的外观。这里最容易发生一种错觉：看起来更陡的线，变化就一定更快。

先别急着相信眼睛。坐标纸上的“一格”不是固定等于 1。横轴一格可以代表 1 秒，也可以代表 10 分钟；纵轴一格可以代表 1 米，也可以代表 1000 元。两条轴甚至可以各用各的刻度，只要标注清楚就行。

一张通勤图的读法

假设某图横轴表示时间，每一格是 10 分钟；纵轴表示离家的路程，每一格是 5 千米。图上从点 $A$ 到点 $B$，横向跨了 2 格，纵向上升了 3 格。

不能直接说“向右 2、向上 3”就结束，因为格数不是实际量。真正的变化是：

$$\Delta t=2\times 10=20\text{ 分钟}$$ $$\Delta s=3\times 5=15\text{ 千米}$$

图上格子负责摆位置，轴上的刻度和单位才负责给数字含义。

纵轴拉伸，线会变陡；纵轴压缩，线会变平

同一组数据，如果纵轴每格代表的数变小，同样的纵向数值会占据更多格，线看起来就更陡。如果纵轴每格代表的数变大，同样的纵向数值只占很少几格，线看起来就更平。

关系本身没有变，改变的是“每个数值在纸上占多长”。所以两张图若用了不同刻度，不能靠屏幕上的夹角直接比较变化快慢。

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读图先核对五件事

一张图摆在面前，最稳的做法不是立刻追着线跑，而是先把图的“说明书”读完。

轴上画的是什么量

横轴可能是时间、距离、数量，也可能只是普通的 $x$。纵轴同样可能是温度、价格、高度或函数值。两条看起来一模一样的线，放在“时间—水量”图里和放在“时间—剩余电量”图里，说的是完全不同的故事。

正方向朝哪里

多数坐标图横轴向右为正、纵轴向上为正，但地图、屏幕像素坐标或某些专业图表可能采用别的约定。箭头和标签比习惯更可靠。

相邻刻度差多少

看到 0、20、40、60，就知道相邻大格差 20，不能默认为 1。若大格之间还有 4 个等分的小间隔，那么每个小间隔代表 $20\div4=5$。

单位是什么

“增加 6”常常没有说完。增加 6 元、6 摄氏度、6 千米，意义完全不同。描述变化时，单位要跟着数字一起走。

图上显示了多大范围

纵轴从 0 开始，和纵轴只截取 98 到 102，视觉冲击会差很多。一段从 99 涨到 101 的数据，在第二张图里可能像冲上山顶，但实际只增加了 2。截取坐标轴不一定错，隐去范围却会让读者高估波动。

例子：不要被“三格对三格”骗了

徒步图里，横轴每格是 $0.5$ 千米，纵轴每格是 $100$ 米。路线从 $P(1,400)$ 到 $Q(2.5,700)$，图上横向和纵向恰好都跨 3 格，看起来像一条 45 度斜线。

实际变化却是：

$$\Delta x=2.5-1=1.5\text{ 千米}$$ $$\Delta y=700-400=300\text{ 米}$$

横向 1.5 千米等于 1500 米，纵向只上升 300 米。图上的“三格对三格”不等于现实里“前进多少就上升多少”。坐标图不是按真实地形比例画出的侧面照片。

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从左往右，读出上升、下降和不变

函数图像通常按横轴正方向，也就是从左往右读。这样读，是因为我们在观察“当横坐标增加时，纵坐标怎样变化”。

• 往右走时，图像向上，纵坐标就在增加；
• 往右走时，图像向下，纵坐标就在减少；
• 往右走时，图像保持水平，纵坐标没有变化。

“从左往右”这几个字不能省。如果你故意从右往左沿线看，上升和下降当然会反过来，但那回答的是横坐标减小时发生什么，不是通常所问的方向。

例子：手机电量在下降

某手机在下午 1 点时电量为 $86\%$，下午 4 点时电量为 $68\%$。把时间当作横向、把电量当作纵向，就有：

$$\Delta t=4-1=3\text{ 小时}$$ $$\Delta p=68-86=-18\text{ 个百分点}$$

横向变化为正，纵向变化为负，所以图像从左往右下降。这里的 $-18$ 不是说电量变成负数，而是说终点比起点少了 18 个百分点。

如果只想用一句话概括这三小时的整体节奏，可以说：平均每小时减少 6 个百分点。我们暂时不把它写成斜率公式，只要先看懂“横向过了 3 小时，纵向一共下降 18”就够了。

在横轴上方，不等于正在上升

图像在横轴上方，只能说明这一段的纵坐标是正数，不能说明它正在增加。一条线可以一直位于横轴上方，却从左往右不断下降；另一条线也可以一直位于横轴下方，却从左往右上升。

判断趋势时，要比较前后两个点的高低，而不是只看点落在哪个象限。

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固定步伐，为什么会留下直线

想象一部教学用的理想电梯：第 0 秒在 0 层，第 1 秒在 2 层，第 2 秒在 4 层，第 3 秒在 6 层，第 4 秒在 8 层。每过 1 秒，它都上升 2 层。

把这些记录放进表格：

相邻两列之间，横向总是增加 1，纵向总是增加 2。这个“每次都照同一节奏走”就是固定步伐。

在坐标图上，从一个记录点走到下一个记录点，我们反复做同一个动作：向右 1、向上 2。点会整齐地排在一条直线上。反过来，如果每一步忽上忽下，点通常就不会排成直线。

固定的是相对节奏，不是屏幕角度

如果把横轴从“每格 1 秒”改成“每格 2 秒”，这条线在纸上的角度会改变，但电梯“每秒上升 2 层”的运动规则没有改变。

所以我们以后需要一个不依赖画布拉伸、能记录固定步伐的数。那个数要同时考虑横向和纵向的变化，而不能只看线有多斜。后面学习斜率时，做的正是这件事。

不固定的步伐长什么样

另一部电梯的记录是：第 0 秒在 0 层，第 1 秒在 2 层，第 2 秒在 5 层，第 3 秒仍在 5 层。它先上升 2 层，再上升 3 层，随后停住。横向每次都过 1 秒，纵向却分别变化 $2$、$3$、$0$。

这组点当然仍能画在坐标系里，但不能用一条“固定步伐”的直线概括整个过程。图像不是一定要直，直线只属于变化节奏保持不变的那类关系。

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把一张图翻译成一段完整的话

读图的目标不是报出几个数字，而是把数字重新说回情境。下面看一张没有画出来、但可以靠坐标还原的温度记录。

横轴表示时刻，单位是小时；纵轴表示温度，单位是摄氏度。四个记录点依次为：

$$A(6,8),\quad B(10,14),\quad C(14,14),\quad D(18,9)$$

例子：分段读一天的温度

注意，这组图像一会儿升、一会儿平、一会儿降。不能因为起点到终点总体上从 $8^\circ\mathrm{C}$ 变成 $9^\circ\mathrm{C}$，就说整天都在缓慢升温。只看首尾能概括整体变化，却会丢掉中间过程。

这也是读图时常见的选择：问题只问总体，就比较起点和终点；问题关心过程中发生了什么，就要分段观察。

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常见误区，错的往往不是减法

把坐标的正负当成变化方向

点在第二象限，不代表它正在向左上方运动。一个点的坐标只给位置，至少需要另一个时刻的点，才能谈变化方向。

看到线在上方，就说它在增加

“值是正的”和“值在增加”是两件事。判断增加或减少，要从左往右比较前后高度。

只数格子，不读刻度

横向走 2 格、纵向走 2 格，并不自动得到 $\Delta x=2$、$\Delta y=2$。每格代表多少，要从轴上的数字和单位判断。

跨图比较肉眼角度

两张图只要坐标范围、单位或画布比例不同，线的屏幕角度就可能改变。要比较变化节奏，应该先把两图都翻译成“横向实际变化多少，纵向实际变化多少”。

换原点时把对象也搬走

重新选参考起点，只是重新量地址。如果题目没有说物体移动，同一个物体在现实位置上应保持不动。

两次减法使用不同方向

横向算终点减起点，纵向也必须算终点减起点。去程和回程都能算，但不能各取一半。

1

一条线始终位于横轴上方，所以它从左往右一定在上升。

正确错误

2

点从 (-6,2) 移动到 (-1,2)，哪种描述正确？

A.向左 5 个单位B.向右 5 个单位C.没有移动D.向上 5 个单位

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自练：让坐标真正动起来

练习 1：读出方向

点从 $A(-3,5)$ 移动到 $B(2,-1)$。求 $\Delta x$ 和 $\Delta y$，并说明移动方向。

显示答案

横向变化为 $\Delta x=2-(-3)=5$，纵向变化为 $\Delta y=-1-5=-6$。所以点向右移动 5 个单位、向下移动 6 个单位。

练习 2：原路返回

接上题，如果点从 $B(2,-1)$ 返回 $A(-3,5)$，两个变化量是多少？

显示答案

横向变化为 $\Delta x=-3-2=-5$，纵向变化为 $\Delta y=5-(-1)=6$。与去程相比，大小相同、符号相反，表示向左 5、向上 6。

练习 3：换一个原点

旧坐标系中，雕塑位于 $P(7,-2)$。现在把旧坐标中的 $O'(3,-5)$ 选作新原点，坐标轴方向和单位都不变。雕塑的新坐标是什么？

显示答案

新横坐标是从新原点到雕塑的横向变化：$7-3=4$。新纵坐标是 $-2-(-5)=3$。所以雕塑在新坐标系中的坐标是 $(4,3)$。雕塑本身没有移动。

练习 4：格数换成实际量

某水位图的横轴每格代表 10 分钟，纵轴每格代表 50 毫米。从记录点 $A$ 到 $B$，图上向右跨 3 格、向下跨 2 格。两种实际变化量是多少？

显示答案

横向变化是 $3\times10=30$ 分钟。纵向向下，所以带负号，变化为 $-2\times50=-100$ 毫米。完整描述是：经过 30 分钟，水位下降了 100 毫米。

练习 5：能不能直接比陡缓

甲图横轴单位是分钟、纵轴单位是米；乙图横轴单位是小时、纵轴单位是千米。甲图中的线在屏幕上更陡。能直接断定甲所表示的速度更快吗？

显示答案

不能。两图的横纵单位都不同，屏幕角度没有直接可比性。要先从各自坐标和刻度中读出一段实际的时间变化与路程变化，再统一单位比较。

练习 6：寻找固定步伐

某水箱的记录如下：时间依次为 $0,1,2,3$ 分钟，水量依次为 $12,17,22,27$ 升。这组记录有没有固定步伐？如果按相同刻度描点，点的走势会怎样？

显示答案

有。时间每增加 1 分钟，水量都增加 5 升，纵向变化依次都是 $5$。这些点会按“向右 1、向上 5”的固定步伐排列在一条上升直线上。

练习 7：正值也能下降

某商品库存从点 $(1,80)$ 变到点 $(5,32)$。两个纵坐标都为正，能否说库存仍在增加？

显示答案

不能。横向变化为 $5-1=4$，纵向变化为 $32-80=-48$。随着横坐标增加，库存减少了 48，所以图像从左往右下降。纵坐标为正只说明库存还没有降到 0。

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从位置走向关系

一个坐标告诉我们“在哪里”，两个坐标开始告诉我们“怎样变”。横向变化和纵向变化把两张静止的快照连成了运动；原点和刻度提醒我们，图像的数字与外观都依赖描述规则；固定步伐则让一串记录点排成直线。

下一章，我们会把横轴和纵轴看成两个会变化的量。到那时，时间与路程、数量与价格、温度与时刻不再只是坐标纸上的名字，而会组成真正的变化关系。现在先保留一个读图习惯：看见一条线，先核对轴、单位和刻度，再问从左往右时，横向走了多少，纵向又跟着怎样变化。