从一次函数到非线性变化

学过一次函数以后，我们很容易养成一个舒服的直觉：横坐标每往右走同样远，纵坐标就按同样的数量变化。比如打车的计费、匀速行走的路程，或者每周固定存下的钱，都很适合这个直觉。它们画出来是一条直线，因为每一步的节奏始终没有变。

可一旦看向球被抛起后的高度、正方形的面积，或者一根绳子围出的长方形面积，这个直觉就会失灵。同样让输入增加 1，输出有时只增加一点，有时增加得更多；有时先增加，后来还会掉头。图像之所以会拐弯，不是因为我们把线画弯了，而是因为关系本身的“每一步”已经换了节奏。

这一章先不急着把一长串二次函数公式背下来。我们要先把直线世界的规则说清楚，再看平方关系为什么会把图像带向抛物线。这样到了后面研究顶点、开口和求最大值时，每个步骤都有来处。

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先把“每一步”说清楚

设一个蓄水箱每分钟稳定流入 4 升水。开始记录时，箱中已经有 6 升；$t$ 分钟后水量记为 $V(t)$，那么：

$$V(t)=4t+6$$

这里的 4 很具体：时间每增加 1 分钟，水量就增加 4 升。用表格看会更踏实。

从 0 分钟到 1 分钟多了 4 升；从 3 分钟到 4 分钟也多了 4 升。无论从哪一段开始，只要时间多 1 分钟，水量都多 4 升。这种始终一致的变化，就是一次函数最有用的特征。

如果比较的不是 1 分钟，而是一整段时间，我们把这一段里的平均变化速度叫作平均变化率。对于函数 $f$，从 $x_1$ 走到 $x_2$ 的平均变化率是：

$$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$$

分子是输出一共变了多少，分母是输入一共变了多少，所以单位总是“输出单位/输入单位”。例如上面的水量从 $t=1$ 到 $t=4$，水量从 10 升变到 22 升：

$$\frac{V(4)-V(1)}{4-1}=\frac{22-10}{3}=4$$

结果仍是每分钟 4 升。一次函数的特别之处在于：你换哪一段去算，平均变化率都不会变。这个固定的数也正是直线的斜率。

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一次函数为什么会画成直线

把蓄水箱的每一时刻画成点，横向每前进 1，纵向总上升 4。这样的点会排成一条直线。换成 $y=3x-2$ 也是同样道理：横坐标每增加 1，纵坐标总增加 3；只是整条线经过的位置不同。

一次函数通常写成：

$$y=kx+b$$

其中 $k$ 记录“每增加 1 个 $x$，$y$ 改变多少”，$b$ 记录 $x=0$ 时的起点。$k$ 可以是正数、负数或 0：正数表示从左向右看总体上升，负数表示总体下降，0 表示一条水平线。无论是哪种，只要 $k$ 固定，图像就是直线。

不过，判断线性时不能只盯着表格里相邻两个 $y$ 值的差。前提是 $x$ 的间隔相同。看下面这个表：

这里每次 $x$ 增加 2，$y$ 增加 6，所以每增加 1 个 $x$，$y$ 增加 3。平均变化率是 $6\div2=3$，仍然是恒定的。相同间隔下看输出变化，才是在比较同一种“步长”。

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平方关系从哪里开始不一样

现在看最简单的平方关系：

$$q(x)=x^2$$

先只看非负的输入。$x$ 从 0、1、2、3、4 依次增加，平方的结果是 0、1、4、9、16。

横坐标每次都只走 1，纵坐标的增量却是 +1、+3、+5、+7。我们把这一行相邻输出的变化叫作一阶差分。一次函数的一阶差分会固定；这里的一阶差分不固定，所以 $q(x)=x^2$ 不是一次函数。

但别急着把它当作一串杂乱的数。一阶差分从 1 变到 3，多了 2；从 3 变到 5，又多了 2；从 5 变到 7，还是多了 2。把一阶差分再相减得到的 +2、+2、+2，叫作二阶差分。平方关系的特别之处就在这里：第一层的步伐一直在变，第二层的变化却稳定下来。

这个结论甚至可以不用表格，直接从式子里看出来。把 $x$ 增加 1 后，输出的增加量是：

$$(x+1)^2-x^2=2x+1$$

当 $x=0$ 时，增加量是 1；当 $x=3$ 时，增加量是 7。增加量里还带着 $x$，它自然不可能像一次函数那样永远固定。图像也就不能一直沿同一个斜率前进，而会逐渐弯起来。

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二阶差分不是巧合：它从平方项里长出来

现在把例子从 $x^2$ 推广到一个一般式：

$$f(x)=ax^2+bx+c \qquad (a\ne0)$$

这类函数叫二次函数。$a$、$b$、$c$ 都可以是实数，但 $a$ 不能是 0；否则平方项消失，式子就退回一次函数或常数函数了。

假设表格里的 $x$ 每次都增加同一个步长 $h$。从 $x$ 走到 $x+h$ 时，函数值的一阶差分是：

$$\begin{aligned} f(x+h)-f(x) &=a(x+h)^2+b(x+h)+c-(ax^2+bx+c)\\ &=2ahx+ah^2+bh \end{aligned}$$

这个结果里仍含有 $x$，所以一阶差分会随着位置改变。再让 $x$ 往前走同样的 $h$，两次一阶差分相减，含 $x$ 的部分正好消掉：

$$\Delta^2y=2ah^2$$

这就是二次函数的等间隔二阶差分为什么恒定。对 $q(x)=x^2$，有 $a=1$、$h=1$，所以二阶差分为 $2\times1\times1^2=2$，和表格完全对上。

步长改变，二阶差分的数值也会改变。例如仍是 $q(x)=x^2$，但改为每次走 2 个单位：

这里 $h=2$，公式给出 $2ah^2=2\times1\times2^2=8$。所以“二阶差分恒为 2”不是所有二次函数的口令；更准确的话是：同一张等间隔表中，二次函数的二阶差分恒定，而它的具体数值取决于平方项系数和步长。

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平均变化率会随着区间变

“非线性”并不表示完全没有变化率，而是表示不能用一个固定变化率包办所有区间。把 $q(x)=x^2$ 拿来算两段平均变化率：

$$\frac{q(2)-q(0)}{2-0}=\frac{4-0}{2}=2$$ $$\frac{q(4)-q(2)}{4-2}=\frac{16-4}{2}=6$$

两段都横跨 2 个单位，但前一段的平均变化率是 2，后一段变成 6。平方函数在右边越走越陡，所以相同宽度的区间会有不同的平均变化率。

在图像上，连接曲线上两个点的线段叫作割线。它的斜率就是这两个输入之间的平均变化率。直线上的任何两点都在原来的直线上，所以怎么取两点斜率都一样；曲线上的不同两段割线却可能一段比一段陡。这是“直”和“弯”背后真正的数学差别。

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图像为什么会拐弯

在直线的世界里，前进同样的横向距离，永远配上同样的纵向变化，所以方向不需要调整。平方关系则不同：开始时上升得不多，往右走以后，同样的横向距离会带来更大的纵向变化。为了经过这些不断改变节奏的点，图像只能越走越陡，形成平滑曲线。

小球下落能把这种感觉说得很直观。忽略空气阻力，并从静止开始计时，下落距离可以用一个含 $t^2$ 的关系近似描述。刚松手时，前一小段时间走得不多；后来重力不断让速度增加，同样长的下一段时间会走得更远。这里不是距离在“突然变规则”，而是每一刻都在平滑地变化，所以图像也应是一条平滑曲线。

反过来，看到曲线也不要立刻断定它就是二次函数。指数函数、根式函数和许多别的关系都能画出曲线。我们目前能从“弯”里读出的，是变化率不恒定；至于是不是二次函数，还要看表达式、表格的增量结构和具体情境。

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二次函数为什么经常在面积问题里出现

二次关系常常来自两个会一起变化的量相乘。拿一根周长为 24 米的绳子围成长方形来说，设宽为 $x$ 米，那么长必须是 $12-x$ 米，因为半周长是 12 米。面积 $A$ 因而是：

$$A=x(12-x)$$

展开后：

$$A=-x^2+12x$$

平方项不是凭空冒出来的：宽和长都含有 $x$，相乘时就会出现 $x\cdot x=x^2$。更重要的是，这个式子把现实里的拉扯关系也保存下来了。宽太小，面积小；把宽增加一些，面积会变大；可宽继续变大时，长被挤得越来越短，面积又会掉下来。

面积在 $x=6$ 时达到 36 平方米，之后又下降。$x=0$ 和 $x=12$ 会把长方形压成一条线，面积为 0；它们在计算上有意义，但如果题目要求真正的长方形，就要把宽限制在 $0\lt x\lt12$。函数的定义域总要回到实际情境里检查。

这条曲线的最高位置，正好对应最合适的宽和长。后面我们会给这样的转折点一个正式名字，并学会不靠逐项列表也能找到它。

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同一个关系，要用三种眼睛看

函数的表格、图像和表达式不是三份互不相干的作业。它们是在描述同一件事，只是各自擅长提供不同的线索。

表格最适合追问“每一步变了多少”。相同输入间隔下，输出增量恒定，常是线性关系；输出增量不断变化，就要警惕非线性。图像最适合看全局形状：直线没有转向，曲线反映变化节奏在调整。表达式最适合查结构：$kx+b$ 只有一次项，而 $x^2$、两个含变量的量相乘，或者展开后出现 $x^2$ 的式子，都提示我们可能正在面对二次关系。

以后看到 $y=x^2$ 的变化版本，也可以把它当作在同一张基本图像上做调整。例如给所有输出加上同一个数，会把整条图像一起上移或下移；把输出整体乘上一个数，会把竖直方向拉长、压扁，负号还会把上下翻转。现在不用急着处理这些变化，先把 $y=x^2$ 这张“底图”认清，后面的移动、翻转和伸缩才不会变成散乱的规则。

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例题：同样走两步，变化为什么不同

某个量满足：

$$g(x)=x^2+2$$

比较 $[0,2]$ 和 $[2,4]$ 上的平均变化率，并判断它是不是线性变化。

这个例子也提醒我们：函数值一直增加，并不能说明它是线性函数。$g(x)$ 在这两段里都上升，但上升的快慢已经变了。

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几个容易带错的直觉

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小练习

1. 判断下表是否表现为线性变化，并写出每增加 1 个 $x$ 时 $y$ 的变化量。

显示答案

这是线性变化。$x$ 每次增加 3，$y$ 每次增加 9，所以平均变化率为 $9\div3=3$。换句话说，$x$ 每增加 1，$y$ 增加 3。

2. 对 $h(t)=t^2+2$，分别求区间 $[0,2]$ 和 $[2,4]$ 的平均变化率。两个结果相同吗？

显示答案

$h(0)=2$，$h(2)=6$，$h(4)=18$。因此 $[0,2]$ 上的平均变化率是 ， 上的是 。两个结果不同，所以它不是线性变化。

3. 周长为 24 米的绳子围成长方形，面积为 $A=x(12-x)$。当宽从 2 米变到 4 米时，面积的平均变化率是多少？这段话的单位应是什么？

显示答案

$A(2)=2\times10=20$，$A(4)=4\times8=32$。平均变化率是 $(32-20)÷(4-2$，单位是“平方米/米”。它表示在这段宽度范围内，宽每增加 1 米，面积平均增加 6 平方米。

4. 已知某个函数在 $[1,3]$ 上的平均变化率是 5，能据此断定它是一次函数吗？

显示答案

不能。一个函数只要在某一段区间上的平均变化率为 5，说明这一段的总输出变化量与总输入变化量之比为 5；它在别的区间可能是另一个数。只有确认所有区间的平均变化率都相同，才能判断它是一次函数。

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把旧直觉留在该用的地方

一次函数教会我们的不是“所有关系都是直线”，而是一种很好的检查方法：先问输入按相同步长变化时，输出的节奏有没有保持不变。节奏不变，直线模型很有力量；节奏在变，就需要换一种函数去描述。

平方关系正是最早遇到的一种变化节奏。它让相同的横向一步产生不同的纵向增量，于是图像开始拐弯。下一章我们从 $y=x^2$ 这条最基本的曲线出发，看负数输入为什么会落在同样的高度，以及这条曲线为什么有清楚的对称和最低点。