一般式

上一节的顶点式像一张已经画好重点的地图：顶点和对称轴几乎直接写在式子里。可是在解题、建模和计算中，二次函数更常以另一副样子出现：

这叫一般式，其中 $a$、$b$、$c$ 都是实数，并且一定有 $a\ne0$。它乍看没有把顶点摆在明面上，但也不是一团只能靠代点硬画的式子。我们仍然能从三个系数里读出开口、$y$ 轴截距、对称轴和顶点，再用对称性补出可靠的关键点。

先把式子拆开看

在

里，$ax^2$ 是二次项，$bx$ 是一次项，$c$ 是常数项。这里的“二次、一次、常数”不只是名字：它们分别在告诉我们图像的不同线索。

先确认 $a\ne0$ 很重要。若 $a=0$，$x^2$ 项消失，式子只剩 $y=bx+c$，那是一条直线；后面关于抛物线的对称轴和顶点的公式也就不适用。

拿两个式子热热身：

这里 $a=2$、$b=-3$、$c=1$；而

里 $a=-1$、$b=4$、$c=-5$。第二个式子最常见的漏看，是把 $-x^2$ 当成“没有系数”；它的二次项系数其实是 $-$。

为什么 c 就是 y 轴截距

图像碰到 $y$ 轴时，横坐标只能是 $0$。因此我们只要把 $x=0$ 放进一般式：

前两项都会归零，常数项留了下来。所以一般式的 $y$ 轴截距不是要背的一条孤立规则，而是代入 $x=0$ 后必然发生的事：

例如：

当 $x=0$ 时，$y=1$，所以图像一定经过 $(0,1)$。这句话比“$c=1$”更完整：$1$ 是纵坐标，$$ 才是一个坐标点。

对称轴到底藏在哪里

抛物线有一条把左右两边平分的竖直线。我们把它叫作对称轴。若这条线是

那么在它左、右同样距离的两个横坐标 $s-d$ 和 $s+d$，应该对应同一个函数值。也就是说：

这正好能解释一般式里的对称轴为什么是那个看起来有点突兀的分式。把

分别代入两个对称位置，再把右边的函数值减去左边的函数值：

我们希望不管取多远的距离 $d$，左右两点的高度都一样。只要 $d\ne0$，上式要恒等于 $0$，就必须让：

解出 $s$：

所以对称轴是：

这里有两个很有用的细节。第一，$c$ 在相减时完全消掉了：把整条抛物线上下挪动，不会改变它左右居中的位置。第二，$b$ 不能独自决定方向，因为分母里还有 $a$。同样是 $b\gt0$，如果 $a\gt0$，对称轴在左侧；如果 $a\lt0$，对称轴反而可能在右侧。

一个马上能检验公式的特殊情形是 $b=0$：

此时一般式变成 $y=ax^2+c$，图像确实关于 $y$ 轴对称。

从对称轴走到顶点

顶点是抛物线转向的那个点：开口向上时，它是最低点；开口向下时，它是最高点。这个点一定在对称轴上，因此顶点的横坐标已经知道：

纵坐标没有必要另背一条复杂公式。最稳妥的做法是把这个横坐标代回原函数：

于是顶点可以写成：

如果计算已经很熟，也可以把纵坐标化简成

但刚开始作图时，直接代回通常更不容易在分数和符号上出错。画草图时，把“轴穿过顶点”和“同高的点成对出现”同时标出来；后面我们正要利用这种成对关系。

例题：把一般式读成一张草图

我们来处理：

目标不是一次算很多点，而是先找到最有分量的几个点，再借对称性补齐。

把这些点列成表，会更容易看出左右两列是如何对上的：

标好顶点、对称轴和这些对称点之后，用一条平滑曲线穿过它们；不要把点与点之间用折线硬连。抛物线从顶点处平滑转向，不会拐出角。

一般式和顶点式其实是同一个函数

上一节的顶点式是：

一般式和顶点式不是两种不同的抛物线；它们只是同一个函数的两种写法。一般式里，对称轴给出：

而顶点的高度是：

所以把一般式整理成顶点式后，必定能写成：

先把它当成一张“对应关系表”就够了：一般式中的 $a$ 仍是顶点式外面的 $a$；一般式的 $a$、$b$ 合起来给横坐标 $h$；再把 $h$ 代回去，才得到纵坐标 $k$。

例如：

有 $a=2$、$b=8$，因此：

再算：

顶点是 $(-2,-5)$，相同的函数写成顶点式会是：

把右边展开检查：

两边完全相同。下一节会把这个“整理成平方”的过程一步一步展开，解释为什么常数项也会跟着变化。

容易绊住人的几个地方

把 b 的符号拿掉

对

来说，$b=-4$。正确计算是：

若把 $b$ 错读成 $4$，就会把对称轴算到 $x=-2$，整张图会左右颠倒。

忘记 2a 是一个整体

对

有 $2a=2(-3)=-6$，不是 $6$。因此：

负号有时会相互抵消，但那是算完后才发生的事，不能一开始就擅自删掉。

把 $(0,c)$ 当作顶点

对

来说，$(0,7)$ 的确在图像上，但对称轴是 $x=3$，所以顶点不可能在 $x=0$。把 $x=3$ 代入可得顶点 $(3,-11)$； 关于 的镜像则是 。

练习：不用先画图，也能定位

练习 1

对于

写出 $a$、$b$、$c$，判断开口方向，求 $y$ 轴截距、对称轴、顶点，以及 $y$ 轴截距的对称点。

练习 2

对于

求对称轴、顶点和一对同高的对称点。

练习 3

有同学看到

后说：“对称轴是 $x=-6$，因为 $-b/2=-12/2$。”请找出这句话漏掉的部分，并写出正确的对称轴和顶点。

带着这张路线走向配方法

一般式并没有把顶点藏得无影无踪：$a$ 给出开口，$c$ 给出 $(0,c)$，而 $a$、$b$ 合起来给出对称轴

顶点就在这条线上，把横坐标代回函数即可。我们也已经看见了它和顶点式的联系：一般式能够变成 $a(x-h)^2+k$，只是还没有把变形过程拆开。

下一节要做的，就是把这一步做得可复现：怎样把分散的 $x^2$ 项和 $x$ 项凑成一个平方，又怎样在补进一个数的同时保持函数没有被悄悄改掉。

把 $x=3$ 代回原函数：

顶点是 $(3,-11)$。$(0,7)$ 离对称轴 $x=3$ 有 $3$ 个单位，它的对称点是 $(6,7)$。

对称轴是 $x=-1$。代入 $x=-1$：

顶点是 $(-1,4)$。$y$ 轴截距为 $(0,3)$，它关于 $x=-1$ 的对称点是 $(-2,3)$。

把 $x=-\frac{3}{2}$ 代回：

所以顶点是：