最大值、最小值与顶点

上一页我们借判别式看的是抛物线和 $x$ 轴有没有交点：方程有几个实数解，图像就有几个零点。可很多实际问题并不问“什么时候等于零”。球最高能飞到多高，围栏怎样围面积最大，票价定在哪儿收入最多——它们都在问图像能达到的最高或最低位置。

这次不用沿着 $x$ 轴找交点，而要盯住抛物线掉头的那一瞬间。那个掉头处就是顶点。顶点确实管最值，但有个很容易被跳过的前提：我们允许 $x$ 取哪些值？把整条抛物线和只截取其中一段混在一起，答案会立刻变样。

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顶点的一横一纵，别让它们串了角色

把二次函数写成顶点式：

$$f(x)=a(x-h)^2+k$$

顶点是 $(h,k)$。这两个数需要分开读：$h$ 是发生转折的输入值，也就是“什么时候”“取什么价格”“边长是多少”；$k$ 是那个输入代入后得到的函数值，也就是“高度是多少”“收入是多少”“面积是多少”。

例如顶点若为 $(4,12)$，不能说“最大值是 $4$”。$4$ 只是最值发生在 $x=4$ 时的那个位置；真正的最值候选是 $12$。完整的句子应该是：“函数在 $x=4$ 时取到 。”至于这个 是最大值还是最小值，要交给 的正负来判断。

为什么顶点会卡住最值？关键不是图像长得像碗或像拱门，而是平方这一小块有硬规则：

$$(x-h)^2\geq0$$

并且只有 $x=h$ 时等号成立。也就是说，无论从顶点向左还是向右走，平方项都不会比 $0$ 更小。接下来只差看前面的 $a$ 把这个非负数往哪个方向推。

当 $a\gt0$ 时，$a(x-h)^2$ 仍然非负，于是

$$f(x)=a(x-h)^2+k\geq k$$

函数值不可能低过 $k$，而 $x=h$ 时又确实能够等于 $k$。抛物线向上开，顶点纵坐标 $k$ 是最小值。

当 $a\lt0$ 时，乘上负数会翻转不等号：

$$a(x-h)^2\leq0$$

所以

$$f(x)=a(x-h)^2+k\leq k$$

函数值无法高过 $k$；此时抛物线向下开，顶点纵坐标 $k$ 是最大值。先把这条推理吃透，以后就不用把“正开口最小、负开口最大”当成一张孤零零的记忆卡片。

试着把下面两条式子念成完整的话：

$$p(x)=5(x-1)^2-2$$

因为 $5\gt0$，顶点 $(1,-2)$ 是最低点。若允许 $x$ 取任意实数，$p(x)$ 的最小值为 $-2$，在 $x=1$ 时取得。

$$q(x)=-3(x+2)^2+7$$

这里 $-3\lt0$，顶点 $(-2,7)$ 是最高点。若定义域是全体实数，$q(x)$ 的最大值为 $7$，在 $x=-2$ 时取得。

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全体实数作定义域时，顶点给出值域的边界

没有另外说明时，二次函数的定义域通常是全体实数。你可以一直把 $x$ 往左或往右取，抛物线两侧也会一直延伸。顶点虽能拦住一个方向，却拦不住另一个方向：向上开的图像会越升越高，向下开的图像会越落越低。

因此，完整定义域上的结论要说全：

看一个向下开的例子：

$$r(x)=-2(x-3)^2+8$$

由于 $-2(x-3)^2\leq0$，所有输出都满足 $r(x)\leq8$。取 $x=3$ 时，平方项变成 ，正好取到 。所以最大值是 ，值域是

$$(-\infty,8]$$

右方的方括号不是装饰，它表示 $8$ 属于值域；左侧用圆括号，是因为函数可以无限下降，根本没有一个“最小的负无穷”。反过来，向上开的二次函数只有下界，没有上界。题目若直接问整条二次函数的最大值和最小值，别默认两个答案都存在。

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一般式的顶点为什么是这个横坐标

现实中的函数并不总是已经排成顶点式。更常见的是

$$f(x)=ax^2+bx+c$$

前面学过，对称轴的方程是 $x=-\frac{b}{2a}$。顶点就在这条轴上，所以先记下顶点横坐标：

$$h=-\frac{b}{2a}$$

接着把这个横坐标代回原函数，得到纵坐标：

$$k=f(h)$$

这套做法不是凭空冒出的。把一般式中带 $x$ 的两项提取出 $a$，再配方，就会露出同一个数：

$$\begin{aligned} ax^2+bx+c &=a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c\\ &=a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right]+c \end{aligned}$$

平方项要在 $x=-\frac{b}{2a}$ 时才会变为 $0$，这正是抛物线掉头的位置。公式法是把配方的结论压缩成了两步，不是另一门毫无关联的技巧。

来看函数

$$f(x)=3x^2-18x+20$$

二次项系数 $3$ 为正，先知道这里应该找最小值。顶点横坐标是

$$h=-\frac{-18}{2\cdot3}=3$$

再算纵坐标：

$$k=f(3)=3\cdot3^2-18\cdot3+20=-7$$

若定义域为全体实数，顶点是 $(3,-7)$，最小值为 $-7$，在 $x=3$ 时取得，值域为 $[-7,\infty)$。我们也可以验算配方：

$$\begin{aligned} f(x)&=3(x^2-6x)+20\\ &=3[(x-3)^2-9]+20\\ &=3(x-3)^2-7 \end{aligned}$$

最后一行直接保证 $f(x)\geq-7$，与公式算出的顶点完全一致。上一页讲的判别式也仍在旁边发挥作用：有两个零点时，对称轴在两个零点正中；没有零点时，对称轴和顶点照样存在，只是整条图像没有碰到 $x$ 轴。

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定义域被截断后，要让端点也参加比较

“顶点纵坐标是最值”这句话，默认讨论的是整条抛物线。可题目一旦写出 $1\leq x\leq6$、某段拍摄时间、可接受的价格范围，我们看的便是一段有限图像，而不是全部图像。

在闭区间 $[m,n]$ 上，最大值和最小值只能出现在三个地方：左端点 $m$、右端点 $n$，或者区间内部的顶点。顶点横坐标 $h$ 不在 $[m,n]$ 内，就不是这道题的候选点；顶点在区间内，也不能省略端点，因为端点可能给出另一个最值。

先看顶点在区间里面的情况：

$$g(x)=-(x-2)^2+10,\qquad -1\leq x\leq4$$

顶点横坐标 $2$ 合法，所以要比较两端和顶点：

$$g(-1)=1,\qquad g(2)=10,\qquad g(4)=6$$

这一段图像的最大值是 $10$，在 $x=2$ 时取得；最小值是 $1$，在 $x=-1$ 时取得。开口向下只说明顶点是最高候选，区间的最低值仍要由端点比较出来。

再看顶点被截在区间外的情况：

$$s(x)=(x+1)^2+3,\qquad 2\leq x\leq5$$

整条抛物线的顶点为 $(-1,3)$，但 $x=-1$ 不在允许范围内。此题只有两个端点可比：

$$s(2)=12,\qquad s(5)=39$$

因此，在 $[2,5]$ 上最小值是 $12$，发生在 $x=2$；最大值是 $39$，发生在 $x=5$。整条曲线的最小值 $3$ 并没有错，只是它发生在被题目排除的输入处。

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同一个顶点，在面积、收入和高度中怎样说话

代数里的 $x$ 和 $f(x)$ 一旦落进情境，就会有具体身份。最值题真正容易丢分的地方，常常不在求顶点，而在于没说清谁是输入、什么范围合理、顶点纵坐标究竟表示什么。下面用三个新模型把这件事串起来。

借墙围围栏：最大的是面积，不是边长

有 $60$ 米围栏，准备借一面直墙围出长方形，只围另外三边。令 $y$ 表示两条与墙垂直的边各有多少米，则沿墙相对的一边长为 $60-2y$ 米。面积是相邻边相乘：

$$A(y)=y(60-2y)=-2y^2+60y$$

为了让长方形真的有正的长和宽，$y$ 应满足 $0\lty\lt30$。这条面积函数向下开；顶点横坐标为

$$y=-\frac{60}{2(-2)}=15$$

代回得到

$$A(15)=15(60-2\cdot15)=450$$

所以每条垂直于墙的边应为 $15$ 米，第三条围栏应为 $30$ 米，最大面积是 $450$ 平方米。这里的 $y=15$ 是边长，不是最大面积；$A(15)=450$ 才是要回答的面积。虽然 $y=0$ 和 都会代出 ，它们使一条边缩没了，不代表一个可用的围栏方案。

调整票价：最大的是收入，别把它叫成利润

设一场演出的预测模型是：票价为 $p$ 元时，预计可以卖出 $360-3p$ 张票。假设这份模型只在 $25\leq p\leq80$ 元内使用。收入等于单价乘销量：

$$R(p)=p(360-3p)=-3p^2+360p$$

二次项系数为负，收入图像向下开。顶点横坐标为

$$p=-\frac{360}{2(-3)}=60$$

顶点纵坐标是

$$R(60)=-3\cdot60^2+360\cdot60=10800$$

$60$ 位于允许区间内，因此模型给出的最佳票价是 $60$ 元，最大收入为 $10800$ 元，对应预计售出 $360-3\cdot60=180$ 张票。这里的 $R$ 没有减去租场地、人工等支出，所以它是收入而不是利润；变量的含义不能被公式的形状掩盖。

球的高度：镜头只拍一段，答案就只属于那一段

某球的离地高度近似为

$$H(t)=-4.9t^2+19.6t+1.2$$

$t$ 的单位是秒，$H(t)$ 的单位是米。若研究完整飞行过程，最高点发生的时间是

$$t=-\frac{19.6}{2(-4.9)}=2$$

相应的最高高度为

$$H(2)=-4.9\cdot2^2+19.6\cdot2+1.2=20.8$$

也就是说，球在抛出后 $2$ 秒达到 $20.8$ 米高。

现在把问题改成：录像只保留 $2.5\leq t\leq3.5$ 的画面。全程顶点 $t=2$ 已经不在这段录像里，所以只比较两个画面边界：

$$H(2.5)=19.575,\qquad H(3.5)=9.775$$

该录像片段的最大高度是 $19.575$ 米，在 $t=2.5$ 秒时出现；最小高度是 $9.775$ 米，在 $t=3.5$ 秒时出现。函数没有变，变的是题目允许我们观看的时间范围。

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写答案前，用四句话把它核对完整

每次算出顶点，可以停两秒做一次核对。这样比单独背公式更可靠。

先问定义域是谁

没有限制时，二次函数默认讨论所有实数。时间不能随便取负数，长度和数量通常也不能；题目明确给出区间时，更要以那个区间为准。先确定可选输入，才知道哪一段图像有资格参与比较。

再问开口方向

$a\gt0$ 表示整条图像向上开，顶点纵坐标是全体实数定义域下的最小值；$a\lt0$ 则表示向下开，顶点纵坐标是最大值。这个判断告诉我们顶点提供哪一边的界，但它不能替代区间端点比较。

最后把横坐标、纵坐标和单位翻译出来

“$x=15$”可能表示 $15$ 米、$15$ 秒或 $15$ 元；“$f(15)=450$”则可能表示 $450$ 平方米、$$ 米或 元。最清楚的答案会写成“最大面积为 平方米，此时两条垂直边各长 米”，而不只报出一个顶点坐标。

区间题就列候选值，不靠直觉省步骤

闭区间中先算两个端点；顶点横坐标在区间内时再算顶点值。三个数摆在一起比较，能同时防住“顶点在区间外”和“漏掉另一端最值”这两个常见错误。

自测一下

1. 函数 $f(x)=2(x-3)^2-8$ 的定义域为全体实数。它的最值和值域分别是什么？

显示答案

因为 $2\gt0$，抛物线向上开。顶点为 $(3,-8)$，所以最小值是 $-8$，在 $x=3$ 时取得；没有最大值。值域为 $[-8,\infty)$。

2. 求 $g(x)=-2x^2+8x+3$ 在 $-1\leq x\leq5$ 上的最大值和最小值。

显示答案

顶点横坐标为 $x=-\frac{8}{2(-2)}=2$，在区间内。比较 $g(-1)=-7$、、。最大值是 ，在 时取得；最小值是 ，在 和 时都取得。

3. $u(x)=(x+2)^2+1$ 的定义域改成 $1\leq x\leq4$。它在这个区间的最小值是多少？

显示答案

整条抛物线的顶点在 $x=-2$，不属于 $[1,4]$。比较端点：$u(1)=10$，$u(4)=37$。因此给定区间上的最小值为 ，在 时取得；最大值为 ，在 时取得。

4. 收入函数为 $R(p)=-5p^2+500p$，价格限制为 $30\leq p\leq70$。什么价格使收入最高？最高收入是多少？

显示答案

顶点横坐标为 $p=-\frac{500}{2(-5)}=50$，落在允许区间内。$R(50)=-5\cdot50^2+500\cdot50=12500$。因此价格为 时收入最高，最高收入为 。

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下一步：从题目文字自己造出函数

这一页里，面积、收入和高度的二次式已经替我们写好了。下一页要把方向反过来：先从围栏长度、票价变化或运动条件中选变量，再把另一个量表达出来，并筛掉数学上能算、现实里却不成立的输入。

遇到“最大面积”“最高收入”“最高高度”这类问题时，先问三件事：谁是自变量？它的可取范围是什么？顶点是否真的落在这个范围里？这三问回答清楚，顶点才不只是一个坐标，而是能落回情境的结论。