二次不等式：抛物线在哪一段满足条件
上一节里，我们把围栏、收入和运动高度翻译成了二次函数，并用顶点找到了“最好”的那个选择。现实问题常常还会追问一步：不一定要达到最高点，哪些选择已经够好？二次不等式正是处理这种“哪些输入还够得上目标”的工具。
别把它当成“把等号换成大于号的二次方程”。方程 只找抛物线碰到 轴的几个位置；不等式 或 要问的是：沿着整条数轴走，图像在哪些地方在轴上方、下方，或恰好落在轴上。答案因此往往是一段区间，甚至是两段区间的并集。
解二次不等式时，看的不是根本身，而是根把整条数轴分开的每一段里，曲线到底在 x 轴上方还是下方。
先把不等式翻译成图像的位置
遇到
先给左边取一个名字：
题目立刻变成“ 在什么时候不小于 ”。函数值就是图像的纵坐标，所以规则很直接：图像在 轴上方时 ；在 轴下方时 ；落在轴上时 。因此，求 是圈出上方的部分，连同接触 轴的点；求 则只圈出下方的部分。
二次不等式的解是横坐标 的集合，不是图上的一串 值。读图时盯住“图像在哪些横坐标处位于轴上方或下方”，就不容易把坐标看反。
这个翻译也解释了为什么要先把式子整理成“一边是二次式，另一边是 ”。例如
还不能直接看出图像相对 轴的位置。移项后才得到
现在左边是一条抛物线的函数值，问题才有了明确的图像含义。移项本身不会改变不等号方向；如果为了整理而要把两边同乘或同除一个负数，方向才必须翻转。
零点把数轴切成可以检查的几段
令 得到的解叫作零点，也就是抛物线的 轴交点。它们不是二次不等式的全部答案，却是找答案时最关键的分界位置。
想象沿着一条连续的抛物线从轴上方走到轴下方。它不可能凭空穿过 轴；要从正值变成负值，途中一定有一次函数值等于 。所以，二次式的正负只可能在零点处发生变化。两个不同零点会把数轴分成三段；在任何一段的内部，函数值不会突然换号。我们只要选一个代表值算一算，就知道整段的符号。
例如
的零点是 和 。它们把数轴分为
这里有一句容易被说得太满：零点是可能换号的地方，不保证一定换号。若图像只是碰到 轴又掉头，例如 在 处与轴相切，零点两边仍然都是正的。我们后面会专门处理这种只有一个实零点的情形。把零点看成“需要检查的关口”，比背成“必定翻面”的规则可靠。
用符号表核验，不靠“中间还是两侧”猜答案
开口方向能帮我们快速看图，但真正稳妥的办法是做一张小小的符号表。它不要求画出精确的抛物线，只要求我们对每个由零点切出的区间，验算一次符号。
还是看
的三个区间。表中每一行的测试值都只是那一段的代表；例如在 里取 ，并不是说只有 值得代入。
两个因式同号，乘积为正；异号，乘积为负。因此若题目是
表里先选中间的负号区间。两端 和 代入后都让左边等于 ，而题目带有等号，所以也要收进答案：
为什么一个测试值就够
若某个因式在一个区间内没有零点，它的符号就不会改变；不然它从正变负或从负变正时，中间必然经过 。乘积的符号也就固定。符号表并不是机械的“三区间模板”，而是在利用这一点确认：零点之间的每一整段，函数是在轴上方还是下方。
当式子不容易因式分解时，逻辑没有变。先用配方法或求根公式找零点，再把测试值直接代回原二次式即可。因式分解只是让表格里的正负来得更快。
两个不同零点时，开口方向给出一眼检查
设二次函数有两个不同零点 。它的两条“尾巴”由二次项系数 决定： 时开口向上，远离顶点的两侧会向上； 时开口向下，两侧会向下。于是可以先得到一张图像上的检查表。
这张表只适用于两个不同实零点。它是给符号表的快速检查，不是替代符号表的咒语。题目若只有一个零点或根本没有实零点，“中间”和“两侧”都可能没有你以为的那种含义。
例题：开口向下时，正的部分在中间
解不等式
先因式分解：
零点是 和 。负号说明抛物线开口向下，所以它在两个零点之间位于 轴上方。题目要求严格大于 ，两个零点本身不能包含，解集是
不放心时可立刻验一次中间的 ：
再从外侧取 ：
两次代入和图像判断一致，区间就没有选反。
端点取不取，只问零点处的 算不算
零点不是“天然包含”或“天然排除”的。把零点代回原不等式，左边一定是 ，所以最后只需要问：题目接不接受 ？
- 对 或 ， 不符合严格不等式。零点不用取，区间端点写圆括号，数轴上画空心点。
- 对 或 ， 符合条件。零点要取，区间端点写方括号，数轴上画实心点。
例如
可写成
抛物线开口向上，中间一段为负； 和 时恰好为 ，仍满足“”。因此答案是
若把同一题的符号换成 ，中间的范围没有变，只有端点被排除，答案就成了 。还有一个固定格式： 和 从来不能被“取到”，即使不等式带等号，也始终配圆括号。
只有一个或没有实零点，先看整条曲线在哪一侧
一个实零点：相切时不一定换号
看
它只有 一个实零点，图像在这里碰到 轴后折回上方。平方永远不小于 ，所以四种问法会给出四种不同结果：
这正好说明了“零点两边一定异号”为何不对。重根只是曲线与轴相切，符号可以保持不变。
没有实零点：用开口和一个点定全局符号
再看
配方得到
无论 取什么，平方项都不小于 ，所以 始终至少是 。整条抛物线开口向上，而且最低点也在 轴上方。于是
对所有实数都成立，解集为 ；而
没有实数解。
更一般地说，没有实零点时，数轴没有被切开，二次式在所有实数上符号相同。确认开口方向后，再代入一个简单值或检查顶点，就能知道它始终为正还是始终为负。判别式小于 也会告诉我们“没有实零点”，但它不会单独告诉正负；还要看 的符号或做一次代入。
回到建模题：边界点表示“刚刚够”
再看一个独立的靠墙花圃模型。两条垂直边各长 米时，面积是
题目若问“面积至少为 平方米”，我们要解
先整理到一边：
两边同除以 时，不等号必须反向：
因式分解：
这条抛物线开口向上，两个零点之间的函数值不大于 ，故
两个端点值得用原题再解释一次：当 或 时，面积都刚好是 平方米，所以“至少”允许它们留下。并且 到 都落在花圃原先的可行范围 内，因此这里不需要再删去任何数学解。最后一句最好说完整：两条垂直于墙的围栏各长 至 米时，围出的面积至少为 平方米。
一套可复现的解题顺序
把所有项移到同一边，使另一边为 ；若乘除负数，立刻翻转不等号。
把左边记为 ，并解 。因式分解方便时就用它；否则可以配方或使用求根公式。
最常见的失误，是找出两个根后直接选“中间”或“两侧”。根只负责切分数轴，不替你决定哪一段符合不等式。一个很省时间的收尾检查是：从你选中的区间取一个数代回原不等式，再从没选中的区间取一个数代回去。两边各验一次，通常立刻能发现符号选反或漏端点的问题。
练习：把区间和理由一起写出来
两个不同零点
解不等式：
开口向下与非严格不等式
解不等式：
只有一个零点
解不等式：
没有实零点
解不等式：
带情境的范围
花圃面积函数为 ，其中 。求面积不低于 平方米时 的范围。
下一步：从一题一法到选择合适的表示
现在我们已经把二次式、抛物线、零点、顶点和不等式连在了一起：同一个函数可以告诉我们交点在哪里、最高或最低处在哪里，也能告诉我们哪些输入让目标成立。下一页会把这些表示法放到同一张地图上，练习看到题目时先判断该从图像、顶点式、一般式、方程还是不等式哪个入口切入。