判别式的图像意义 | 二次函数与抛物线：从方程到模型 | 自在学

判别式的图像意义

判别式与 x 轴交点数量的关系图

上一节里，零点、方程的实数根和 x 轴交点已经对上了：它们都在回答“哪一个 x 会让函数值变成 0”。这一页再往前一步。很多时候，我们还没必要把根逐个算出来，先想知道的是：这条抛物线会不会碰到 x 轴？会碰几次？

对于标准形式的二次方程

ax^2+bx+c=0 \qquad (a\ne0)

判别式是

\Delta=b^2-4ac

它的正、零、负会提前告诉我们实数根的个数，也就告诉我们抛物线与 x 轴的关系。判别式不是额外塞进来的一条口诀；它正是求根公式中根号里的那个量。

先把判别式问的问题说准

把函数写成

y=ax^2+bx+c

要找 x 轴交点，纵坐标必须为 $0$ ，所以令 $y=0$ ，就得到二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 。因此，实数根的个数和 x 轴交点的个数永远相同。

判别式	方程在实数范围内的情况	图像与 x 轴的关系
$\Delta\gt0$	两个不同的实数根	两个不同交点，抛物线穿过 x 轴
$\Delta=0$	一个实数根；按因式结构看是重复根	一个交点，抛物线在这里相切
$\Delta\lt0$	没有实数根	没有 x 轴交点

“一个实数根”和“重复根”并不矛盾。比如 $(x-2)^2=0$ 只给出 $x=2$ 这一个不同的数，可 $(x-2)$ 在乘积里出现了两次，所以 $2$ 叫重复根。图像上也只有这一个交点。

当 $\Delta\lt0$ 时，准确说法是“没有实数根”，不是笼统地说“没有解”。我们画的是实数坐标平面，因此这里关心的是有没有实数零点和 x 轴交点；以后进入复数范围时，会学习另一种处理方式。

为什么根号里偏偏是 $b^2-4ac$

公式法写作

x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

第一次见到这串符号，很容易觉得它像是凭空规定的。我们从原方程出发，按配方的思路走一遍，就能看到它是怎样留下来的。

先把常数项移到右边，再除以 $a$ ：

x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}

左边的一次项系数是 $\frac{b}{a}$ 。要凑成完全平方，就在两边同时加上它一半的平方：

x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2} =-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}

左边合成平方，右边通分：

\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 =\frac{b^2-4ac}{4a^2} =\frac{\Delta}{4a^2}

关键就在这里。分母 $4a^2$ 始终大于 $0$ ，不改变正负号；真正决定右边能不能开实数平方根的，是分子 $\Delta$ 。

$\Delta\gt0$ 时，右边为正。一个平方等于正数有两种取法，于是会得到两个不同的 x 值。
$\Delta=0$ 时，右边为 $0$ 。平方只能在括号内也为 $0$ 时才会是 $0$ ，两条求根路径合到同一个 x 值。
$\Delta\lt0$ 时，右边为负。实数的平方不可能为负，因此找不到实数 x。

把这个平方等式开方、再把 x 单独留下，就得到求根公式。公式中的 $\pm$ 也因此有了含义：它记录的是同一个正平方根对应的正、负两条路径。

三种信号怎样落到图像上

$\Delta\gt0$ ：穿过 x 轴两次

看方程

2x^2-7x+3=0

这里 $a=2$ 、 $b=-7$ 、 $c=3$ ，所以

\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25

$25$ 是正数。即使不继续算，已经能确定有两个不同实根，也有两个 x 轴交点。若题目还要根的数值，再代入公式：

x=\frac{7\pm5}{4}

所以

x=3 \qquad \text{或} \qquad x=\frac12

两个零点是 $3$ 和 $\frac12$ ，对应交点是 $(3,0)$ 与 $\left(\frac12,0\right)$ 。先判别、后求值，能让你知道公式里的这次确实会分出两个不同答案。

$\Delta=0$ ：两条路径在顶点合并

再看

3x^2+12x+12=0

\Delta=12^2-4\cdot3\cdot12=0

根号中的 $\sqrt{\Delta}$ 变成 $0$ ，于是

x=\frac{-12\pm0}{2\cdot3}=-2

同一个结论也可以从

3x^2+12x+12=3(x+2)^2

看出来。平方等于 $0$ 时只能有 $x=-2$ ；不过 $(x+2)$ 重复出现，所以它是重复根。函数 $y=3(x+2)^2$ 的顶点是，开口向上，在 x 轴上碰到一下便转回去。相切有一个交点，千万别把它误作没有交点。

$\Delta\lt0$ ：实数坐标上没有交点

最后看

2x^2+4x+7=0

\Delta=4^2-4\cdot2\cdot7=16-56=-40

公式会要求计算 $\sqrt{-40}$ ，而实数中没有数的平方是负数。因此这个方程没有实数根；用函数语言说， $y=2x^2+4x+7$ 没有实数零点；用图像语言说，抛物线没有 x 轴交点。

配方也能直接看到它的位置：

y=2(x+1)^2+5

平方项不小于 $0$ ，所以函数值不小于 $5$ 。顶点 $(-1,5)$ 已经在 x 轴上方，整条开口向上的抛物线自然碰不到 x 轴。

顶点高度要和开口方向一起看

“顶点在 x 轴上方还是下方”确实能帮助判断交点，但只记高度会出错，开口方向必须一起看。开口向上时，顶点是最低点；开口向下时，顶点是最高点。

对

y=ax^2+bx+c

顶点横坐标是 $-\frac{b}{2a}$ 。设顶点纵坐标为 $k$ ，把这个 x 值代回函数：

k=f\left(-\frac{b}{2a}\right)=-\frac{\Delta}{4a}

也就是

\Delta=-4ak

这条式子把顶点和判别式锁在了一起。

当 $a\gt0$ 时， $k\lt0$ 表示最低点在 x 轴下方，图像会穿过两次，因此 $\Delta\gt0$ ； $k=0$ 时相切， $\Delta=0$ ；时整条图像在 x 轴上方，。

当 $a\lt0$ 时，顶点是最高点，结论随方向翻转：最高点在 x 轴上方才会有两个交点，最高点在 x 轴上则相切，最高点在 x 轴下方则没有交点。说到底，必须同时知道“极点在哪里”和“曲线朝哪边开口”。

把同一个想法稍稍推广：水平线放在 $y=0$ ，就是本页的情形；把它放在 $y=d$ ，就在问方程 $f(x)=d$ 有几个实数解。交点数依然由这条水平线与抛物线的相对位置决定。

例题：先预报，再决定要不要继续算

判断

6x^2+x+4=0

在实数范围内有几个根，并说明图像与 x 轴的关系。

先确认它已经是标准形式。这里 $a=6$ 、 $b=1$ 、 $c=4$ ，并且 $a\ne0$ ，可以使用判别式。

小练习：先看类型，再核对数字

做这组题时，每次先读出 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，计算 $\Delta$ ，再把符号翻译成实根个数和图像位置；不要只凭开口方向猜答案。

方程 $x^2+6x+9=0$ 有几个不同的实数根？图像和 x 轴是什么关系？
对 $x^2-4x-12=0$ ，判别式是正数、零还是负数？因此有几个 x 轴交点？

第 1 题中， $\Delta=6^2-4\cdot1\cdot9=0$ ，所以只有一个实数根 $-3$ ，它是重复根；图像在 $(-3,0)$ 处与 x 轴相切。第 2 题中，，因此有两个不同的实数根，也有两个 x 轴交点。第 3 题中，，图像开口向下，顶点是最高点；最高点在 x 轴下方，整条图像只能更低，所以没有实数零点，判别式小于。

把这一页带到下一页

判别式把“是否穿过 x 轴”压缩成了 $b^2-4ac$ 的正负；顶点则告诉我们抛物线整体能到达的最高或最低高度。下一页会把视线从 $y=0$ 这条水平线移开，直接研究顶点给出的最大值、最小值，以及定义域被限制时这个结论怎样使用。