参数 a：开口方向与宽窄

上一节的 $y=x^2$ 是我们的基准抛物线：顶点在 $(0,0)$，两边一样高，离开原点便向上走。现在我们不搬动这条曲线，也不加入新项，只在平方前面乘一个数：

这个 $a$ 不改变横坐标，所以顶点仍在 $(0,0)$，对称轴仍是 $y$ 轴。它改的是每一个输出的大小和正负。也就是说，$a$ 不会把抛物线移走，却能把它沿竖直方向拉高、压低，或翻到 $x$ 轴的另一侧。

把 $y=x^2$ 当作基准来读：$a$ 的正负决定曲线在哪一侧，$|a|$ 决定相同横坐标处的点离 $x$ 轴有多远。

先把 a 放进点坐标里

先别急着背“正数朝上、绝对值大更窄”。对 $y=ax^2$，只要选定一个 $x$，输出就是平方值的 $a$ 倍：

因此，$y=x^2$ 上的点 $(x,x^2)$，在 $y=ax^2$ 上会变成 。横坐标没有动，纵坐标被乘了 。特别好用的是 和 ：因为它们的平方都是 ，图像一定经过

这给了我们一个快速检查办法。比如 $y=-\frac{3}{2}x^2$ 一定经过 $(1,-\frac{3}{2})$ 和 ；如果你画出的曲线在这两个位置跑到 轴上方，就知道符号看反了。

负号到底做了什么

平方 $x^2$ 从不小于 $0$。所以当 $a\gt0$ 时，除了 $x=0$ 以外，$ax^2$ 都是正数，曲线从原点向左右两边升高，开口向上。顶点是全图最低的点。

当 $a\lt0$ 时，$x^2$ 还是非负的，只是每个输出都乘上了负数。除原点外，$ax^2$ 都是负数，原来在 $x$ 轴上方的点全到了下方。曲线从原点向左右两边降低，开口向下，顶点便成了全图最高的点。

这件事不是“负数让图像变小”这么含糊。令 $f(x)=2x^2$，再写 $g(x)=-f(x)=-2x^2$。若 上有点 ， 上对应的点就是 ：横坐标不变，纵坐标变成相反数。这正是关于 轴的镜像反射。

表中每一对数字的绝对值相同，正负相反。因此 $y=2x^2$ 和 $y=-2x^2$ 的宽窄完全一样；负号只负责把前者翻到 $x$ 轴下方，并没有把曲线拉宽或压窄。

宽窄不是凭眼睛猜的

“$|a|$ 越大，抛物线越窄”常被当成一句口令。它为什么成立？我们不固定横坐标，改为固定离 $x$ 轴的竖直距离。

设我们想找 $y=ax^2$ 上离 $x$ 轴距离为 $d$ 的点，其中 $d\gt0$。不论曲线朝上还是朝下，距离满足

解出横坐标到 $y$ 轴的距离：

分母 $|a|$ 变大时，$|x|$ 反而变小。换句话说，要达到同样的高度或深度，系数绝对值大的曲线不用走那么远；左右交点更靠近 $y$ 轴，于是看起来更窄。这才是“窄”的数学含义。

例如都取距离 $d=4$，比较三条上开口曲线：

同一条水平线 $y=4$ 与 $y=4x^2$ 的交点最靠中间，所以它最窄；与 $y=\frac14x^2$ 的交点最靠两边，所以它最宽。对于下开口曲线，只要把比较线改成同样距离的 ，结论一模一样，仍然只看 。

纵向拉伸怎样变成“更窄”

从变换的角度看，$y=ax^2$ 是把基础函数 $f(x)=x^2$ 的输出乘以 $a$。先只看正数 $a$，就不会被反射分散注意力。

• 若 $a\gt1$，每个点的纵坐标被放大，离 $x$ 轴更远，叫作纵向拉伸。

• 若 $0\lta\lt1$，每个点的纵坐标被缩小，离 $x$ 轴更近，叫作纵向压缩。

下面同样取五个横坐标。每一列都在算同一件事：先平方，再把输出乘上系数。

$y=4x^2$ 把每个非零输出拉到原来的 $4$ 倍，曲线很快就离开原点；$y=\frac14x^2$ 把输出压成原来的四分之一，要横向走得更远才会达到相同高度。因为横坐标没被直接改动，所以名字叫“纵向”拉伸或压缩；“更窄”“更宽”只是这种竖直变化在抛物线上的视觉结果。

如果 $a\lt0$，把两步合起来看最清楚：先按 $|a|$ 做纵向拉伸或压缩，再关于 $x$ 轴翻折。比如 $y=-\frac14x^2$，先得到宽一些的 ，再把它翻到下方；所以它向下开口，却仍然宽。

把 a 换成几个值，盯住不变和改变的部分

把 $a$ 依次换成几个值做一次整体观察。不要只盯曲线的“胖瘦”，请同时检查顶点 $(0,0)$、对称轴 $y$ 轴，以及点 $(1,a)$。

可以依次停在下面几个值上：

• $a=3$：开口向上；$(1,3)$ 比 $(1,1)$ 高，曲线比 $y=x^2$ 窄。

无论怎样改变 $a$，只要 $a\ne0$，$x=0$ 时都有

所以顶点始终钉在原点。下一节会加入 $h$ 和 $k$，到那时才会讨论怎样把这枚“钉子”拔起并移动顶点。

判断一条 y=ax² 的草图

拿到 $y=ax^2$，按下面的顺序判断，通常不用先列一大张表。

例如判断

$a=-\frac52$，所以开口向下；$|a|=\frac52\gt1$，所以比 窄。再放两个检查点： 和 。这样画出来的草图应该以原点为最高点，左右对称，并且很快向下走。

接着把“看符号”和“看绝对值”分开练习。它们回答的是两件不同的事，顺序不要颠倒。

已知一个点，怎样反推出 a

有时题目不给系数，只告诉你曲线经过一个点。只要这个点不在原点，就能把它代入 $y=ax^2$ 求出 $a$；原点不行，因为每一条这样的抛物线都经过原点。

例题：一条形如 $y=ax^2$ 的抛物线经过点 $(2,-12)$。求 $a$，并描述图像。

再看一个更容易踩坑的问法：$y=-\frac19x^2$ 和 $y=-x^2$ 都向下开口，哪一条更宽？比较的是 和 ，不是 和 。因为 ， 是纵向压缩后再翻折，反而更宽。

自测：把理由也说出来

1. 判断 $y=\frac25x^2$ 的开口方向和宽窄，并写出一个除原点外的图像点。

2. $y=-4x^2$ 和 $y=\frac14x^2$ 的开口方向相同吗？若只比较宽窄，哪一条更窄？

3. 对 $y=ax^2$，已知点 $(-3,18)$ 在图像上。求 $a$，并判断图像。

4. 小林说：“$-6\lt-2$，所以 $y=-6x^2$ 应该比 $y=-2x^2$ 更宽。”这句话哪里错了？

带着 a 走向顶点式

这一节的结论可以压成一句可操作的话：$a$ 的符号回答“曲线向上还是向下”，$|a|$ 回答“同一高度处离对称轴有多远”。前者是关于 $x$ 轴的反射，后者是纵向拉伸或压缩；它们都不移动 $(0,0)$。

下一节把函数写成

你会发现 $a$ 仍按今天的规则控制形状，而 $h$ 和 $k$ 专门负责把顶点从原点移动到别处。把这三件事分开读，顶点式就不会显得像一串需要硬记的符号。

$a=\frac13$：开口向上；$(1,\frac13)$ 更靠近 $x$ 轴，曲线更宽。