用二次函数建模：让文字条件变成可检查的关系

上一节里，我们是从一个已经写好的二次函数出发，寻找顶点、比较端点，再读出最大值或最小值。真实题目往往把这个顺序倒了过来：眼前只有一段话——围栏只有这么长、票价变了会少卖一些、球从多高处抛出——函数得由我们自己写出来。

这一步最容易让人觉得“题目忽然变难了”。其实二次函数并没有躲起来；它通常出现在两个会一起变化的量相乘时。面积是长乘宽，收入是单价乘数量，运动中的高度又带着时间的平方。真正需要耐心的部分，是先把每个量说清楚，再让公式替我们计算。

建模的答案也不能停在“解得 $x=\cdots$”。一个数字先要通过情境的检查，最后还得被翻译回原来的问题：它是几米、几秒，还是几元；它能不能真的取到；它回答的到底是高度、面积还是价格。这一页就把这条来回的路走完整。

围栏条件先把两条边绑在一起，面积于是自然出现平方项；顶点回答的正是“怎样围能最大”。

建模不是急着列式，而是先说清谁在变

一道应用题里的字母不是越多越好。一个好模型通常先选一个最自然、最能由我们控制或追踪的量作为输入，再用它表示其余量。比如围栏题里，某一条边长一旦确定，剩余围栏能围出的另一条边也随之确定；票价定下来，预计卖出的票数也随之确定。这样，许多个量最后都可以用一个变量串起来。

先把变量写成一句完整的话，会比一上来写 $x$ 靠谱得多。以“高度”为例，写“设 $h$ 为高度”还不够；更清楚的写法是“设 $h$ 为三角形的高，单位是米”。前一句告诉我们这个数代表谁，后一句告诉我们它该带什么单位。后面出现 $h^2$ 时，我们就知道它的单位是平方米，而不是还把它误读成高度。

可以把建模时需要交代的对象排成一张小表：

这套顺序看起来像多写了几行，实际上是在帮我们防止两类最常见的错误：把没有现实意义的根留下来，或者把算对的数解释成了错误的量。

二次式通常从“两个会变的量相乘”长出来

先看一个面积问题。某块三角形展示板的面积是 $96$ 平方米，底边长度比高度的两倍多 $8$ 米。要求底边和高。

这里有两个长度，可我们不需要设两个互不相干的变量。因为底边已经由高度决定，设

那么底边就是

高度和底边的单位都是米。三角形面积等于底乘高的一半，因此面积条件变成

把 $b=2h+8$ 代进去，原来的一句话就变成一条只含 $h$ 的方程：

括号里的 $2h+8$ 是一个长度，再乘 $h$ 这个长度，才会出现 $h^2$；它不是凭空冒出的平方项。展开并移项：

从纯代数的角度，两个解都是候选：

可 $h$ 表示高度，实际定义域必须满足 $h\gt0$。$-12$ 米不是“另一种造法”，而是方程在脱离情境后留下的代数解，应该筛掉。保留 $h=8$，再把它代回底边关系：

最后别只写“$h=8$”。题目问的是两条边长，所以完整答案应当是：展示板高 $8$ 米，底边长 $24$ 米。核对面积：

条件和答案能对上，这个模型才算关好最后一扇门。

这个例子揭示了一个很常见的建模来源：一个量是关于 $h$ 的一次表达式，另一个量又要和 $h$ 相乘，结果就成了二次式。以后看到“长乘宽”“底乘高”“单价乘数量”，可以先警觉一下：这里很可能正是二次函数要登场的地方。

限制条件先变成定义域，面积模型才站得住

“最大面积”题里，顶点常常会出现，但不要跳过函数是怎样被造出来的。假设有 $72$ 米围栏，要借一条笔直的河岸围一个长方形菜地。河岸那一边不需要围栏，只围另外三边。怎样围面积最大？

把两条垂直河岸的边都设为 $x$ 米。它们已经用去 $2x$ 米围栏，那么与河岸平行的第三条边只能是

米。面积等于相邻两边相乘，所以面积函数是

这里 $x$ 的单位是米，$A(x)$ 的单位是平方米。更重要的是，三条围出的边都要有正长度：

合起来得到合理定义域：

这两个端点很有教育意义。若 $x=0$，菜地被压成一条线；若 $x=36$，第三条边长度变成 $0$。它们会让代数式的面积等于 $0$，但不再是一个有正面积的长方形菜地，因此不属于这个问题允许的方案。

面积函数的二次项系数为负，抛物线开口向下，顶点给出最大的面积。顶点横坐标是

它落在 $0\ltx\lt36$ 中，所以确实是可行的候选。把它代入面积函数：

答案要把“$x=18$”再翻译一次：两条垂直河岸的边各长 $18$ 米，沿河岸的那条边长 $36$ 米，最大面积为 $648$ 平方米。

你也可以把这个结果读成一种很直观的平衡。若 $x$ 太小，两条边虽然省围栏，菜地却很窄；若 $x$ 太大，剩给第三条边的围栏又太短。顶点正是这两件事刚好平衡的位置。这个直觉有用，但不能替代定义域检查：只有顶点实际落在允许范围内，才可以拿它回答“最大”。

收入模型：单价乘数量，还要分清收入和利润

价格题很适合练习量纲。某场讲座的预估规则是：票价为 $p$ 元时，预计售票数为

张。组织者只考虑 $20$ 元到 $90$ 元之间的票价，也就是

这条规则里的 $p$ 的单位是“元/张”，$N(p)$ 的单位是“张”。式子中 $3p$ 表示票价每提高 $1$ 元，预计会少售出 $3$ 张；所以 $360$ 和 $3p$ 才能相减。把单位稍微想一遍，许多乱写的式子会自己露馅。

收入等于每张票的价格乘售出的张数：

$p$ 乘“元/张”与 $N(p)$ 乘“张”，单位相消后，$R(p)$ 的单位是元。它描述的是收到的票款，尚未扣掉场地、宣传和人员费用，所以它叫收入，不能自动叫作利润。

因为二次项系数是 $-3$，收入抛物线向下开。顶点横坐标为

这个 $60$ 的单位是元/张，不是元钱的总收入。再计算对应的售票数量和收入：

因此，在给定的预测区间内，票价定为每张 $60$ 元时，预计售出 $180$ 张，收入最高，为 $10800$ 元。顶点坐标 $(60,10800)$ 的两个坐标回答的是两件不同的事：前者是最佳价格，后者才是最高收入。

顺便把零点也放回语境里看一眼：

给出

从公式上说，免费时收入为 $0$；价格达到 $120$ 元时，预测售票数也变成 $0$，收入仍为 $0$。可是本题只允许 $20\leq p\leq90$，这两个零点都不在可选价格范围内。它们不是计算错误，只是不回答“在这段可选价格中如何定价”这个问题。

如果可选区间改成 $20\leq p\leq45$，又会怎样？同一个函数的顶点仍在 $p=60$，但它已经在允许区间外。此时不能把 $60$ 元写成答案，而要比较端点：

所以在这个更窄的限制下，最高收入出现在 $p=45$ 元。这正是上一页“顶点和端点一起检查”在模型里的实际用处：函数没有变，问题允许我们做的选择变了。

抛体模型：一个高度可能对应两个时刻

面积和收入都来自两个量相乘；抛体运动则直接把二次关系写在高度公式里。用英尺和秒描述近地面的竖直运动时，忽略空气阻力的近似模型常写成

其中 $t$ 是抛出后的时间，单位为秒；$h(t)$ 是离地高度，单位为英尺；$v_0$ 是初始向上速度，单位为英尺/秒；$h_0$ 是初始高度，单位为英尺。$-16t^{}$ 反映重力使物体向下加速，因此图像开口向下。

例如，一颗球从离地 $48$ 英尺的看台边缘竖直抛出，初始向上速度为 $64$ 英尺/秒。模型为

先别把 $t$ 当成所有实数。记录从抛出时刻开始，所以 $t\lt0$ 本来就不属于这段运动；球落地以后，这个“离地高度”的简单模型也不应继续往后用。我们稍后会用落地时刻把它的定义域补完整。

最高点告诉我们什么

因为开口向下，顶点是最高点。顶点的横坐标为

把 $t=2$ 代回高度函数：

所以球在抛出后 $2$ 秒到达最高点，最高高度为 $112$ 英尺。这里“$2$”回答的是多久后，“$112$”回答的是多高；把顶点写出来后，仍要把两个坐标各自翻译成一句话。

落地时刻为什么只能保留一个根

球落地时高度为 $0$。令 $h(t)=0$：

两边除以 $-16$：

求根可得

近似地说，一个根约为 $-0.65$，另一个根约为 $4.65$。负时间落在抛出之前，不能解释成“球先落地了一次”；应当删去。正根表示球在抛出约 $4.65$ 秒后第一次回到地面。

于是这段模型合理的时间范围可以写成

这就是从问题本身得到定义域的过程，而不是事后随手加上的一条限制。

两个根不一定总有一个要删

现在换一个问题：球什么时候经过离地 $80$ 英尺的位置？令 $h(t)=80$：

两个时刻约为 $0.59$ 秒和 $3.41$ 秒，都在 $0\leq t\leq4.65$ 内。它们也都有清楚的物理含义：球向上经过 $80$ 英尺一次，越过最高点后向下又经过同一高度一次。

所以“二次方程有两个根时删掉一个”不是规则。正确的规则是：让每个根回到变量的定义、单位和允许范围里检查。负的高度、负的长度和发射前的负时间常会被排除；两个正的、处在运动区间内的时间却可能都必须保留。

把根、顶点和单位送回原问题

到这里，我们见过同一套代数工具在三种情境里的不同工作：面积题常用方程和正长度筛选，围栏与收入题常用顶点找最大值，抛体题既会用顶点找最高点，也会用零点找落地时刻。最后一步都一样：不要问“这个根漂不漂亮”，而要问“它作为这个变量，合不合理”。

下面这张表把几种常见的候选结果放在一起。它不替你思考，但能提醒你从哪一处开始检查：

可以把一次完整建模写成下面这条闭环：

这最后一步有时看起来不像“数学步骤”，却最能暴露答案是否真的理解了题意。若你算出 $18$，却没有说明它是米、秒还是元；若你写下两个根，却没有说明为什么都留或为什么舍去一个；那么代数计算虽已结束，建模其实还没完成。

练习：从条件出发，再回到条件

一块长方形地毯

一块长方形地毯的面积是 $84$ 平方米，长比宽多 $5$ 米。求它的长和宽。

借墙围出的最大面积

有 $80$ 米围栏，借一面直墙围一个长方形活动区，只围另外三边。设两条垂直墙的边长均为 $x$ 米。求最大面积以及对应的三条边长。

球落地前的最高点

一个球的高度由下式给出，$t$ 的单位是秒，$h(t)$ 的单位是英尺：

球何时到达最高点，最高高度是多少？它何时落地？

下一页：从“何时为零”走向“何时满足条件”

建模时，我们已经多次令函数值等于 $0$：收入为零、球落地、面积退化。下一页会把问题再推一步：如果不问“恰好为零”，而问“什么时候高度高于某条线”“什么时候收入不低于某个数”，答案通常不再是一个点，而是一段或几段输入区间。零点依然重要，只是它们会变成判断正负的分界点。

候选值是 $w=-12$ 或 $w=7$。宽必须为正，故 $w=7$ 米；长为 $7+5=12$ 米。核对：$7\times12=84$，符合面积条件。

两种边长都要为正，定义域是 $0\ltx\lt40$。函数开口向下，顶点横坐标为

它在定义域内。此时第三条边长为 $80-2\times20=40$ 米，最大面积为

平方米。两条垂直墙的边各为 $20$ 米，第三条边为 $40$ 米。

所以球在 $1.5$ 秒后达到最高 $100$ 英尺。落地时令 $h(t)=0$：

得到 $t=4$ 或 $t=-1$。抛出后的时间不能为负，因此球在 $4$ 秒后落地。