顶点式

学到这里，我们已经认识了最基本的抛物线 $y=x^2$，也知道参数 $a$ 会改变开口方向和宽窄。现在要看二次函数里最会“暴露关键信息”的形式：

$$y=a(x-h)^2+k$$

这个形式叫顶点式。它的好处很直接：顶点几乎写在式子里。

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顶点式先读顶点

如果函数写成

$$y=a(x-h)^2+k$$

那么它的顶点是：

$$(h,k)$$

对称轴是：

$$x=h$$

这里最容易出错的是 $h$ 的符号。式子里写的是 $x-h$，顶点横坐标是 $h$；如果式子是 $x+2$，它其实等于 $x-(-2)$，所以顶点横坐标是 $$。

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为什么 x - h 表示左右移动

先看最简单的变化：

$$y=(x-2)^2$$

当 $x=2$ 时，括号里的 $x-2$ 变成 0，所以整个平方项达到最小值 0。这说明顶点从原来的 $(0,0)$ 移到了 $(2,0)$。

换句话说，想让平方项归零，就要让 $x$ 等于 $h$。所以 $x-h$ 不是随便写的，它是在告诉我们：图像的中心位置搬到了 $x=h$。

左右平移的读法

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k 控制上下移动

再看 $k$。如果函数是

$$y=(x-2)^2+5$$

平方项的最低值仍然在 $x=2$ 处取得，但最低的输出不再是 0，而是 5。所以顶点是 $(2,5)$。

如果写成

$$y=(x-2)^2-3$$

顶点就变成 $(2,-3)$。这说明 $k$ 控制的是整条抛物线向上或向下移动。

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a 仍然决定开口和宽窄

顶点式虽然强调顶点，但 $a$ 并没有消失。它仍然决定图像开口向上还是向下，以及曲线宽窄。

如果 $a>0$，抛物线开口向上，顶点是最低点。如果 $a<0$，抛物线开口向下，顶点是最高点。$|a|$ 越大，图像越窄；$|a|$ 越小，图像越宽。

所以读顶点式时，可以按这个顺序：

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用顶点式快速画草图

以

$$y=-2(x+1)^2+3$$

为例。先读顶点：括号里是 $x+1$，所以 $h=-1$；外面是 $+3$，所以 $k=3$。顶点是 $(-1,3)$。再读 ，说明开口向下，并且比 更窄。

画草图时，不需要一开始就算很多点。先标出顶点和对称轴，再根据开口方向与宽窄补几个对称点，图像就会稳定很多。

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顶点式和对称轴

对称轴是穿过顶点的竖直直线。顶点横坐标是 $h$，所以对称轴就是：

$$x=h$$

这条线把抛物线分成左右两半。比如 $y=3(x-2)^2-1$ 的对称轴是 $x=2$。如果一个点 $(1,2)$ 在图像上，那么关于 对称的点横坐标会是 3，纵坐标仍然是 2。

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读式子练习

先不要展开，直接读下面三个函数的顶点、对称轴和开口方向。

1. $y=(x-5)^2-2$
2. $y=-3(x+2)^2+4$

显示答案

第一个函数的顶点是 $(5,-2)$，对称轴是 $x=5$，开口向上。第二个函数的顶点是 $(-2,4)$，对称轴是 $x=-2$，开口向下且比较窄。第三个函数的顶点是 $(1,0)$，对称轴是 ，开口向上且比 更宽。

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收束成一句话

顶点式把二次函数的“位置”和“形状”分开写清楚：$h$ 和 $k$ 决定顶点，$x=h$ 是对称轴，$a$ 决定开口方向和宽窄。读懂顶点式，就能在还没有展开计算前先看见抛物线的大致样子。