顶点式：把抛物线的住址写进式子里

上一节里，$a$ 只负责一件事：让 $y=x^2$ 的开口翻向上或向下，并改变它张开的宽窄。那时不管 $a$ 怎样变，顶点都钉在 $(0,0)$。可现实里的抛物线很少恰好把最低点或最高点放在原点；它常常还要向左、向右、向上、向下搬家。

顶点式把“搬到哪里”和“长成什么形状”分开写了出来：

$$y=a(x-h)^2+k$$

其中 $a\ne0$。读懂它以后，你不必先把式子展开，也能先把抛物线的中心、对称轴和大致形状画出来。更重要的是，括号里的 $x-h$ 虽然看着像减法，移动方向却常常和第一眼猜的相反；这一节会把这个反直觉的地方讲清楚。

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先把它当成一条搬家的基本抛物线

我们把 $y=x^2$ 当作父函数。它的顶点是 $(0,0)$，对称轴是 $x=0$，而且从顶点向左、向右走同样远，得到的高度相同：例如 $x=1$ 和 时，函数值都是 。

顶点式

$$y=a(x-h)^2+k$$

保留了这个“离中线同样远，高度就一样”的骨架，只给它加了三个旋钮：

• $h$ 管横向位置；
• $k$ 管纵向位置；
• $a$ 管开口方向和宽窄。

这三个参数各自有工作，别把它们混成一个模糊的“图像变了”。先暂时令 $a=1$、$k=0$，只看 $(x-h)^2$；接着再加 $k$；最后把 $$ 放回来。这样每一步改变什么就很清楚。

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为什么 $x-h$ 会向右移动

第一次看到

$$y=(x-3)^2$$

很容易说成“里面减了 $3$，所以向左移 $3$”。这个判断恰好反了。不要先背规则，直接问一个更踏实的问题：平方项在哪个 $x$ 值时最小？只有括号等于 $0$ 时，平方才等于 $0$，所以

$$x-3=0$$ $$x=3$$

最低点在 $(3,0)$，而父函数的最低点原来在 $(0,0)$；它显然是向右移动了 $3$ 个单位。

一般地，$x-h=0$ 时恰有 $x=h$。因此 $(x-h)^2$ 的“中心”落在 $x=h$： 就向右， 就向左。括号里的符号看起来反着读，不是记忆陷阱，而是因为这里改的是。要让原来在 才发生的事，在新式子里发生，就得把 补到 。

还有一个办法能把这件事看得更透。父函数上若有点 $(u,u^2)$，在新函数 $y=(x-h)^2$ 中取

$$x=u+h$$

那么 $x-h=u$，输出仍是 $u^2$。也就是说，父函数横坐标为 $u$ 的点，会搬到横坐标为 $u+h$ 的位置。$h=3$ 时，每一个点的横坐标都加 ，整条曲线自然向右平移 。

把括号改写成 $x-h$

读横向位置前，先把括号硬是整理成 $x-h$ 的样子。这个小动作能挡住绝大多数符号错误。

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$k$ 为什么按原方向上下移动

横向变化容易反着读，纵向变化则很直白。比较

$$y=(x-2)^2$$

和

$$y=(x-2)^2+5$$

在每一个相同的 $x$ 值下，第二个函数的输出都比第一个大 $5$。图像上的每个点都向上走 $5$，顶点便从 $(2,0)$ 走到 $(2,5)$。

因此 $k\gt0$ 时整体上移 $k$ 个单位；$k\lt0$ 时整体下移 $|k|$ 个单位。和 $h$ 不同，$k$ 写在函数外面，直接改的是输出值，所以符号不用反过来读。

先把平方项压到最小的 $0$，再加上 $k$，也能直接看见顶点的纵坐标为何是 $k$。当 $a\gt0$ 时，这个值是最低高度；当 $a\lt0$ 时，乘上负数后方向翻转，它会成为最高高度。我们目前先用这个结论定位顶点，最大值和最小值的完整应用会在后面专门讨论。

试着先预测再代值：把 $h$ 从 $-2$ 改到 $2$，顶点应该沿着一条水平线向右走；把 $k$ 从 $-1$ 改到 $3$，它应该沿着一条竖直线向上走。若算出的顶点和预测不同，优先检查自己有没有把 $x+h$ 当成 。

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$a$ 没有退休：它仍然管形状

顶点搬到 $(h,k)$ 以后，$a$ 的职责和上一节完全一样。

当 $a\gt0$ 时，抛物线开口向上；当 $a\lt0$ 时，抛物线开口向下。比较宽窄时看绝对值：$|a|\gt1$ 时，相同水平距离处的纵向变化更大，图像更窄；$0\lt|a|\lt1$ 时，图像更宽。

要注意比较的参照物：$a$ 改的是以顶点 $(h,k)$ 为中心的那条抛物线，而不是把顶点再挪走。例如

$$y=-2(x+1)^2+3$$

的 $a=-2$ 表示开口向下、比 $y=-(x+1)^2+3$ 窄；它的顶点仍由 $h=-1$、 决定，还是 。

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顶点和对称轴为什么可以直接读

现在把三件事合在一起。对于

$$y=a(x-h)^2+k$$

当 $x=h$ 时，平方项是 $0$，函数值就是 $k$。所以图像必过

$$(h,k)$$

这个点就是顶点。又因为 $h+d$ 和 $h-d$ 代进括号后，分别得到 $d$ 和 $-d$；平方以后都等于 $d^2$，所以两点的函数值相同：

$$a((h+d)-h)^2+k=a((h-d)-h)^2+k$$

这说明图像左右成对地站在直线 $x=h$ 两侧，对称轴就是

$$x=h$$

这里有一个很实用的检查：顶点上的 $x$ 值代回去，必须得到 $k$。如果你把 $y=-3(x+2)^2+4$ 的顶点写成 $(2,4)$，代入 会得到 ，马上就能发现符号读反了；真正的顶点应是 。

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例题：从式子一路画到草图

画出下面函数的可靠草图，并说明每个点从哪里来：

$$y=-\frac{1}{2}(x-3)^2+4$$

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已知顶点和另一个点，怎样定出 $a$

顶点给了我们 $h$ 和 $k$，却还没有把抛物线的宽窄与开口方向定死。确实，经过同一顶点 $(2,1)$ 的 $y=(x-2)^2+1$、 和 是三条不同的抛物线。还需要一个不在顶点上的点，才能把 定下来。

若顶点是 $(h,k)$，而图像还经过 $(x_0,y_0)$，并且 $x_0\ne h$，把这个点代入顶点式：

$$y_0=a(x_0-h)^2+k$$

移项后得到

$$a=\frac{y_0-k}{(x_0-h)^2}$$

分母是一个非零平方数，所以它一定为正。于是 $y_0-k$ 的正负也顺带告诉我们开口方向：非顶点点在顶点上方，$a\gt0$；在顶点下方，$a\lt0$。

来看一个完整例子：一条抛物线的顶点是 $(-2,1)$，并且经过 $(0,-7)$。求它的顶点式。

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画完后，用三件事核验草图

草图不要求把每个像素画准，但它不能只凭“像一条 U 形曲线”就结束。每次画完，都用下面三件事对账：

1. 顶点是否真在 $(h,k)$？直接验算 $f(h)=k$。
2. 虚线是否画在 $x=h$？它必须是竖直线，而不是 $y=h$ 这样的水平线。
3. 对称点是否同高？任选一个距离 ，检查 。特别方便的一对是 与 ，它们的纵坐标都等于 。

例如函数

$$y=3(x+1)^2-2$$

的顶点是 $(-1,-2)$，对称轴是 $x=-1$。取离对称轴各 $1$ 个单位的 $x=-2$ 和 $x=0$，两边的函数值都是

$$3\cdot1^2-2=1$$

所以 $( -2,1)$ 与 $(0,1)$ 必须落在同一条水平线上。$a=3\gt0$ 还要求曲线向上开口；如果你画成向下，或把这两个点画成不同高度，核验会立刻报错。

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读式子时最常见的三次误判

把括号里的加号照抄成正的 $h$

在 $y=2(x+4)^2-1$ 中，顶点不是 $(4,-1)$。因为 $x+4=x-(-4)$，所以 ，顶点应是 ，对称轴是 。

以为 $a$ 会改写顶点

不论 $a$ 是 $2$、$-3$ 还是 $\frac14$，只要 $h$、$k$ 不变， 时平方项仍为零，顶点就不动。 改的是从顶点离开以后升得多快或降得多快。

把对称轴写成 $y=h$

顶点式中 $h$ 是横坐标，因此对称轴必是 $x=h$。把它写成 $y=h$ 等于把一条竖直的折线轴画成水平线，整张图都会翻到错误的位置。

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自测：先读，再动笔

1. 对函数

$$y=\frac{1}{3}(x-5)^2-4$$

写出顶点、对称轴、开口方向，并说明它比 $y=(x-5)^2-4$ 更宽还是更窄。

显示答案

这里 $h=5$、$k=-4$、$a=\frac13$。顶点是 $$，对称轴是 ，开口向上。因为 ，它比 更宽。

2. 对函数

$$y=-4(x+2)^2+6$$

写出顶点和对称轴，并求对称轴左右各 $1$ 个单位处的两个点。

显示答案

$x+2=x-(-2)$，所以顶点是 $(-2,6)$，对称轴是 $x=-2$。左右各 $1$ 个单位的横坐标为 和 ，两处的纵坐标都是 ，所以两点是 和 。

3. 一条抛物线的顶点是 $(1,-2)$，并且经过 $(3,6)$。写出它的顶点式。

显示答案

先写成 $y=a(x-1)^2-2$。代入 $(3,6)$ 得到 $6=a(3-1)^2-2=4a-2$，所以 。函数是 。点在顶点上方，也和 、开口向上的结果相符。

4. 不展开，判断下面说法是否正确：函数 $y=-(x-3)^2+1$ 的图像经过 $(2,0)$ 和 $(4,0)$。

显示答案

正确。对称轴是 $x=3$，而 $2$ 和 $4$ 到它的距离都为 $1$。直接代入也有 $-(2-3)^2+1=0$，。这两个点同高，正是对称性的表现。

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把顶点式读成一张地图

$y=a(x-h)^2+k$ 的括号告诉你“中心的横坐标是 $h$”，外面的 $k$ 告诉你“中心的高度是 $k$”，所以顶点是 ，中线是 。接着再看 ，就能判断曲线从顶点向上还是向下，又是收得紧还是张得开。

下一节会把同一条抛物线换成常见的一般式 $y=ax^2+bx+c$。那种形式不能像顶点式这样一眼读出顶点，但它会把 $y$ 轴截距等信息摆到更显眼的位置；我们会学习怎样从另一种写法继续找回图像线索。