零点、方程的根与 x 轴交点

上一节里，我们把一般式配成了顶点式。现在看到 $a(x-h)^2+k$，已经能判断抛物线在哪儿转弯、最低点或最高点有多高。不过一条抛物线还有另一个特别值得追问的位置：它会不会碰到地面这条横线？在坐标平面里，这条“地面”就是 $x$ 轴。

这个问题表面上是在读图，实际上会把三个以前像是分开的词连到一起：函数的零点、方程的根、图像的 $x$ 轴交点。它们不是三套答案；当我们研究 $f(x)=0$ 时，它们描述的是同一批 $x$ 值，只是说话的角度不同。

从“纵坐标为 0”开始

设函数是

把某个数 $r$ 代进去，图像上对应的点就是 $(r,f(r))$。而所有落在 $x$ 轴上的点，纵坐标都等于 $0$。所以这两句话完全等价：

换句话说，$r$ 让函数值变成 $0$，恰好也让图像走到 $x$ 轴上。我们把这样的 $r$ 叫作函数的零点。当同一个式子被写成方程 $f(x)=0$ 时，解出的 $r$ 又叫这个方程的根。图像上的说法则是：$$ 是一个 轴交点。

这三个词最容易混在答案格式上。零点和根是数，例如 $-2$；交点是坐标，例如 $(-2,0)$。前者回答“哪个输入可以让输出归零”，后者回答“图上是哪一个点”。

例如，令

试一试 $x=4$：

所以 $4$ 是一个零点，也是方程 $x^2-x-12=0$ 的一个根；它在图像上对应 $(4,0)$。稍后我们会看到，另一个零点是 $-3$。它们都不是“函数等于 0 这句话”本身，而是使这句话成立的输入值。

为什么因式分解能找出零点

为了找零点，我们要解的是

如果二次式能因式分解，原来看起来纠缠在一起的三项就会变成两个线性因式的乘积。接下来依靠的不是口诀，而是一个很朴素的事实：两个实数相乘得到 $0$，至少有一个因数必须是 $0$。没有任何非零数乘起来能突然变成 $0$。

这就是零乘积性质：

回到刚才的函数。先把“找零点”翻译成方程，再分解：

这时不能把两个括号相乘后只让其中一个“看起来像 0”。应该分别检查两个让乘积归零的可能：

因此，零点是 $4$ 和 $-3$，两个 $x$ 轴交点是 $(4,0)$、$(-3,0)$。代回去核对会很踏实：

因式的写法还藏着一个反向关系：如果 $r$ 是多项式函数的零点，那么 $(x-r)$ 是它的因式；反过来，若 $(x-r)$ 是因式，代入 $x=r$ 时这个因式变成 $0$，于是整个函数值也变成 。这就是为什么“找零点”和“找线性因式”可以来回转换。

一道题的三种读法

把二次函数写成

后，下面三件事会同时发生：

这里的“同时”有一个方向要说准确。只谈实数时，图像和 $x$ 轴有没有交点，正好告诉我们有没有实数根；图像只展示实数横坐标，因此它不会把不落在实数坐标平面里的解画出来。本章先专注于图上看得见的实数零点。

例如：

它可以分解为

于是

第一个因式为 $0$ 时，$2x+1=0$，所以 $x=-\frac12$；第二个因式为 $$ 时，，所以 。这一次函数的零点是 和 ，方程的根也是这两个数，图像交点则是

别因为首项系数是 $2$ 就多加一个零点。系数 $2$ 只会把图像竖直拉伸；它从不等于 $0$，因此不会让乘积额外归零。核验也很快：

相切时：一个交点，还是两个根？

抛物线有时会穿过 $x$ 轴两次，有时完全碰不到它，还有一种很容易被误解的情况：它恰好碰到 $x$ 轴后掉头。先看

当 $x=-1$ 时，平方项为 $0$，所以

而只要 $x\ne -1$，$(x+1)^2$ 就是正数，乘上 $-2$ 后函数值为负数。也就是说，图像在 $(-1,0)$ 处碰到 轴，但在这个点左右两边都留在 轴下方；它没有穿过去。

从因式看，方程是

两个重复出现的因式都给出同一个解：

所以，按不同的零点来数，只有一个零点 $-1$；按因式重复的次数来数，它出现了两次，称为一个二重根，或说它的重数为 $2$。这两种说法并不冲突：坐标平面上只能有一个点 $(-1,0)$，但代数分解里确实有两个相同的线性因式。

对于二次函数，这个情形尤其清楚。若

其中 $a\ne 0$，唯一不同的零点是 $r$，交点是 $(r,0)$，而 $r$ 是二重根。因为平方项在 $r$ 左右都不改变正负，图像会在轴上“弹回去”，也就是与 $$ 轴相切。

用顶点先判断会有几个实数零点

第 6 节的配方法在这里又派上用场。顶点式

让我们先看转弯点 $(h,k)$ 与 $x$ 轴的高低关系，不必立刻把根算出来。

当 $a\gt0$ 时，抛物线开口向上，顶点是最低点：

• 若 $k\lt0$，最低点在 $x$ 轴下方，曲线往两边升高，会穿过 $x$ 轴两次，因此有两个不同的实数零点。
• 若 $k=0$，最低点正好在 $x$ 轴上，只在顶点相切，因此有一个不同的实数零点，它是二重根。
• 若 $k\gt0$，最低点已经在 轴上方，整条曲线都更高，没有实数零点。

开口向下时逻辑倒过来：顶点是最高点；顶点在轴上方、轴上、轴下，分别对应两个、一个、零个不同的实数零点。

例如，先只看这三个顶点式：

$p$ 的顶点在 $(1,-4)$，开口向上，所以先能判断它有两个交点；继续解 $(x-1)^2=4$，得到零点 $-1$ 和 $$。 的顶点正好在 ，所以零点 是二重根。 的顶点在 ，整条图像都高于 轴，因此没有实数零点。

这是一种“先判断，再计算”的习惯。图像或顶点能先告诉我们答案的结构：要找两个不同的数、一个重复的数，还是在实数范围里根本不用继续找。下一节会把这件事压缩成一个只看系数就能计算的量；现在先把图像上的理由看牢。

已知式子时，怎样选求根方法

零点问题的起点不会变：先令 $f(x)=0$。真正需要判断的是，题目已经把什么结构交到你手里。能很快看出两个线性因式时，用因式分解；平方结构已经完整时，用平方根；一般式既不容易分解也不方便配方时，用求根公式。求根公式最通用，但它不是每道题最快的路。

已有因式，或很容易分解

上一节的 $x^2-x-12$ 能写成 $(x-4)(x+3)$，所以分解能直接把两个可能的零点摊开。若题目已经给出

就更没有必要绕一圈展开。令 $F(x)=0$ 后，常数 $-5$ 不会为 0，因而只需令两个线性因式分别为 0：$x=-2$ 或 $x=6$。因式分解适合这种“零点已经藏在乘积里”的情形。

已有平方结构，就把平方单独留下

若函数写成顶点式，例如

它的平方结构已经摆在眼前，开平方比强行展开再分解更顺：

开平方时必须保留两种方向：

因此零点为 $7$ 和 $1$。它们以对称轴 $x=4$ 为中心，左右距离相同，这也和抛物线的图像吻合。若右边是 0，会得到一个重复根；若右边是负数，则没有实数零点。

不好分解时，用求根公式稳稳落地

例如

没有方便的整数因式。把 $H(x)=0$ 看成 $ax^2+bx+c=0$，读出 $a=2$、、，再使用

代入时连同 $b$ 的负号一起带进括号：

所以它有两个精确零点 $1-\frac{\sqrt{10}}{2}$ 和 $1+\frac{\sqrt{10}}{2}$，相应交点只需把纵坐标写为 0。需要作图时，它们约为 和 。下一页会专门用根号里的部分判断根的个数；这里先把它当成一个在分解不顺时仍然可靠的求解工具。

图像能给近似值，代数能给精确值

图像很适合快速判断零点的个数，也适合估计交点的位置。正确顺序是：先找到曲线与 $x$ 轴相遇的点，再沿着网格读横坐标。读到 $x=2.3$ 附近，就应写“零点约为 $2.3$”，而不是把它当成精确结果。

如果交点没有恰好落在整数刻度上，图像只给估计是正常的。比如一个交点看起来在 $1.6$ 与 $1.7$ 之间，我们能确定它不是 $1$ 或 $2$，却不能仅靠一张粗网格图断言它精确等于某个分数。此时可以回到方程，用因式分解、配方法或之后的公式求精确值。

例题：把图像、方程和因式接成一条线

已知

求 $m$ 的零点，写出对应的 $x$ 轴交点，并判断图像是穿过还是相切。

练习：先说清自己在找什么

做题前先圈出题目要的是“零点”“根”还是“交点”。如果问交点，最后别漏写纵坐标 $0$；如果问零点，就不要把坐标对当成唯一答案。

练习 1

求函数 $u(x)=x^2+2x-15$ 的零点，并写出 $x$ 轴交点。

练习 2

函数 $v(x)=3x^2-12x+12$ 有几个不同的实数零点？这个零点的重数是多少？图像与 $x$ 轴的关系是什么？

练习 3

不求根，判断 $w(x)=-(x-1)^2-4$ 有几个实数零点，并说明理由。

练习 4

一条二次函数的 $x$ 轴交点是 $(-4,0)$ 与 $(1,0)$，二次项系数为 $2$。写出这个函数的一个一般式，并验算两个交点。

练习 5

设 $z(x)=-5(x+2)(x-6)$。写出它的零点、交点，并说明这两个位置图像会穿过 $x$ 轴还是相切。

做最后核对时，先只看图像判断零点个数，再用方程验证自己的判断。

把今天的三个视角收在一起

对二次函数 $y=f(x)$ 而言，寻找零点就是解

解出的每个实数 $r$ 同时是方程的根，也是图像交点 $(r,0)$ 的横坐标。能分解时，$(x-r)$ 这个因式直接告诉我们零点；同一个因式重复两次时，图像在该处相切，只有一个不同的零点，却有一个二重根。

到这里，我们已经能靠图像或顶点判断“可能有两个、一个或没有实数零点”，也能在能分解的情况下找出它们。可如果题目只给一般式 $ax^2+bx+c$，又很难分解，能不能先不把根算完，就判断会有几个？下一节的判别式正是为这个问题准备的。

所以 $x=-5$ 或 $x=3$。零点是 $-5$、$3$，交点是 $(-5,0)$、$(3,0)$。核验：$u(-5)=25-10-15=0$，$u(3)=9+6-15=0$。

方程 $v(x)=0$ 等价于 $(x-2)^2=0$，所以唯一不同的实数零点是 $2$，对应交点 $(2,0)$。因式 $(x-2)$ 重复两次，$2$ 的重数为 $2$，是二重根。又因为 $3(x-2)^2\ge 0$，图像在该点与 $x$ 轴相切，不会穿过它。核验：$v(2)=12-24+12=0$。

函数值不可能等于 $0$。它的顶点是 $(1,-4)$，又开口向下，整条图像都在 $x$ 轴下方，因此没有实数零点，也没有 $x$ 轴交点。

展开得到

验算：$f(-4)=2\cdot0\cdot(-5)=0$，$f(1)=2\cdot5\cdot0=0$，因此交点确实是 $(-4,0)$ 和 $(1,0)$。