平方关系与抛物线

上一页刚把“每一步都变同样多”的直线节奏和非线性变化分开。平方关系正好给了我们一个最干净的反例：正方形边长为 $x$ 时，面积是 $x^2$。边长每多 1 个单位，面积会增加，可增加的量从来不是固定的一个数。

这一页不急着把“抛物线”当成需要背下来的图形名称。我们先真的算一张平方表，再把表里的数逐个放到坐标系里。你会看到：平方怎样让点向原点靠拢又离开，为什么左右会落在同一高度，以及为什么这些点最后必须连成一条平滑曲线，而不能连成折线。

把左右对称的两点和顶点放在同一张图里，平方关系的形状就不再只是一个需要背下来的结论。

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什么关系才叫二次函数

一个二次函数可以写成下面的形式：

$$f(x)=ax^2+bx+c$$

其中 $a$、$b$、$c$ 都是实数，并且 $a\ne0$。这条限制很关键：如果 $a=0$，平方项消失，式子最高只剩一次项或常数项，它就不再是二次函数了。

“二次”说的是变量的最高次数是 2，不是说函数值等于 2，也不是说图像只经过两个点。$f(x)=2x^2-3x+1$ 是二次函数，因为最高次项是 $2x^2$；$5x+1$ 的最高次数是 1，因此仍是一次函数。最前面的 还必须不是 0，否则平方项一消失，二次函数也就无从谈起。

这一节先把镜头对准最基础的例子：

$$q(x)=x^2$$

它的系数最简单，却已经带齐了二次函数图像的骨架。$q(x)$ 的图像叫作抛物线。以后式子里的数字和位置会变化，但我们认识图像时仍会反复回到这条基本抛物线。

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每一步的增量为什么会变

先让 $x$ 每次增加 1，看看 $q(x)=x^2$ 的输出怎样走。把负数也放进表里，不是为了凑数，而是为了马上看见左右两侧的关系：

这张表和一次函数的表很不一样。一次函数的相邻变化量会一直相同；这里却从 $-5$、$-3$、$-1$ 变到 $+1$、$+3$、$+5$。从左向右靠近 0 时，输出在下降；跨过 0 后，输出又上升，并且越走越快。图像会拐弯，根源就在这儿：横坐标每走相同的一步，纵坐标并没有跟着走相同的量。

这不是这几行数碰巧排得好看。把任意一个输入记作 $x$，再把它往右挪 1 个单位，平方值的变化是：

$$q(x+1)-q(x)=(x+1)^2-x^2=2x+1$$

右边的 $2x+1$ 会随着 $x$ 改变。再往右走一个单位，这个表达式本身会多出 2。于是平方表的第一层差值不恒定，但差值的差值恒为 2。对于输入间隔相同的数表，这是二次关系很有辨识度的线索：第一层不平，第二层稳定。

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从几个取样点，到一条平滑曲线

把表中的有序对 $(-3,9)$、$(-2,4)$、$(-1,1)$、$(0,0)$、$(1,1)$、、 标在坐标系里，点不会排成直线。它们先向下靠近原点，再从原点向上离开，整体像一个向上张开的 U。

但画图时千万别把这个 U 理解成几段直线的拼接。表格列出的只是整数输入；函数接受的是所有实数。$x=1.5$ 时，$q(x)=2.25$；$x=1.51$ 时，$q(x)=2.2801$。从 1 到 2 的每一个小数都有自己的点，而且这些点没有空档。我们用平滑曲线，是为了把无数未列出的输入也画进去；取样点只是帮我们找到曲线，不是曲线仅有的部分。

你可以先在坐标纸上点出几组整数坐标，再补看它们之间的点。取点是在帮助我们发现形状；函数图像本身记录的是所有允许的输入，不是只记录表格里那几列数。

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左右为什么会站在同一高度

现在回头看表格中最显眼的规律：$-3$ 与 $3$ 对应 9，$-2$ 与 $2$ 对应 4，$-1$ 与 $1$ 对应 1。平方会把正负号“抹掉”：一个数和它的相反数相乘时，结果相同。这正是下面这条性质在说的事：

$$(-t)^2=t^2$$

因此，只要 $t$ 是一个数，点 $(-t,t^2)$ 和 $(t,t^2)$ 就有相同的纵坐标。它们在同一条水平线上，离中间的竖直线距离一样，只是站在左右两边。对称轴并不是看着图“猜”出来的；它是平方对相反数给出同一结果的直接后果。

这条把左右两半分开的竖直线是 $x=0$，也就是 $y$ 轴。我们称它为 $y=x^2$ 的对称轴。如果把图像沿着 $y$ 轴对折，左边的每个点都会和右边一个同高、等距离的点重合。

以后抛物线可以向左、右、上、下移动，对称轴也会跟着换位置；但它仍是一条穿过顶点的竖直线。现在先把最基本的情形记牢：$y=x^2$ 的对称轴是 $x=0$，也就是 $y$ 轴。

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顶点是变化方向调头的地方

当 $x=0$ 时，$q(0)=0$。任何实数的平方都不小于 0，并且只有 0 的平方等于 0，所以 0 是 $q(x)=x^2$ 能取得的最小输出。图像最低的点是：

$$(0,0)$$

这个点叫作顶点。从左往右读图，函数值先从 9、4、1 降到 0，再从 0 升到 1、4、9；顶点正好是“下降变成上升”的调头处。前一节谈变化率时已经见过：只要变化节奏在变，图像就不会是一条直线。这里的特殊之处是，两侧的变化都围着 $x=0$ 成镜像，所以调头点恰好也落在对称轴上。因为离开顶点后两边都向上走，我们说这条抛物线开口向上。

顶点和最小值不是同一个词，但它们关系很紧：顶点是坐标平面中的点 $(0,0)$，最小值是这个点的纵坐标 $0$。当我们处理实际问题时，这个区别很有用。题目若问“最低高度是多少”，答案是 0；若问“在什么时候或什么位置最低”，还需要看顶点的横坐标。

不妨自己任选一对关于 $y$ 轴对称的点来核对：它们向顶点靠近时高度下降，离开顶点时高度上升，而顶点始终是最低处。

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截距在告诉我们什么

截距是在问图像和坐标轴在哪里相遇。它不是另加的一份术语，而是读图时最方便的两道问题：先站到某一条坐标轴上，再看函数条件会变成什么。

• $y$ 轴截距：图像和 $y$ 轴相遇的位置。$y$ 轴上的点都满足 $x=0$，所以把 $x=0$ 代入函数，就能找到它。
• $x$ 轴截距：图像和 轴相遇的位置。 轴上的点都满足 ，所以要寻找哪些输入会让函数输出 0。

对 $q(x)=x^2$ 来说，$q(0)=0$。因此它的 $y$ 轴截距是 $(0,0)$；解 也得到 ，所以它的 轴截距同样是 。同一个坐标恰好兼任两种截距，不表示这两个问题相同：一个是在问“输入为 0 时输出是多少”，另一个是在问“输出为 0 时输入是什么”。

为了把这两个问题分开看，再试一个新的函数：

$$r(x)=x^2-4$$

这个例子还有一个顶点 $(0,-4)$，对称轴仍是 $x=0$。这里不需要急着研究它为什么向下移了 4 个单位；眼下要读出的信息是：$y$ 轴截距告诉我们输入为 0 时的值，$x$ 轴截距告诉我们函数值变成 0 的位置。

一条抛物线的 $x$ 轴截距可能有两个、一个，也可能没有。$y=x^2-4$ 有两个；$y=x^2$ 在顶点处碰到 $x$ 轴，只有一个； 的输出永远至少是 1，所以没有 轴截距。后面我们会专门学习怎样从式子系统地求这些位置。

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画抛物线时，先找可靠的点

我们不需要凭感觉徒手画出一条弧线。一个更稳妥的顺序是：先从表达式算出可信的点，再用对称关系补点，最后画一条平滑曲线通过这些点。这样画出的不是“像不像 U”的速写，而是能回到表达式核对的函数图像。

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现实里的弧线，为什么常会想到它

在合适的条件下，向上抛出的物体的高度会经历“上升、到最高处、再下降”，可以用二次函数来近似描述。这个说法比“看上去像一条弧线”严格得多：只有变量之间确实适合二次模型时，顶点才能解释为最高或最低位置，$x$ 轴截距才能解释为高度为 0 的时刻或位置。

所以，读到一张弯曲图像时，先别立刻宣布“它是抛物线”。先检查它对应的表达式、表格或建模条件；图像的外观只能给出猜想，关系本身才能给出结论。

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检查自己读图的能力

自测时，不要只凭“它像一个 U”作答；试着把每一句话还原成数表、对称轴、顶点或截距。

自测一下

1. 为什么 $(-5,25)$ 和 $(5,25)$ 都在 $y=x^2$ 上？
2. 对 $r(x)=x^2-4$， 轴截距和两个 轴截距分别是什么？

显示答案

第 1 题中，$(-5)^2=25$，$5^2=25$，所以两个点都满足 $y=x^2$；它们也关于对称轴 成对出现。第 2 题中，，所以 轴截距是 ；令 ，得到 ，所以 轴截距是 和 。第 3 题中， 不会小于 0，故 ，输出不可能为 0。第 4 题中，表中的点只是整数输入的取样， 与 之间仍有无数输入；函数在它们之间的点也要全部被图像包含，因此应该画平滑曲线。

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从基本平方关系走向参数 a

这一节固定研究的是 $y=x^2$。现在我们看清了几个彼此连在一起的事实：增量不恒定，所以点不会排成直线；平方不区分正负，所以相反数输入落在同一高度；所有平方不小于 0，所以最低的点是顶点；截距则把图像和两条坐标轴的相遇位置说清楚。

现在只改一个地方：把每个平方值乘上一个不为 0 的数。

$$y=ax^2$$

下一页会把 $a$ 当作一个可调的旋钮：仍从这张基本图像出发，再观察它如何改变开口方向和曲线的张开程度。