配方法：从一般式到顶点式
上一节里，我们已经能从一般式
y=ax2+bx+c
读出开口方向、y 轴截距，还能用 −2ab 找到对称轴。可如果题目问“最低点到底在哪儿”，一般式仍然有点像把关键信息藏在抽屉里：你知道它在，却还得算一次才拿得到。
顶点式会把这个信息直接放在眼前：
y=a(x−h)2+k
这一节要做的事，就是把一般式整理成这种形状。关键不在于记住一串步骤，而在于先看懂：一个平方展开后本来就有固定的三项；我们缺的那一项可以补上，但补了就必须把它还回去。只要这笔账没有算错，函数的每一个值都不会变，顶点却会清清楚楚地露出来。
补上一个数的同时减去同一个数，函数没有被偷偷改掉；我们只是把原来的结构重新看清楚。
先看完全平方：我们究竟要凑什么
先别急着处理长式子。把一个括号平方展开：
(x+p)2=x2+2px+p2
这里有一个不能跳过的事实：中间项的系数是 2p，最后一项一定是 p2。例如，若想让中间项出现 6x，就要让 2p=6，所以 p=3；相应的常数项不由我们随便决定，它必须是 ：
(x+3)2=x2+6x+9
这就是“完全平方”的模子。看见 x2+6x 时，我们并不是凭感觉把它写成 (x+3)2；准确地说，它离 (x+3 只差一个 。
平方结构对抛物线特别有用。因为无论 x 取什么实数，(x+p)2 都不会小于 0，而且只在 x=−p 时等于 0。所以如果函数写成
y=(x+p)2+q
它的最小值就是 q，发生在 x=−p。换成顶点式的写法，(x+p)2 也就是 (x−，顶点自然是 。
配方法的目标不是把式子写得花哨，而是把“某个平方什么时候最小”这件事放到明面上。只要平方项前的系数和位置没有被改错，图像本身就没有被换掉。
先处理二次项系数为 1 的情形
从一个完整例子开始：
f(x)=x2+6x−11
我们已经知道 x2+6x 要补 9。问题是，原函数里没有这个 9。如果只加上它，函数的每一个输出都会增加 9，那就已经是另一条抛物线了。解决办法很朴素：加 9 的同时减 9。因为 ，总值一点也没有变。
先把目标对准二次项和一次项。中间项 6x 要写成 2⋅3⋅x，因此完全平方括号里应当是 x+3，缺少的常数是 。
最后一行也可以写成
f(x)=(x−(−3))2−20
所以顶点是 (−3,−20)，对称轴是 x=−3。由于平方项前的系数是正数，抛物线向上开口；当 x=−3 时，平方项恰好为 0，−20 就是最低的函数值。
我们可以做两种很快的核对。把顶点横坐标代回原式，得到
f(−3)=(−3)2+6(−3)−11=−20
再把顶点式展开，也会回到 x2+6x−11。甚至只取 x=0 检查也能发现两边相同：原式给出 −11，顶点式给出 3。这些检查不是多余的仪式；它们是在确认我们整理的是同一个函数。
对于 x2+bx+c，先取 b 的一半，再平方，得到需要补的数。补进同侧后要立刻减去同一个数；这样“造”出了平方，函数值却保持原样。
为什么只补不还，会悄悄换掉一条抛物线
最常见的错误，恰好能说明“减回去”为什么不能省。有人可能写出：
x2+6x−11=(x+3)2−11
右边展开后其实是
(x+3)2−11=x2+6x−2
它比左边大了 9。图像的形状虽然一样，但整条抛物线向上挪了 9 个单位；原来的顶点是 (−3,−20)，这个错误式子的顶点却变成 (−3,−11)。这不是小算错，而是换了一个函数。
正确的等值关系是：
x2+6x−11=x2+6x+9−
“补”只是为了让前三项符合完全平方的模子，并不表示原式凭空多出一个数。处理函数时，补多少就要在同一侧减多少；少写这一步，顶点高度就会错。
二次项系数不是 1 时，先把它留在括号外
现在看一个看起来更容易让人急躁的式子：
g(x)=−3x2+12x+1
这次不能直接把 12 除以 2 后就往原式里补 36。原因在于，−3x2 和 12x 的共同系数还没有被处理；我们要先把 −3 从这两项中提出，让括号里的 系数回到 。配方真正发生在括号里面。
把 −3 从二次项和一次项中提出，常数 1 留在外面。
g(x)=−3(x现在顶点是 (2,13)，而且 −3<0，所以抛物线向下开口，顶点是最高点。展开最后的顶点式可以检查：
−3(x−2)2+13=−3x2+12x−
这也解释了一个容易漏掉的细节：括号内减去的 4 还没有完成它的工作，必须经过外面的 −3，才能和原来的常数项合并。
当 a=1 时，不要直接把原来 bx 的系数取一半。先从 ax2+ 中提出 ，再对括号里的一次项系数取一半；最后一定要把 分配回补偿项。
一般式怎样一步步变成顶点式
上面的例子可以压缩成一条通用的推理，但先把每一步的来历看清楚。对于 a=0 的一般式：
f(x)=ax2+bx+c
先把 a 从前两项提出：
f(x)=a(x2+abx)+c
此时，括号内一次项的系数是 ab，所以要取它的一半：
21⋅ab=2a
补的数就是 (2ab)2。把补偿明确写出来：
f(x)=a[x2+abx
前三项合成平方，外面的 a 再乘到被减去的平方数：
f(x)=a(x+2ab)2+
注意括号里的加号不意味着顶点横坐标是正的。它应当和 x−h 对照：
x+2ab=x−(−2ab
因此，顶点横坐标是
h=−2ab
顶点纵坐标是
k=c−4ab2
上一节的对称轴公式并不是额外塞进来的一条规矩：它正是配出平方以后，使平方项等于 0 的那个 x 值。实际计算时，你既可以配方读出顶点，也可以先算 h=−2ab，再代回原函数求 k；两种做法应当得到同一个点。
配好之后，图像信息会一下子集中起来
再把这条思路用于一个开口向上的例子：
r(x)=2x2−12x+5
先提出前两项的公因数 2，让括号内的二次项系数变成 1。
r(x)=2(x2顶点立刻是 (3,−13)，对称轴是 x=3，开口向上。因为 2(x−3)2≥0，所以 ；这里的 正是最低值。
再和上一节的读法对账：原式中 a=2、b=−12，于是
−2ab=−2⋅2−12=3
把 x=3 代回原式，也确实得到
r(3)=2⋅32−12⋅3+5=−13
同一招放进方程时，补偿要跨过等号
前面整理的是函数式，所以我们把一个数加上再减去，都写在同一侧。若目标变成解二次方程，等号两边必须仍然相等；这时的“补偿”做法变成：在两边加上同一个数。
例如，解：
x2+4x−1=0
先把常数项移到右侧，让左边只留下准备配方的两项。
x2+4x=1一次项系数 的一半是 ，平方是 。为了不破坏等式，在左右两边同时加 。
同样是“造一个完全平方”，函数和方程的写法却不能混用：函数式用同侧的加减抵消，方程式用等号两侧的同加保持平衡。下一节要找的零点，正是把一个二次函数设为 0 后得到的方程解；到那时，这套配方过程也能直接派上用场。
用展开和代入，给自己的答案做一次体检
配方结束后，最可靠的核对有两个。第一种是展开顶点式，看它能否回到原来的一般式。第二种是把顶点横坐标代回原函数，看结果是否等于顶点纵坐标。
还有一个能快速查出横坐标符号的方法。把顶点式展开：
a(x−h)2+k=ax2−2ahx+a
一般式的一次项系数是 b，因此必须有
b=−2ah
只要 a=0，就得到
h=−2ab
这次 2a 和负号都不是背出来的，而是展开后逐项比较出来的。比如刚才的 r(x)=2(x−3)2−13，把 x=0 代入顶点式得到 ，刚好等于一般式的常数项；再展开也会得到 。两道检查都通过，说明顶点式没有在中途走样。
写完顶点式后，至少选一种核对：展开比较系数，或代入顶点横坐标比较函数值。若两种都能对上，符号、补偿项和外面的 a 通常都已经站稳了。
练习：把“凑”写成一笔清楚的账
先自己写出每一行变形。不要跳过“加了什么、又减了什么”，因为那一行正是等值的保证。
练习 1
把函数改写成顶点式，并写出顶点和对称轴：
y=x2−14x+8
一次项系数 −14 的一半是 −7，平方为 49。因此：
y=x2−14x+49练习 2
把函数改写成顶点式，并判断顶点是最高点还是最低点：
y=−2x2−4x+3
先提出 −2：
y=−2(x2+2x)+3括号内 2 的一半是 ，所以补 再减 ：
练习 3
下列哪一个是函数 y=x2−2x+6 的顶点式？说明另两个常见写法为什么不对。
A. y=(x−1)2+6
B. y=(x−1)2+5
C. y=(x+1)2+5
正确的是 B。因为 −2 的一半是 −1，平方为 1：
y=x2−2x练习 4
用配方法解方程：
x2+8x+3=0
先把常数项移到右边：
x2+8x=−38 的一半是 4，平方为 16。等号两边同时加 16：
练习 5
不用完整展开，先用上一节的对称轴公式预测顶点横坐标，再配方求出完整顶点式：
y=5x2+20x−7
先算横坐标：
x=−2⋅520=−2再配方：
y=5(x
把两种写法接起来
一般式把 a、b、c 摆出来，方便我们读开口、截距和系数；顶点式把转弯的位置摆出来，方便我们读最高点、最低点和对称轴。配方法就是两者之间的翻译：先识别完全平方缺的那一块，再用严格的补偿守住等值。
当你看到 a(x−h)2+k 时，括号里的平方告诉你横坐标 h，外面的 k 告诉你顶点高度；当你回看 ax 时， 也不再是一条孤零零的公式。下一节会把同一条抛物线放到 轴上看：令函数值为 ，顶点式和配方法会帮助我们理解哪些输入会让图像恰好碰到或穿过这条轴。