角与弧度：从旋转开始 | 三角函数与三角学 | 自在学

角与弧度：从旋转开始

你以前见过的角，常常藏在三角形里：两条边夹住一个角，然后量出它是多少度。从这一章开始，角还有另一种身份：它可以表示一次旋转。

把一条射线绕着端点转动，从出发方向转到结束方向，这段转动就是一个角。这样看角以后， $30^\circ$ 、 $-90^\circ$ 、 $450^\circ$ 都能放进同一套语言里。角可以顺时针，也可以逆时针；可以不到一圈，也可以转过好几圈。

这一章先建立角的共同坐标语言，再用弧长解释弧度。后面学习单位圆、三角函数图像和周期模型时，所有角都会沿着这条线继续展开。

把角放进坐标系

一个角由两条射线和一个旋转方向组成。出发的射线叫始边，结束的射线叫终边。如果只看“夹开的形状”， $60^\circ$ 和 $-60^\circ$ 很容易被画成差不多的样子；但如果看旋转过程，它们的方向完全不同。

为了让所有人说的是同一个角，我们通常把角画在 标准位置：

顶点放在坐标原点；
始边放在正 $x$ 轴上；
终边由始边旋转得到。

坐标系中角的标准位置示意图，始边在正 x 轴上，终边位于第一象限，弧形箭头标出 θ。

图：标准位置把角的出发方向固定在正 x 轴上，于是不同角可以放在同一张坐标图里比较。

这样的约定看起来很小，却很有用。它让“角在哪里”变成一个坐标问题：只要知道终边落在哪个方向，就知道这个角在一圈里的位置。

角的大小描述的是旋转量，不是射线画得多长。把终边延长一倍，角没有变；把整个图放大，角也没有变。

轴上角

当终边正好落在坐标轴上时，这类角叫轴上角，例如 $0^\circ$ 、 $90^\circ$ 、 $180^\circ$ 、 $270^\circ$ 和。它们经常出现在单位圆和三角函数图像的关键点中。

注意 $0^\circ$ 和 $360^\circ$ 的终边相同，但旋转过程不同： $0^\circ$ 没有转动， $360^\circ$ 转了一整圈。

正角、负角与超过一圈

在标准位置中，我们约定：

逆时针旋转得到正角；
顺时针旋转得到负角。

例如， $120^\circ$ 表示从正 $x$ 轴逆时针转到第二象限； $-90^\circ$ 表示从正 $x$ 轴顺时针转到负 $y$ 轴。

左右并排的坐标圆盘，对比从始边出发的逆时针正角旋转与顺时针负角旋转。

图：正负号记录旋转方向，而不是记录角“好不好”或“大小是不是负数”。

角也可以超过一圈。 $450^\circ$ 表示先逆时针转一整圈，再多转 $90^\circ$ ； $-540^\circ$ 表示顺时针转一圈半。终边可能落在熟悉的位置，但旋转过程包含了更多信息。

不要把“负角”理解成没有大小。 $-270^\circ$ 仍然表示一次真实旋转，只是方向是顺时针。以后在圆周运动、相位和周期模型中，方向和圈数都会有意义。

下面的旋转盘可以把角从 $-720^\circ$ 拖到 $720^\circ$ ，观察终边、弧度和同终边角怎样同时变化。

同终边角

两个标准位置中的角，如果终边相同，就叫 同终边角。它们不一定转过同样的路程，但最后停在同一条射线上。

比如 $45^\circ$ 、 $405^\circ$ 和 $-315^\circ$ 是同终边角。 $405^\circ$ 比多转一圈，从反方向转到同一条终边。

标准位置坐标圆盘中，45°、405°、-315° 三条不同颜色弧形轨迹到达第一象限同一条终边。

图：同终边角的终边相同，但旋转方向和圈数可以不同。

如果一个角是 $\alpha$ ，那么它的所有同终边角可以写成

\alpha+360^\circ k

其中 $k$ 是整数。这里的 $k$ 可以是 $0$ 、 $1$ 、 $-1$ 、 $2$ ，表示加上或减去若干整圈。

用弧度表示时，一整圈是 $2\pi$ ，所以同终边角写成

\theta+2\pi k

其中 $k$ 是整数。

例题：把角化到一圈内

求与 $-220^\circ$ 同终边、并且位于 $0^\circ$ 到 $360^\circ$ 之间的角。

先判断这个角是负角，终边由顺时针旋转得到。要找到同终边的正角，可以加上一整圈 $360^\circ$ 。

计算 $-220^\circ+360^\circ=140^\circ$ 。这个结果已经落在到之间。

再看一个弧度例子：求与 $\frac{17\pi}{6}$ 同终边、并且位于 $0$ 到 $2\pi$ 之间的角。

因为 $2\pi=\frac{12\pi}{6}$ ，所以

\frac{17\pi}{6}-2\pi=\frac{17\pi}{6}-\frac{12\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}

因此 $\frac{17\pi}{6}$ 与 $\frac{5\pi}{6}$ 同终边。

弧度：用半径量弧长

度数制把一圈分成 $360$ 份。这个分法很方便，也很熟悉，但它不是唯一的分法。三角函数和圆周运动中，更自然的单位是弧度。

先想象一个圆。把一段和半径一样长的绳子贴在圆周上，这段弧对应的圆心角就是 $1$ 弧度。

用弧长等于半径定义 1 弧度的扇形示意图，标出半径 r、弧长 r 和 1 弧度。

图：当弧长等于半径时，对应的圆心角定义为 1 弧度。

用公式表达，就是

\theta=\frac{s}{r}

其中 $s$ 是弧长， $r$ 是半径， $\theta$ 是弧度数。因为弧长和半径都是长度，单位会相除，所以弧度本质上是一个长度比。实际书写中，我们仍然常用“rad”或“弧度”提醒这是角的量。

在单位圆上，半径 $r=1$ 。这时 $\theta=\frac{s}{1}=s$ ，所以弧度数就等于对应弧长。后面用单位圆定义三角函数时，这个事实非常关键。

为什么一整圈是 2π 弧度

一整圈的弧长就是圆周长 $2\pi r$ 。把它除以半径 $r$ ，得到

\theta=\frac{2\pi r}{r}=2\pi

所以一个完整圆周是 $2\pi$ 弧度。

完整圆周被分成约 6.28 个半径长度的弧段，说明一圈等于 2π 弧度。

图：圆周长是半径的 $2\pi$ 倍，所以完整旋转对应 $2\pi$ 弧度。

于是有一组基本换算：

360^\circ=2\pi \text{ rad}

180^\circ=\pi \text{ rad}

从这里可以得到两条换算规则：

\text{角的弧度数}=\text{角的度数}\times \frac{\pi}{180^\circ}

\text{角的度数}=\text{角的弧度数}\times \frac{180^\circ}{\pi}

常见角可以先记住半圈和四分之一圈，再往下分：

旋转量	度数	弧度
一整圈	$360^\circ$	$2\pi$
半圈	$180^\circ$	$\pi$
四分之一圈	$90^\circ$

例题：度数和弧度互化

把 $-210^\circ$ 化成弧度。

从度数转弧度，乘以 $\frac{\pi}{180^\circ}$ 。

把 $\frac{5\pi}{3}$ 化成度数：

\frac{5\pi}{3}\times \frac{180^\circ}{\pi}=300^\circ

弧长公式

弧度的定义是

\theta=\frac{s}{r}

把这个式子两边乘以 $r$ ，得到弧长公式：

s=r\theta

这里的 $\theta$ 必须用弧度。如果题目给的是度数，需要先转成弧度。

半径为 r、圆心角为 θ 的扇形示意图，标出弧长 s，并列出弧长公式和扇形面积公式，说明 θ 用弧度。

图：弧长由半径和弧度决定，扇形面积由同一个圆心角对应的区域决定。

例题：求圆弧长度

半径为 $12\text{ cm}$ 的圆中，一个圆心角为 $30^\circ$ 。求它所对的弧长。

先把角转成弧度。因为 $30^\circ=\frac{\pi}{6}$ ，所以公式中的 $\theta$ 应该取。

这个公式也能解释圆周运动。车轮转过的角越大，轮缘上的点走过的弧长越长；半径越大，同样的转角对应的弧长也越长。

扇形面积公式

扇形面积也可以从“一整圈中的比例”得到。一整圈面积是 $\pi r^2$ ，一整圈角度是 $2\pi$ 弧度。如果扇形圆心角是 $\theta$ ，它占整圆的比例是 $\frac{\theta}{2\pi}$ 。

所以

A=\frac{\theta}{2\pi}\cdot \pi r^2

化简得

A=\frac{1}{2}r^2\theta

这里的 $\theta$ 也必须用弧度。

例题：求扇形面积

一个扇形半径为 $8\text{ m}$ ，圆心角为 $\frac{3\pi}{4}$ 。求扇形面积。

题目已经给出弧度，所以可以直接使用 $A=\frac{1}{2}r^2\theta$ 。

使用 $s=r\theta$ 和 $A=\frac{1}{2}r^2\theta$ 时，最常见的错误是直接把度数代入。比如不能直接当作使用，必须先化成。

下面的实验室可以同时改变半径和圆心角，观察弧长、扇形面积与弧度的关系。

一套处理旋转角的方法

遇到任意角时，可以按下面的顺序处理。

先判断它是在标准位置中讨论，还是在某个实际情境中讨论。标准位置里，始边默认是正 $x$ 轴；实际情境里，要先找清楚出发方向。

再看符号。正角按逆时针转，负角按顺时针转；超过一圈时，不要急着丢掉整圈，因为题目可能关心总转动量。

如果只需要终边位置，就加减 $360^\circ$ 或，把角化到一圈内。

这套方法会在后面的三角函数学习中反复出现。单位圆上的角、正弦余弦的周期、同一个函数值对应多个角，都离不开“旋转”和“同终边”的语言。

练习

基础判断

判断下列说法是否正确：标准位置中的角，始边一定在正 $x$ 轴上。

判断下列说法是否正确： $-90^\circ$ 和 $270^\circ$ 是同终边角，所以它们表示完全相同的旋转过程。

同终边角

求与 $765^\circ$ 同终边、并且位于 $0^\circ$ 到 $360^\circ$ 之间的角。

求与 $-\frac{11\pi}{6}$ 同终边、并且位于 $0$ 到 $2\pi$ 之间的角。

度数与弧度

把 $135^\circ$ 化成弧度。

把 $-\frac{2\pi}{3}$ 化成度数。

弧长与面积

半径为 $7\text{ m}$ 的圆中，圆心角为 $85^\circ$ 。求对应弧长。

一个扇形的直径为 $32\text{ ft}$ ，圆心角为 $\frac{\pi}{4}$ 。求扇形面积。

一个车轮半径为 $0.35\text{ m}$ ，车轮转过 $5$ 弧度。轮缘上一点大约走过多长的弧？

如果一个扇形的半径扩大为原来的 $2$ 倍，圆心角不变，扇形面积会变成原来的多少倍？