反三角函数：从比值反求角

前面几章里，我们一直是从角出发：给定一个角 $\theta$，在单位圆上读出 $\sin \theta$、$\cos \theta$ 或 $\tan \theta$。这一章把方向反过来：如果只知道一个比值，能不能把角找回来？

这个问题比看起来更微妙。因为三角函数会重复，同一个函数值常常对应不止一个角。反三角函数要成为真正的函数，必须先约定“只返回哪一个角”。这个被约定出来的角，叫 主值角。

学会反三角函数，不只是会按计算器上的反正弦、反余弦、反正切键。更重要的是看懂计算器结果的含义：它给的是主值，不一定是题目里的全部角。

为什么函数值不能唯一确定角

先看一个最直接的例子。在单位圆上，$\sin \theta$ 是点的纵坐标。如果一条水平线 $y=a$ 穿过单位圆，通常会截出两个点。它们的纵坐标相同，所以正弦值相同，但对应的角不同。

图：知道 $\sin x=a$ 时，单位圆上可能有两个方向都满足这个条件。

例如，

同时也有

如果继续加上整圈，还会得到更多角：

所以，“$\sin x=\frac12$”不是只问一个角，而是在问所有让纵坐标等于 $\frac12$ 的角。

这个问题不只发生在正弦上。余弦看横坐标，同一条竖线也可能截出两个点；正切有周期 $\pi$，斜率相同的终边每隔 $\pi$ 就重复一次。

反函数需要一一对应

一个函数想拥有普通意义下的反函数，原函数至少要在讨论的范围内一一对应。也就是说，同一个输出不能来自两个不同输入。

从图像上看，就是任何水平线最多只能与图像相交一次。正弦、余弦、正切在完整定义域上都做不到这一点。它们会周期重复，所以必须先截取一段不会重复的定义域。

反函数要先限制定义域

定义反三角函数时，我们不是把整个三角函数强行倒过来，而是先选出一段合适的角区间，让原函数在这段区间上一一对应。反函数的输出就被限制在这段区间内。

这段被选中的输出区间，就是反三角函数的 主值范围。

图：把正弦限制在 $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ 后，每个允许的正弦值只对应一个角。

三个最常用的反三角函数约定如下：

图：反三角函数先检查输入是否允许，再返回规定主值区间里的角。

下面这个探究器可以切换反正弦、反余弦、反正切，观察输入值和输出主值角的关系。

为什么选择这些区间

这些主值区间不是唯一可能的选择，但它们有几个共同好处。

正弦和正切的主值区间都围绕 $0$ 展开，和直角三角形中的锐角结果自然衔接。余弦的主值区间选为 $[0,\pi]$，因为在这段区间上余弦从 $1$ 单调降到 $-1$，正好覆盖全部可能输入。

选择本身可以约定，但一旦约定好，就必须严格使用。计算器、图像软件和多数教材默认返回这些主值范围内的角。

三个主值区间分别在找什么

反三角函数都在回答“哪个角的某个三角函数值等于给定数”。不同的是，它们选择角的方式不一样。

反正弦

如果

那么它表示：

并且

也就是说，反正弦返回的是第四象限到第一象限之间的角，包括上下端点。这个区间里的余弦非负，正弦从 $-1$ 走到 $1$，不会重复。

例如，

不是因为 $\frac{\pi}{6}$ 是唯一让正弦等于 $\frac12$ 的角，而是因为它是主值区间内的那个角。

反余弦

如果

那么它表示：

并且

反余弦返回的是上半圆里的角，从正 $x$ 轴到负 $x$ 轴。它覆盖了余弦从 $1$ 到 $-1$ 的完整变化。

图：反余弦选择 $[0,\pi]$，因此输出可以在第一象限、第二象限，也可以落在轴上。

例如，

因为在 $[0,\pi]$ 中，余弦等于 $-\frac12$ 的角是 $\frac{2\pi}{3}$。

反正切

如果

那么它表示：

并且

正切可以理解成单位圆终边的斜率，也可以理解成直角三角形中的“对边除以邻边”。反正切就是从斜率反求角。

图：正切在 $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ 上从负无穷连续增加到正无穷。

注意反正切的主值范围不包含 $\pm\frac{\pi}{2}$。因为在这两个角处，终边竖直，斜率不存在，正切无定义。

用反三角函数解直角三角形

在直角三角形里，如果已知两条边，要找一个锐角，反三角函数就是最直接的工具。

图：已知哪两条边，就选择能把这两条边放进同一个比值的反三角函数。

对锐角 $\theta$ 来说：

所以反过来：

例题：由两条直角边求角

一个直角三角形中，某锐角 $\theta$ 的对边长为 $12$，邻边长为 $5$。求 $\theta$。

例题：先判断比值是否可能

如果有人说某直角三角形中 $\sin \theta=1.2$，这不可能。因为正弦是

对边不可能比斜边还长，所以正弦值只能在 $[-1,1]$ 之间。计算 $\arcsin(1.2)$ 时，计算器报错不是技术问题，而是这个输入不在反正弦的定义域内。

计算器结果要解释

计算器的反三角函数键会返回一个主值角。它不会自动列出同一三角函数值对应的全部角，也不会替你判断题目要求的是锐角、象限角，还是某个区间内的全部解。

图：计算器给出主值后，仍要回到单位圆判断是否还有同值角。

例如，计算器可能告诉你：

这句话只表示“主值角是 $\frac{\pi}{6}$”。如果题目问的是 $0\le \theta<2\pi$ 内所有满足 $\sin \theta=0.5$ 的角，还要补上第二象限的角：

角度制和弧度制

如果计算器处于弧度模式，$\arctan(1)$ 会显示大约 $0.7854$，也就是 $\frac{\pi}{4}$。如果处于角度模式，它会显示 $45^\circ$。

两个结果描述的是同一个角，只是单位不同。做三角函数图像、周期模型和后续微积分时，默认更常用弧度；做测量题时，角度也常见。关键是题目、计算器和最终答案要使用同一套单位。

用单位圆补全多解

当题目要求“解方程”时，反三角函数通常只负责找第一个角。真正的解集还要根据单位圆和周期性补全。

正弦方程

解

时，先令

其中 $\alpha$ 是主值角。一般情况下，正弦相同的两类角是：

和

其中 $k$ 是整数。遇到 $a=1$、$a=-1$ 或 $a=0$ 时，两类表达可能重合或落到轴上，需要去掉重复。

余弦方程

解

时，先令

其中 $\beta$ 位于 $[0,\pi]$。余弦相同的角关于 $x$ 轴对称，所以通解可以写成：

如果只在 $[0,2\pi)$ 内找解，通常写成 $\beta$ 和 $2\pi-\beta$。当 $\beta=0$ 或 $\beta=\pi$ 时，只保留不重复的角。

正切方程

解

时，先令

正切的周期是 $\pi$，所以所有解是：

其中 $k$ 是整数。

例题：在一圈内解正弦方程

求 $0\le \theta<2\pi$ 内满足

的角。

例题：正切方程的周期更短

求所有满足

的角。

复合关系里的条件

反三角函数经常和原来的三角函数连在一起。这里最容易出现的误解是：以为两边一定完全抵消。

对于允许的输入 $x$，下面这些式子成立：

因为反三角函数先把 $x$ 变成一个主值角，再代回原函数，当然回到 $x$。

反过来就要小心。例如：

只有当 $\theta$ 本来就在 $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ 中时才一定成立。

如果 $\theta=\frac{5\pi}{6}$，那么

但

它返回的是主值角，不是原来的 $\frac{5\pi}{6}$。

一套可靠的解题顺序

遇到从三角函数值反求角的问题，可以按下面的顺序处理。

练习

基础判断

1. 判断 $\arcsin(1.4)$ 是否有实数值，并说明原因。

2. 求 $\arccos(-1)$。

3. 求 $\arctan(0)$。

主值与其它角

1. 已知 $\arcsin\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)=\frac{\pi}{4}$。在 内，求所有满足 的角。

2. 在 $0\le \theta<2\pi$ 内，求所有满足 $\cos \theta=-\frac12$ 的角。

3. 求 $\tan \theta=\sqrt3$ 的通解。

直角三角形应用

1. 一个梯子长 $10$ 米，顶端离地 $8$ 米。梯子与地面夹角为 $\theta$，求 $\theta$ 的近似值。

2. 一条坡道水平前进 $30$ 米，上升 $4$ 米。坡角为 $\theta$，求 $\theta$ 的近似值。

复合式

1. 计算 $\sin\left(\arccos \frac{3}{5}\right)$。

2. 判断 $\arcsin(\sin \frac{2\pi}{3})$ 是否等于 $\frac{2\pi}{3}$。

反过来求角，写成 $\theta=\arctan \left(\frac{12}{5}\right)$。因为 $\theta$ 是直角三角形里的锐角，它自然落在反正切的主值区间内。