特殊角、参考角与象限符号

前面几章已经把角放进标准位置，也把正弦、余弦、正切放进单位圆。现在要解决一个很实际的问题：遇到 $\frac{7\pi}{6}$、$315^\circ$、$-\frac{5\pi}{3}$ 这样的角，能不能不按计算器，直接判断它的三角函数值和符号？

答案是可以。方法不是把整张单位圆硬背下来，而是抓住三件事：特殊角的大小来自两个直角三角形，符号来自单位圆上的坐标，超过一圈或负角先化成同终边角。只要这三件事连起来，大多数常见角都能现场复原。

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特殊角来自两个直角三角形

常见特殊角主要是 $30^\circ$、$45^\circ$、$60^\circ$，对应弧度分别是 $\frac{\pi}{6}$、、。它们的三角函数值不是凭空规定的，而是来自两个熟悉的直角三角形。

图：两类特殊直角三角形给出 $\frac{\pi}{6}$、$\frac{\pi}{4}$、$\frac{\pi}{3}$ 的精确值。

在 $30^\circ$-$60^\circ$-$90^\circ$ 三角形中，三边比例是

$$1:\sqrt{3}:2$$

如果把斜边放在单位圆半径上，斜边长度就是 $1$，所以比例整体除以 $2$，短直角边变成 $\frac{1}{2}$，长直角边变成 $\frac{\sqrt{3}}{2}$。

因此第一象限中，

$$\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2},\quad \cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2},\quad \tan\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$$ $$\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2},\quad \cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2},\quad \tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}$$

在 $45^\circ$-$45^\circ$-$90^\circ$ 三角形中，两条直角边相等，三边比例是

$$1:1:\sqrt{2}$$

把斜边缩放到 $1$ 后，两条直角边都变成 $\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以

$$\sin\frac{\pi}{4}=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2},\quad \tan\frac{\pi}{4}=1$$

把第一象限的特殊值整理成表：

这张表只给第一象限的正值。其他象限的值大小仍然由这些参考角决定，正负号要另外看单位圆坐标。

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把特殊角放回单位圆

单位圆上一点的坐标是

$$(\cos\theta,\sin\theta)$$

也就是说，余弦看横坐标，正弦看纵坐标。正切由二者的比值给出：

$$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$$

图：特殊角的坐标并不是一张孤立表，而是单位圆上对称分布的点。

观察这张图时，不要从 $\frac{7\pi}{6}$ 这种角开始背。先看第一象限的三点：

$$\frac{\pi}{6}\rightarrow\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)$$ $$\frac{\pi}{4}\rightarrow\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$ $$\frac{\pi}{3}\rightarrow\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$

然后再用对称关系复制到其他象限。复制时，绝对值保持不变，只有坐标符号变。

下面的交互可以直接选择特殊角，观察它在单位圆上的终边、坐标和三角函数值。先随便点几个第二、第三、第四象限的角，看看它们是不是都能追溯到第一象限的 $30^\circ$、$45^\circ$、$60^\circ$。

轴上角要单独处理

有些常见角的终边正好落在坐标轴上，例如 $0$、$\frac{\pi}{2}$、$\pi$、$\frac{3\pi}{2}$、。这些角没有第一象限参考三角形，因为终边没有形成非退化的直角三角形。它们直接从单位圆坐标读取。

例如 $\frac{\pi}{2}$ 对应点 $(0,1)$，所以

$$\sin\frac{\pi}{2}=1,\quad \cos\frac{\pi}{2}=0$$

但是

$$\tan\frac{\pi}{2}=\frac{\sin\frac{\pi}{2}}{\cos\frac{\pi}{2}}=\frac{1}{0}$$

分母为 $0$，所以正切无定义。

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参考角：把问题拉回第一象限

参考角是角的终边与横轴之间形成的锐角。它总是在 $0$ 到 $\frac{\pi}{2}$ 之间。参考角的作用很直接：先用它找到三角函数值的绝对值，再用象限决定正负号。

图：参考角始终是终边到横轴的锐角，它把非第一象限问题拉回特殊三角形。

如果角 $\theta$ 已经化到 $0$ 到 $2\pi$ 之间，并且不在坐标轴上，可以这样找参考角 $\alpha$：

例题：用参考角求值

求 $\sin\frac{7\pi}{6}$、$\cos\frac{7\pi}{6}$、$$。

遇到负角或超过一圈的角，先化成同终边角，再找参考角。下面的工具可以输入度数，也可以输入含 $\pi$ 的分数式，观察这个过程。

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象限符号来自坐标

很多教材会给象限符号口诀。口诀可以帮忙回忆，但最好先知道它为什么成立。在单位圆中，

$$\sin\theta=y,\quad \cos\theta=x,\quad \tan\theta=\frac{y}{x}$$

所以符号只看点 $(x,y)$ 在哪个象限。

图：正弦看纵坐标，余弦看横坐标，正切看纵横坐标的比值。

整理成表就是：

例题：先大小，后符号

不使用计算器，求 $\cos\frac{5\pi}{6}$。

再看正切：求 $\tan\frac{11\pi}{6}$。

下面的训练器会随机给出角和函数。不要直接猜，先在脑中走三步：化到一圈内，找终边位置，按坐标符号判断。

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同终边角让特殊值重复出现

三角函数有周期性，是因为单位圆会重复。角 $\theta$ 和 $\theta+2\pi$ 终边相同，对应同一个单位圆点，所以正弦、余弦、正切值也相同；正切本身还有更短的周期 $\pi$，但在本章先用 $2\pi$ 处理所有三角函数最稳。

图：同终边角相差 $2\pi$ 的整数倍，终边和单位圆坐标相同。

所有与 $\theta$ 同终边的角可以写成

$$\theta+2\pi k$$

其中 $k$ 是整数。用度数表示时，是

$$\theta+360^\circ k$$

例题：先化同终边，再求值

求 $\sin\frac{25\pi}{6}$。

再求 $\cos(-585^\circ)$。

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对称关系快速换角

单位圆对称关系能把很多角写成“第一象限角的变形”。设第一象限角 $\theta$ 对应点

$$(\cos\theta,\sin\theta)=(x,y)$$

那么另外三个常见对称角的坐标是：

$$\pi-\theta\rightarrow(-x,y)$$ $$\pi+\theta\rightarrow(-x,-y)$$ $$2\pi-\theta\rightarrow(x,-y)$$

图：关于 $y$ 轴、原点、$x$ 轴的对称，会改变坐标符号。

把坐标变化翻译成函数，就得到：

$$\sin(\pi-\theta)=\sin\theta,\quad \cos(\pi-\theta)=-\cos\theta,\quad \tan(\pi-\theta)=-\tan\theta$$ $$\sin(\pi+\theta)=-\sin\theta,\quad \cos(\pi+\theta)=-\cos\theta,\quad \tan(\pi+\theta)=\tan\theta$$ $$\sin(2\pi-\theta)=-\sin\theta,\quad \cos(2\pi-\theta)=\cos\theta,\quad \tan(2\pi-\theta)=-\tan\theta$$

这些关系看起来像公式，其实只是坐标符号变化。例如 $\frac{5\pi}{6}=\pi-\frac{\pi}{6}$，所以

$$\sin\frac{5\pi}{6}=\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$$ $$\cos\frac{5\pi}{6}=-\cos\frac{\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

再如 $\frac{7\pi}{6}=\pi+\frac{\pi}{6}$，所以

$$\tan\frac{7\pi}{6}=\tan\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

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综合策略：四步判断法

不靠计算器判断特殊角三角函数值时，可以按这四步走。

例题：一次处理多个值

不使用计算器，求下面三个值：

$$\sin\frac{4\pi}{3},\quad \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right),\quad \tan\frac{3\pi}{2}$$

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练习

1. 不使用计算器，求 $\sin\frac{2\pi}{3}$。

显示答案

参考角是 $\frac{\pi}{3}$，原角在第二象限。第二象限正弦为正，所以 $\sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

2. 不使用计算器，求 $\cos\frac{5\pi}{4}$。

显示答案

$\frac{5\pi}{4}$ 在第三象限，参考角是 $\frac{\pi}{4}$。第三象限余弦为负，所以 $\cos \frac{5\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{}$。

3. 不使用计算器，求 $\tan\left(-\frac{2\pi}{3}\right)$。

显示答案

$-\frac{2\pi}{3}+2\pi=\frac{4\pi}{3}$，终边在第三象限，参考角是 。第三象限正切为正，所以 。

4. 判断 $\tan\frac{\pi}{2}$ 是否有定义，并说明理由。

显示答案

$\frac{\pi}{2}$ 对应单位圆点 $(0,1)$。因为 $\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$，这里 ，分母为 ，所以 无定义。

5. 找出 $-\frac{11\pi}{6}$ 在 $0$ 到 $2\pi$ 之间的同终边角，并求它的正弦值。

显示答案

$-\frac{11\pi}{6}+2\pi=-\frac{11\pi}{6}+\frac{12\pi}{6}=\frac{\pi}{6}$。所以同终边角是 ，正弦值是 。

6. 用对称关系解释为什么 $\cos(\pi-\theta)=-\cos\theta$。

显示答案

如果第一象限角 $\theta$ 对应点 $(x,y)$，那么 $\pi-\theta$ 是关于 $y$ 轴的对称角，对应点 $(-x,y)$。余弦是横坐标，所以 。

7. 不使用计算器，求 $\sin\frac{11\pi}{6}$ 和 $\cos\frac{11\pi}{6}$。

显示答案

$\frac{11\pi}{6}$ 在第四象限，参考角是 $\frac{\pi}{6}$。第四象限正弦为负、余弦为正，所以 $\sin \frac{11\pi }{6}=-\frac{1}{2}$，。

8. 不使用计算器，求 $\tan 210^\circ$。

显示答案

$210^\circ$ 在第三象限，参考角是 $30^\circ$。第三象限正切为正，且 $\tan30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{3}$，所以 。