基本恒等式：勾股、商、倒数与对称 | 三角函数与三角学 | 自在学

基本恒等式：勾股、商、倒数与对称

学三角恒等式时，最容易掉进一个坑：把它们当成一张公式表。表当然有用，但如果只背表，很快就会分不清什么时候能用、为什么要看象限、分母为零时为什么必须停下来。

这一章把基本恒等式重新放回单位圆。单位圆上一点的坐标是 $(\cos x,\sin x)$ ，这一个事实会同时给出勾股恒等式、商恒等式、倒数恒等式、奇偶性和周期性。你会看到，恒等式不是额外出现的规则，而是定义和对称性留下的痕迹。

三角恒等式说的是：在两边都有定义的角上，两个表达式的值总是相等。所以每次化简前都要看定义域。把 $\frac{\sin x}{\cos x}$ 写成 $\tan x$ 时，已经默认 $\cos x\ne0$ 。

勾股恒等式来自单位圆

单位圆的方程是

X^2+Y^2=1

如果角 $x$ 的终边与单位圆交于点 $P$ ，那么这个点的坐标是

P=(\cos x,\sin x)

把坐标代回单位圆方程，就得到

(\cos x)^2+(\sin x)^2=1

通常写成

\cos^2 x+\sin^2 x=1

或者

\sin^2 x+\cos^2 x=1

这里的 $\sin^2 x$ 表示 $(\sin x)^2$ ，不是 $\sin(x^2)$ 。这条恒等式之所以对所有实数角成立，是因为无论角转到哪里，点 $P$ 始终在半径为的圆上。

单位圆上一点 P 的横向投影为 cos θ、纵向投影为 sin θ，半径为 1，构成直角三角形并说明 sin²θ + cos²θ = 1。

图：勾股恒等式来自单位圆：横纵投影的平方和等于半径平方 1。

如果从直角三角形看， $\cos x$ 和 $\sin x$ 是两条直角边，半径 $1$ 是斜边。勾股定理说两条直角边平方和等于斜边平方，于是平方和就是 $1$ 。如果从坐标看，它就是单位圆方程本身。

已知一个值，求另一个值

勾股恒等式常用来从 $\sin x$ 求 $\cos x$ ，或者从 $\cos x$ 求 $\sin x$ 。关键不是只开平方，还要根据象限决定正负号。

例题：已知 $\sin \theta=\frac{3}{5}$ ，且 $\theta$ 在第二象限，求 $\cos\theta$ 与 $\tan\theta$ 。

先使用勾股恒等式，把已知的 $\sin\theta$ 代入：

\sin^2\theta+\cos^2\theta=1

从平方值开平方时，符号不能靠手感决定。先看角所在象限，也就是单位圆点的横坐标和纵坐标符号。

商恒等式把正切带回坐标比

在单位圆上， $P=(\cos x,\sin x)$ 。从原点看这条终边，它的斜率是

\frac{\text{纵向变化}}{\text{横向变化}}=\frac{\sin x}{\cos x}

正切描述的正是这个比值，所以

\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}

这条恒等式的条件是 $\cos x\ne0$ 。当终边竖直时，横向变化为 $0$ ，斜率不存在，正切也无定义。

单位圆中点 P=(cos θ, sin θ) 的坐标比说明 tan θ = sin θ / cos θ。

图：商恒等式来自单位圆上半径射线的斜率：纵向变化为 sin θ，横向变化为 cos θ，因此 tan θ = sin θ / cos θ。

同样地，余切是正切的倒数，也可以写成

\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}

它的条件是 $\sin x\ne0$ 。当终边落在 $x$ 轴上时，纵向变化为 $0$ ，余切无定义。

不要把 $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ 当成可以无条件替换的字符串。若 $\cos x=0$ ，右边分母为，左边正切也无定义，化简必须停在定义域检查处。

例题：用坐标比判断正切

已知单位圆上一点 $P=\left(-\frac{5}{13},\frac{12}{13}\right)$ 对应角。求、和。

由单位圆定义可知

\cos\theta=-\frac{5}{13}

\sin\theta=\frac{12}{13}

因此

\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta} =\frac{\frac{12}{13}}{-\frac{5}{13}} =-\frac{12}{5}

点在第二象限，正切为负，这和计算结果一致。

倒数恒等式与定义域

倒数恒等式来自三个倒数定义。它们看起来很短，但每一条都有分母不能为 $0$ 的条件。

倒数恒等式关系图，展示 sin θ 与 csc θ、cos θ 与 sec θ、tan θ 与 cot θ 互为倒数，并用单位圆提示分母不能为 0。

图：倒数恒等式把三角函数配成三组互为倒数的关系；使用时要先检查分母是否为 0。

函数	倒数恒等式	需要排除的角
余割	$\csc x=\frac{1}{\sin x}$	$\sin x=0$
正割

倒数关系也可以反过来用：

\sin x=\frac{1}{\csc x}

\cos x=\frac{1}{\sec x}

\tan x=\frac{1}{\cot x}

当表达式里出现 $\sec x$ 、 $\csc x$ 、 $\cot x$ 时，把它们写成 $\sin x$ 和 $\cos x$ 往往会让结构变清楚。比如

\sin x\cdot \csc x=1

但这只在 $\sin x\ne0$ 时成立。因为 $\csc x$ 本身只在 $\sin x\ne0$ 时有定义。

从勾股恒等式推出两条常用形式

把

\sin^2 x+\cos^2 x=1

两边同时除以 $\cos^2 x$ ，在 $\cos x\ne0$ 时得到

\tan^2 x+1=\sec^2 x

两边同时除以 $\sin^2 x$ ，在 $\sin x\ne0$ 时得到

1+\cot^2 x=\csc^2 x

这两条也叫勾股恒等式，但它们不是新规则。它们只是第一条勾股恒等式除以不同的平方后得到的形式。

对称性是坐标符号的变化

单位圆有很多对称性。角变成 $-x$ 、 $\pi-x$ 、 $\pi+x$ 或 $2\pi-x$ 时，点在圆上的位置发生镜像或旋转，坐标的符号随之变化。

单位圆对称性示意图，标出 θ、-θ、π-θ、π+θ、2π-θ 五个相关角点及对应坐标变化。

图：单位圆上的对称性：通过 x 轴镜像、y 轴镜像和关于原点对称，比较相关角的坐标符号变化。

设

P=(\cos x,\sin x)

那么几个常见角对应的坐标是：

角	单位圆点坐标	得到的恒等式
$-x$	$(\cos x,-\sin x)$	$\cos(-x)=\cos x$ ， $\sin(-x)=-\sin x$

从第一行可以看出正弦和余弦的奇偶性：

\sin(-x)=-\sin x

\cos(-x)=\cos x

再结合商恒等式，可以得到正切的奇偶性：

\tan(-x)=\frac{\sin(-x)}{\cos(-x)} =\frac{-\sin x}{\cos x} =-\tan x

所以正弦和正切是奇函数，余弦是偶函数。倒数函数也跟着变化： $\csc x$ 和 $\cot x$ 是奇函数， $\sec x$ 是偶函数。

对称恒等式的核心不是“把角放进括号然后套公式”，而是看单位圆点被反射到哪里。横坐标变号就影响余弦，纵坐标变号就影响正弦，二者的比值变号就影响正切。

周期恒等式来自重复到达

单位圆上转过一整圈以后会回到同一点。一整圈是 $2\pi$ 弧度，所以

\sin(x+2\pi)=\sin x

\cos(x+2\pi)=\cos x

更一般地，对于任意整数 $k$ ，

\sin(x+2\pi k)=\sin x

\cos(x+2\pi k)=\cos x

正割和余割分别是余弦、正弦的倒数，所以它们也以 $2\pi$ 为周期。

单位圆示意图：θ 与 θ+2π 回到同一点，θ 与 θ+π 的相对点在同一直线上，正切值相同。

图：周期恒等式：θ 与 θ+2π 对应单位圆上的同一点；相隔 π 的两点与原点共线且斜率相同，因此 tan(θ+π)=tan θ。

正切的周期更短。角增加 $\pi$ 时，单位圆点走到相对点：

(\cos(x+\pi),\sin(x+\pi))=(-\cos x,-\sin x)

两个坐标同时变号，它们的比值不变：

\tan(x+\pi)=\frac{-\sin x}{-\cos x}=\tan x

所以

\tan(x+\pi k)=\tan x

其中 $k$ 是整数，并且两边都要有定义。余切同样以 $\pi$ 为周期。

例题：用周期和对称求值

求 $\sin\left(-\frac{7\pi}{6}\right)$ 。

先用奇偶性把负角处理掉：

\sin\left(-\frac{7\pi}{6}\right)=-\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right)

求值时先确定符号

很多求值题只给一个三角函数值和象限。它们看似是代数题，实质上仍然是单位圆题。

例题：已知 $\tan\theta=-2$ ，且 $\theta$ 在第二象限。求 $\sin\theta$ 、 $\cos\theta$ 和 $\sec\theta$ 。

先由第二象限判断符号： $\sin\theta>0$ ， $\cos\theta<0$ ，所以 $\tan\theta<0$ 与题目一致。

这个过程没有把角求出来。它只用到了象限、商恒等式、倒数恒等式和勾股恒等式。很多三角题正是这样工作的：不需要知道角的具体大小，也能确定函数值。

化简时要保留等价条件

化简不是让式子看起来短，而是在合法条件下把结构看清楚。一个可靠的顺序是：

先看分母、根号、倒数函数，写清楚哪些角不能取；
把 $\tan x$ 、 $\sec x$ 、 $\csc x$ 、 $\cot x$ 统一成 $\sin x$ 和 $\cos x$ ；
寻找、、；

三角恒等式化简策略流程图：先看定义域、化成 sin 和 cos、寻找 sin²+cos²、检查分母，并展示 tan x · cos x 化简为 sin x 的例子。

图：恒等式化简路线：先确认定义域，再统一表达形式，寻找勾股恒等式，最后检查分母条件。

例题：化简一个表达式

化简

\frac{1-\cos^2 x}{\sin x}

其中 $\sin x\ne0$ 。

先认出 $1-\cos^2 x$ 来自勾股恒等式：

1-\cos^2 x=\sin^2 x

如果忘记条件，直接把 $\sin x$ 约掉，就会误以为原式在所有角上都等于 $\sin x$ 。但原式在 $\sin x=0$ 时根本没有定义。

例题：把倒数函数化成基本函数

化简

\sin x\cdot \csc x+\cos x\cdot \sec x

先写出定义域条件： $\csc x$ 要求 $\sin x\ne0$ ， $\sec x$ 要求 $\cos$ 。

本章的基本恒等式可以归成四个来源：单位圆方程给勾股恒等式，函数定义给商恒等式和倒数恒等式，单位圆对称给奇偶和相关角恒等式，整圈旋转给周期恒等式。

练习

已知 $\cos\theta=\frac{7}{25}$ ，且 $\theta$ 在第四象限，求 $\sin\theta$ 和 $\tan\theta$ 。

化简 $\sec^2 x-\tan^2 x$ ，并说明需要什么定义域条件。

判断 $\sin(\pi-x)$ 、 $\cos(\pi-x)$ 、 $\tan(\pi-x)$ 分别等于什么。

已知 $\sin\theta=-\frac{4}{5}$ ，且 $\theta$ 在第三象限，求 $\cos\theta$ 、 $\sec\theta$ 和。

化简 $\frac{\tan x}{\sec x}$ 。

求 $\cos\left(-\frac{5\pi}{3}\right)$ 。

说明为什么 $\tan(x+\pi)=\tan x$ ，但通常不能说 $\sin(x+\pi)=\sin x$ 。

化简 $\frac{1-\sin^2 x}{\cos x}$ ，其中 $\cos x\ne0$ 。

如果 $\sec\theta=-\frac{13}{5}$ ，且 $\theta$ 在第三象限，求 $\cos\theta$ 、 $\sin\theta$ 和。

把 $\csc(-x)$ 、 $\sec(-x)$ 、 $\cot(-x)$ 分别写成关于 $x$ 的表达式。

P

\theta

\sec

x

=

\frac{1}{\cos x}

\sec x=\frac{1}{\cos x}

x

\neq

0

\cos x\ne0

2

θ

=

1

-

{(\frac{7}{25})}^{2}

=

\frac{576}{625}

\sin^2\theta=1-\left(\frac{7}{25}\right)^2=\frac{576}{625}

θ

<

0

\sin\theta<0