单位圆：把三角函数放到坐标系里

上一章把角看成旋转，并用弧度把角和圆弧联系起来。这一章继续往前走：把旋转放进坐标系，让一个角对应单位圆上的一个点。

这一步看起来只是换了一张图，其实改变很大。直角三角形里的正弦、余弦原本只适合锐角；单位圆把角的终边延长到整个坐标平面，于是 $120^\circ$、$-\frac{\pi}{3}$、$5\pi$ 这样的角也能有正弦和余弦。三角函数从“边长比”变成了“输入角、输出坐标”的函数。

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单位圆是什么

单位圆 是以原点为圆心、半径为 $1$ 的圆。它的方程是

$$x^2+y^2=1$$

这里的 “单位” 指半径为 $1$。因为圆心在原点，圆上每个点到原点的距离都是 $1$。这让单位圆非常适合连接角和坐标：从原点出发画一条射线，只要这条射线碰到单位圆，就会得到一个确定的点。

把角 $\theta$ 放在标准位置：顶点在原点，始边在正 $x$ 轴上，终边由旋转得到。终边和单位圆的交点记作 $P$。如果 $P$ 的坐标是 $(x,y)$，那么这个角就被一对坐标记录下来。

图：单位圆上角 $\theta$ 的终边与圆交于 $P$，横坐标为 $\cos\theta$，纵坐标为 $\sin\theta$。

这个交点不会模糊。只要给定一个标准位置的角，它的终边方向确定；终边和半径为 $1$ 的圆相交于唯一的点。于是“角 $\theta$”可以稳定地变成“点 $P$ 的坐标”。

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坐标就是正弦和余弦

现在给出单位圆定义。设角 $\theta$ 的终边与单位圆交于点 $P=(x,y)$，则

$$\cos\theta=x$$ $$\sin\theta=y$$

也就是说，余弦读横坐标，正弦读纵坐标。用一个式子写，就是

$$P_\theta=(\cos\theta,\sin\theta)$$

这个定义把三角函数变成了真正的函数：输入是角 $\theta$，输出是一个数。$\cos\theta$ 输出横坐标，$\sin\theta$ 输出纵坐标。

例如，当 $\theta=0$ 时，终边落在正 $x$ 轴上，交点是 $(1,0)$，所以

$$\cos 0=1,\qquad \sin 0=0$$

当 $\theta=\frac{\pi}{2}$ 时，终边落在正 $y$ 轴上，交点是 $(0,1)$，所以

$$\cos\frac{\pi}{2}=0,\qquad \sin\frac{\pi}{2}=1$$

图：横坐标对应 $\cos\theta$，纵坐标对应 $\sin\theta$。

下面的探究器可以拖动角度，观察终边点、坐标和象限怎样一起变化。先盯住点 $P$ 的横坐标，再看 $\cos\theta$；再盯住纵坐标，看 $\sin\theta$。

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为什么它没有抛弃直角三角形

单位圆定义看起来和直角三角形不同，但在第一象限里，它正好延续了直角三角形的定义。

假设 $\theta$ 是第一象限的锐角。终边与单位圆交于 $P=(x,y)$，从 $P$ 向 $x$ 轴作垂线，就得到一个直角三角形。这个三角形的斜边是单位圆半径，所以斜边长为 $1$；邻边长是 $x$，对边长是 $$。

直角三角形中，

$$\cos\theta=\frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}$$

现在邻边是 $x$，斜边是 $1$，所以

$$\cos\theta=\frac{x}{1}=x$$

同样，

$$\sin\theta=\frac{\text{对边}}{\text{斜边}}=\frac{y}{1}=y$$

因此单位圆定义不是另起炉灶。它先在第一象限和直角三角形定义完全一致，再把同一套坐标读法推广到其他角。

图：斜边为 $1$ 的直角三角形移入单位圆后，邻边对应 $\cos\theta$，对边对应 $\sin\theta$，终边点坐标为 $(\cos\theta,\sin\theta)$。

如果圆的半径不是 $1$，这个关系也能看出来。设半径为 $r$，终边点是 $(x,y)$，那么直角三角形给出

$$\cos\theta=\frac{x}{r}$$ $$\sin\theta=\frac{y}{r}$$

单位圆只是取 $r=1$，所以坐标不用再除以半径。

例题：从单位圆点读三角函数

已知角 $\theta$ 的终边与单位圆交于

$$P=\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)$$

求 $\sin\theta$、$\cos\theta$ 和 $\tan\theta$。

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任意角都有终边点

直角三角形中的三角比要求角是锐角，因为三角形里没有 $120^\circ$ 这样的内角加直角后还能保持直角三角形。但在坐标系里，终边可以落到任何象限。

如果角在第二象限，终边点的横坐标为负、纵坐标为正，所以余弦为负、正弦为正。如果角在第三象限，两个坐标都为负，所以正弦和余弦都为负。负角也不麻烦：它只是顺时针旋转，终边仍然会碰到单位圆。

图：任意角都可以在单位圆上找到对应的终边点。

几个轴上角可以直接读出：

注意 $0$ 和 $2\pi$ 的终边点相同，所以正弦和余弦值也相同。这里已经能看到周期性的影子：转一整圈后回到原来的点。

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实数也可以作为输入

在三角函数里，我们常把输入写成 $x$ 或 $t$，而不是只写“角 $\theta$”。原因是弧度把角变成了实数。

在单位圆上，半径是 $1$，弧长公式 $s=r\theta$ 变成

$$s=\theta$$

所以一个实数 $t$ 可以解释为单位圆上的有向弧长，也就是弧度角。$t>0$ 时从 $(1,0)$ 逆时针走，$t<0$ 时顺时针走；$t$ 很大时就绕过一圈又一圈。

图：把实数 $t$ 看作弧度角时，实数轴上的长度可以绕到单位圆圆周上；相差 $2\pi$ 的实数对应同一个终边。

这就是“定义域扩展到所有实数”的意思。对任意实数 $t$，都可以从正 $x$ 轴出发，在单位圆上走 $t$ 个单位弧长，得到一个终边点。这个点的横坐标是 $\cos t$，纵坐标是 $\sin t$。

因此，

$$\sin t \text{ 和 } \cos t \text{ 的定义域都是 } \mathbb{R}$$

它们的值域都被单位圆限制在 $[-1,1]$，因为单位圆上的横坐标和纵坐标都不会超过 $1$ 或小于 $-1$。

相差整圈的输入会到达同一个点。对任意整数 $k$，

$$P_{t+2\pi k}=P_t$$

所以

$$\cos(t+2\pi k)=\cos t$$ $$\sin(t+2\pi k)=\sin t$$

下面的投影实验把圆上的点和两个坐标数值分开显示。拖动角度时，观察 $\cos t$ 怎样随着横向投影变化，$\sin t$ 怎样随着纵向投影变化。

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正切是坐标的比值

正弦和余弦分别是两个坐标。正切不是第三个坐标，而是这两个坐标的比值：

$$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$$

如果角 $\theta$ 的终边点是 $P=(x,y)$，那么

$$\tan\theta=\frac{y}{x}$$

在第一象限的直角三角形里，这个式子也会回到熟悉的边长比：

$$\tan\theta=\frac{\text{对边}}{\text{邻边}}$$

因为对边是 $y$，邻边是 $x$。

问题出在分母上。当 $\cos\theta=0$ 时，正切分式的分母是 $0$，这个值无定义。单位圆上 $\cos\theta=0$ 的位置正好是纵轴上的两个点：$(0,1)$ 和 $(0,-1)$。对应的角是

$$\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}$$

所以正切函数的定义域是

$$\left\{\theta\in\mathbb{R}\mid \theta\ne\frac{\pi}{2}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\right\}$$

图：正切定义来自 $\sin\theta$ 与 $\cos\theta$ 的比值；当点在 $(0,1)$ 或 $(0,-1)$ 时，$\cos\theta=0$，因此正切无定义。

下面的交互专门观察正切。把角拖到接近 $\frac{\pi}{2}$ 或 $\frac{3\pi}{2}$ 的位置时，注意 $\cos\theta$ 如何接近 ，以及正切为什么不能给出有限数值。

例题：判断正切是否有定义

已知 $\theta=\frac{3\pi}{2}$。求 $\sin\theta$、$\cos\theta$，并判断 $\tan\theta$ 是否有定义。

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把本章的定义放在一起

单位圆给三角函数提供了一本小词典：

到这里，正弦和余弦已经不再只属于直角三角形。直角三角形仍然重要，但它只是单位圆第一象限里的一部分。单位圆把同一个关系扩展到四个象限、负角、超过一圈的角，以及所有实数输入。

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练习

1. 已知角 $\theta$ 的终边与单位圆交于

$$P=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)$$

求 $\sin\theta$、$\cos\theta$ 和 $\tan\theta$，并判断终边所在象限。

显示答案

由单位圆定义，$\cos\theta=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，$$。正切为 。横坐标为负、纵坐标为正，所以终边在第二象限。

2. 判断 $\tan\left(-\frac{\pi}{2}\right)$ 是否有定义。

显示答案

$-\frac{\pi}{2}$ 表示从正 $x$ 轴顺时针转到负 $y$ 轴，终边点是 $(0,-1)$。此时 $\cos$，所以正切分母为 ， 无定义。

3. 一个实数输入 $t$ 和 $t+2\pi$ 对应同一个终边点。说明为什么 $\sin(t+2\pi)=\sin t$ 且 $\cos(t+2\pi)=\cos t$。

显示答案

$2\pi$ 是单位圆上的一整圈。输入从 $t$ 变成 $t+2\pi$，终边点绕一圈后回到原来的位置。终边点的横坐标不变、纵坐标也不变，因此余弦值和正弦值都不变。

4. 用一句话解释：单位圆为什么能把正弦和余弦的定义域扩展到所有实数？

显示答案

因为任意实数都可以看作单位圆上的有向弧长，也就是一个弧度角；沿单位圆走这个长度后会得到唯一的终边点，点的横坐标和纵坐标分别定义为余弦和正弦。