和差公式、倍角公式与化简策略 | 三角函数与三角学 | 自在学

和差公式、倍角公式与化简策略

前面几章已经把三角函数放进单位圆、图像和基本恒等式里。本章开始处理更密集的公式： $\sin(a\pm b)$ 、 $\cos(a\pm b)$ 、 $\tan(a\pm b)$ 、倍角、半角和降幂。

这些公式看起来多，但主线只有一条：把一个不熟悉的角或表达式，改写成已经熟悉的角、函数或代数结构。比如 $75^\circ$ 可以拆成 $45^\circ+30^\circ$ ， $\sin^2 x$ 可以用 $\cos 2x$ 表示，复杂的正切分式可以先化成正弦和余弦。

这一章不要把公式当成仓库来背。更有用的问题是：眼前的式子暴露了什么结构？应该展开、合并、降幂，还是先检查限制条件？

从拆角开始

特殊角给了我们一批可以精确计算的值，例如 $30^\circ$ 、 $45^\circ$ 、 $60^\circ$ 。和差公式的作用，是把更多角连接到这些已知角。

例如

75^\circ=45^\circ+30^\circ

15^\circ=45^\circ-30^\circ

如果能把 $\sin(45^\circ+30^\circ)$ 写成 $30^\circ$ 和 $45^\circ$ 的正弦余弦，就可以不用计算器得到精确值。

和角公式中单位圆投影直觉示意图

图：和角公式把一次合成旋转拆成两个熟悉角的投影组合。

和差公式不是说 $\sin(a+b)=\sin a+\sin b$ 。三角函数读的是单位圆上的坐标，两个旋转合成以后，横纵坐标会同时受到两个角的影响。

下面的角拆分实验可以选取常见复杂角，比较两种拆法，并看到对应公式怎样代入。

常见拆角判断

拆角时，优先找能落到特殊角的组合。

目标角	常用拆法	适合使用
$15^\circ$	$45^\circ-30^\circ$	差角公式
$75^\circ$

拆法不唯一。只要两个角的三角函数值已知，并且计算不绕远，就是好拆法。

正弦和余弦的和差公式

先看四条核心公式：

\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b

\sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b

\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b

\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b

正弦公式的符号和角里面的符号一致：加角用加号，减角用减号。余弦公式的中间符号相反：加角用减号，减角用加号。

差角公式中角度拆分与反向旋转示意图

图：差角可以看成把第二个角反向旋转后再合成，符号变化来自单位圆的对称性。

例题：求 $\sin 75^\circ$ 的精确值

把 $75^\circ$ 拆成 $45^\circ+30^\circ$ ：

先选择正弦和角公式，因为目标是 $\sin(45^\circ+30^\circ)$ 。

例题：求 $\cos 15^\circ$ 的精确值

因为 $15^\circ=45^\circ-30^\circ$ ，所以

\cos15^\circ=\cos(45^\circ-30^\circ)

使用余弦差角公式：

\cos(45^\circ-30^\circ)=\cos45^\circ\cos30^\circ+\sin45^\circ\sin30^\circ

代入特殊角值：

\cos15^\circ=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}

这个结果和 $\sin75^\circ$ 一样，并不偶然，因为 $15^\circ$ 和 $75^\circ$ 互余。

看到 $\sin(a+b)$ 时，不要把它拆成 $\sin a+\sin b$ 。一个快速反例是 $\sin(30^\circ+60^\circ)=1$ ，但，两者不相等。

正切和差公式与限制条件

正切公式可以由 $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ 和正弦、余弦和差公式推出：

\tan(a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}

\tan(a-b)=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}

这两条公式特别适合处理斜率、倾斜角和只知道正切值的问题。不过它们比正弦余弦公式更需要检查限制条件。

正切和差公式的斜率合成视角图

图：直线倾斜角的正切就是斜率，两个倾斜角的差可以转化为斜率之间的关系。

为什么正切公式要小心

使用 $\tan(a+b)$ 公式时，至少要确认三件事：

$\tan a$ 有定义，也就是 $\cos a\ne 0$ 。
$\tan b$ 有定义，也就是 $\cos b\ne 0$ 。

类似地，使用 $\tan(a-b)$ 公式时，要确认 $1+\tan a\tan b\ne 0$ 。

例题：求 $\tan 15^\circ$

把 $15^\circ$ 拆成 $45^\circ-30^\circ$ 。

选择正切差角公式：

\tan(a-b)=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}

证明恒等式时，如果你把等式两边同时除以 $\sin x$ 、 $\cos x$ 或某个三角表达式，必须先说明它不为 $0$ 。更稳妥的做法通常是通分、因式分解或化成正弦余弦，而不是直接除掉可能为 $0$ 的因子。

倍角公式

倍角公式不是新公式的孤岛。它们来自和角公式，只是把 $a$ 和 $b$ 都取成同一个角。

例如

\sin(2x)=\sin(x+x)=\sin x\cos x+\cos x\sin x=2\sin x\cos x

三条常用倍角公式是：

\sin 2x=2\sin x\cos x

\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x

\tan 2x=\frac{2\tan x}{1-\tan^2 x}

其中余弦倍角公式最常变形。利用 $\sin^2 x+\cos^2 x=1$ ，可以得到两种等价形式：

\cos 2x=1-2\sin^2 x

\cos 2x=2\cos^2 x-1

倍角公式的正弦余弦正切三条推导路径图

图：倍角公式可以从和角公式出发，也可以沿着正弦余弦和正切的关系互相转化。

选择余弦倍角的哪一种形式

如果表达式里主要有 $\sin^2 x$ ，常用

\cos 2x=1-2\sin^2 x

如果表达式里主要有 $\cos^2 x$ ，常用

\cos 2x=2\cos^2 x-1

如果同时出现 $\cos^2 x-\sin^2 x$ ，直接用

\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x

这不是记三条互不相干的公式，而是在不同场景中选择最短的路。

例题：已知 $\sin x=\frac35$ ，求 $\cos 2x$

若 $x$ 在第二象限， $\cos x$ 为负，但这题求 $\cos 2x$ 可以只用 $\sin^2 x$ 。

看到已知量是 $\sin x$ ，选择 $\cos 2x=1-2\sin^2 x$ 。

注意这里没有先求 $\cos x$ 。如果强行先用勾股恒等式求 $\cos x$ ，还要处理象限符号；选对倍角形式可以少走一步。

正切倍角的限制

正切倍角公式

\tan 2x=\frac{2\tan x}{1-\tan^2 x}

需要 $\tan x$ 有定义，并且 $1-\tan^2 x\ne 0$ 。当分母为 $0$ 时， $2x$ 的终边落在正切无定义的位置，不能把结果写成一个普通数。

半角公式与符号选择

倍角公式可以从 $x$ 推到 $2x$ 。反过来，如果要从 $x$ 推到 $\frac{x}{2}$ ，就得到半角公式。

由

\cos x=1-2\sin^2\frac{x}{2}

可以解出

\sin^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2}

同理由

\cos x=2\cos^2\frac{x}{2}-1

可以解出

\cos^2\frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{2}

如果要直接求函数值，就要开平方：

\sin\frac{x}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}

\cos\frac{x}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}

正负号由 $\frac{x}{2}$ 所在象限决定。

半角公式与象限符号选择示意图

图：半角公式给出平方值，开平方后的正负号必须由半角所在象限决定。

例题：已知 $\cos x=-\frac35$ ，且 $\pi \lt x \lt \frac{3\pi}{2}$ ，求

先判断 $x$ 在第三象限，所以 $\frac{x}{2}$ 位于 $\frac{\pi}{2}$ 到之间，也就是第二象限。

半角题最容易漏掉象限判断。公式里的 $\pm$ 不是随便选的符号，而是由半角本身的位置决定。

正切半角的常用形式

正切半角可以写成

\tan\frac{x}{2}=\frac{\sin x}{1+\cos x}

也可以写成

\tan\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{\sin x}

这两个形式都有各自的限制。前者要求 $1+\cos x\ne 0$ ，后者要求 $\sin x\ne 0$ 。如果题目给的是 $\sin x$ 和的值，通常选分母不为、计算更短的那个。

降幂公式

降幂公式把 $\sin^2 x$ 、 $\cos^2 x$ 这类平方项改写成一阶余弦。它们来自余弦倍角公式。

由

\cos 2x=1-2\sin^2 x

解出

\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}

由

\cos 2x=2\cos^2 x-1

解出

\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}

正切平方也可以写成

\tan^2 x=\frac{1-\cos 2x}{1+\cos 2x}

其中分母不能为 $0$ 。

降幂公式把平方项转为余弦倍角的示意图

图：降幂公式把平方项转成倍角余弦，为后续处理平均值、积分和周期模型打基础。

例题：把 $\sin^4 x$ 写成不含高于一次幂的形式

这个例题展示降幂公式可以反复使用。

先把 $\sin^4 x$ 看成 $(\sin^2 x)^2$ ，并使用降幂公式：

降幂并不是每道题都需要。它常用于平方或四次方太多、目标想降低幂次、或后续要研究周期平均行为的时候。

化简策略：先看结构再动手

三角化简没有唯一顺序，但有一些可靠的起点。不要一看到公式就代，先判断表达式像哪一种结构。

三角恒等式化简策略流程图

图：化简不是从公式表第一行开始，而是从表达式结构和目标形式开始。

常用路径

看到的结构	优先尝试	典型目标
$\tan x$ 、 $\sec x$ 、 $\csc x$ 、 $\cot x$ 混在一起	化成 $\sin x$ 和 $\cos x$

例题：化简一个和差结构

化简

\frac{\sin(a+b)+\sin(a-b)}{\cos(a+b)+\cos(a-b)}

先识别结构：分子和分母都含有 $a+b$ 与 $a-b$ ，优先展开和差公式。

展开分子：

\sin (a

例题：用因式分解识别倍角

化简

\cos^4 x-\sin^4 x

先把它看成平方差：

\cos^4 x-\sin^4 x=(\cos^2 x-\sin^2 x)(\cos^2 x+\sin^2 x)

这个例子说明，代数结构常常比公式表更先出现。先看出平方差，后面的恒等式就自然接上了。

证明恒等式的方法

证明三角恒等式时，目标不是“对某个角算出一样的数”，而是说明在共同定义域内，左右两边总是表示同一个函数。

恒等式证明中左右推进到共同目标的流程图

图：证明时可以从复杂一边出发，也可以把左右两边都推向同一个中间形式。

基本原则

通常从更复杂的一边开始。
优先把 $\tan$ 、 $\cot$ 、 $\sec$ 、 $\csc$ 化成 $\sin$ 和 $\cos$ 。
看到平方差、完全平方、通分结构时，使用代数方法。
看到 $2x$ 、 $a + b$ 、，再考虑倍角或和差公式。

例题：证明 $\frac{1-\cos 2x}{\sin 2x}=\tan x$

这个等式不是在所有 $x$ 上都有意义。原式要求 $\sin 2x\ne 0$ ，右边要求 $\cos x\ne 0$ 。证明时默认在双方都有定义的范围内讨论。

从左边开始，因为左边更复杂：

\frac{1-\cos 2x}{\sin 2x}

一条好的恒等式证明，应该能看出每一步使用了什么工具：和差公式、倍角公式、勾股恒等式、通分、因式分解或定义域检查。只写一串等号，很容易把关键条件藏掉。

例题：证明 $\sin(a+b)+\sin(a-b)=2\sin a\cos b$

从左边开始，先展开两个正弦和差公式：

\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b

这类证明也提醒我们：和差公式既可以展开，也可以反向合并。看到 $2\sin a\cos b$ ，以后也可以把它看成 $\sin(a+b)+\sin(a-b)$ 。

综合整理

本章公式很多，但可以压缩成几条判断。

如果角复杂，先问它能否拆成特殊角的和或差。能拆，就用和差公式。

如果出现 $2x$ ，先问要把倍角展开成单角，还是把单角平方合并成倍角。

如果出现半角，先判断半角所在象限，再决定开平方的正负号。

把这些公式学会，并不是为了在纸上写更多等号，而是为了能选择路径。真正的能力是看见结构：这个角适合拆，这个平方适合降，这个分式该先通分，这个等式需要限制条件。

练习

角拆分与精确值

求 $\cos75^\circ$ 的精确值。

求 $\sin15^\circ$ 的精确值。

求 $\tan75^\circ$ 的精确值。

倍角、半角与降幂

已知 $\cos x=\frac{4}{5}$ ，且 $x$ 在第四象限，求 $\sin 2x$ 。

已知 $\cos x=\frac{7}{9}$ ，且 $0 \lt x \lt \pi$ ，求 $\sin\frac{x}{2}$ 。

把 $\cos^2 x$ 改写成不含平方的形式。

把 $3\sin^2 x-2$ 改写成只含 $\cos 2x$ 的形式。

化简与证明

化简 $\frac{1-\sin^2 x}{\cos x}$ 。

证明 $\tan x+\cot x=\frac{1}{\sin x\cos x}$ 。

证明 $\cos(a+b)+\cos(a-b)=2\cos a\cos b$ 。

判断下面的化简是否总是正确：

\frac{\sin x}{\sin x}=1

化简 $\frac{\tan(a+b)-\tan a}{1+\tan(a+b)\tan a}$ ，并说明适用条件。

+

b

)

+

\sin

(

a

-

b

)

\sin(a+b)+\sin(a-b)

a+b

\sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b

\cdot

\frac{4}{5}

=

-

\frac{24}{25}

\sin2x=2\sin x\cos x=2\cdot\left(-\frac35\right)\cdot\frac45=-\frac{24}{25}