正弦与余弦函数图像

前面几章把角放进坐标系，又用单位圆定义了 $\sin x$ 和 $\cos x$。这一章把这两件事接起来：当点沿单位圆匀速转动时，如果我们不断记录它的纵坐标或横坐标，就会得到熟悉的波浪形图像。

这里的关键不是背“正弦从 0 开始、余弦从 1 开始”，而是看清楚两张图之间的关系。单位圆上的点在转动；函数图像上的横轴记录角 $x$；函数图像上的纵轴记录圆上点的某个坐标。

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从圆周运动看函数图像

设单位圆上一点从 $(1,0)$ 出发，逆时针转过 $x$ 弧度后到达点 $P$。按照单位圆定义，这个点的坐标是

$$P(x)=(\cos x,\sin x)$$

这句话同时包含了两个函数：$\cos x$ 是圆上点的横坐标，$\sin x$ 是圆上点的纵坐标。

图：单位圆上一点的横坐标对应 $\cos x$，纵坐标对应 $\sin x$。

如果只看圆，点绕了一圈又一圈；如果把“角 $x$”放在一条水平轴上，再把对应坐标值画成高度，圆周运动就会展开成波形。

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从单位圆到正弦图像

先看正弦函数。点 $P(x)$ 在单位圆上转动时，$\sin x$ 取的是它的纵坐标。点越靠上，$\sin x$ 越接近 $1$；点越靠下，$\sin x$ 越接近 $-1$；点落在 $$ 轴上时，纵坐标为 。

图：从单位圆到 $y=\sin x$，圆上点的纵坐标被记录到右侧坐标平面。

把一圈分成四个四分之一圈，正弦值的变化很清楚：

所以 $y=\sin x$ 从中线 $0$ 出发，先升到 $1$，再回到 $0$，继续降到 $-1$，最后回到 $0$。这一段就是一个完整周期。

下面的交互把单位圆和两条波形放在同一个画面里。拖动角度时，留意圆上点的纵坐标怎样成为正弦图像上的高度。

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从单位圆到余弦图像

余弦函数用同一个转动点，但记录的是横坐标。点在 $(1,0)$ 时横坐标最大，所以 $\cos 0=1$。转到最高点 $(0,1)$ 时横坐标为 $0$；转到左端点 $(-1,0)$ 时横坐标最小，为 。

图：从单位圆到 $y=\cos x$，圆上点的横坐标形成余弦图像。

一圈内的余弦值如下：

余弦图像和正弦图像有同样的高度范围和同样的重复长度，只是起点不同。正弦从中线开始上升；余弦从最大值开始下降。

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关键点：一圈内的五个位置

画基本正弦、余弦图像时，最有用的是一圈内的五个关键角：

$$0,\quad \frac{\pi}{2},\quad \pi,\quad \frac{3\pi}{2},\quad 2\pi$$

这五个角把一个周期平均分成四段。它们对应中线、最高点、最低点和回到中线的位置。

图：$y=\sin x$ 与 $y=\cos x$ 在一圈内五个关键位置的函数图像对照。

可以把两组关键点整理成表：

正弦函数的零点在

$$x=k\pi$$

余弦函数的零点在

$$x=\frac{\pi}{2}+k\pi$$

其中 $k$ 是整数。

正弦函数的最大值 $1$ 出现在

$$x=\frac{\pi}{2}+2k\pi$$

最小值 $-1$ 出现在

$$x=\frac{3\pi}{2}+2k\pi$$

余弦函数的最大值 $1$ 出现在

$$x=2k\pi$$

最小值 $-1$ 出现在

$$x=\pi+2k\pi$$

用下面的关键点探究器切换正弦和余弦，观察同一个角在两条曲线上的位置差异。

例题：用关键点画一段正弦图像

不用计算器，画出 $0\le x\le 2\pi$ 上 $y=\sin x$ 的基本形状。

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周期、定义域和值域

单位圆上的点转过一整圈后回到同一个位置。一整圈是 $2\pi$ 弧度，所以对任意实数 $x$，

$$\sin(x+2\pi)=\sin x$$ $$\cos(x+2\pi)=\cos x$$

这说明正弦和余弦都是周期函数，基本周期都是 $2\pi$。更准确地说，$2\pi$ 是它们的最小正周期。

因为角可以继续转下去，也可以反向转动，正弦和余弦的输入没有上下限：

$$\text{定义域}=(-\infty,\infty)$$

又因为单位圆的横坐标和纵坐标都不会超过 $1$，也不会小于 $-1$，所以

$$\text{值域}=[-1,1]$$

如果一个转盘每转一圈回到同一个高度，记录高度随角度的变化，就会出现这样的重复。后面学习三角函数变换时，振幅、中线和周期会让这个模型适应更真实的摩天轮、潮汐和振动情境。

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正弦与余弦的相位关系

正弦和余弦不是两种完全不同的波。它们是同一个圆周运动的两种坐标记录，所以形状相同，只是起点不同。

余弦从 $x=0$ 的最大值开始。正弦要到 $x=\frac{\pi}{2}$ 才到最大值。因此，把正弦图像向左平移 $\frac{\pi}{2}$，它就会和余弦图像重合：

$$\cos x=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$$

等价地，把余弦图像向右平移 $\frac{\pi}{2}$，可以得到正弦图像：

$$\sin x=\cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right)$$

图：正弦与余弦是同一波形的不同起点，二者相差四分之一个周期。

相位关系可以用下面的交互慢慢看。把相位 $a$ 从 $0$ 调到 $\frac{\pi}{2}$，观察 $y=\sin(x+a)$ 如何逐渐贴近 。

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奇偶性：从对称看公式

单位圆还能解释正弦和余弦的对称性。

角 $x$ 和角 $-x$ 是从正 $x$ 轴向相反方向转过同样大小。它们对应的两个点关于 $x$ 轴对称：横坐标相同，纵坐标相反。因此

$$\cos(-x)=\cos x$$ $$\sin(-x)=-\sin x$$

图：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。

从函数图像看，$y=\sin x$ 关于原点对称，所以它是奇函数；$y=\cos x$ 关于 $y$ 轴对称，所以它是偶函数。

这些对称性不只是图像特征，也能用来快速求值。例如

$$\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2}$$ $$\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}$$

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用图像读值与判断

读正弦、余弦图像时，可以先问三个问题。

1. 这个角在一个周期里的哪个位置？
2. 函数值是圆上点的横坐标还是纵坐标？
3. 图像此时在中线、最高点、最低点，还是正在上升或下降？

例题：判断符号和大小

不计算精确值，判断 $\sin\frac{5\pi}{6}$、$\cos\frac{5\pi}{6}$、 的符号，并比较它们与 的关系。

例题：找一个周期内的极值

求 $0\le x\le 2\pi$ 内 $y=\cos x$ 的最大值、最小值及对应的 $x$。

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小结

正弦和余弦图像来自同一个圆周运动。$y=\sin x$ 记录单位圆上点的纵坐标，$y=\cos x$ 记录横坐标。因为圆上一圈是 $2\pi$，所以两个函数的基本周期都是 $2\pi$；因为坐标被单位圆限制，所以值域都是 $[-1,1]$。

正弦从中线开始，余弦从最大值开始。它们形状相同，相差 $\frac{\pi}{2}$ 的相位。正弦是奇函数，余弦是偶函数，这些对称性都能从单位圆和图像上同时看出来。

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练习

1. 写出 $y=\sin x$ 在 $0$、$\frac{\pi}{2}$、$\pi$、$\frac{}{}$、 处的函数值。

显示答案

依次为 $0$、$1$、$0$、$-1$、$0$。这些值对应单位圆上点的纵坐标。

2. 写出 $y=\cos x$ 在 $0$、$\frac{\pi}{2}$、$\pi$、$\frac{}{}$、 处的函数值。

显示答案

依次为 $1$、$0$、$-1$、$0$、$1$。这些值对应单位圆上点的横坐标。

3. 判断 $\sin\frac{4\pi}{3}$ 和 $\cos\frac{4\pi}{3}$ 的符号。

显示答案

$\frac{4\pi}{3}$ 在第三象限，横坐标和纵坐标都为负，所以 $\sin\frac{4\pi}{3}<0$，。

4. 求 $y=\sin x$ 在 $0\le x\le 2\pi$ 内的零点。

显示答案

零点是 $x=0$、$x=\pi$、$x=2\pi$。如果写成一般形式，正弦零点是 $x=k\pi$，其中 $k$ 是整数。

5. 求 $y=\cos x$ 在 $0\le x\le 2\pi$ 内的零点。

显示答案

零点是 $x=\frac{\pi}{2}$ 和 $x=\frac{3\pi}{2}$。一般形式为 ，其中 是整数。

6. 说明为什么正弦和余弦的值域都是 $[-1,1]$。

显示答案

因为它们分别是单位圆上点的纵坐标和横坐标。单位圆半径为 $1$，圆上点的横坐标、纵坐标都不可能大于 $1$ 或小于 $-1$。

7. 用相位关系把 $\cos x$ 写成正弦函数的形式。

显示答案

可以写成 $\cos x=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$。这表示把正弦图像向左平移 $\frac{\pi}{2}$。

8. 判断下面说法是否正确：因为 $\sin(-x)=-\sin x$，所以正弦图像关于 $y$ 轴对称。

显示答案

不正确。$\sin(-x)=-\sin x$ 表示正弦函数是奇函数，图像关于原点对称。关于 $y$ 轴对称的是余弦函数，因为 $\cos(-x)=\cos x$。

9. 一个点在单位圆上从 $(1,0)$ 出发逆时针转动。若只记录它的横坐标，得到的是哪一个函数图像？为什么这个图像从最大值开始？

显示答案

得到的是 $y=\cos x$。因为出发点 $(1,0)$ 的横坐标为 $1$，这是单位圆横坐标的最大值，所以余弦图像从最大值开始。

10. 一个函数满足 $f(x+2\pi)=f(x)$。这句话能直接说明它一定是正弦函数吗？

显示答案

不能。它只说明这个函数以 $2\pi$ 为一个周期，很多函数都可能有这个周期。要判断是不是正弦函数，还要看它的形状、值域、起点、最大最小值等特征。