三角方程：通解、限制区间与图像检验

前面几章里，三角函数常常用来“求值”：给一个角，算出 $\sin x$、$\cos x$ 或 $\tan x$。这一章反过来问：如果已经知道函数值，哪些角会给出这个值？

这个问题比普通代数方程多了一层周期性。方程 $\sin x=\frac12$ 在 $0$ 到 $2\pi$ 之间有两个解；如果不限制区间，它有无限多个解。三角方程的难点不在于某一个主值角，而在于把所有可能的角收干净。

图：同一高度在单位圆上对应两个角，在正弦波上随周期重复出现多个交点。

本章的每一道三角方程都先问同一个问题：题目要的是通解，还是某个区间里的有限解？这个问题问清楚，后面的单位圆、恒等式和图像检验才不会各走各的。

先判断解的范围

三角恒等式对定义域内所有允许的 $x$ 都成立，三角方程只在某些 $x$ 上成立。比如 $\sin^2 x+\cos^2 x=1$ 是恒等式，而 $\sin x=\frac12$ 是方程。

解方程时，题目通常有两种说法：

如果题目没有给区间，就不能只写一个主值角。比如 $\arcsin \frac12=\frac\pi6$ 只给出反正弦的主值，不等于方程 $\sin x=\frac12$ 的所有解。

还有一种更早的判断：方程有没有解。因为正弦和余弦的值域都是 $[-1,1]$，所以 $\sin x=2$、$\cos x=-5$ 没有实数解。正切的值域是全体实数，所以 $\tan x=a$ 对任意实数 都有解，但要记住正切在 处无定义。

三类基本方程

三角方程的起点是三类基本方程：

复杂方程往往要通过恒等式、因式分解或换元，最后落回这三类基本方程。先把这三类方程弄清楚，后面的代数步骤才有落点。

正弦方程

在单位圆上，$\sin x$ 是点的纵坐标。因此 $\sin x=a$ 对应水平直线 $y=a$ 与单位圆的交点。

如果 $|a|>1$，水平线不碰到单位圆，方程没有实数解。

如果 $-1\le a\le 1$，先设

其中 $\alpha$ 是反正弦给出的主值，满足 $-\frac\pi2\le \alpha\le \frac\pi2$。在一个周期内，正弦值相同的角通常有两个，它们关于 轴对称。

图：$\sin x=a$ 的两组通解是 $x=\alpha+2k\pi$ 或 $x=\pi-\alpha+2k\pi$，其中 。

因此，$\sin x=a$ 的通解可以写成

当 $a=1$ 或 $a=-1$ 时，两个交点会合并成一个点。这时两组形式会出现重复，列解时保留不重复的角即可。

例题：求正弦方程的通解

求 $\sin x=-\frac{\sqrt3}{2}$ 的所有实数解。

这两个角在 $[0,2\pi)$ 中对应 $\frac{5\pi}{3}$ 和 $\frac{4\pi}{3}$。一个写成负角，一个写成一圈内的角，本质上是同终边角的不同表示。

余弦方程

在单位圆上，$\cos x$ 是点的横坐标。因此 $\cos x=a$ 对应竖直直线 $x=a$ 与单位圆的交点。

如果 $|a|>1$，方程没有实数解。如果 $-1\le a\le 1$，设

其中 $0\le\alpha\le\pi$。余弦值相同的两个角关于 $x$ 轴对称，所以通解可以写成

在 $[0,2\pi)$ 中，也常写成 $\alpha$ 和 $2\pi-\alpha$。

正切方程

正切可以看成斜率，也可以看成 $\frac{\sin x}{\cos x}$。它的周期是 $\pi$，不是 $2\pi$。同一条过原点的直线在相反方向上斜率相同，所以每隔 $\pi$ 就得到一个新解。

设

其中 $-\frac\pi2<\alpha<\frac\pi2$。那么

的通解是

图：$\cos x=a$ 通常在一周内有两个角；$\tan x=a$ 每隔 $\pi$ 重复一次。

下面的交互工具可以同时观察单位圆、正切斜率、通解模板和一个周期内的解。先把 $a$ 调到 $\frac12$、$-\frac{\sqrt2}{2}$ 或 附近，再比较三类方程的解数差异。

在指定区间内筛选解

给定区间时，解题的顺序最好固定下来：

1. 先按基本方程或通解公式写出所有可能的解族；
2. 再代入整数 $k$，只保留落在区间里的角；
3. 最后按从小到大排列，并检查区间端点是否包含。

很多错误不是因为单位圆不会画，而是因为区间筛选不细。$[0,2\pi)$ 包含 $0$，不包含 $2\pi$；$(-\pi,\pi]$ 不包含 $-\pi$，包含 $\pi$。端点差一个括号，答案就可能不同。

例题：区间不是一个完整周期时

在区间 $[-\pi,2\pi)$ 内求解

这个例子说明，区间长度接近但不等于一个周期时，答案不一定是“一个周期中的两个解”。区间从 $-\pi$ 开始，到 $2\pi$ 之前结束，刚好多收进了一个同终边位置。

多角方程的区间筛选

如果方程里出现 $\sin(2x)$、$\cos(3x)$ 这样的复合角，不要先把 $x$ 想成角。先把括号里的整体看成一个变量。

例如，在 $[0,2\pi)$ 内求解

先解

再除以 $2$：

在 $[0,2\pi)$ 中，$k=0$ 和 $k=1$ 给出

下面的训练器专门练习“先找通解，再筛区间”。每题都要选出所有符合条件的角，漏选和多选都会被标出。

借助恒等式解方程

很多三角方程一开始不是 $\sin x=a$、$\cos x=a$ 或 $\tan x=a$。这时要用恒等式把它化回基本方程。

常见策略有三种：

• 尽量统一成同一种三角函数；
• 遇到平方项时尝试因式分解或换元；
• 使用 $\sin^2 x+\cos^2 x=1$、$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$、 等恒等式。

图：借助恒等式统一三角函数后，可将方程化为代数形式，再回到单位圆检验解。

例题：因式分解时不要除掉解

在 $[0,2\pi)$ 内求解

如果一开始把方程两边同除以 $\cos x$，就会直接得到 $2\sin x=1$，从而漏掉 $\cos x=0$ 的两个解。除法是合法操作，但前提是被除式不为 $0$；如果被除式可能为 $0$，就要单独讨论。

例题：把混合函数统一

在 $[0,2\pi)$ 内求解

这道题的关键不是背出某个特殊技巧，而是看出 $\cos(2x)$ 可以改写成只含 $\sin x$ 的式子。统一函数之后，方程就回到了熟悉的二次方程。

二次型三角方程

如果一个三角方程长得像二次方程，可以先换元。形式大致是

或

这时可以设 $u=\sin x$ 或 $u=\cos x$，先解关于 $u$ 的二次方程，再把每个允许的 $u$ 值回代为三角方程。

图：通过设 $u=\sin x$，将 $2\sin^2x-\sin x-1=0$ 化为二次方程，因式分解后回代并在单位圆上列出对应角。

例题：先筛掉不可能的换元值

在 $[0,2\pi)$ 内求解

如果换元后得到 $u=2$，而 $u=\sin x$ 或 $u=\cos x$，就可以直接舍去，因为正弦和余弦不会取到 $2$。这一步能减少很多无效回代。

限制、漏解与增根

三角方程的代数变形和普通方程一样，需要保留等价性。尤其要注意三类操作：

图：候选解必须经过限制条件与原式代回检验，候选解不等于最终解。

平方带来的增根

在 $[0,2\pi)$ 内解 $\cos x=-\frac12$，直接用单位圆可得

如果先平方两边，会得到

于是候选方程变成

候选角包括

其中 $\frac\pi3$ 和 $\frac{5\pi}{3}$ 代回原方程时给出 $\cos x=\frac12$，不满足 ，所以是平方引入的增根。

定义域本身也会删解

看方程

如果写成

就必须附带限制

在这个限制下，两边乘以 $\cos x$，得到

即

候选解来自 $\sin x=0$ 或 $\cos x=1$。在 $[0,2\pi)$ 中，候选为 $0$ 和 $\pi$。它们都满足 ，也都满足原方程，所以最终解是 。

如果某个候选解让原方程里的 $\tan x$ 无定义，即使它满足变形后的式子，也必须舍去。

用图像交点检验

图像能把三角方程的“解”变成“交点”。例如

可以看成曲线 $y=\sin x$ 与水平线 $y=a$ 的交点；更一般地，方程

的解就是两条图像的交点横坐标。

图像检验特别适合做三件事：

• 检查是否漏掉周期重复的解；
• 判断某个区间内大约有几个解；
• 发现代数变形后产生的候选解是否可疑。

但图像不是代数推理的替代品。图像上的交点可能只给近似值，尤其在交点靠得很近、或正切图像接近渐近线时，仍然需要代回原方程检查。

例题：用图像解释解的个数

在区间 $[0,2\pi)$ 内，方程

有两个解：

图像上，这是 $y=\sin x$ 与水平线 $y=\frac{\sqrt3}{2}$ 在一个周期内的两个交点。单位圆上，这是水平线 与圆的两个交点。两种图像说的是同一件事：纵坐标相同的点通常不止一个。

如果区间改成 $[0,4\pi)$，正弦波走过两个完整周期，交点数也翻倍，解变成

这就是周期性在方程中的直接体现。

解题检查清单

做三角方程时，可以用下面这张清单收尾：

1. 是否先确认了题目要求通解还是区间解？
2. 正弦或余弦右边是否落在 $[-1,1]$ 内？
3. 反三角函数主值是否已经补成完整解族？
4. 如果出现 $\tan x$ 或分式，定义域限制是否保留？
5. 是否除以了可能为 $0$ 的表达式？
6. 是否平方两边或使用了可能扩大解集的变形？
7. 区间端点的开闭是否检查清楚？
8. 最终解是否代回原方程或用图像交点核对过？

练习

基础通解

求 $\sin x=\frac{\sqrt2}{2}$ 的所有实数解。

求 $\cos x=-\frac12$ 的所有实数解。

求 $\tan x=-\sqrt3$ 在 $(-\pi,\pi]$ 内的解。

区间与恒等式

在 $[0,2\pi)$ 内求解

在 $[0,2\pi)$ 内求解

在 $[0,2\pi)$ 内求解

检查与判断

方程 $\sin x=\frac32$ 有没有实数解？为什么？

某同学把 $\cos x=-\frac12$ 平方成 $\cos^2 x=\frac14$，得到 。哪些是增根？

这里 $2\pi$ 不在 $[0,2\pi)$ 中，所以不写 $2\pi$。

在 $[0,2\pi)$ 中，解是