非直角三角形与综合应用 | 三角函数与三角学 | 自在学

非直角三角形与综合应用

前面几章里，三角函数已经出现过几种身份：它们可以是直角三角形里的边长比，可以是单位圆上的坐标，也可以是周期函数的图像。本章把这些身份合到一起，用它们处理更接近真实测量的问题。

现实中的三角形很少刚好带一个直角。船只转向、两地测距、山体坡面、斜拉力、观测点到目标的方位，都更常形成 非直角三角形，也叫斜三角形。此时不能直接套勾股定理，但三角函数仍然能把边与角联系起来。

本章的重点不是多背几个公式，而是建立判断：已知哪些边角？要求什么量？应该选正弦定理、余弦定理，还是面积公式？当条件不够唯一时，怎样发现可能有两个答案？

解斜三角形的基本框架

一个三角形通常用大写字母表示角，用对应的小写字母表示对边：

角 $A$ 的对边是 $a$ ；
角 $B$ 的对边是 $b$ ；
角 $C$ 的对边是 $c$ 。

所谓“解三角形”，就是根据已知边角求出其余边角。任何三角形都有

A+B+C=180^\circ

但这只给了角之间的关系。要把边也放进来，就需要正弦定理、余弦定理和面积公式。

先看一个选择原则：

已知信息	常用工具	原因
两角一边，或两角可先求第三角	正弦定理	有“边与对角”的配对
两边和其中一边的对角	正弦定理，但要检查 SSA 二义性	可能有 0、1、2 个三角形
两边及夹角	余弦定理，或面积公式	夹角直接参与第三边或面积
三边	余弦定理	可反求任意角
两边及夹角求面积	$K=\frac12ab\sin C$	高可以由三角函数得到

公式选择的关键不是题目文字像不像某个模板，而是看已知量里有没有“某边和它的对角”这一对。如果有，正弦定理通常能启动；如果给的是夹在两边之间的角，余弦定理和面积公式更直接。

下面这个小工具可以把常见已知条件和可用定理对应起来。先选一种边角组合，再观察推荐公式为什么成立。

正弦定理

正弦定理描述的是三角形中“边”和“对角正弦”的比例关系：

\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}

也可以写成

\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}

两种写法等价。求边时，第一种更顺手；求角时，第二种更顺手。

非直角三角形内接于同一个圆，标出角 A、B、C 与对边 a、b、c，并展示正弦定理比例关系。

图：正弦定理把每条边与它的对角联系起来；同一个三角形中，三个比值相等。

什么时候用正弦定理

正弦定理最适合两类情况。

第一类是 ASA 或 AAS：已知两个角和一条边。因为三个角和是 $180^\circ$ ，第三个角可以先求出来，随后每条未知边都有自己的对角。

第二类是 SSA：已知两条边和其中一条边的对角。这时正弦定理可以开头，但不一定只有一个三角形。下一节会专门处理这个问题。

例题：两角一边

在三角形 $ABC$ 中，已知 $A=42^\circ$ ， $B=68^\circ$ ， $a=16$ 。求和，结果保留一位小数。

先求第三个角。因为三角形内角和是 $180^\circ$ ，所以 $C=180^\circ-42^\circ-68^\circ=70^\circ$ 。

用正弦定理求角时要特别小心。计算器给出的 $\arcsin$ 通常只是一个锐角或直角范围内的主值，但同一个正弦值在 $0^\circ$ 到 $180^\circ$ 内可能对应两个角。

SSA 二义性

SSA 指的是已知两边和其中一边的对角。它不像 ASA、AAS、SAS、SSS 那样总能唯一确定一个三角形。

把已知角记作 $A$ ，它的对边是 $a$ ，另一条已知边是 $b$ 。如果 $A$ 是锐角，可以先看从边 $b$ 落到另一条射线的高度：

h=b\sin A

这条高像一条门槛，决定给定的边 $a$ 能不能够到另一条射线。

SSA 二义性示意图，展示给定角 A 和给定边长时无解、一解、两解三种情况。

图：SSA 的关键是“给定边长”与角边射线相交几次。相交次数就是可能三角形的个数。

当 $A$ 是锐角时：

条件	结果
$a<h$	无三角形
$a=h$	一个直角三角形
$h<a<b$	两个三角形
$a\ge b$

当 $A$ 是直角或钝角时，角 $A$ 已经不小。因为大角对大边，若 $a\le b$ ，通常无法形成合适的三角形；若 $a>b$ ，则只有一个三角形。

例题：一个条件，两种三角形

在三角形 $ABC$ 中，已知 $A=35^\circ$ ， $a=8$ ， $b=11$ 。判断可能有几个三角形，并求出可能的 $B$ 、和。

先算高度门槛：

h=b\sin A=11\sin 35^\circ\approx 6.3

因为 $6.3 < 8 < 11$ ，即，所以存在两个可能的三角形。

SSA 题最常见的错误，是算出一个 $\arcsin$ 角就停下。只要题目没有图形或额外条件排除另一个角，就必须检查 $180^\circ-B$ 是否也能让三角形成立。

余弦定理

余弦定理把勾股定理推广到任意三角形。若边 $a$ 的对角是 $A$ ，则

a^2=b^2+c^2-2bc\cos A

同理，

b^2=a^2+c^2-2ac\cos B

c^2=a^2+b^2-2ab\cos C

当 $A=90^\circ$ 时， $\cos A=0$ ，于是

a^2=b^2+c^2

这正是勾股定理。夹角不是直角时，多出来的 $-2bc\cos A$ 用来修正第三边的长度。

三幅并排三角形展示相同两边 b、c 在锐角、直角、钝角夹角 A 下，第三边 a 随夹角变化，并突出余弦定理公式。

图：两边固定时，夹角越大，第三边通常越长；余弦项正是在记录这个变化。

什么时候用余弦定理

余弦定理最适合两类情况。

第一类是 SAS：已知两边和夹角，要求第三边。夹角正好出现在公式里。

第二类是 SSS：已知三边，要求某个角。把余弦定理改写，就能求角：

\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}

用余弦定理求角时，在 $0^\circ$ 到 $180^\circ$ 的三角形角范围内， $\arccos$ 不会产生 SSA 那样的二义性。

例题：航线转向后的距离

一艘船从港口出发，先航行 $12\text{ km}$ 到转向点，再转向后航行 $18\text{ km}$ 到当前位置。若这两段航线在三角形内部形成的夹角是 $110^\circ$ ，当前位置离港口多远？

俯视地图风格插图，船从港口出发经转向点到当前位置，两段航线分别标注 12 km 和 18 km，夹角 110°，回到港口的虚线标注未知距离 d。

图：已知两段航程和夹角时，当前位置到港口的距离就是三角形的第三边。

题目给出两边和夹角，这是 SAS。要求第三边 $d$ ，使用余弦定理。

代入公式：

d^2=12^2+18^2-2\cdot 12\cdot 18\cos 110^\circ

面积公式

普通三角形面积公式是

K=\frac12\cdot \text{底}\cdot \text{高}

如果已知两边及其夹角，不一定直接知道高，但可以用正弦把高表示出来。若两边为 $a$ 、 $b$ ，夹角为 $C$ ，则对应的高为 $b\sin C$ ，所以

K=\frac12ab\sin C

斜三角形面积公式示意图，展示两边 a、b 夹角 C 以及高 h = b sin C。

图：面积公式的本质仍然是“底乘高的一半”，只是高由三角函数给出。

同一个公式可以按已知夹角换字母：

K=\frac12bc\sin A

K=\frac12ac\sin B

K=\frac12ab\sin C

例题：两边夹角求面积

三角形中两边长分别为 $14$ 和 $9$ ，夹角为 $58^\circ$ 。求面积。

已知两边及夹角，直接使用面积公式。

代入：

K=\frac12\cdot 14\cdot 9\cdot \sin 58^\circ

面积公式里的角必须是两条已知边的夹角。如果已知的是一条边的对角，不能直接把它放进 $K=\frac12ab\sin C$ 。

测量、导航与力分解

三角学在应用题里最难的地方，通常不是代入公式，而是把情境画成正确的几何图。题目给出的“方向”“仰角”“距离”“拉力”要先变成边、角或向量。

导航与测距

导航问题常出现两种结构。

一种是已知两段路程和转向夹角，求起点到终点的直线距离。这是 SAS，余弦定理最直接。

另一种是从两个已知观测点看同一目标，已知基线长度和两个观测角。此时可以先用三角形内角和求第三角，再用正弦定理求距离。这类方法就是三角测量的基本想法。

例如两个观测点 $A$ 、 $B$ 相距 $600\text{ m}$ ，目标 $P$ 在同侧。若 $\angle A=38^\circ$ ， $\angle B=64^\circ$ ，则

\angle P=180^\circ-38^\circ-64^\circ=78^\circ

要求 $AP$ ，可以写成

\frac{AP}{\sin 64^\circ}=\frac{600}{\sin 78^\circ}

因此

AP=600\cdot \frac{\sin 64^\circ}{\sin 78^\circ}\approx 551.4\text{ m}

高度测量

测高常把斜三角形和直角三角形组合起来。若只从一个点测仰角，常用正切；若从两个点测同一顶点，两个视线和地面会组成一个斜三角形，可能先用正弦定理或余弦定理求出斜距，再回到直角三角形求高度。

解这类题时，先问三个问题：

哪一段是地面距离，哪一段是视线距离？
仰角或俯角是相对水平线量出的，还是图中某个三角形的内角？
最后要求的是斜距、水平距离，还是竖直高度？

力分解

物理中的力是向量。一个斜向力常常要拆成水平分量和竖直分量。若力 $F$ 与水平方向夹角为 $\theta$ ，则

F_x=F\cos\theta

F_y=F\sin\theta

物体受到斜向上拉力 F，分解为水平分量 F cos θ 和竖直分量 F sin θ 的物理课堂板图。

图：当角从水平方向量起时，邻边是水平分量，对边是竖直分量。

例如 $120\text{ N}$ 的拉力与水平线成 $35^\circ$ ，则

F_x=120\cos 35^\circ\approx 98.3\text{ N}

F_y=120\sin 35^\circ\approx 68.8\text{ N}

如果角是从竖直方向量起，正弦和余弦对应的分量会交换。不要只记“水平用 cos”，要回到图中判断哪一条边邻近给定角。

周期模型综合任务

三角学的另一条主线是周期模型。现实中的潮汐、水位、温度、日照时长、声波和机械振动，常常可以用正弦或余弦函数近似描述。

一个常用模型是

y=A\cos(B(t-C))+D

或

y=A\sin(B(t-C))+D

其中：

参数	图像意义	情境意义
$\lvert A\rvert$	振幅	最大值到中线的距离
$\frac{2\pi}{\lvert B\rvert}$	周期	完成一次循环所需时间
$C$	水平移动	选择哪个时刻作为起点
$D$

带有散点和正弦曲线的周期数据建模图，标出中线、振幅、周期和起点。

图：周期模型先从数据中读出中线、振幅和周期，再决定用 sine 还是 cosine 安放起点。

例题：从最大值和最小值写模型

某浮标记录到水位在一天内近似周期变化。水位最高约 $18.2\text{ m}$ ，最低约 $4.6\text{ m}$ ，周期为 $12$ 小时，且凌晨 $3$ 点达到一次最高水位。设 $t$ 表示午夜后经过的小时数，写一个模型并估计 $t=8$ 时的水位。

先求中线：

D=\frac{18.2+4.6}{2}=11.4

这个模型很有用，但也有边界。潮汐会受天气、地形和观测误差影响；温度会受冷空气、云量和城市热岛影响。三角函数模型抓住的是“主要周期”，不是保证每个时刻都精确。

与后续课程的连接

这一章把三角学的几条线收在一起，也给后续课程铺路。

在解析几何中，距离、角度、斜率和圆会不断出现。余弦定理可以看作坐标距离公式和点积思想的几何版本；正弦定理则和圆、弦长、外接圆半径关系紧密。

在预备微积分中，三角函数会继续用于函数变换、参数方程、极坐标和周期建模。你会更频繁地从图像读出 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ ，也会讨论模型的误差和适用范围。

在物理中，三角函数几乎随处可见。向量分解、斜面受力、简谐运动、波、交流电和圆周运动，都需要把“方向”和“周期”变成可计算的量。

学完本章后，你应该能做三件事：看已知条件选定理，发现 SSA 是否有二义性，把三角函数从纸面公式放回测量、力和周期变化的情境中。

综合练习

在三角形 $ABC$ 中， $A=51^\circ$ ， $B=73^\circ$ ， $a=12$ 。求和，结果保留一位小数。

已知 $A=40^\circ$ ， $a=7$ ， $b=10$ 。判断 SSA 情形可能有几个三角形。

一块三角形土地的两边为 $35\text{ m}$ 和 $48\text{ m}$ ，夹角为 $62^\circ$ 。求第三边和面积。

一个物体受到 $80\text{ N}$ 的斜向拉力，拉力与水平线成 $25^\circ$ 。求水平分量和竖直分量。

某地日照时长一年中最大约 $15.0$ 小时，最小约 $9.0$ 小时，周期约 $365$ 天。若第 $172$ 天达到最大值，用余弦函数写一个模型。

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